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Regimi di interesse e rimborso
Nel regime a interesse semplice:
Tasso di interesse: ( ) = SM 1+ i
Nel regime a interesse composto:
Tasso di interesse: ( ) = SM 1+ i
Nel regime a interesse anticipato, all'epoca iniziale il debitore riceve l'importo:
( ) = S - M Mdt = M 1 - dt, dove d è il tasso di sconto periodale.
Nel rimborso globale con interessi periodici, il debitore riceve all'epoca iniziale il capitale S preso in prestito, da rimborsarsi in un'unica soluzione alla scadenza, con versamento periodico degli interessi:
I = iS per k = 1,2, ..., n (interessi posticipati)
I = k dS per k = 0,1, ..., n-1 (interessi anticipati)
Quindi, per pagamenti posticipati degli interessi, gli esborsi totali risultano:
iS per k = 1,2, ..., n-1 + iS = nS per k
E per pagamenti anticipati degli interessi, gli esborsi risultano:
dS per k = 1,2, ..., n-1 = nS per k
AMMORTAMENTO ¿R quota
- capitale , CL'importo di ciascuna rata sarà costituito da una parte ( destinata allak kquotainteresse , Irestituzione parziale o totale della somma mutuata, e da una parte ) chek¿remunera il capitale effettivamente disponibile nel periodo considerato:=C +R Ik k k
- Schema di un piano di ammortamento:
- Relazioni fondamentali di un ammortamento:
- Le quote interesse vengono calcolate in modo da assicurarne l'equità finanziaria
- =iI Ddell'ammortamento: -1k k
- Ogni quota interesse posticipata è proporzionale al debito residuo del periodo precedente
- =dI Di: secondo il tasso periodale di interesse k k
- Ogni quota interesse anticipata è proporzionale al debito residuo dello stesso periodo secondo il tasso di sconto periodale
- ' '=S =0D , E all'epoca iniziale del l ammortamentoo 0 0
- ' '=0, =SD E al l'epoca finale dell' ammortamentoo n n + =SE D
- Ogni quota va a diminuire il debito residuo e a incrementare il debito
estinto: k kkLa somma del debito estinto e di quello residuo rimane costante per ogni epoca e pari al ∑ =SCcapitale iniziale: k 2Condizione di chiusura elementare del piano di rimborso: la somma delle quote capitale è CR∑ ∑ k+ Ik = =Suguale al capitale preso a prestito S: .kk k( ) ( )1+ i 1+i3.5 TIPI PARTICOLARI DI AMMORTAMENTOAmericano: il capitale finale è costituito in modo progressivo su un fondo collaterale Francese: le rate sono costanti Italiano: le quote capitali sono costanti Tedesco: le quote interesse sono anticipate.3.5.1. AMMORTAMENTO AMERICANOL’ammortamento di tipo americano è un’operazione finanziaria composita nella quale figurano:iUn’operazione di rimborso globale con interessi periodici calcolati al tasso periodale Una distinta operazione di costituzione di capitale che, tramite versamenti complementari Q, n,consenta all’epoca scadenza del prestito, di poter disporre di un capitale di
importo pari=R +S Q S R e Qall’ammontare S del prestito: con esborso complessivok k k k k krispettivamente corrispondenti alla rata di rimborso e quota di costituzione. Inoltre, alla=iS +R Sscadenza finale n '⌉n i 'n⌉ i¿ ¿In caso di versamenti posticipati: ¿ =Si+SS σQ S ¿k¿Il piano di rimborso è anche chiamato ammortamento a due tassi in quanto di norma lo isvolgimento parallelo delle due operazioni avviene in base a due tassi distinti: un tasso dii’remunerazione e un tasso di accumulazione, per l’operazione di costituzione del capitale S:'n⌉ i¿⌉n i¿i = i’Se ) e coincide con la rata di ammortamento periodale calcolatao i+σ ¿¿=Si +SS σ ¿kcon l’ammortamento di tipo francese.3.5.2 AMMORTAMENTO FRANCESEL’ammortamento di tipo francese, o a rata costante, o progressivo, prevede che a fronte del capitale Snpreso
S=R a 2n
A cui si arriva, ponendoo a α n
A questa .o R=S α
Relazioni notevoli: in n i = i (1+i) k = S = RC ∑ D ak-1 (1+i) k+1 = C = SC ∑ 1 k=1 k = SE ∑ k
DIFFERENZE TRA PIANO DI AMMORTAMENTO FRANCESE E AMERICANO
L'ammortamento americano non prevede, a differenza di quello francese, un effettivo rimborso gradualedel capitale mutuato, bensì piuttosto una
Serie di versamenti su un fondo collaterale, atti a costituire, alla scadenza, il capitale necessario al rimborso totale del prestito.
