Riassunto esame Scienza delle Costruzioni, prof. Lenci

CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI

Un corpo rigido è un corpo i cui punti si mantengono sempre a distanza invariata!! Lunghezze, aree, angoli e volumi non variano!!

Cinematica del corpo rigido

Ἑ(r) = -R(1-cosϑ)ι̂ + Rsinϑ ĵ

Ipotesi: Si suppone di essere nell'ambito dei piccoli spostamenti e piccole rotazioni!!

Quindi (1-cosϑ)≈0 perché cosϑ→1 e Rsinϑ x Rϑ perché ϑ≈0

Ἑ(P) = Rθ ĵ → approssimazione tanto più corretta quanto ϑ→0

Ἑ(p) = Rθ x Α̂ × ι̂ = θ x Rι̂ \= θ x (P-O) a cui sommo la traslazione

Rigida è sempre Ἑ(P) = Ἑ(O) + θ x (P-O) → 6 gdl, cioè 3 traslazioni e 3 rotazioni

{u(p) v(p) w(p)} = {u(0) v(0) w(0)} + {0 -θz θy θz 0 -θx -θx θy 0} {x-x₀ y-y₀ z-z₀} {u(0) v(0) w(0)} + {θy(z₀-z) - θz(y₀-y) θz(x₀-x) - θx(z₀-z) + θx(y₀-y) - θy(x₀-x)} = {u(p) v(p) w(p)} = {u(0) v(0) w(0)} + {0 -θz θy θz 0 -θx -θx θy 0} {x-x₀ y-y₀ z-z₀} = {u(0) v(0) w(0)} + 0\ δz θy -θz} {x-x₀ y-y₀ z-z₀}

Sp(P) = S(0) + W(P-O) con W matrice antisimmetrica - W = WT

SPOSTAMENTI PIANI

Scegliendo ad esempio l'asse z, tutti gli spostamenti lungo esso sono nulli:

W(P)= W(0) + θx(y₀-y)-θy(x₀-x) = 0 ⟹ W(0)=0, θx=0 e θy=0!

S(P) = {u(0) v(0) 0} + {0 -θz 0 θz 0 0 0 0 0} {x₀-x y-y₀ z-z₀} = {u(0) v(0) w(0)}

Che necessita di 3 parametri liberi: 2 traslaz. e 1 rotazione

Vincoli

Un vincolo è un qualunque dispositivo meccanico che limita o elimina del tutto uno o più spostamenti.

Si indica con V=Vi+Ve (vincoli est+int) il grado di vincolo, cioè il numero di spostamenti impediti o limitati dal vincolo.

Vincoli esterni per spostamenti piani

1. Vincoli semplici → bloccano 1 solo spostamento (Ve=1): Carrello, pendolo e doppio pendolo;
2. Vincoli doppi → somma di 2 vincoli semplici, cioè bloccano 2 spostamenti (Ve=2): cerniera, cerniera impropria, pattino, manicotto e doppio pendolo → devono essere ben posti (assi mai coincidenti);
3. Vincoli tripli → somma di 3 vincoli semplici oppure 1 semplice e 1 doppio, cioè bloccano 3 spostamenti (Ve=3): incastro → devono essere ben posti.

Vincoli interni

I vincoli interni agiscono sugli spostamenti relativi tra due corpi di una medesima struttura → ogni vincolo esterno ha il suo corrispondente vincolo interno avente lo stesso grado di vincolo Vi.

Vincoli multipli

1. Per cerniera interna → Vi = 2(n-4)
2. Per cerniera a terra → Ve = 2n
3. Per carrello → Ve = 2n-1

Anelli chiusi

Levando vincoli interni ad un corpo rigido senza alterare la cinematica può essere un modo per capire il numero di vincoli sovrabbondanti.

