Meccanica Razionale, prof. Demeio, Tutti i teoremi e le dimostrazioni per l'esame orale + esercizi

Meccanica Razionale

Grandezze Dinamiche: sono funzioni di t e v di P e quindi non dipende dalla geometria di forza.

Quantità di moto o momento lineare: p=mv

1. dp/dt = d(mv)/dt = ma = F
2. momento angolare: K(O) = (P-O) × p
3. dK(O)/dt = d(P-O)/dt × p + (P-O) × dp/dt = (P-O) × F = N(O)
4. momento della forza: N(O) = (P-O) × F
5. potenza: W = v · F

Vincoli:

• Si dice vincolo un qualunque dispositivo atto a limitare l'intervallo di variazione di una o più coordinate di un sistema di punti materiali. L'espressione matematica di un vincolo può essere data da un'equazione o da una disequazione. Un vincolo espresso mediante un'equazione, è detto vincolo bilatero; un vincolo espresso mediante disequazione è detto vincolo unilatero.
• Si chiama "spazio delle configurazioni" di un insieme di N punti materiali vincolati a quel sottinsieme di R^3N che è determinato dalle equazioni di vincolo, o che è compatibile con i vincoli imposti.
• Si dice numero di gradi di libertà di un sistema di punti materiali vincolati, e lo si indica con il simbolo l, la diminuzionale dello spazio delle configurazioni propriamente, equivalenzialmente, il numero di parametri liberi e indipendenti che determinano lo spazio delle configurazioni.

*Nel caso in cui le coordinate di un sistema di punti siano vincolate ad appartenere ad una regione di spazio, la dimensione dello spazio delle configurazioni rimane la stessa, come in assenza di vincoli.

SPOSTAMENTI VIRTUALI

sono gli spostamenti consentiti dai vincoli istante per istante.

_{δrv = δx i^{^} + δy j^{^} + δz k^{^}}

uno spostamento virtuale δr si dà reversibile e anche -δr è uno

spostamento virtuale

CLASSIFICAZIONE DEI VINCOLI

Vincoli fissi e vincoli mobili. Un vincolo si dice fisso quando le equazioni o

disequazioni di vincolo non contengono esplicitamente

il tempo; se le contengono, il vincolo si dice mobile.

Alla spostamento reale elementare δr_eff, in un

intervallo di tempo, corrispondono lo spostamento

virtuale δr_v e lo spostamento di trascinamento, δr_T,

che è nullo se la guida è fissa. Se gli

spostamenti reali e gli spostamenti virtuali sono

diversi, allora si presenta il vincolo mobile.

Vincoli bilateri e unilateri: già definiti in precedenza. Gli spostamenti virtuali che corrispondono a un vincolo bilatero sono sempre reversibili.

Vincoli geometrici e cinematici:

quando nelle equazioni o disequazioni di

vincolo compaiono funzioni delle sole

coordinate, il vincolo detto geometrico o di

posizione. Quando tra gli argomenti

sono anche le relative, il vincolo si dice

cinematico o di motricità.

Vincoli cinematici integrabili

derivano dall'integrazione di un vincolo

in cui compare la velocità

Vincoli olonomi: se è geometrico e bilatero. Un vincolo si dice olonomo

per un punto materiale quando si esprime mediante

un'equazione del tipo _{g(x,y,z,t) = 0}.

Un vincolo non olonomo si dice anolonomo

Equilibrio e stabilità

La definizione di equilibrio può essere dato in due modi equivalenti:

1. Quando riferiamo allo spazio della fase: una configurazione r_e(x_e, y_e, z_e), si dice di equilibrio per un punto materiale libero o vincolato, se il moto cinematico T = (x_e, y_e, z_e, 0, 0, 0) costituisce da solo una curva di fase.
2. Quando riferiamo alle equazioni del moto: una configurazione r_e(x_e, y_e, z_e) si dice di equilibrio per un punto materiale se r(t) ≡ r_e è soluzione delle equazioni del moto con le condizioni iniziali r(0) = r_e, ṙ(0) = 0.

