Riassunto generale matematica finanziaria

Riassunto generale di matematica finanziaria

Unito economia aziendale

Di Simona Savoca

Riassunto generale di matematica finanziariaUnito economia aziendaleDi Simona Savoca

RIASSUNTO FINALE

1. VETTORI/MATRICI

• VETTORI

  • 2 vettori sono ortogonali se _(x|y) = 0
  • NO RPA: radice quadrata della somma dei quadrati degli elementi
  • DISTANZA: d(x, u) = ||x-u||

• MATRICI

  • PRODOTTO TRA MATRICI

2. FUNZIONI IN 2 VARIABILI

• DOMINIO

• DERIVATE PARZIALI

  • Fx: derivo rispetto una x (tratto y come un numero/costante)
  • Fy: derivo la funzione rispetto a y (tratto l'x come numero/costante)

-> VETTORE GRADIENTE ∇f(x₀,y₀) = (F_x F_y)

-> PIANO TANGENTE nel punto P(x₀,y₀)

z = f(x₀,y₀)+F_x(x₀,y₀)(x-x₀)+F_y(x₀,y₀)(y-y₀)

-> DIFFERENZIALE TOTALE nel punto P(x₀,y₀)

dz = F_x(x₀,y₀)dx + F_y(x₀,y₀)dy

-> HESSIANA: H(x1,y1) = (Fxx Fyx Fxy Fyy)

              F_xy = F_yx

-> MASSIMI / MINIMI / SELLA

• DOMINIO
• CERCO PUNTI STAZIONARI -> ∇f(x1,y1) = 0 -> (Fxx Fyx (xstaz, ystaz)
• PER SCOPRIRE SE È MAX/MIN/SELLA:
• TROVO L'HESSIANA GENERICA
• SOSTITUISCO IL PUNTO STAZIONARIO NELL'HESSIANA H(xstaz,ystaz) = (A C B D)
• CALCOLO det H(xstaz,ystaz) = A·D - B·C = NUMERO
• se det H(xstaz,ystaz) < 0 -> SELLA
• se det H(xstaz,ystaz) > 0
• A > 0 MINIMO LOCALE
• A < 0 MASSIMO LOCALE

3 REGIMI

I. REGIME SEMPLICE

                                    CAPITALIZZAZIONE

 C                            

 0 M

ATTUALIZZAZIONE

• M = C (1 + i t)
• C = ^M/_{(1 + i t)}
• i = ^{M - C}/_{C · t}
• t = ^{M - C}/_{C · i}

      TASSI EQUIVALENTI

• TASSO PERIODALE -> i_m = ⁱ/_m
• TASSO ANNUALE -> i = i_m · m

II. REGIME COMPOSTO

• M = C (1 + i)^t
• C = ^M/_(1+i)^t
• i = ^t√(^M/_C) - 1
• t = ^{log (M/_C)}/_{log (1 + i)}

* TASSI EQUIVALENTI → i_m = _m√(1+i) - 1

     → i = (1+i_m)^m-1

* TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE m VOLTE L'ANNO

     j_m = i_m × m     → i_m = ^j_m⁄_m

III. REGIME AD INTERESSE: SEMPLICE, ANTICIPATI (SCONTO COMMERCIALE)

     * M = ^C⁄_1-dt              * d = ^M-C⁄_M×t

       ↓ A                   * t = ^M-C⁄_M×t

        * C = M(1-dt)

* TASSI EQUIVALENTI → d_m = ^d⁄_m

     → d = d_m × m

* RELAZIONE TRA d E i → d = ⁱ⁄_1+ti

     → i = ^d⁄_1-d

IV. REGIME DELLA CAPITALIZZAZIONE CONTINUA O ISTANTANEA

     * M = C × e^δt      con δ = ln(1+i)

     * C = M × e^-δt

(i) RENDITE

1. POSTICIPATA → pagamento comincia tra ...

     * A = R × ā_ni      → ā_ni = ^1-(1+i)-¹⁄_i

     * M = R × 𝕋_ni      → 𝕋_ni = ^(1+i)ⁿ-1⁄_i

ATTENZIONE! COERENZA TRA RATA E TASSO (concorda lettera)

