Riassunto Meccanica Razionale, prof. Demeio

MOMENTI

• Momento polare:

Ḣ(0) = (A - O) × Ṫ = (A - O) × (B - A)

Legge di variazione del momento al variare del polo:

Ḣ(0’) = (A' - O’ + O - O’)₀ × (B - A) = (A - O) × (B - A) + (O - O’) × (B - A) =

​   = Ḣ(0) + (O - O’) × (B - A)

• Momento assiale:

M_y = H(0)∙ê

E Ḣ’ = Ḣ(0’) ∙ ê = H(0)∙ê + (O - O’) × (B - A)∙ê = H(0)∙ê ≅ H_y

Perché (O - O’) × (B - A)∙ê = ê × (O - O’) ∙ (B - A) e ê ⊥ (O - O’)

• Sistemi di vettori applicati:

U_c= { (A_i, Ṫ_i) }_{i n} ⇌ Ṙ = ΣṪ_i

Ḣ(0) = Σ Ḣ_i(0) = Σ [ (A_i - O) × (B_i - A_i) ]

Ḣ’(0) = Σ Ḣ_i(0’) = Σ [ (A_i - O + O - O’) × (B_i - A_i) ] = Σ [ (A_i - O) × (B_i - A_i) +

​   (O - O’) × (B_i - A_i) ] = H(0) + (O - O’) × Ṙ

Momento risultante invariato quando (O - O’) || Ṙ o quando Ṙ = 0

​   Se Ṙ≠0 e H(0) = 0 ⟹ sistema equilibrato

• Asse centrale:

Ipotesi: Sistema di vettori applicati ⟶ Ṫ, Ṙ, R ≠ 0

tesi: ∃ Ω: Σ Ḣ_i(Ω) = Ḣ(Ω) ≡ Ṙ || Ḣ(Ω) (Il punto non è unico)

Dimostrazione:

Fisso O nello spazio; sia Ḣ(0) = Ḣ_Ω(0) + Ḣ_M(0)

​   Esistono sempre λ e μ (scalari) tali che:

Ḣ(0) = Ḣ_Ω + μ(O - Ω) × Ṙ, quindi:

Ḣ(0) = Ḣ_Ω + μ (O - Ω) × Ṙ e posso scegliere Ω = Ω_L

​   cioè Ḣ(Ω_L) = Ḣ_M(Ω_L) allora c’è almeno un punto

​   per il quale vale Ṫ(Ω_L) || Ṙ

Sia ora Ω = Ω_L + λ · Ṙ ⟹ M(λ) = M(Ω_L) + (Ω_L - S_L) × Ṙ

​   R⊥ = M(Ω_S) - λ Ṙ × Ṙ = M(S_L)

​    quindi anche Ḣ(Ω_L) || Ṙ ➔ Ω_L = S_L + λ Ṙ ∉ detta passante per Ω_L e

​   parallela a Ṙ

Orale Meccanica Razionale

Momenti

• Momento Polare:
  • 𝓱(O) = (A - O) × U₁ = (A - O) × (B - A)
  Legge di variazione del momento al variare del polo:
  • 𝓱(O') = (A - O') × (B - A) = (A - O + O - O') × (B - A) = (A - O) × (B - A) + (O - O') × (B - A) =
  • 𝓱(O) + (O - O') × (B - A)
• Momento Assiale:
  • M_V = M(O) · ê
  • E M_V' = M(O') · ê = M(O) · ê + (O - O') × (B - A). ê = M(O) · ê ≅ M_V
  • Perché (O - O') × (B - A) · ê ≅ ê|| (O - O')
• Sistemi di Vettori Applicati:
  • U = {(A_i,U_i)}₁^N → Ř = Σ Ů_i
  • 𝓱(O) = Σ M_i(O) = Σ [(A_i - O) × (B_i - A_i)]
  • 𝓱(O') = Σ M_i(O') = Σ [ (A_i - O + O - O') × (B_i - A_i)] = Σ [(A_i - O) × (B_i - A_i)] +
  • Σ [(O - O') × (B_i - A_i)] = 𝓱(O) + (O - O') × Ř
  • Momento risultante invariato quando (O - O') || Ř o quando Ř = 0
  • Se Ř = 0 𝓱(O) = 0 = Sistema Equilibrato
• Asse Centrale:
  • Ipotesi: Sistema di vettori applicati → Ř, Ř ≠ 0
  • Test: ∃ Ω: Σ 𝓱_i(Ω) = 𝓱(Ω) = Ř || 𝓱(Ω) (Il punto non è unico)
  • Dimostrazione:
  • Fisso O nello spazio; sia 𝓱(Ω) = 𝓱_R(O) + 𝓱_S(O)
  • ∃ sempre Ω e μ (scalari) tali che:
    • 𝓱_R(O) = M(O) + μ(O - Ω) × Ř, quindi: