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N FATTORIALEN!
Si legge n fattoriale ed è il prodotto di: n * (n-1) * ... * 2 * 1 (0! = 1)
La formula può essere anche scritta come:
IL COEFFICIENTE BINOMIALE
La parte della formula è il coefficiente binomiale che esprime le diverse maniere in cui possono essere ripartiti i k successi negli N tentativi, ossia identifica il numero di modi in cui si possono ordinare n soggetti in una sequenza, con k soggetti di un tipo ed n-k soggetti dell'altro tipo.
Ad esempio, se estraggo 8 studenti e voglio capire qual è la probabilità di estrarre 3 maschi e 5 femmine, tutti gli abbinamenti possibili si ottengono con il coefficiente binomiale, che in questo caso sarà: 8! / (3! * 5!) - si ottiene il numero di ordinamenti possibili di 5 femmine e 3 maschi.
TRATTAMENTO TERAPEUTICO
Un trattamento terapeutico porta ad un 75% dei casi di successo e ad un 25% di insuccessi. Sui prossimi 15 trattamenti, qual è la probabilità che esattamente 12 portino ad un
risultato positivo?15!/12!*3!* (0,75)^12* (0,25)^3= 0,2252
La probabilità cercata quindi è pari al 22,52%
INADEMPIENZE
Su 120 aziende analizzate, 108 sono risultate regolari in riferimento ad un determinato adempimento normativo, 12 sono invece risultate inadempienti. Assumendo che queste proporzioni siano valide anche per l’intera popolazione delle azienda da cui è stato estratto il campione di 120 unità, quale è la probabilità di ottenere esattamente 5 aziende inadempienti su 20 esaminate?
20!/5!*(20-5)! * (1/10)^5 * (9/10)^15 = 0,0319 —> la probabilità cercata è quindi pari al 3,19%
1/10—>10% —> probabilità di ottenere un’azienda inadempiente ad ogni estrazione —>12/120
9/10—>90% —> 108 aziende regolari su 120 analizzate—> elevato alla 15 perchè sono 15 aziende regolari su 20
ECO-CONTRIBUTO
I produttori di apparecchiature elettriche ed elettroniche
Le imprese iscritte al repertorio RAEE hanno la possibilità di applicare in modo visibile al consumatore il sovrapprezzo corrispondente all'eco-contributo per il finanziamento dei rifiuti elettronici. Il 20% dei produttori sfrutta questa possibilità.
Quale è la probabilità che su 8 apparecchi acquistati, meno di 3 abbiano esposto l'applicazione del sovrapprezzo in modo visibile? Meno di 3 significa esattamente 2, esattamente 1 o esattamente 0, quindi bisogna applicare 3 volte la distribuzione binomiale:
2: C(8,2) * (0,20)^2 * (0,80)^6 = 0,2936 - probabilità di avere esattamente 2 casi su 8
1: C(8,1) * (0,20)^1 * (0,80)^7 = 0,3355 - probabilità di avere esattamente 1 caso su 8
0: C(8,0) * (0,20)^0 * (0,80)^8 = 0,1677 - probabilità di avere esattamente 0 casi su 8
La probabilità cercata è quindi pari al 79,68%.
LA DISTRIBUZIONE DI POISSON
LE CONDIZIONI PER
L'applicazione 41 Questa distribuzione rappresenta il limite a cui tende una distribuzione binomiale, quando la probabilità P di un evento è molto bassa e contemporaneamente la grandezza del campione N è piuttosto alta. Alcuni studiosi fissano le condizioni per passare dalla distribuzione binomiale a quella di Poisson in N ≥ 50, p * (1-p) quasi uguale a p, n* p ≤ 10. Applica quindi al posto della distribuzione binomiale per la descrizione di eventi discreti che hanno una probabilità molto ridotta di realizzarsi. La distribuzione di Poisson è infatti detta legge degli eventi rari. UN ALTRO CASO DI APPLICAZIONE Un altro caso di applicazione della distribuzione di Poisson corrisponde all'obiettivo di rettificare il numero di successi (si parla sempre di fenomeni discreti) in un determinato intervallo continuo, come è il tempo, la superficie o il volume. Per esempio, il numero di clienti che si presentano in una determinata classe, ilNumero di esemplari di pesci luna presenti in un determinato volume di acqua, ecc.. ƛ (LAMBDA) ƛ. ƛIl valore atteso di questa distribuzione è indicato con è il numero di successi che ci si aspetta in un dato intervallo. Per esempio, se un evento si verifica con una cadenza media di 4 minuti e si vuole sapere quante volteƛ ƛ, questo evento si potrà verificare in 10 minuti, il valore di sarà 10/4=2,5 —> 1:4=1:10. Al crescere di la distribuzione di Poisson si approssima con una distribuzione normale.
L'APPROSSIMAZIONE ALLA NORMALE Più è piccolo il valore atteso che ci si può aspettare, maggiore è la differenza tra la distribuzione poissoniana e quella normale.
TAVOLE DELLA DISTRIBUZIONE DI POISSON ƛ, Sull'intestazione di colonna c'è il lambda ovvero il valore atteso. Se dalla proporzione risulta un lambda pari a 0,55 si approssimerà a 0,6, se risulta 0,54 si approssimerà a 0,5.