3.5.3 AMMORTAMENTO ITALIANO
L'ammortamento italiano, o uniforme, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all'epoca iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo. Di conseguenza dovrà essere:
SQ = nRelazioni notevoli:
n-k S [ ] = S - E = S = kQ = kD E ( ) = Q + 1 = 1,2,R 1+i n-k , k ... , nk k k kn n+1n-k[ ]n-( ) = i = iQ = iS = 1,2I D k-1 , k , ... , n-1k k n
3.5.4 AMMORTAMENTO TEDESCO
L'ammortamento tedesco, o a interessi anticipati, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all'epoca iniziale, il debitore corrisponda alle scadenze in via anticipata le quote di interesse e in via S-dS posticipata le quote capitale. La somma prestata, in pratica, è . 2
La quota di interesse compresa in ciascuna rata è riferita al periodo successivo ed è quindi calcolata sul debito residuo dell'anno stesso. Mentre l'ultima rata è costituita soltanto dalla quota capitale.
ESTINZIONE ANTICIPATA DI UN PRESTITO
Nel corso dell'ammortamento di un prestito, può verificarsi che il debitore chieda di estinguere anticipatamente il suo debito, ossia chieda il riscatto del debito.
Se il tasso allora il valore di riscatto che il debitore deve corrispondere al creditore è uguale al debito residuo.
In convenzione esponenziale: Riscatto = RV ∙ a + fs
In convenzione lineare: Riscatto = RV ∙ a + fs
Se si sostituisce semplicemente nelle formule.
- VALUTAZIONE DI PROGETTI FINANZIARI E CRITERI DI SCELTA
- PROGETTI FINANZIARI
- All'epoca si genera un flusso finanziario che può essere se si tratta di un ricavo, o se si tratta di un costo.
- Sinteticamente, un progetto finanziario P può essere descritto da una coppia di vettori C e t, dove C è il vettore dei capitali, o poste, e t è il vettore delle scadenze con:
- C0, C1, ..., Cn
- t0, t1, ..., tn
- Hipotesi: -n ≥ 1, il progetto contiene almeno due capitali;
- Per ogni C ≠ 0, si trascurano i capitali nulli e le rispettive scadenze senza modificare l'operazione;
- Se C ∙ Ch < 0, per almeno una coppia di tempi e il vettore C dei capitali non contiene solo costo o solo ricavi.
- Un progetto finanziario può essere considerato come una rendita in cui alcune rate sono positive e altre negative. Il più elementare progetto (operazione semplice) è ad esempio un costo seguito da...
un ricavo. In tal caso, infatti, l'operatore impiega un capitale iniziale allo scopo di conseguire un capitale futuro; l'operazione prende il nome di investimento o impiego di fondi. Al contrario, un ricavo iniziale seguito da un costo finale si configura come un'operazione di finanziamento o provvista di fondi. Quando i capitali e le scadenze che caratterizzano il progetto sono più di due (operazione complessa), non è altrettanto immediata la classificazione nella categoria dei finanziamenti o degli investimenti:
- Investimento in senso stretto: se i costi e le uscite monetarie precedono temporalmente i ricavi e le entrate monetarie, ovvero se il vettore dei capitali presenta un'unica inversione di segno da negativo a positivo
- Finanziamento in senso stretto: se i ricavi o entrate monetarie precedono temporalmente i costi o uscite monetarie, ovvero se il vettore dei capitali presenta un'unica inversione di segno da positivo a negativo.
Chiameremo
progetti misti quelli che presentano più inversioni di segno. Utilizzando le scadenze medie aritmetiche, rispettivamente dei costi e dei ricavi, e le scadenze medie aritmetiche, si definisce:
Investimento in senso generale: un'operazione per la quale per ogni tasso di valutazione c ri ≥ 0.
Finanziamento in senso generale: un'operazione per la quale, per ogni tasso di valutazione c ri ≥ 0.
Investimento in senso lato: un'operazione per cui la scadenza media aritmetica dei costi precede l'epoca del primo ricavo.
Finanziamento in senso lato: un'operazione per cui la scadenza media aritmetica dei ricavi precede l'epoca del primo costo. (0 ≤ t ≤ k ≤ n)
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