LA * SUGGENSE DI RISOLVERE A PARTE I 3 PROBLEMI:

A₁ x₁ + p₁² = 0 E A₂ x₂ + p₂² = 0 E A₃ x₃ + p₃² = 0 E SOMMO LE 3 EQUAZIONI

ARRIVANDO AD AVERE Δ(x₁ + x₂ + x₃) + 1 + 1 + 1 = 0 CHE DAL CONFRONTO

CON DA * x_i = x₁ⁱ + x₂ⁱ + x₃ⁱ

TRAVI RIGIDE

TRAVE = SOLIDO GENERATO DA UNA FIGURA PIANA "S" (SEZIONE) CHE

SI MUOVE NELLO SPAZIO MANTENENDOSI SEMPRE ORTOGONALE

ALLA TRAIETTORIA "g" DESCRITTO DAL SUO BARICENTRO G: LA CURVA

G(s) È DETTA ASSE DELLA TRAVE E IN GENERALE NON È UNA RE TTA !

CORPO ESSENZIALMENTE MONODIMENSIONALE LA CUI LUNGHEZZA

È UN ORDINE DI GRANDEZZA MAGGIORE DEL DIAMETRO.

PRINCIPIO DELLE SEZIONI: SE SI CONSIDERA UNA TRAVE A CUI SONO APPLICATI

CERTI CARICHI NOTI E LE RISPETTIVE REAZIONI VINCOLARI, SE SI EFFETTUA

IDEALMENTE UN TAGLIO SU UNA RETTA PARALLELA ALLA SEZIONE "S₁", SI AVRANNO

2 PARTI CHE SOTTO L’EFFETTO DEI CARICHI NON SARANNO IN EQUILIBRIO;

QUESTO "FAO" È IN CONTRASTO CON L’ 2^o POSTULATO DELLA STATICA → SU

CIASCUNA DELLE 2 PARTI DEVONO AGIRE DELLE FORZE E DEI MOMENTI

TALE DA GARANTIRE L’EQUILIBRIO NEL PUNTO IN CUI SI È EFFETTUATO

IL TAGLIO → QUESTE FORZE SONO DETTE AZIONI INTERNE E LA

LORO ESISTENZA È UN POSTULATO!!!

CASO PIANO

• FORZA NORMALE POSITIVA SE TIRA LA PARTE SU CUI È APPLICATA;
• TAGLIO È POSITIVO SE TENE A FAR RUOTARE LA PARTE SU CUI AGISCE

IN SENSO ORARIO;

• MOMENTO POSITIVO SE STENDE LE FIBRE DI RIFERIMENTO.

PROBLEMA PIANO PER TRAVE RETTILINEA

{ N’ = -q

H =

H’ = T - C

{ T’ = -p

CON q = CARICHI DISTRIBUITI LUNGO

L’ASSE DELLA TRAVE, P = CARICHI

DISTRIBUITI PERPENDICOLARI ALL’ASSE

DELLA TRAVE E C = MOMENTI DISTRIBUITI

LUNGO L’ASSE DELLA TRAVE

I_xy = ∫ x²y dz = ∫ x (x_o sen α + y_o cos α) (y_o cos α - x_o sen α) dz = ∫ x y_o cos² α dz -

- ∫ x x_o sen α cos α dz + ∫ y_o x_o sen α cos α dz - ∫ y_o² sen α cos α dz - ∫ x y_osin α dz = cos² α I_xy

- sen α cos α I_x y_o + sen α cos α I_yo - sen α cos² I_xy

Detto il tensore d'inerzia è ^{^} = {cos α} ^{^} = {- sen α} {versori di X e Y:

• [ I_x I_xy ] I_x = ^{^}· J ^{^}, I_y = Ē· J Ē e I_xy = ^{^}· J Ē
• [ I_xy I_y ]

Direzione principale d'inerzia:

Sto cercando per quale valore di α, I_x è max o minimo

dI_x / dx = 2 cos α ( - sen α)(I_x - 2[( - sen α)(sen α) + (cos α)(cos α)]I_xy + 2 sen α cos α I_y = 0

