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Preferenze rivelate
Suppongo che il consumatore, dati p1, p2 e m, scelta il paniere (X1°, X2°), scartando gli altri. Questo paniere è 'direttamente preferito' al paniere (X1', X2') se p1X1' + p2X2' ≤ p1X1° + p2X2°. Ovvero egli avrebbe potuto acquistare (X1', X2'), ma ha acquistato (X1°, X2°). Il principio dice che se ciò accade, significa che (X1°, X2°) > (X1', X2').
Assioma debole: Se il paniere (X1°, X2°) si rivela direttamente preferito a (X1', X2') non può essere che (X1', X2') si riveli direttamente preferito a (X1°, X2°).
Numeri indici delle quantità
Prendo come pesi (wi, w2) e i prezzi (p1 , p2 ) e (p1 , p2 )b b t t - se prendiamo come pesi i prezzi dell'anno b, l'indice si chiama 'di Laspeyre': Lq= (p1 X1 + p2 X2 )/(p1 X1 + p2 X2 )b t b t b b b b. Il numero risultante è intorno a 1. - se prendiamo come pesi i...
misurare il benessere devo usare l'indice 'della spesa': M = (p1 X1 + p2 X2t)/(p1 X1 + p2 X2 )t t t b b b b
Suppongo che Lp<M: (p1 X1 + p2 X2 )/(p1 X1 + p2 X2 ) < (p1 X1 + p2 X2t)/(p1 X1 + p2 X2 )t b t b b b b b t t t b b b b
Pq>1 benessere aumentato=> (p1 X1 + p2 X2 )/(p1 X1 + p2 X2 ) >1 =>t t t t b t b t
Suppongo Pp > M (quindi Lq<1) → benessere diminuito
Indicizzazione: consiste nell'agganciare il reddito all'indice dei prezzi di Lespeyre.
Preferenze rivelate
Un paniere (X1°, X2°) si rivela indirettamente preferito a un paniere (X1*,X2*) quando esso si rivela direttamente preferito al paniere (X1', X2'), il quale a sua volta si rivela direttamente preferito al paniere (X1*, X2*).
Assioma forte delle preferenze rivelate: Se il paniere (X1°, X2°) si rivela direttamente o indirettamente preferito al paniere (X1', X2'), allora non può essere che il paniere (X1', X2') si rivelidirettamente o
indirettamente preferito al paniere (X1°, X2°).- beni sostituti: bene 1 e bene 2 sono sostituti se all'aumentare di p2, Δx1/Δp2 > 0 aumenta la quantità X1.
- beni complementi: bene 1 e bene 2 sono complementi se all'aumentare di p2, Δx1/Δp2 < 0 la quantità X1 diminuisce.
Prezzo di riserva
Il prezzo di riserva (r1) della prima unità del bene 1 è il prezzo per il quale l'individuo è indifferente tra comprare un unità del bene e non comprare nulla.
Il prezzo di riserva (r2) della seconda unità del bene 1 è tale che sia indifferente tra acquistare due unità del bene e acquistarne una.
Prezzo di riserva della n-esima unità:
rn = u(n; m-rn) = u(n-1; m-(n-1)rn)
rn = v(n) - v(n-1)
rn è tanto più piccolo quanto è maggiore n, perché v''(X1) < 0.
rn può essere interpretato come l'utilità marginale del bene 1: infatti, se passo dal
consumo di n-1 unità del bene1 al consumo di n unità ho: Δu/Δx1 = v(n) - v(n-1)/1 = rn
Se r(n+1) < p1 < rn => X1(p1) => ovvero comprare n unità è meglio che comprarne n-1 ed è meglio che comprarne n+1.
Caso particolare p1=rn=v(n) - v(n-1) => il consumatore è indifferente tra acquistare n unità e acquistarne n-1.
Variazione dei prezzi: effetto sostituzione e effetto reddito
Quando il prezzo p1 varia e diminuisce a p1', e il prezzo del bene2 resta invariato, il consumatore tenderebbe a consumare più del bene1 che del bene2 rispetto a prima, ma non lo fa solo perché il prezzo relativo è calato, ma perché il suo potere di acquisto è aumentato.
Distinzione dei due effetti:
Riduco m a m' per compensare la diminuzione di p1 a p1'.
La variazione della quantità scelta è positiva quando p1 decresce:
Quando Δp1<0 => Δx1 = X1* - X1° >0sX1*(p1',
p2, m); X1°(p1, p2, m)ΔX1 → effetto sostituzione:s rappresenta la variazione del consumo di unbene associata a una variazione del prezzo di quel bene, mantenendo costanteil livello di utilità.
