Riassunto esame Statistica, Prof. Pozzi Lucia, libro consigliato Statistica, Borra, Di Ciaccio

VARIANZA NEI GRUPPI

 non si calcola la



media del fenomeno

completo, ma si fa

semplicemente la sommatoria della moltiplicazione tra varianza di ogni gruppi e

numero di studenti nel gruppo, anch’essa divisa per la frequenza totale

La somma tra le due varianze fornisce la varianza totale; finora, era stata osservata

solamente la varianza tra gruppi.

La concentrazione

Il fenomeno statistico della

concentrazione prende

senso solamente se si

riferisce a caratteri

quantitativi trasferibili (quali

reddito, fatturato e numero

di dipendenti, ecc…), la cui

unità può cedere una

modalità ad un’altra unità

statistica. Fornisce un’interpetazione più affidabile della variabilità in questa categoria di

caratteri.

Una concentrazione può essere concentrata se l’ammontare di un carattere di una

distribuzione è distribuito in uno disequo (quindi alcuni hanno più di altri), mentre è

equidistribuito se ogni unità possiede 1/n del carattere complessivo.

Il caso estremo di concentrazione avviene quando una solo unità possiede tutto il

carattere.

Come si fa se una concentrazione non è né equidistribuita ne a massima concentrazione

(ed è quindi solamente concentrata)?

Innanzitutto, bisogna confrontare le quantità e le frequenze (entrambe cumulate) di una

distribuzione. Nel caso ci sia equidistribuzione, Fi = Qi in ogni caso (Qi = Ai/An), mentre

lo sarà nel caso di concentrazione massima se i=n (n è il totale delle unità). In tutte le

situazioni intermedie invece Fi >= Qi, siccome Qi fino a n-1 sarà uguale a 0. Perciò, le

differenze per ogni i di Fi-Qi sarà sempre uguale a 0 se c’è equidistribuzione (anche in

massima concentrazione quando i=n), mentre equivarrà a Fi quando in una massima

concentrazione i non raggiunge n.

Le concentrazioni si calcolano quindi facendo le sommatorie delle sottrazioni fino a n-1 in

entrambi I casi (nella massima concentrazione il valore equivale sempre a Fi).

Siccome è ancora una concentrazione assoluta, per renderla relativa, compresa tra 0 e 1,

se rapportata al suo valore massimo. Questo è quello che fa il coefficiente di Gini.

Il Coefficiente di Gini

Misura introdotta dall’italiano Corrado Gini, mette a rapporto la sommatoria con n-1 della

frequenza sottratta alla quantità con il valore massimo di concentrazione, quindi la

sommatoria di Fi fino a n-1.

La Curva di Lorenz e il Coefficiente di Gini

Il calcolo di Gini può avvenire anche graficamente: il coefficiente è minimo nei casi di

equidistribuzione, tant’è che la distribuzione prenderà la forma grafica della bisettrice, la

forma massima di uguaglianza. Per valori diversi all’equidistribuzione, l’andamento della

diseguaglianza è dettato dalla Curva di Lorenz (o spezzata di concentrazione), che ad

ogni frequenza cumulativa accoppia la quantità cumulativa di riferimento. L’area tra

bisettrice e spezzata equivale numericamente al calcolo del Coefficiente di Gini, perciò il

calcolo grafico dell’area fornirebbe lo stesso risultato.

L'associazione fra due caratteri

Le analisi statistiche viste sinora si sono concentrate su un solo carattere (analisi

univariata), ma nella realtà i caratteri non restano mai isolati, ma si mescolano,

formando enomeni statistici più esplicativi e completi.

Analisi bivariata

Analisi compiuta su una distribuzione doppia di frequenze, nella quale i caratteri sono

congiunti. Finora la tabella utilizzata per questo tipo di distribuzioni è quella di

distribuzione per singolo carattere, ma in questi casi è bene considerare l’utilizzo della

tabella a doppia entrata, nella quale viene messo un carattere in riga e uno in colonna,

formando dei gruppi ben specifici.

Questo tipo di operazione si può fare con ogni tipo di carattere, quindi tra qualitativi o

quantitativi o anche misti.

Nel caso di due caratteri quantitativi, la tabella a doppia entrata viene rinominata in

tabella di correlazione.

Le distribuzioni “totali”, quindi

l’ultima riga e colonna, sono

dette distribuzioni marginali, che

coincidono con le distribuzioni

dei singoli caratteri, mentre la

distribuzione di un carattere data

la modalità dell’altro carattere è

detta distribuzione condizionata.

Tipi di connessione tra caratteri

Interdipendenza

Come già detto, la connessione di due caratteri è tale se legate da un rapporto logico,

cioè quando un carattere fornisce indicazioni più o meno precise dell’altro (come il

rapporto causa-effetto), e l’estremizzazione di questo concetto porta alla perfetta

connessione, altresì detta interdipendenza statistica, che avviene quando due caratteri si

legano in modo tale che ad ogni loro modalità è legata una sola modalità dell’altro

carattere (ciò è possibile sono quando sia X che Y hanno un numero di modalità

identico).

