Richiami di Matematica applicata per Scienza delle costruzioni

Elementi di matematica

Grandezze vettoriali

In fisica ci sono due tipi di grandezze:

• Scalari
• Vettoriali

Un vettore è un ente individuato da:

• Un numero reale positivo - modulo o intensità
• Una direzione orientata - verso

Rappresentazione grafica dei vettori

Graficamente un vettore può essere rappresentato da un segmento orientato:

• Modulo: la misura del segmento in una determinata unità di misura
• Direzione: coincidente con la direzione del vettore, indicata dalla retta del segmento
• Verso: coincidente al verso del vettore indicato dalla freccia

Se occorre precisare l'origine o punto di applicazione _A del vettore, si parlerà di vettore applicato.

È importante ricordare che il concetto di vettore si applica solo ai moduli e non ai segmenti, ciò è sia per errori sia per vettori sempre applicati.

Grandezze vettoriali

In fisica ci sono due tipi di grandezze:

• Scalari: se individuato da un numero (o + o -) in una certa scala.
• Vettoriale: se individuato da direzione, verso e modulo (o intensità).

Un vettore è un ente individuato da:

• Un numero reale positivo - modulo o intensità
• Una direzione orientata - e un verso

Rappresentazione grafica dei vettori

Graficamente un vettore può essere rappresentato da un segmento orientato:

• Modulo: la misura del segmento in una determinata unità di misura.
• Direzione: coincidente con la direzione del vettore, indicata dalla retta del segmento.
• Verso: coincidente al verso del vettore indicato dalla freccia.

Se occorre precisare l'origine o punto di applicazione _A del vettore, si parlerà di vettore applicato.

Tutti i miei appunti sono sempre vettori applicati.

Componente di un vettore secondo un asse

Dato un vettore v e una retta orientata r, si conducono dagli estremi di v due piani a e r. Vr = rcosφ, p = vr, φ = l’angolo tra le direzioni orientate di v e di r. Vr > 0 (+) se φ è acuto, Vr < 0 (-) se φ è ottuso.

Componenti cartesiane di un vettore

È possibile stabilire unica corrispondenza biunivoca tra vettori e punti dello spazio. Fissato un punto O, ad ogni punto P dello spazio corrisponde un’unica direzione orientata.

A i punti dello spazio corrispondono in termini di numeri reali che ne rappresentano le coordinate nel riferimento Oxyz, sono le componenti Vx Vy Vz del vettore rispetto gli assi di riferimento.

È possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra coppie di vettori e terne di numeri reali che rappresentano le componenti cartesiane. Un vettore può essere individuato da modulo, direzione e verso.

Formula che caratterizza il passaggio da una rappresentazione all’altra:

• Vx = V cosα_x
• Vy = V cosα_y
• Vz = V cosα_z
• V = √(Vx² + Vy² + Vz²)
• cosα_x = Vx/v
• cosα_y = Vy/v
• cosα_z = Vz/v

Definizione di vettore

Vettore: una terna ordinata di numeri reali per i quali si sono introdotte le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare reale.

Vettore somma

Risultante di due vettori a e b è il vettore s=a+b che si ottiene:

• Descrivendo la diagonale del parallelogramma che ha come lati a e b (metodo del parallelogramma)
• Appiccando i due vettori uno di seguito all'altro e s è il vettore di chiusura del triangolo su a e b (metodo punta-coda)

Il vettore S o R si calcola:

• S_x = o_x + b_x
• S_y = o_y + b_y
• S_z = o_z + b_z

R è un vettore libero, la sua identificazione non necessita dei punti di applicazione.

La somma gode delle proprietà commutativa (a+b=b+a) e associativa ((a+b)+c=a+(b+c)).

Di qualsiasi numero o di autovettori vettoriali V_i e qualsiasi numeri:

• R_x = ΣV_ix le componenti di [non transcribed]
• R_y = ΣV_iy delle componenti numeriche dei vettori [non transcribed]
• R_z = ΣV_iz addoluti

Graficamente (per n=4) [non transcribed] R è il vettore che chiude la poligonale dei vettori addoluti verso: dall'V₁ al V₂ (più vicini due vettori) per n=2 è piana per n=2 è tridimensionale.

Va sempre disegnata riportando (con il metodo punta-coda) consecutive vanno i vettori addoluti. L'unità della somma è il vettore nullo 0. a+b=a ⇒ b=0.

Vettore opposto di un vettore tale che V+U=0 è un vettore che rispetto ad un altro ha verso opposto ma uguale direzione e modulo.