Riassunto di Matematica Finanziaria

MATEMATICA

FINANZIARIA

RIASSUNTO DEL LIBRO “ELEMENTI DI MATEMATICA

FINANZIARIA E CENNI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE”

SILVANA STEFANI, ANNA TORRIERO, GIOVANNI ZAMBRUNO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO-BICOCCA

SOMMARIO

1 CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE.......................................................................................... 4

1.1Operazioni finanziarie............................................................................................................................ 4

1.2Montante, interesse e sconto.................................................................................................................. 4

1.3Leggi finanziarie di capitalizzazione..................................................................................................... 4

1.4tasso di interesse e tasso di sconto......................................................................................................... 5

1.5Regimi finanziari di capitalizzazione..................................................................................................... 5

1.6Regime di capitalizzazione a interesse semplice...................................................................................5

1.6.1Durata intera e durata frazionaria..................................................................................................... 6

1.7regime di capitalizzazione a interesse composto...................................................................................6

1.7.1Capitalizzazione composta per tempi non interi................................................................................6

Convenzione lineare................................................................................................................................. 6

Convenzione esponenziale....................................................................................................................... 6

1.8Confronto tra i montanti nei regimi a interesse semplice e composto.................................................7

1.8.2 Regime a interesse composto con notazione esponenziale................................................................7

1.9Tassi equivalenti..................................................................................................................................... 7

1.9.5 tassi medi............................................................................................................................................ 7

1.10Regime di capitalizzazione a interesse anticipato...............................................................................7

1.10.1Fattore di montante e interesse nel regime a interesse anticipato.................................................8

1.10.2Confronto tra fattori di montante dei regimi a interesse semplice, composto e anticipato........8

1.11 Forza di interesse................................................................................................................................ 8

1.11.1 Capitalizzazione esponenziale come limite della capitalizzazione frazionata...............................8

1.11Scindibilità............................................................................................................................................ 8

1.12Attualizzazione..................................................................................................................................... 9

1.13.1 Fattore di sconto o di attualizzazione.............................................................................................. 9

1.13.3. Tasso di sconto................................................................................................................................. 9

1.14. Regime a sconto semplice o razionale................................................................................................ 9

1.14.1 Fattore di sconto razionale............................................................................................................. 10

1.15. Regime a sconto composto................................................................................................................ 10

1.15.1. Fattore di sconto composto............................................................................................................ 10

1.16. Regime a sconto commerciale........................................................................................................... 10

1.16.1 Fattore di sconto commerciale........................................................................................................ 10

2rendite.......................................................................................................................................................... 11

2.1 Classificazione delle rendite................................................................................................................ 11

2.2. Valore attuale di una rendita............................................................................................................. 12

2

2.2.1. Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate, nel regime a

sconto composto al tasso di interesse periodale i.....................................................................................12

2.2.2. Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti R, nel regime a

sconto composto al tasso di interesse periodale i.....................................................................................12

2.2.3. Valore attuale di una rendita periodica anticipata immediata unitaria di n rate, nel regime a

sconto composto al tasso di interesse periodale i.....................................................................................13

2.2.5. Valore attuale di una rendita periodica anticipata immediata di n rate costanti R, nel regime a

sconto composto al tasso periodale i.......................................................................................................... 13

2.2.6. Valore attuale di una rendita di n rate periodica unitaria posticipata differita di p periodi, nel

regime a sconto composto al tasso di interesse periodale i......................................................................13

2.2.7. Valore attuale di una rendita di n rate periodica unitaria anticipata differita di p periodi, nel

regime a sconto composto al tasso di interesse periodale i......................................................................14

2.2.8 Valore attuale di una rendita unitaria posticipata perpetua, nel regime a sconto composto al

tasso d’interesse periodale i...................................................................................................................... 14

2.2.9. Valore attuale di una rendita unitaria anticipata perpetua, nel regime a sconto composto al

tasso di interesse periodale....................................................................................................................... 14

2.2.11. Valore attuale di una rendita periodica unitaria immediata di n rate nei tre regimi di sconto al

tasso di interesse periodale i (tabella)...................................................................................................... 15

2.3 Montante di una rendita..................................................................................................................... 16

2.3.1. Montante di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate, nel regime a

interesse composto al tasso di interesse periodale i.................................................................................16

2.3.4. Montante di una rendita periodica anticipata immediata unitaria di n rate, nel regime a

interesse composto al tasso di interesse periodale i.................................................................................16

2.3.7 Montante di una rendita periodica unitaria immediata di n rate nei tre regimi di interesse al

tasso periodale i......................................................................................................................................... 17

2.4 Valore di una rendita al tempo t......................................................................................................... 19

2.5.1 Calcolo delle quantità caratteristiche di una rendita periodica posticipata a rata costante in

capitalizzazione composta......................................................................................................................... 19

2.5.3 Ricerca del tasso di interesse........................................................................................................... 19

2.6.1 Indici temporali di un flusso di pagamenti: scadenza media aritmetica........................................20

2.6.2. Indici temporali di un flusso di pagamenti: scadenza media.........................................................20

Proprietà scadenza media in regime composto.....................................................................................20

2.6.3. Durata media finanziaria (Duration).............................................................................................. 21

3COSTITUZIONE DI UN CAPITALE E AMMORTAMENTI....................................................................21

3.1.1. Costituzione mediante unico versamento.......................................................................................21

3.1.2 Costituzione mediante versamenti periodici...................................................................................22

3.2 Costituzione di un capitale mediante versamenti periodici posticipati di importo costante R in

regime composto al tasso periodale i......................................................................................................... 23