2. ANTICIPATA → pago subito, pago oggi

     * A = R × 𝐕_ni      → 𝐕_ni = ^1-(1+i)-¹⁄_i

     * M = R × 𝕋_ni      → 𝕋_ni = ^(1+i)ⁿ-1⁄_i

(3) PERPETUA

• POSTICIPATA
• ANTICIPATA

A = ^R/_i

A = ^R/_(i/1+i)

DCF/VAN/TIR/TAE/TAEG

• DCF -> TEORIA
• G(x) -> DERIVATE
  • INVESTIMENTI G'' < 0
  • FINANZIAMENTI G'' > 0

• VAN (VALORE ATTUALE NETTO)

VAN = porto tutti i flussi di cassa al t=0

-50 10 20 30

VAN = ⁵⁰⁺¹⁰/_(1+i) + ²⁰/_(1+i)² + ³⁰/_(1+i)³

• CRITERIO DEL VAN: sia che si parli di investimenti sia che si parli di finanziamenti si preferisce l'operazione con VAN π alto

• TIR (> -1) = il calcolo del VAN solo che il tasso è l'incognita

-50 + ¹⁰/_(1+x) + ²⁰/_(1+x)² + ³⁰/_(1+x)³ = 0

• CRITERIO DEL TIR:
  • INVESTIMENTI -> si preferisce il TIR π alto
  • FINANZIAMENTI -> si preferisce il TIR π basso

• TAE -> come calcolo è come il TIR

• TAEG -> π come il TAE ma si tengono conto delle spese accessorie

TAE e TAEG > 0

TAEG > TAE

6 AMMORTAMENTI

1. IMPOSTAZIONE ELEMENTARE (cioè conosco le quote capitali)

   nel caso specifico di AMMORTAMENTO ALL'ITALIANA -> quote capitali cost.

   • C = _S⁠/⁠_U -> debito di partenza

   • U -> numero di rate

   C_t = C

   I_t = i · D_t-1

   R_t = C_t + I_t

   E_t = C₁ + C₂ + ... + C_t

   D_t = _S − E_t

   • D_t⁠=⁠D_t−1−C_t

   * CONDIZIONE DI CHIUSURA ELEMENT

   S = ^uΣ_t=1 C_t

2. IMPOSTAZIONE FINANZIARIA (cioè conosco le rate)

   caso specifico AMMORTAMENTO ALLA FRANCESE -> RATE COSTANTI

   • R_t⁠=⁠_S/(1−(1+i)^−u)

   R_t = R

   I_t = i · D_t+1

   C_t = R_t−I_t

   _CA_t + _Gt_t + ... + C_t

   E_t < E_t−1 + C_t

   S = E_t

   D_t = _S−Et

   * CONDIZ. DI CHIUSURA FIN. INIZIALE

   S = ⁿΣ_t=1⁠ R_t/(1+i)^t

   = R₁/(1+i) + R₂/(1+i)(1+i₁) + R₃/(1+i)(1+i₁)(1+i₂)

   SE TASSO CAMBIA PER OGNI PERIODO

   * CONDIZ. DI CHIUSURA FIN. FINALE

   S (1+i) = ^uΣ_t=1 ⁠R_t (1+i)^t

7 LEASING/VENDITA RATEALE

• LEASING

• B C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ E

• 0 1 2 3 4 5

Il cliente paga:

• l'anticipo = B
• CANONI
• VALORE DI RISCATTO E

A = B + _C1/(1+i) + _C2/(1+i)² + ... + _CS/(1+i)⁴ + _E/(1+i)⁵

A = PREZZO DEL BENE

MONTE INTERESSI = DIFFERENZA TRA CIÒ CHE HO PAGATO (NO SCONTO) E IL PREZZO DEL BENE

= B + Σ Ct + E - A

• VENDITA RATEALE → L'UNICA DIFFERENZA DAL LEASING È CHE NON HO IL VALORE

DI RISCATTO E

MONTE INTERESSE = B + Σ Rt - A

A = B + R_{1 (1+i)¹} + R_{2 (1+i)²} + ... + R_{s (1+i)^s}

[8] TITOLI SENZA CEDOLA (REGIME SEMPLICE) BOT

A₀ A_t2

0 2 6 mesi

RENDIMENTO CHE HO OTTENUTO IN QUESTI 2 MESI

_z0,2 = ?