Quando il prezzo di un bene si riduce, l'effetto sostituzione porta sempre a unaumento della quantità domandata del bene.
Se il reddito m' aumenta a m, il paniere scelto sarà (X1', X2') e la variazione saràdovuta al reddito:nΔx1 = X1' – X1*X1'(p1', p2, m); X1+(p1', p2, m')ΔX1 → effetto reddito:n rappresenta la variazione del consumo di un benedeterminata dall'aumento del potere d'acquisto, mantenendo costante ilprezzo del bene.
Quando il reddito di un individuo aumenta, la quantità domandata del benepuò aumentare o ridursi.
Variazione totaleΔX1= Δx1 + ΔX1n sSe Δp1<0 si ha che Δx1 >0 perché il bene1 è
normale.nΔm= X1° Δp1Δp1= Δm/X1°Ipotizziamo che ciò che conta per gli individui sia la ricchezza, che non è unagrandezza certa.
La funzione di utilità sarà quindi U=U(W) e U'=(W)>0 quindi se la ricchezzaaumenta, aumenta l'utilità.
Teoria dell'utilità attesa (Von Newmann, Morgerstern)A>B se e solo se EU(WA) > EU(WB)WA e WB sono variabile casuali.
Equivalente certo di una ricchezza incertaIl soggetto è indifferente tra la ricchezza certa e quella incerta.U(EU)=EU avverso al rischioUn soggetto è quando tra una ricchezza incerta e una certa,pari al valore atteso di quella incerta, preferisce la ricchezza certa (funzionedi utilità concava).
L'equivalente certo di una ricchezza incerta è minore del valore atteso dellaricchezza incerta (ECWA>EWA).amante del rischioUn soggetto è quando tra una ricchezza incerta e una certaparti al valore di quella incerta,
preferisce la ricchezza incerta (funzione di utilità convessa). Neutrale al rischio. Un soggetto è quando è indifferente tra una ricchezza incerta e una ricchezza certa pari al valore atteso della ricchezza incerta. Premio per il rischio (PRw). Per un individuo che dispone di una grandezza incerta W, il premio per il rischio di quella grandezza è la somma massima che l'individuo è disposto a pagare per avere, al posto di W, una ricchezza certa pari al valore atteso della ricchezza incerta (EW). U(EW - Prw) = EU(W) => U(ECW) = EU(W). Con questa transazione non ci guadagno, né ci perdo in confronto alla ricchezza certa. A questo punto, una volta effettuata, ho una grandezza certa. L'utilità affinché egli sia indifferente deve essere uguale all'utilità che abrennese non effettasse questa transazione. PRw = EW - ECW. Assicurazione. W è la ricchezza che ho e che potrebbe ridursi per evento accidentale. Suppongo.Che l'individuo si avverso al rischio e che più è ricco e meglio sta.
EL=ΠL0 perdita attesa
EW= W - ΠL0 ricchezza attesa
Calcolo Pr, ovvero il premio massimo che sono disposto a pagare per assicurarmi.
Pr: W – Pr = ECWn.a.
Pr > ΠL0 sono disposto a pagare più del valore atteso della mia perdita (condizione necessaria per l'industria assicurativa).
Profitto compagnia assicurativa Π = premio – risarcimento
Se l'individuo non subisce la perdita, il profitto è uguale al premio.
EΠ= P - ΠL0 profitto atteso
La compagnia deve proporre un premio P minore del premio massimo Pr.
In generale n individui con perdita L0 con probabilità Π (stessa per ciascuno), con stessa attitudine verso il rischio e stessa utilità, quindi stesso prezzo di riserva (Pr) vale che:
Π = nP – nrL0 = n[P – nr/nL0]
nr → numero di individui che hanno subito la perdita L0.
Per n sufficientemente alto, nr/n è molto prossima
Π con probabilità moltovicina a 1. Condivisione dei rischi La condivisione dei rischi indipendenti tra diversi soggetti comporta due tipi di vantaggi: da una parte si può fare in modo che una quota maggiore del rischio vada a ricadere sui soggetti meno avversi al rischio; dall'altra il rischio che ciascun individuo affronterà risulterà ridotto. Se l'individuo1 è avverso al rischio e l'individuo2 è neutrale nel complesso delle allocazioni efficienti tutto il rischio ricade sul so
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