Riassunto Meccanica Razionale, prof. Demeio

ORALE MECCANICA RAZIONALE

MOMENTI

* MOMENTO POLARE:

Ĥ(O) = (A-O) x Ṙ = (A-O) x (B-A)

LEGGE DI VARIAZIONE DEL MOMENTO AL VARIARE DEL POLO:

Ĥ(O') = (A-O') x (B-A) = (A-O) x (B-A) + (O-O') x (B-A) =

= Ĥ(O) + (O-O') x (B-A)

* MOMENTO ASSIALE:

Mₐ = M(O)∙ê

E Ĥₐ = Mₐ(O)∙ê = M(O)∙ê + (O-O') x (B-A)∙ê = M(O)∙ê ≡ Mₐ

PERCHE' (O-O') x (B-A)∙ê = ê x (O-O')∙(B-A) e ê‖(O-O')

* SISTEMI DI VETTORI APPLICATI:

Uω = { (A_i, u̇_i) }₁^N → Ṙ = Σ u̇_i

Ĥ(O) = Σ Ĥ_i(O) = Σ [ (A_i-O) x (B_i-A_i) ]

Ĥ(O') = Σ Ĥ_i(O') = Σ [(A_i-O') x (B_i-A_i) = Σ [(A_i-O + O-O') x (B_i-A_i) = Σ (O-O') x (B_i-A_i)]

MOMENTO RISULTANTE INVARIANTE QUANDO (O-O')‖Ṙ O QUANDO Ṙ = 0

SE Ṙ = 0 e Ĥ(O) = 0 ⇒ SISTEMA EQUILIBRATO

* ASSE CENTRALE:

IPOTESI: SISTEMA DI VETTORI APPLICATI → Ṙ, Ṙ ≠ 0

TESI: ∃ Ω: Σ H_i(Ω) = Ĥ(Ω) ⇒ Ṙ‖Ĥ(Ω) (IL PUNTO NON È UNICO)

DIMOSTRAZIONE:

FISSO O NELLO SPAZIO; SIA Ĥ(O) = Ĥ₁(O) + Ĥ_m(O)

ESISTONO SEMPRE ℓ E μ (SCALARI) TRAU CHE:

Ĥ(Ω) = M(O-Ω) x Ṙ, QUINDI:

Ĥ(O) = Ĥ₁(O) + μ [(O-s)xṘ e POSSO SCEGLIERE O=OMEGA

̇ CON Ĥ(O) = Ĥ_m(Ω) ALLORA C'È ALMENO UN PUNTO

PER IL QUALE VALE a̅(Ω)‖Ṙ

SIA ORA Ω = ω₁ + λṘ → M(Ω₁) = H(Ω₁) + (Ω₁-Ω₁)xṘ = M(Ω₁) - λṘ x Ṙ = M(O)

QUINDI ANCHE H(Ω₁)‖Ṙ ⇒ Ω=ω₁ + λṘ →detta PASSANTE PER Ω E

PAR--ALELA A Ṙ

SISTEMI EQUIVALENTI

DEFINIZIONE {(A_i,u_i)^N_i=1} EQUIVALENTE A {(C_i,v)^N_i=1}

SE R_u = R_v ≠ 0 E SE M_u(O) = M_v(O)

INOLTRE M_u(o)+(o-o)×R_v = M_v(o)+(o-o)×R_v = M_v(o)

OPERAZIONI ELEMENTARI PASSARE DA SIST. DI VETTORI APPLICATI AD UNO EQUIVALENTE:

1. AGGIUNTA O SOTTRAZIONE COPPIA DI PARI CONNULLI;
2. SPOSTAMENTO UN VETTORE LUNGO LA SUA RETTA D'AZIONE;
3. SOSTITUZIONE IN UN SISTEMA DI VETTORI CON LA LORO RISULTANTE

TEOREMA 2.2.1

IPOTESI U={(A_i, u_i)^N_{i=1} E V={(Ci, vi)^Ni=1} :}

R_u = R_v LE RISULTANTI; M_u(o) = M_v(o) I MOMENTI;