Teorema:

Condizioni necessarie e sufficienti affinché una configurazione r_e(x_e, y_e, z_e) sia di equilibrio per un punto materiale è che la somma della forza attiva e della reazione vincolare totale (F + Φ) si annulli in corrispondenza a r_e e con velocità nulla, vale a dire F(x_e, y_e, z_e, 0, 0, 0) + Φ(x_e, y_e, z_e, 0, 0, 0) = 0.

Dim:

1. La condizione necessaria: se F(x_e, y_e, z_e, 0, 0, 0) + Φ(x_e, y_e, z_e, 0, 0, 0) ≠ 0 allora ṙ = ẍ ≠ 0 e il punto acquistabile una velocità iniziale, che comporterà un moto.
2. La condizione sufficiente: se F(x_e, y_e, z_e, 0, 0, 0) + Φ(x_e, y_e, z_e, 0, 0, 0) = 0 allora r(t) ≡ r_e è soluzione delle equazioni del moto. In tal segue allora dall'unità delle equazioni del moto.

DIM:

dalla cinematica relativa abbiamo:

_ri = R_o + r_i'

_vi = V_o + v_i'

usando le relazioni dovute alla teorema di König:

Σ_i=1^N m_i (P_i - P_o) = 0

Σ_i=1^N m_i v_i' = 0

dunque il momento angolare diventa:

_K(_Ω) = Σ_i=1^N (P_i - Ω) x (m_i v_i) =

= Σ_i=1^N [(P_i - P_o) + (P_o - Ω)] x [m_i (V_o + v_i' )] =

= Σ_i=1^N [P_i - P_o] x V_o + (P_i - P_o) x v_i' + (P_o - Ω) x V_o + [P_o - Ω] x v_i'] =

= Σ_i=1^N m_i [(P_i - P_o) x V_o + (P_o - Ω) x V_o] =

= (P_o - Ω) x (M Y_o) + Σ_i=1^N (P_i - P_o) x (m_i v_i') =

= (P_o - Ω) x Q̅ + Σ_i=1^N (P_i - P_o) x ρ̅_i =

= (P_o - Ω) x Q̅ + K̅ (P_o)'

Conservazione dell'Energia

Se le forze che agiscono nel sistema sono conservative, le forze

_Fi, cioè le forze che agiscono nei punti P_i possono

essere derivate da un'energia potenziale e funzioni delle coordinate

di tutti i punti del sistema.

V = V(x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, ..., x_n, y_n, z_n)

e tale che:

_Fi = -∇_iV = -^dV/_dxi-^dV/_dyi-^dV/_dzi

dunque, per un sistema vincolato, con vincoli fissi, lisci e bilaterali, l'energia

totale meccanica E = T + V conserva durante il moto.

DIM: E + T + V = V^t∇_iV - ∑_i=1^N F_i·V_i = W-V=0

Equazioni di Lagrange

Riassumiamo le forme trascritte delle eq. di Lagrange per sistemi

omini settendo il principio di D'Alembert.

Ricordiamo l'espressione per la potenza virtuale:

∑_i=1^N m_i a_i·^∂P_i/_∂qk - _i=1^N F_i·^∂P_i/_∂qk = 0

esaminando le sommatore si ricavare K

che proviene a mostrare:

∑_k=1^l m_i·^dp_i/_∂qk - ∑_i=1^N F_i·^dp_i/_∂qk |^q_k = 0

Poichè le coordine lagrangiane q_k sono lin. indipendenti, tali sono le

velocità, generalmente q_k, pertanto si devono annullare tutti i comelli del q_i.

∑_i=1^N m_i a_i·^∂P_i/_∂qk - ∑_i=1^{N F_i·∂P_i/_∂qk = 0}

per K = 1, 2, ... l

Introduciamo le grandezze Q_k, le forze generalizzate di Lagrange

Q_k = -∑_i=1^N F_i·^∂P_i/_∂qk per K = 1, 2, ... l