3.2.1. Costituzione di un capitale mediante versamenti periodici anticipati di importo costante R in

regime composto al tasso periodale i......................................................................................................... 24

2

3.2.2 Fondo di costituzione all’epoca k mediante versamenti periodici di importo costante R in regime

composto al tasso periodale i..................................................................................................................... 24

3.3. Rimborso di un prestito...................................................................................................................... 24

3.3.1. Rimborso globale finale................................................................................................................... 25

3.3.2 Rimborso globale con interessi periodici.......................................................................................... 25

3.4 Ammortamento.................................................................................................................................... 26

3.5 Tipi particolari di ammortamento....................................................................................................... 27

3.5.1. Ammortamento americano.............................................................................................................. 27

3.5.2 Ammortamento francese.................................................................................................................. 27

Differenze tra piano di ammortamento francese e americano.............................................................28

3.5.3 Ammortamento italiano................................................................................................................... 28

3.5.4 Ammortamento tedesco.................................................................................................................... 28

3.7 Estinzione anticipata di un prestito.................................................................................................... 29

4VALUTAZIONE DI PROGETTI FINANZIARI E CRITERI DI SCELTA................................................30

4.1Progetti finanziari................................................................................................................................. 30

4.2Generalità sui criteri di scelta per progetti finanziari completi.........................................................31

4.3Il Risultato Economico Attualizzato (R.E.A.)......................................................................................31

4.4Tasso Interno di Rendimento (T.I.R.).................................................................................................. 32

Teorema di levi....................................................................................................................................... 33

Teorema di Norstrøm............................................................................................................................. 33

4.4.1. Confronto tra T.I.R. e R.E.A............................................................................................................ 33

T.A.N....................................................................................................................................................... 33

T.A.E.G................................................................................................................................................... 34

4.5. Il criterio del Pay-Back o del tempo di recupero del capitale...........................................................34

5 TITOLI OBBLIGAZIONARI E LORO VALUTAZIONE..........................................................................35

5.1.1 Caratteristiche di un titolo obbligazionario e indicatori di redditività..........................................35

5.2 La struttura per scadenza................................................................................................................... 36

5.2.2 La struttura per scadenza, tassi spot, tassi forward.......................................................................36

5.2.3 selezione dei titoli obbligazionari..................................................................................................... 36

5.3 Duration e convessità.......................................................................................................................... 36

5.3.1. Duration........................................................................................................................................... 37

2

1 CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE

1.1 OPERAZIONI FINANZIARIE operazione finanziaria.

Lo scambio in parola si definisce più propriamente Essa è qualsiasi contratto o

accordo che dà origine allo scambio tra somme di denaro riferite ad epoche diverse. Alcuni esempi di

operazioni finanziarie:

Acquisto di BOT e successiva vendita

 Acquisto di certificati di deposito a scadenza fissa

 Sconto di cambiale

 Accensione di mutui

 Acquisti a pagamento rateale

 Contratti di leasing.



Un’operazione finanziaria si dice semplice o complessa a seconda che vi siano coinvolte due o più

scadenze.

1.2 MONTANTE, INTERESSE E SCONTO

capitale iniziale, capitale finale

L’importo investito si dice quello disponibile alla fine dell’investimento o

montante.

anche Il compenso dato dalla differenza tra montante e capitale iniziale, viene detto interesse

(I) o sconto (D). =D=M −C

I

Per definizione:

1.3 LEGGI FINANZIARIE DI CAPITALIZZAZIONE

legge finanziaria di capitalizzazione M(t)

Si dice una funzione atta a definire il montante accumulato

( )=F ( )

M t C ,t

t C:

nel tempo generico da un capitale iniziale

E che rispetti i seguenti postulati:

( ) ∈ ¿

F C , t è definita per ogni , e per ogni .

C ≥ 0 t

 ( ) =C

F C , 0 per ogniC ≥ 0

 (C (C

t 1<t 2 → F ,t 1)≤ F , t 2)

 ( )=CF ( )

F C , t 1 ,t



( )=F ( )

f t 1 , t t

è il fattore di montante e si ottiene ponendo C = 1; esprime il montante al tempo di

( )

f t

un capitale iniziale C unitario. Si deduce quindi che il fattore di montante è una funzione :

∈ ¿

t

Definita per

 2

( )=1

f 0

Tale che

 ( )

' t

Non decrescente se derivabile,

 f ≥ 0 ( )=Cf ( )

M t t

t

Dunque il montante al generico tempo sarà dato da .

1.4 TASSO DI INTERESSE E TASSO DI SCONTO

Il tasso di interesse di periodo è ricavato rapportando l’interesse con il capitale iniziale:

(t) (t)

I M

( )= ( )−1

= −1=f

i t t

 C C

Il tasso di sconto di periodo è ricavato rapportando lo sconto con il montante:

)

D(t C 1

( )= =1− =1−

d t

 (t)

C f

( )

M t

i d

Con detto tasso unitario di interesse e detto tasso unitario di sconto. Il tasso di interesse unitario

non può essere negativo.

Il tasso unitario di interesse può essere riferito all’anno o ad una sua frazione o ad un suo multiplo

(tasso biennale, mensile, trimestrale, annuale)

1.5 REGIMI FINANZIARI DI CAPITALIZZAZIONE

Un’operazione che comporti il differimento di una disponibilità monetaria immediata si dice

capitalizzazione. Di tale operazione si analizza l’andamento del montante nel corso del tempo.

I fattori di montante si rappresentano mediante tre famig