Riassunto Statistica per le scienze economiche e sociali

Statistica parte teorica

Statistica descrittiva

Il significato di statistica

Si tratta di un insieme di metodologie che hanno come scopo la conoscenza quantitativa dei fenomeni collettivi. Lo studio dei fenomeni collettivi può essere svolto sull’intera collettività, oppure solo una sua parte. Se si utilizzano informazioni su una parte per trarre conclusioni o deduzioni sull’intera collettività, il campo della statistica è chiamato statistica inferenziale o inferenza statistica. Al contrario, la statistica descrittiva ha come oggetto la semplice descrizione quantitativa delle caratteristiche di una collettività, sia essa intera o parziale.

L'importanza di impostare correttamente un’indagine statistica

Per ottenere risultati affidabili occorre seguire procedure rigorose e controllare (limitare) i fattori di disturbo dell’indagine. Occorre soprattutto partire da un’ottica corretta e non distorta (Es. se si effettua uno studio su due gruppi di soggetti, per ottenere risultati comparabili è necessario che le caratteristiche dei due gruppi siano corrispondenti e comparabili).

Un caso significativo

• Per verificare l’effetto di un farmaco, non dovrebbero essere i pazienti a scegliere il gruppo in cui ci sarà il trattamento di quel farmaco o quello in cui non ci sarà (di trattamento o di controllo)
• Si avrebbe il rischio di una sproporzione di pazienti più attivi, meno rassegnati, più attenti, più consapevoli nel gruppo di trattamento
• Occorre un esperimento controllato, dove è la casualità statistica a stabilire chi farà parte del gruppo dei due gruppi
• Conviene utilizzare anche dei placebo, e sia i pazienti, sia i medici dovrebbero essere all’oscuro del gruppo di appartenenza

Metodi di ricerca e distorsioni

Per conoscere la propensione alla lettura da parte di un campione di giovani rappresentativo di tutta quella fascia di età, non si dovrebbero scegliere gli intervistati all’interno di una biblioteca. Se un campione deve essere rappresentativo di una popolazione, non ci si dovrebbe affidare ad un metodo di indagine che si caratterizza per un tasso di risposta dell’1%.

Alcune definizioni

• Popolazione statistica: la popolazione statistica è l’oggetto di un’indagine, l’insieme degli elementi che ci interessano ai fini dell’indagine (es. tutti i visitatori di una fiera).
• Unità statistiche: sono i singoli elementi che compongono la popolazione statistica (i singoli visitatori).
• Fenomeni statistici: sono le caratteristiche rilevate per ogni unità statistica (es. tipologia di visitatori); si distinguono in fenomeni qualitativi (espressi con parole o concetti) e fenomeni quantitativi (in numeri).
• Modalità: Sono i diversi valori che può presentare un fenomeno (es. riguardo alla tipologia di visitatore: italiano o straniero; appartenente ad un settore industriale o terziario, ecc.).

I fenomeni qualitativi si suddividono in ordinali e nominali:

• Fenomeni ordinali: fra le modalità si può stabilire un ordine logico (crescente o decrescente): per esempio, livello di accordo con la depenalizzazione del suicidio.
• Fenomeni nominali: fra le modalità non si possono instaurare relazioni di graduatoria di superiorità o inferiorità; si possono instaurare solo relazioni di uguale o diverso (es. tipologia di negozio preferito—> non c’è un ordine logico tra supermercato, ipermercato, mercato del contadino, ecc. —> non posso quindi instaurare relazioni di graduatoria di superiorità o inferiorità, ma solo di relazioni di uguale o diverso).

Spesso, per praticità di elaborazione, si attribuiscono codifiche numeriche alle diverse modalità dei fenomeni qualitativi, che ovviamente rimangono qualitativi: si tratta infatti di dati che non provengono da operazioni di misurazione o di conteggio, ma da una codifica.

I fenomeni quantitativi presentano modalità espresse con numeri, che derivano da un’operazione di misura o di conteggio.

• Fenomeni discreti: le modalità sono costituite da un numero finito di valori, che possono variare tra loro solo per un ammontare fisso (es. studenti di un comune); le modalità possono essere poste in corrispondenza con un sottoinsieme dei numeri interi.
• Fenomeni continui: la scala delle possibili modalità è continua: il numero delle modalità è teoricamente infinito (le modalità possono differire tra loro per entità variabili). Le modalità con cui si possono esprimere questi fenomeni continui sono corrispondenti ad un sottoinsieme dei numeri reali e non più di numeri interi (es. distanza tra luogo di lavoro e residenza dell’acquirente).