L'interdipendenza può avvenire sia in via bilaterale come appena spiegato, ma se il

numero di modalità tra caratteri e diverso, se un carattere mantiene la stessa relazione,

quindi ad una modalità associa una sola modalità, si parla di interdipendenza unilaterale.

Un esempio: la X ha 3 modalità e la Y ne ha 2; se ogni modalità della X punta tutta su

una modalità Y ma non accade il contrario (quindi più modalità X puntano a una modalità

Y), si parla di interdipendenza

unilaterale.

Indipendenza statistica

L’altra situazione limite è

rappresentata dalla connessione

nulla, anche detta indipendenza

statistica, che si verifica quando un

carattere non viene influenzato al

manifestarsi dell’altro: in parole

pratiche, le distribuzioni di

frequenze r elative di una modalità

di X saranno uguali in tutte le

modalità Y, così affermando implicitamente che quest’ultima non influenzi le modalità X,

e viceversa, perchè è una caratteristica sempre reciproca.

Quindi, se un carattere X non viene influenzato da Y, neanche Y viene

influenzato da X.

Il valore della generica frequenza assoluta di indipendenza di ogni

incrocio è dato dalla moltiplicazione la riga i di X e quella j di Y, divisa per la frequenza

totale; l’indipendenza è rispettata se il valore trovato corrisponde a quello presente nella

cella di riferimento.

Nel caso non ci sia indipendenza, bisogna trovare la

dipendenza, i cui valori si possono calcolare con il Valore di

Cramér.

Le contingenze

La contingenza è una misura dedita al calcolo di lontananza dall’indipendenza statistica;

più il valore è alto, più quel valore e lontano da essere indipendente. Il problema delle

contingenze è che la somma tra ogni contingenza delle celle di una distribuzione è nulla,

perciò preso così non è un indice affidabile. Se elevati al quadrato, però, verrà fuori che

ogni differenza farà accrescere la sommatoria; su questo prinicpio si basa l’indice di

connessione di Pearson.

L'indice di connessione di Pearson (o indice “chi quadrato”)

Questo indice serve per valutare la correlazione lineare tra caratteri utilizzando la

contingenza quadratica, uscendosene con questa formula:

Suddetta formula varia da 0 a n moltiplicato per il numero di righe o colonne; come si

può notare, se n è un numero molto grande, quindi le frequenze sono tante, anche

l’indice di Pearson sarà

più grande e diverso tra

distribuzioni doppie con

la stessa correlazione

lineare.

Per ovviare a questo

problema, Pearson

introdusse l’indice di

contingenza media, il cui calcolo è semplicissimo = chi quadrato/n. questo indice è

relativizzato, compreso tra -1 e 1, I quali indicano rispettivamente una forte correlazione

negativa e positiva. Al contrario, il numero 0 sta a indicare l’indipendenza statistica.

Indice di contingenza di Cramér

Altro strumento di calcolo della contingenza è l’indice di Cramér, più utile rispetto a

quelli analizzati perchè il più relativizzato: assume sempre valori compresi tra 0 e 1.

Nelle tavole di contingenza, con entrambi I caratteri qualitativi, le misure di associazione

si possono misurare unicamente con le frequenze della distribuzione, e non le modalità

del carattere perchè alfanumeriche. Questo tipo di calcolo si può fare ci on tavole miste o

di correlazione, e in questi casi si parla di (in)dipendenza in media.

Il calcolo della dipendenza o indipendenza MEDIA serve a capire quanto un carattere

quantitativo dipenda da quello qualitativo, e quindi quanto varia in funzione di

quest’ultimo (se entrambi I caratteri sono quantitativi, l’osservazione si può fare da

entrambi i punti di vista).

Non ci possono essere entrambi I caratteri qualitativi, e non è detto che l’ipotetica

indipendenza sia reciproca, come quella statistica.

L’indipendenza in media

Presi due caratteri

quantitativi X e Y, se Y non

varia le sue medie

condizionate al variare di

quelle del carattere X, si dice

che Y sia indipendente in

media da X. Se X e Y sono

statisticamente indipendenti

sono anche indipendenti in

media tra loro, ma non è

detto che due caratteri

indipendenti in media lo siano anche statisticamente.

La dipendenza in media è proprio il contrario (così succede anche nell’esempio).

A medie condizionate uguali, perciò un fenomeno si può dimostrare indipendente in

media, sia in modo bilaterale che unilaterale.

La media complessiva di un fenomeno si può calcolare sia utilizzando le frequenze

marginali di riga che utilizzando la proprietà associativa della media aritmetica.

È possibile anche misurare la varianza condizionata, utilizzando le frequenze della riga

marginale moltiplicate per il quadrato della modalità.

Misura della dipendenza in media di Y da X

Un indice che misura la dipendenza in media è il rapporto di corelazione lineare di

Pearson, svolto tra la devianza esterna e quella complessiva di y (equivalente al rapporto

tra le due varianze analoghe).

Il valore di questo rapporto è sempre compreso tra 0 e 1, che sono anche I due casi

limite; il primo indica una perfetta indipendenza in media, e non deve esistere varianza

esterna, ma solo quella interna, mentre il secondo presuppone una perfetta dipendenza

in media, e avviene quando varianza esterna e complessiva sono uguali.

Quando il rapporto è uguale a 0 vuol dire che le medie condizionate sono t