Riassunto esame Scienza delle Costruzioni, prof. Lenci

Cinematica nei corpi rigidi

Un corpo rigido è un corpo i cui punti si mantengono sempre a distanza invariata → lunghezze, aree, angoli e volumi non variano!

Cinematica del corpo rigido

(Disegno di un diagramma)

ś(r) = -R(1-cosΘ)i + RmBΘ j

Ipotesi: si suppone di essere nell’ambito dei piccoli spostamenti e piccole rotazioni!

Quindi (1-cosΘ) ≈ 0 perché cosΘ ≈ 1 e RmB ≈ RB perché m/B ≈ 0

ś(P) = Roiĵ → approssimazione tanto + corretta + quanto + Θ → 0

ś(P) = RoR x̂î → ΘR xḉ = Θ x̂ (P-O)

A cui sotto la traslazione rigida da ś(P) = ś(O) + Θx (P-O) = 6 gdl, cioè 3 traslazioni e 3 rotazioni

(Matrice)= {u(0)} {w(0)} + {0 -Θz Θy} {xP-xO} {u(O)} ΘxP-xO |{v(0)} { + Θz 0 -Θx } { yP-yO } {u(O)} - Θz (yP-yO) {w(0)} { -Θy Θx 0 } { zP-zO } {w(0)} + Θy (xP-xO) = s(P) = s(O) + W (P-O) con W matrice antisimmetrica - W = W^t

Spostamenti piani

Scegliendo ad esempio l'asse z, tutti gli spostamenti lungo esso sono nulli:

w(P) = w(O) + Θx (yF-yO) - Θy (xF-xO) =*

⇒ w(O) = 0, Θx = 0 e Θy = 0!

s(P) = {u(O)} + {0 -Θz 0} {xP - xO} = {u(O)} + {-Θz (yP - yO)}{v(O)} { + Θz 0 0 } { yP-yO } { v(O)} { Θz (xP-xO) }{w(O)} { 0 0 0 } { zP-zO } { w(O)} { 0 }

Che necessita di 3 parametri liberi: 2 traslaz. e 1 rotazione

Un corpo rigido è un corpo i cui punti si mantengono sempre a distanza invariata → lunghezze, aree, angoli e volumi non variano!

Cinematica del corpo rigido s(r) = -R(1-cosΘ)i + RsinΘ j

Ipotesi: si suppone di essere nell'ambito dei piccoli spostamenti e piccole rotazioni!

Quindi (1-cosΘ)≈0 perché cos≈1 e sinΘ ≈ Θ perciò sinΘ ≈ 0

s(P) = RΘ j → Approssimazione tanto + corretta quanto + Θ → 0

s(P) = RΘ k ×x = RΘ(xP-xO)

Rigida quindi s(P) = s(O) + Θ×(xP-xO) = 6gl, cioè 3 traslazioni e 3 rotazioni

({u(O)v(O)0})+{0-Θz0Θz00000}{xP-xOyP-yOzP-zO}= ( {u(O)v(O)0} + ( {0-Θz0}{Θz00}{0Θx0})

Che necessita di 3 parametri liberi: 2 traslaz. e 1 rotazione

Vincoli

Un vincolo è un qualunque dispositivo meccanico che limita o elimina del tutto uno o più spostamenti.

Si indica con V = VE + VI (vincoli esterni + interni) il grado di vincolo, cioè il numero di spostamenti impediti o limitati dal vincolo.

Vincoli esterni per spostamenti piani

1. Vincoli semplici - Bloccano 1 solo spostamento (VE=1): Carrello, pendolo e doppio pendolo;
2. Vincoli doppi - Somma di 2 vincoli semplici, cioè bloccano 2 spostamenti (VE=2): cerniera, cerniera intrapolia, patino, manicotto e doppio pendolo - devono essere ben posti (assi mai coincidenti);
3. Vincoli tripli - Somma di 3 vincoli semplici oppure 1 semplice e 1 doppio, cioè bloccano 3 spostamenti (VE=3): Incastro - devono essere ben posti.

Vincoli interni

I vincoli interni agiscono sugli spostamenti relativi tra due corpi di una medesima struttura - ogni vincolo esterno ha il suo corrispondente vincolo interno avente lo stesso grado di vincolo VI.

Vincoli multipli

1. Per cerniera interna - VE = 2 (N-4)
2. Per cerniera a terra - VE = 2N
3. Per carrello - VE = 2N-1

Anelli chiusi

Levando vincoli interni ad un corpo rigido senza alterare la cinematica può essere un modo per capire il numero di vincoli sovrabbondanti.

Levo l'incastro in A oppure levo un vincolo per volta.

Classificazione cinematica

n -> Numero di corpi rigidi

L -> GDL della struttura senza vincoli, nel piano L=3n

V_e -> Grado di vincolo esterno totale

V_i -> Grado di vincolo interno totale

V = V_e + V_i

V_e,a ≠ i ➔ Alcuni vincoli sono efficaci e altri non lo sono

ℓ -> Numero di GDL effettivi della struttura