Nell'intestazione diriga c'è K, ovvero il contenuto delladomanda a cui si deve rispondere (ES: Unevento si verifica in media ogni 4 minuti, il valore atteso per i prossimi 10 minuti è 2,5. La probabilità che non entri nessuno, a fronte di un'aspettativa ragionevole di 2,5, è pari a 0 --> quindi k=0; Se chiudo lo sportello per 10 minuti, quale sarà la probabilità che in quei 10 minuti entrino 10 persone? Me ne aspetto 2,5ƛ=2,5 in media --> guardo la tabella e quindi uso e k=5). Nella parte centrale dalla tabella ci sono le probabilità. 2,5 si arrotonda a 2,6. La corrispondenza con k=5 è 0,0735 --> 7,35% --> 7,35% di probabilità che arrivino 5 clienti a fronte di un'attesa di 2,542. INFRAZIONI STRADALI Ipotizziamo che lungo un importante strada statale, nell'ultimo mese si sia verificata in media un'infrazione grave al codice della strada per KM. Immaginando che le condizioniche su 1000 prodotti si verifichino almeno 4 casi di difettosità?ƛ=5Cerco la corrispondenza tra k>=4 e —> 0,2642 —> 26,42%che si verifichino più di due casi di difettosità? Conviene ricorrere all'evento complementare. --> qual è la probabilità che si verifichino 3, o 4 o 5 o 6 casi di difettosità, ecc.. --> conviene calcolare la probabilità dell'evento contrario --> probabilità che si verifichino 0 o 1 o 2 casi di difettosità --> lambda rimane sempre pari a 3, mentre per k si cerca 0,1,2 --> 0,0498+0,1494+0,2240 = 0,4232 e si calcola la differenza rispetto al 100% --> 100%-42,32%= 57,68% GIORNI FAVOREVOLI ALL'ACCUMULO DI PM10 I giorni critici favorevoli all'accumulo di PM10, sono quelli caratterizzati da precipitazioni inferiori a 0,3 mm e indice di ventilazione (prodotto dell'altezza di rimescolamento media per velocità media del vento) inferiore a 2800 m/s. Negli anni precedenti, si sono rilevati in una determinata area in media 4 giorni critici nell'intero corso.dell'anno. Quale è la probabilità che nei prossimi 2 anni si verifichino 11 giorni critici? ƛ=8; k=11. La probabilità cercata è pari al 7,22%.
IL RECUPERO DELLE CAVE
Nelle ex-cave in fase di recupero territoriale, lo sviluppo di biossido di carbonio superiore ad una soglia di pericolosità avviene, secondo esperienze pregresse, in 2 rilevazioni su 100 mq di territorio. Qual è la probabilità che su 300 mq di intervento, si verifichino 5 rilevazioni caratterizzate da pericolosità? ƛ=6). ƛ=6 → R.: = 0,1606 → 16,06% (k=5; se mi aspetto 2 rilevazioni su 100 mq, me ne aspetterò 6 ogni 300mq.
Qual è la probabilità che su 300 mq di intervento, si verifichino più di 2 rilevazioni caratterizzate da pericolosità? ƛ=6 e K= 2 o 1 o 0 → 0,0025+0,0149+0,0446 = 0,062 → 6,2% → 100-6,2=93,8% R.: = 1-0,06243
LA DISTRIBUZIONE T DI STUDENT
LE SITUAZIONI DI
Un'altra importante legge o distribuzione di probabilità è quella di Student. Questa distribuzione riguarda il parametro t, ed è utilizzata in molti test statistici. In modo particolare, si deve ricorrere a questa distribuzione quando il campione è di dimensione limitata (N inferiore o uguale a 30), e previene da una popolazione distribuita normalmente, di cui però si ignorano i parametri. In questo caso, la distribuzione delle medie (o delle proporzioni) campionarie non segue la legge della distribuzione normale, ma quella della distribuzione t di Student. Quindi i requisiti sono: 1) la popolazione è distribuita normalmente; 2) il campione è piccolo (≤30); 3) ci sono dei parametri sconosciuti.
LA FORMA
La distribuzione di Student ha una forma a campana, come la normale, ma è più appiattita, quindi la sua dispersione è maggiore. La forma della distribuzione di t cambia al mutare dei gradi di libertà.
(GL).1) All'aumentare dei gradi di libertà, la distribuzione di t tende a coincidere con quella normale—> In altri termini, la deviazione standard in questo caso non è pari a 1, come per la distribuzione normale standardizzata, ma varia in funzione dei gradi di libertà.
2) Quando i gradi di libertà sono pari a 30, la forma della distribuzione di student arriva praticamente a coincidere con la forma della distribuzione normale.
3) Più è piccola la numerosità dei gradi di libertà, più la distribuzione t di student è diversa da quella normale
IL CONCETTO DI GRADI DI LIBERTÀ
Il numero di gradi di libertà (si indica con GL oppure con la lettera greca v- pronuncia NI) di un parametro statistico corrisponde al numero di valori, indipendenti tra loro, che devono essere utilizzati per calcolare quel parametro. (Es. se ho una sd di 4,5 e una media di 15 e un gruppo di 20 valori, posso ottenere questi
parametri con tante combinazioni di questi 20 valori
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