- 2 cos α sen α I_x + 2 sud α cos α I_y + 2 sen² α I_xy - 2 cos² α I_xy = 0

sen² α (I_y - I_x) + (1 - cos 2α)I_xy ([ +

sen 2α] I_y = 0

sen² α (I_y - I_x) - 2α cos 2α I_xy = 0 sen 2α (I_y - I_x) = cos 2α (2 I_xy)

tg 2α = 2 I_xy / I_y - I_x → 2 soluzioni che differenziano x π/2

Cinematica dei Corpi Deformabili

Spostamenti Congruenti

1. Un punto non può finire in 2 punti, altrimenti ci sarebbe l'creazione di materia → s(p) funzione in senso matematico
2. 2 punti distanti non possono congiungersi in 1 solo, altrimenti ci sarebbe distruzione di materia → s(p) funzione biunivoco
3. 2 punti vicini devono rimanere comunque vicini nel codominio → s(p)
4. L'immagine di un segmento interno al corpo non deve avere spigoli → S(p)

Voglio trovare _En e _En al variare di ^n̅:

  ʸn̅ · ε ʸn̅ = {^{nx ny nz}} { ε_x ^dxy_ny + ^dxz_n2 | ^dxy_nx ^εy + ^dyz_nz | ^dxz_nx ^dyz_ny ^εz } {^{nx ny nz}} =

= ^{nx^2} ε_x + ^{nx ny} dxy ₊ ^dxz n2 + dxy_n2 nx + ^{ny^2} ε_y + ^dyz n_ny + ^dyz n₂ nx +

+ ^dzx n_ny nx + ^{n^2} z ε_z = ʸn̅ (nx, ny, nz) limitata a ^{n_x^2} + ^{ny^2} + ^{nz^2} = 1

Uso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange:

f(nx, ny, nz) = ^En (nx, ny, nz) - λ(^{n_x^2} + ^{ny^2} + ^{nz^2} - 1)

∂f / ∂nx = 2 n_x ε_x + ^dyz ny + ^dxz n2 + ^dyz ny + ^dzx n2 - 2 λ^nx ε_x + ^dyz ny + ^dzx ny - 2 λ^n_x = 0

∂f / ∂ny = ^dxy n_x + 2 ny ε_y + ^dyz nx + ^dxz n_ny + ^dyz ny + 2 ny ε_y + ^dyz nx + ^dyz ny + 2 λ^nyvy + ^dyz ny + 2 ny ε_ny + ^dzx ny - 2 λ^ny = 0

∂f / ∂nz = ^dxz nx + ^dyz ny + ^dzx n_nz + n^{2 dxz} ny + 2 λ^dzx ny + ^dzx n_nz + 2 ε_z n2 λx - 2 λnx + ^dzx nz - 2 λnx + 2 ε_z

n_x ε_x + dxy n_ny + dxz n2 = λ^nx

n_y ε_ny + dxy n_y + dxz n2 = λ^nx

dzx n2 + dxz n_ny + dzx x = λ^nz

^ε_x nx + ^dxy nx + dxz n_ny + dzx n_ny +

dxz nx + ε_z nx = λ^nx

dzx₂ n₂ + ^dxz n_ny + ε₂ n₂ = λ^nz

ovvero il problema agli autovalori

Statica dei corpi deformabili

Si considera un corpo deformabile sottoposto a dei carichi e in equilibrio;

Si effettua un generico taglio e si mette in equilibrio le due parti dal

principio delle sezioni di Eulero; si consideri ora un punto P e il

generico intorno nel punto AS in cui i due corpi si scambiano le forze

misurini: F ė H sono funzioni di AS perché variano al variare di AS.

Si può pensare allora ai 2 limiti:

• * ^lim f(AS) _AS→0 = ^lim
• h(AS) _AS→0 → Cauchy ipotizzo che:

1. Il limite esiste ed è finito → ž_n̅ (n) = vettore tensione;