Le misure di posizione, di variabilità e di concentrazione

Misure di posizione

Il calcolo di una media

La media ha lo scopo di rappresentare con un solo indicatore un insieme di dati, evidenziando quindi l’ordine di grandezza. Le medie possono essere distinte in:

• Medie ottenute in base ad un vincolo analitico
• Medie che fanno riferimento alla posizione dei valori

Le medie analitiche si basano su fenomeni quantitativi e sono: media aritmetica, geometrica, quadratica, ecc.; le medie di posizione sono: mediana (su fenomeni quantitativi e qualitativi ordinali) e la moda (su tutti i fenomeni).

Le medie analitiche

Il calcolo di una media analitica consiste nel determinare un’opportuna operazione che viene applicata all’insieme dei valori. È importante individuare l’operazione più opportuna per la specifica situazione.

Le principali medie analitiche

• Media aritmetica (l’operazione è la somma dei valori):
• Media aritmetica semplice
• Media aritmetica ponderata
• Media geometrica (l’operazione è il prodotto dei valori)
• Media quadratica (l’operazione è il quadrato dei valori)

La media aritmetica

La media campionaria si indica con X. La media della popolazione si indica con μ. In tanti casi, per indicare in modo generico la media aritmetica, si utilizza M.

La media aritmetica semplice

Si ottiene facendo la somma dei valori e dividendo il risultato per il numero dei valori.

La media aritmetica ponderata: quando viene utilizzata

Quando i dati sono presentati in una distribuzione di frequenze, dove a ogni modalità corrisponde una certa numerosità di unità statistiche (pesi). In generale, quando si ritiene utile (o necessario) ponderare i valori con un opportuno sistema di pesi, in quanto è ragionevole dare ad ogni valore un proprio livello di importanza. Si ottiene facendo la somma dei prodotti con il relativo peso (p) divisa per la somma dei pesi.

Esempio di media aritmetica ponderata
Numero di acquirenti di un servizio per durata del processo decisionale in minuti

(221*17,7)+(215*11,0)+(193+4,5)+(160*9,9)+(202*4,2)+(204*7,8)/ 17,7+ 11,0+ 4,5 +9,9 +4,2 +7,8= 111668,8/55,1=202,70 km/h della velocità del vento —> L’insieme del paese considerato ha fatto riscontrare una velocità media del vento di 202,70 km/h

Proprietà della media aritmetica

• La media di un gruppo di valori è sempre compresa tra il valore minimo e quello massimo.
• La somma degli scarti della media è sempre pari a zero.

Media quadratica

La media quadratica è utile quando ci sono valori negativi e valori positivi, che darebbero una media aritmetica molto prossima allo zero. La media quadratica è maggiore o uguale alla media aritmetica. L’obiettivo è quello di ottenere la media dell’entità prescindendo dal segno —> va bene se chiede solo l’entità media del valore assoluto. Se invece si vuole avere una media effettiva che considera anche il segno della media (sapere se sono sopra o sotto lo zero) allora devo fare una media aritmetica.

Per calcolarla si segue la seguente procedura:

• Si alzano al quadrato i valori
• Si calcola la media dei quadrati
• Si estrae la radice quadrata di questa media

rms = √[Σ(x_i) / n]²

Esempio di media quadratica

- Dati di partenza: precipitazioni piovose a Bombay. Il risultato indica che lo scostamento medio della pioggia caduta rispetto alla media di tutti i giorni è di 107,6 millimetri.

Le medie di posizione

La moda

La moda (Mo) è la modalità alla quale corrisponde la massima frequenza. La moda è interessante quando N è piuttosto elevato e quando una modalità ha frequenza molto più elevata delle altre frequenze.

La mediana

La mediana di N osservazioni di un fenomeno quantitativo oppure qualitativo ordinale, è la modalità che nella successione dei valori, ordinati in senso crescente, occupa il posto centrale. È preceduta dal 50% dei valori, è seguita dal restante 50% dei valori (es. se dico il reddito mediano della famiglia italiana è di 18.000€ all’anno significa che metà famiglie ha un reddito fino a 18.000€, l’altra metà ha un reddito maggiore o uguale di 18.000€).

Per calcolare la mediana per prima cosa occorre mettere in ordine crescente i valori, dopodiché:

• Se il numero di unità è dispari si avrà una sola mediana e si identifica con n+1/2
• Se invece le unità sono pari le mediane saranno in corrispondenza del valore centrale successivo. Si identificano facendo n/2 e (n/2)+1

La mediana corrisponde ad un valore, non a un nome (Es. se ho 9 studenti e li ordino in base alla loro statura, vado a cercare la mediana: arrivo al quinto studente —> la mediana non è il nome del quinto studente ma la sua statura). Relativamente alla classificazione trofica, la mediana è la modalità mediocre, in quanto è quella che sta in mezzo —>(8/2)=4 e (8/2)+1= 5. Quindi il quarto e il quinto valore sono Marina di Ravenna, la cui mediana è mediocre e Lido Adriano, la cui mediana è mediocre.

Per quanto riguarda la temperatura, le mediane sono 16,4 e 16,5. Per quanto riguarda il Ph occorre prima ordinare le unità statistiche in ordine crescente in base ai valori e la mediana è 8,27. Quando la mediana è espressa con due valori mediani è possibile o calcolarne una media, oppure tenere tali e quali i due valori.

1) Ordino i valori: 35, 40,46,54,62. 2) Essendo 5 valori si fa: 5+1/2=3. Quindi la mediana per il numero di promozioni sarà 46.

Per quanto riguarda l’entità delle promozioni si riordinano i valori e si calcolano poi la mediana, in questo caso la mediana sarà “MEDIA”.

In questo caso le unità statistiche sono gli acquirenti, mentre i valori sono i minuti ed è ciò di cui voglio trovare la mediana. In questo caso i valori sono già ordinati. Le unità statistiche sono 500. Le unità sono pari, quindi si procede così: 500/2= 250 e (500/2)+1= 251. Occorre trovare quindi il 250° e il 251° acquirente —> i primi acquirenti sono 71, e non bastano, quindi aggiungo i 77 del secondo gruppo ma arrivo a 148 e non basta comunque, aggiungo i 98 del terzo gruppo e arrivo a 246 ma non basta ancora, quindi aggiungo anche il quarto gruppo e arrivo a 334. Quindi il 250° e il 251° acquirente sono entrambi nel gruppo degli 88 acquirenti che hanno indicato 4. Quindi la mediana è 4.

Posso trovare la mediana anche lavorando in valori percentuali su 500:

• Calcolo % di 71 su 500= 14,2%
• Calcolo % di 148 su 500= 29,6%
• Calcolo % di 246 su 500= 49,2%

Vado avanti così: la classe che mi fa arrivare e superare il 50% è quella che contiene le unità statistiche il cui valore è il valore mediano —> supero il 50% con gli 88 acquirenti che hanno evidenziato un valore di 4 —> mediana pari a 4.

Media e mediana nelle distribuzioni asimmetriche

Nella distribuzione di una popolazione o di un campione, la media non separa in due parti uguali le unità statistiche (tranne quando la media coincide con la mediana). La media risente del fatto che alcuni valori siano molto distanti dalla media stessa, mentre la mediana non ne risente. Se una coda della distribuzione dei valori è molto allungata, la media è spostata verso questa coda, in confronto alla mediana, la quale non dà così importanza ai valori estremi della distribuzione.

• Asimmetria negativa: coda pronunciata verso sinistra, quindi maggiore concentrazione verso le modalità maggiori
• Asimmetria positiva: coda pronunciata verso destra, quindi maggiore concentrazione verso le modalità minori

Esempio di distribuzione asimmetrica positiva: distribuzione degli studenti sufficienti per voto ottenuto nel modulo “analisi della varianza nei processi industriali”. In questo caso ho una coda verso destra —> ho una gran parte di studenti che si colloca su voti medio bassi o bassi, ho però un frangia poco rilevante in termini numerici di studenti con voti particolarmente alti. L’esistenza di studenti con voti particolarmente alti fa sì che la media più elevata rispetto alla mediana in quanto risente di questi valori particolarmente alti.