TESI:

1. SE R_u = R_v ≠ 0 → I DUE SISTEMI HANNO STESSO ASSE CENTRALE
2. SE R_u = 0 → U EQUIVALENTE AD UNA COPPIA
3. I = 0 U EQUIVALENTE AD UN SINGOLO VETTORE APPLICATO
4. 1/2 M(n)_u·R = (A-o)×(B-A)×(B-A) (R-A×B-A)×R(A+B-A)×R→
5. 0 → U EQUIVALENTE AD UN SINGOLO VETTORE APPLICATO (x,u) PIÙ UNA COPPIA
6. U EQUIVALENTE TO U={(A_i, u_i)^N_{i=1}} = 0}

TEOREMA 2.2.2

IPOTESI → SISTEMA DI VETTORI PARALLELI

TESI → Σ=0 E IL SISTEMA È EQUIVALENTE A:

1. UNA COPPIA SE R_u = 0
2. UN SOLO VETTORE SE R_u ≠ 0

DIMOSTRAZIONE:

R_u = Σiu_i; = Σu_ie = ΣiFe; M_u(0) = Σ(A_i-o)×u_v=Σu_i(A_i-o)×e]⊥1e

QUINDI I = M_u(0)·R_u = 0 PERCHÉ I DUE VETTORI SONO ORTOGONALI

CENTRO DI MASSA

STO CERCANDO IL PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA RISULTANTE DEI VETTORI PARALLELI SIA 0 IL POLO, ORIGINE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO (0,x,y,z) E A IL C.d.M. L'ASSE Z SIA DIRETTO LUNGO LA DIREZIONE DELLA RISULTANTE K = o

SIANO x_i,y_i E z_i LE COORDINATE DEI PUNTI DI APPLICAZIONE.

• GRANDEZZE CINEMATICHE IN COORDINATE POLARI PIANE:

  • P = ρ₀ρ₀ ^→ ρ = ṙ e_ρ + rɸ̇ e_ɸ;

  • a = (ρ̈ - rɸ̇ ²) e_ρ + (r̈ + 2ṙɸ̇ ) e_ɸ

• MA PER UE:

  • e ρ̂ = cosθ i + sinθ j → de_ρ/dt = de_ρ/dθ dθ/dt = -sinθ ϕ̇ i + cosθ ϕ̇ j → de_ρ/dt = -e_ρ + ṙe_ρ ;

    • e ɸ̂ = -sinθ i + cosθ j → de_ɸ/dt = de_ɸ/dθ dθ/dt = -cosθ ϕ̇ i -sinθ ϕ̇ j → de_ɸ/dt = e_ρ θ̇ ṙe_ρ

CAMPI DI FORZE

É DETTO CAMPO DI FORZE DEFINITO IN Ω CIR³, UNA FUNZIONE VETTORIALE F̅: IR³ → IR³ LE CUI COMPONENTI SIANO DI CLASSE C¹ IN Ω

DETTA Γ UNA CURVA REGOLARE A TRATTI IN Ω DI ESTREMI A,B, É CHIAMATO LAVORO DEL CAMPO DI FORZE LUNGO LA CURVA Γ TRA A e B L'INTEGRALE DI LINEA L_AB = ∫_Γ F_i dp = ∫_t0^b∞ (F_x dx + F_y dy + F_z dz) = ∫_a^b

dal momento che é un differenziale esatto, L_AB dipende solo da A e B

infatti ∃ U (X,u,z) : dU = -dU = F_x dual f / F_z z dual f = F_z z

cioé L_AB = U(B) - U(A)

IPOTESI → CAMPO CONSERVATIVO, CIOÉ AMMETTE POTENZIALE F̅ = ∇U IN Ω

• TESI → É IRROTAZIONALE, CIOÉ ∇x F̅ = 0

• DIMOSTRAZIONE: K̑ x ∇u^F AD ESEMPIO LUNGO K̂ (VERIONE DI X ) SI HA