Richiami di Matematica applicata per Scienza delle costruzioni

Elementi di Matematica

Grandezze Vettoriali:

esistono in fisica ci sono due tipi di grandezze

Un vettore è un ente individuato da:

• un numero reale positivo — modulo o intensità
• una direzione orientata — verso

Rappresentazione Grafica dei Vettori

Graficamente un vettore può essere rappresentato da un segmento orientato.

1. Modulo: la misura del segmento in una determinata unità di misura
2. Direzione: coincidente con la direzione del vettore, indicata dalla retta del segmento
3. Verso: coincidente al verso del vettore indicato dalla freccia

Se occorre precisare l’origine o punto di applicazione A del vettore, si parlerà di vettore applicato.

È improntamento stretto il concetto del vettore, si aggiunge solo in casi associati cioè se si pensa a FORZE.

Sono sempre vettori applicati.

COMPONENTE DI UN VETTORE SECONDO UN ASSE

Dato un vettore V e una retta orientata r

Si conducono agli estremi di V due piani α e r.

Vr è la componente di V secondo r.

Modulo = ±1 a seconda del verso di Vr e di r

• Vr = Vcosφ
• φ = φ’ è l'angolo tra direzioni ottenute di v e di r

Vr e >0 (+) se φ' è acuto

Vr < 0 (–) se φ' è ottuso

Componenti cartesiane di un vettore

È possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra vettori e punti dello spazio.

Fissato un punto O, ad ogni punto P dello spazio corrisponde il corrispondente.

• V = P – O

Ai punti dello spazio corrispondono le terne di numeri reali che ne rappresentano la coordinata nel riferimento Oxyz.

• Sono le componenti Vx, Vy, Vz del vettore V secondo gli assi di riferimento.

È possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra campo dei vettori e terne di numeri reali che rappresentano di componenti cartesiane. Il modulo, direzione e verso.

Un vettore può essere individuato da terna di componenti.

Formule che comportano il passaggio da una rappresentazione all'altra.

• Vx = Vcosix
• Vy = Vcosiy
• Vz = Vcosiz
• cos²ix + cos²iy + cos²iz = 1

V = √(Vx² + Vy² + Vz²); cosix = Vx/V; cosiy = Vy/V; cosiz = Vz/V

PRODOTTO SCALARE TRA 2 VETTORI

u · v = k

u × v = k

k = |u| · |v| · cosα

α angolo minimo tra le due direzioni

Ex. |u| = 4

|v| = 3

k = 4 · 3 · cosα

α = 45°

k = 4 · 3 · cos45°

Se α è acuto k>0

Se α è ottuso k il RISULTANTE R

R = v₁ + v₂ + ...

R = _i=1ⁿ∑ v_i = INVARIANTE VETTORIALE

Sia il MOMENTO RISULTANTE che il RISULTANTE sono due vettori dati dalla somma di vettori.

u_Oi = (P_i - O) ∧ v_i → M_O = _i=1ⁿ∑ (P_i - O) ∧ v_i

M_o: {_i=4ⁿ∑ (P_i - O) ∧ v_i}

M_O: = _i=1ⁿ∑ (O - O)ⁱ ∧ v₁ + _i=1ⁱ⁼⁴∑ (R - O) ∧ v_i

M_O: M_o + (O - O) ∧ _i=1⁴∑ v_i

→ M_O = M_O + (O - O) ∧ R

FORMULA DI TRASPOSIZIONE

TEOREMA DI VARIGNON: il momento di più forze tutte applicate in un punto P eguaglia il momento della risultante R applicata nello stesso punto.

M_o = _i=4ⁿ∑ (P_i - O) ∧ F_i = (P_i - O) ∧ R

ESEMPIO 2

qdL = 3.3 = 9

mdV = 2 + 1 + 2 + 1 + 3 = 9

qdL = mdV ⇒ isostatico

KA = 0 → non c'è il forzo assiale nelle travi Gerber.

YA + Rcy = 0 → Y4 = 3 → Y4 = YB

MA + Rcy · e - MA = 0 → MA = YB · e → YB = M/e

RBy + LCy = 0 → Rcy = RBy

MD = 0 → MD = MG

Il tratto DG (3° tronco) è in equilibrio: il doppio pendolo reagisce con un momento MD uguale e contrario alla coppia esterna in G (MG).

Il tratto BD (2° tronco) è soggetto al momento MD, alla reazione del castello By = By = M/e (uguale alla reazione ceriera). Infine il mastro reagisce con una F = M/2, formando una coppia di braccio nulla con la reazione della ceriera B del tratto AB (1° tronco).

Esempio in cui va applicato Rouche-Capelli:

x + y + z = 2 2x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 4

Δ_C = 1( - 2) - 1 ( 4 - 2) + 1 ( 4 - 2) = 0 - 2 + 2 = 0

Δ_C = 0 → Se risulta p_C ≠ p₀ il sistema è impossibile

Se risulta p_C = p₀ il sistema ammette ∞ soluzioni. (n = numero colonne; p = rango)

Rouche-Capelli afferma che se il rango della matrice dei coefficienti (p_C) è uguale al rango della matrice orlata (p₀) detta anche matrice completa, ovvero la matrice C (incompleta) più il vettore dei termini noti, il sistema ammette soluzioni.

Rango della matrice: si considera la sotto matrice quadrata inscrivibile nella matrice C o D partendo da quella di ordine più grande (nella 3·3 si parte da quella di ordine 3, ovvero la matrice stessa) e si calcola il suo Δ; se risulta Δ ≠ 0, p = 3; se risulta Δ = 0 → p < 3, si individuano quindi le sottomatrici di ordine inferiore 2·2 e si calcola il Δ di ognuno di essa, se risulta di almeno una di questa sottomatrici Δ ≠ 0 allora avremo p = 2; se invece Δ = 0

MATRICI RETTANGOLARI

(caso sistemi non normali)

Sistema non normale:

3x + 5y = 14

2x + 7y = 13

x + 9y = 10

Poiché risulta ρc ≠ ρ0 il sistema è INCOMPATIBILE (non ammette soluzioni)

Matrici Parametriche 1

(K - 5) x + 2y = 0 2x + Ky = (K - 1) (K - 5) -2

^{(K - 2)}_K | Y | ^{(K - 1)}₀

Δ_c = (K² - 5K) - (-4) = K² - 5K + 4

Se Δ ≠ 0 → Sistema Impossibile, Do "n" p Soluzioni

Poniamo Δ = 0 per andare a vedere i valori che deve assumere K con i quali otterremo una sola soluzione

Δ = 0 → K² - 5K + 4 = 0

K_1,2 = ^{-B ± √(B2 - 4AC)}/_2A

= _{5 ± √(25 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4)}/² = _{5 ± √25 - 16}/² = _{5 ± √9}/²

= _{5 + 3}/²

K₁ = 4 K₂ = _{5 - 3}/² = 1