I percentili

Il percentile di ordine p (100p) è il valore Xp che divide in due parti la distribuzione ordinata, in modo che il p% dei valori sia prima di Xp. (ES. Il primo percentile è il valore in corrispondenza del quale si raggiunge l’1% delle unità. Il decimo percentile è il valore in corrispondenza del quale si raggiunge il 10% delle unità.

I percentili: casi particolari

Il cinquantesimo percentile corrisponde alla mediana, il decimo percentile corrisponde al primo decile, il ventesimo percentile al secondo decile, ecc. il venticinquesimo percentile corrisponde al primo quartile (Q1), il settantacinquesimo percentile corrisponde al terzo quartile (Q3). Un quartile corrisponde al 25% del totale, quindi 25-50-75-100.

Una applicazione: rilevazione del fosforo reattivo alla stazione di Cattolica su 365 giorni (mg/mc)

Come si interpretano?

• Il 3% delle rilevazioni ha un valore minore o uguale di 1,89
• Il 10% delle rilevazioni ha un valore minore o uguale di 1,97
• Il 5% delle rilevazioni ha un valore maggiore o uguale di 4,62
• Qual è la % delle rilevazioni che hanno dato un valore minore o uguale al 3,51? Il 75%.
• Qual è il valore corrispondente al primo 25% di stazioni? Ha un valore inferiore o uguale a 2,43.
• Qual è la percentuale di rilevazioni ha hanno un valore compreso tra 1,97 e 4,62? L’85% —> 1,97 è il decimo percentile, quindi significa che il 10% di rilevazioni ha mostrato un valore inferiore o uguale ad 1,97. 4,62 è il 95° percentile, quindi significa che l’ultimo 5% di rilevazioni ha messo in evidenza un valore maggiore o uguale a 4,62, per cui si toglie il primo 10% e l’ultimo 5% e significa che rimane l’85% delle rilevazioni.
• Una rilevazione che ha fatto rilevare un valore = 1,91 è in corrispondenza del percentile? Approssimativamente il quinto.

Le misure di variabilità

Il significato di variabilità

Una media sintetizza un gruppo di dati in un unico valore; questa operazione comporta tuttavia una perdita di informazioni. Due campioni possono fare riscontrare la stessa media, pur a fronte di situazioni molto diverse. Le misure di variabilità sono indicatori in grado di valutare in modo sintetico le differente tra i valori di un gruppo di dati.

• Non assumono mai valori negativi.
• Sono pari a zero se il fenomeno non presenta variabilità.
• Presentano valori crescenti all’aumentare della variabilità.

Il campo di variazione (range)

Il campo di variazione è la differenza tra il valore massimo Xmax e il valore minimo Xmin tra quelli osservati: Xmax - Xmin. Ha il difetto di tenere conto soltanto dei valori estremi, non essendo sensibile alle modificazioni nei valori intermedi (che alterano comunque la variabilità globale).

La deviazione standard o scarto quadratico medio

La deviazione standard si basa sugli scarti tra i singoli valori e la loro media aritmetica: X_i - M. Non sarebbe possibile utilizzare la media aritmetica degli scarti, poiché la loro somma algebrica è sempre nulla. Si può invece impiegare la media dei quadrati degli scarti (rms).

Simbologia

• La deviazione standard campionaria si indica con s; la deviazione standard della popolazione si indica con σ; spesso, per indicare in modo generico la deviazione standard, si utilizza SD.

SD: il calcolo

• Si dice deviazione standard la media quadratica degli scarti di ogni valore dalla media aritmetica.
• SD: √[Σ(x_i - M)²/n]
• La deviazione standard è espressa nella stessa unità di misura dei valori del fenomeno.
• Il numeratore che si trova sotto la radice quadrata, ossia Σ(x_i - M)², è chiamato devianza.

Si calcola partendo dallo scarto, ossia ogni valore meno la media (M) e si eleva al quadrato. Si ripete il procedimento per tutti i valori per poi fare la somma dei quadrati, i quali andranno poi divisi per il numero dei valori considerati. A questo punto abbiamo trovato la varianza. Risolviamo la radice quadrata e otteniamo la deviazione standard, la cui unità di misura è la stessa del fenomeno che stiamo analizzando. La deviazione standard si calcola facendo la media quadratica degli scostamenti di ogni valore dalla media aritmetica —> quindi è uguale alla radice quadrata della media dei quadrati degli scostamenti —> prendo ogni...