È UN TASSO

A₀ = A_{t2 1+z0t2} → _z0,2 = A_t2 - A_{0 A0} = A_t2

_A0∙2/12

_z0,t = _{At - A0 A0∙t}

A₀ = _{At 1+z0t∙t}

[9] TITOLI CON CEDOLA (TCC)

• PREZZO AMMISSIONE → COSTO SECCO S
• PREZZO VENDITA → COSTO TEL QUEL Q

CEDOLE ANNUALI c=N∙i CEDOLA SEMESTRALE C=N∙i ₂

• i=_{C N} TASSO CEDOLARE
• i=_{2C N}
• _τ = _{C S} RENDIMENTO IMMEDIATO
• _τ = (1+c _S)² - 1

( SI USA COMUNQUE IL COSTO SECCO ANCHE SE IL TITOLO VIENE VENDUTO E QUINDI C'È Q

RENDIMENTO EFFETTIVO = È IL TASSO X DI QUANDO PORTO TUTTO AL T=0

→ SI IMPOSTA L'OPERAZIONE CHE HA LO STESSO LOGICO SIA PER CEDOLE

ANNUALI CHE PER CEDOLE SEMESTRALI.

CIÒ DIFFERENZIA SE IL TITOLO VIENE O NON VIENE VENDUTO N MESI DOPO

( SE C'È O NON C'È Q)

* Non viene venduto

S

₀ C ₁ C ₂ C+R _{3 4}

S = C/(1+x) + (C/(1+x)²) + C/(1+x)³ + C+R/(1+x)⁴

x è il rendimento effettivo

* Viene venduto dopo 'u' mesi

S ₀ q C ₁ q C ₂ q C+R _{3 u}

q = S + Ratoe Interesse

q = S + i.u/12

q = C/(1+x)^(u/12) + C/(1+x)^(1+u/12) + C/(1+x)^(2+u/12) + C+R/(1+x)^(3+u/12)

La differenza è che se il titolo viene venduto dopo u mesi, imposto

l'equazione portando tutto all'ultimo mese (cioè a quando ho venduto il titolo)

Investimenti -> 1^o flusso è negativo e gli altri sono positivi -> IN SENSO STRETTO

-> 1^o flusso è negativo, 2^o è positivo e 3^o negativo -> IN SENSO LATO

Finanziamenti -> 1^o flusso è positivo e gli altri negativi -> IN SENSO STRETTO

-> 1^o flusso è positivo 2^o negativo, 3^o positivo -> IN SENSO LATO

Struttura a termire dei tassi

Relazione prezzi spot-tassi spot

• Tassi spot -> h^(O)(O,T) -> ^{√(u(O,T))-1}/(√(O,T)) - 1
• Prezzi spot -> v^(O)(O,T) = ¹/(1+h^(O)(O,T))^T

Relazione prezzi-tassi forward

• Prezzi forward -> v^(O)(S,Y) = v^(O)(O,Y)/_v(O,O,S)

-> v^(O)(S,Y) = ¹/(1+h^(O)(O,T))^T-S

• Tassi forward -> h^(O)(S,Y) = _{√(u(S,Y)) -1}/(u(S,Y))^T-S

Relazione tra tassi spot-forward

[1+h^(O)(O,2)]³ = [1+h^(O)(1,2)][1+h^(O)(O,2,3)]

[1+h^(O)(O,T)]^T = [1+h^(O)(0,1)]...[1+h^(O)(t-1,t)]

I fattori di capitalizzazione

• F(0,t)=1v(0,t)

Prezzi di un titolo

• P=10.v(0,1)+10.v(0,2)+110.v(0,3)

Duration e Convexity

• D=∑ts.ts.v(0,t)
• C=∑ts.(ts+1).v(0,t)=1.2tsv1tv2t

Variazione del prezzo se varia il tasso

• Po calcolo in potenza
• i é dato in potenza
• i:Δi=1100,i=0.01

La variazione del prezzo posso calcolare:

1. "Giusta" = mi calcolo il nuovo prezzo P1 con il nuovo tassoVariazione: ΔP=P1-P="Vera"
2. "Approssimazione di I ordine"ΔP≈DT..i..P0.i=Z