Riassunto Esame Matematica Finanziaria, prof. Valaperta

Matematica Finanziaria Teoria

Integrali

Def. Se g è una funzione derivabile in un intervallo (a, b) la cui derivata g’(x) è uguale ad una funzione ƒ(x),

per ogni x appartenente all’intervallo, la funzione g si dice primitiva di ƒ in (a, b).

Dato che la derivata di una costante è nulla, due funzioni che differiscono per k costante hanno la stessa

derivata, sono dunque primitive di ƒ(x). ƒ(x) ha infinite primitive.

I NTEGRALI INDEFINITI

Def. Sia g una qualsiasi primitiva di ƒ(x) nell’intervallo [a, b]. Si dive integrale indefinito di ƒ(x) l’insieme delle

primitive di ƒ al variare di una costante c. ! () = () +

∫[()

Gli integrali sono linearmente indipendenti. + ()] = () + ()

∫ ∫

Formule notevoli

1. L’integrale del rapporto tra una derivata e la sua funzione corrispondente è uguale al logaritmo

naturale del valore assoluto della funzione.

′() |()|

! = +

()

2. L’integrale del prodotto di una funzione e la sua derivata è uguale a quadrato della funzione diviso

due. !

[()]

! ()′() = +

2

M ETODI DI RISOLUZIONE

1. Metodo per parti: usato per risolvere degli integrali formati dal prodotto tra un polinomio e

un’esponenziale o una goniometrica o un logaritmo oppure dal prodotto di un esponenziale per

una goniometrica. " ()

! ∙ () = () ∙ () − ! ′() ∙ ()

2. Metodo per sostituzione: cambio di variabile in una funzione e dei limiti dell’intervallo

" ()

! () = ! [()] =

3. Metodo razionali fratte: usato per funzioni fratte con un numeratore e un denominatore. Se il

grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore si risolve la divisione tra le frazioni e

si calcola l’integrale del quoziente sommato al rapporto tra il resto e il denominatore. Se il grado

del numeratore e del denominatore è uguale e inferiore a 2, allora è necessario trovare il delta

della funzione. () ()

! = ! () +

() ()

I ( R )

NTEGRALI DEFINITI DI IEMANN

Def. Data una funzione ƒ(x) che va da [a, b] a R, positiva in [a, b]. Consideriamo una partizione dell’intervallo

#$%

[a, b] in n sottointervalli tutti di uguale ampiezza ; preso un punto t appartenente ad un

∆ = &

sottointervallo, si definisce somma integrale di Riemann la somma delle aree dei rettangoli di base e

∆

altezza ƒ(t). Se si considerano tutte le possibili partizioni per n che tende a più infinito allora si può

suddividere l’intervallo ad oltranza e di conseguenza far tendere a 0.

∆

Pietro Bologna – Università Bocconi 1

& &

−

?[() ∙ ∆] = ? ()

'() '()

Def. Si dice integrale definito da a a b di una funzione , il limite per n che tende a più infinito

()

[%,#] ⊆ℝ→ℝ

della somma integrale di Riemann se esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti t. La funzione si dice

Riemann-integrabile.

# &

−

! () = lim ? ()

&→12 '()

%

C ONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI DI INTEGRABILITÀ

• Necessaria, ma non sufficiente: la funzione deve essere limitata nell’intervallo.

()

[%,#] ⊆ℝ→ℝ

• Sufficiente:

Sia continua e quindi limitata per Weierstrass.

()

o [%,#] ⊆ℝ→ℝ

Sia limitata e abbia un numero finito (o infinità numerabile) di punti di

()

o [%,#] ⊆ℝ→ℝ

discontinuità.

Sia e in tale intervallo chiuso e limitato sia monotona.

()

o [%,#] ⊆ℝ→ℝ

P

RIMO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Sia g primitiva di ƒ(x) nell’intervallo chiuso [a, b]. Se ƒ(x) è integrabile in [a, b], allora vale che:

#

[()]

! () = = () − ()

%

S ECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Sia e continua in tale intervallo e siano x , x punti dell’intervallo, allora la funzione integrale

() 0

[%,#] ⊆ℝ→ℝ

3 "

! ()

F(x)= è derivabile e si ha che cioè la derivata della funzione integrale coincide con

() = ()

∫

3

il valore che la funzione assume nell’estremo superiore x d’integrazione.

() #

[()]

! () = = () − ()

%

I NTEGRALI IMPROPRI O GENERALIZZATI

Integrali su un intervallo illimitato, ƒ(x) integrabili su [a, x] per ogni x maggiore di a. Un integrale su un

intervallo illimitato a più infinito corrisponde al limite per x che tende ad infinito dell’integrale su un

intervallo [a, x]. Se questo limite esiste finito, allora ƒ(x) è integrabile a più infinito o converge, se il limite

esiste infinito allora ƒ(x) non è integrabile a più infinito o diverge, se il limite non esiste allora ƒ(x) non è

integrabile. 12 3

! () = lim ! ()

3→12

% %

C ’

RITERI SUFFICIENTI PER L INTEGRABILITÀ

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Siano f e g due funzioni che vanno da [a, +∞] a R, integrabili su [a, x] per ogni x maggiore di a, positive

nell’intervallo. Sia poi f(x) asintotica a g(x) per x che tende a più infinito. Allora gli integrali generalizzati

delle due funzioni che vanno da a a più infinito hanno lo stesso comportamento, ossia si può confrontare il

comportamento di una funzione con una di cui lo si conosce già.

Pietro Bologna – Università Bocconi 2

12 1 1

! ≤ 1, > 1

4

−1

)

CRITERIO DEL CONFRONTO

Siano f e g due funzioni che vanno da [a, +∞] a R, integrabili su [a, x] per ogni x maggiore di a, non negative

nell’intervallo. Sia poi f(x) minore o uguale a g(x). Se l’integrale di g(x) converge allora anche l’integrale di

f(x) converge, se invece l’integrale di f(x) diverge, allora anche l’integrale di g(x) diverge.

Si confronta con l’integrale di una esponenziale (vedi sopra).

CRITERIO INTEGRALE DELLE SERIE

Sia f una funzione che va da [a, +∞] a R, integrabile su [a, x] per ogni x maggiore di a, positiva e decrescente

nell’intervallo. Allora l’integrale della funzione ha lo stesso carattere della serie della stessa funzione. In

particolare si confronta con la serie geometrica. In particolare l’integrale a più infinito converge e la

funzione ha limite se e solo se il limite a più infinito della funzione è uguale a 0.

12 12

! ()~ ? ()

5

5 ≥1

⎧ 1

12 &

? = −1< <1

1−

⎨

5 ≤ −1

⎩

12

! () ℎ + ∞ ⇔ lim () = 0

3→12

5

CRITERIO DELLA CONVERGENZA ASSOLUTA

Sia f una funzione che va da [a, +∞] a R, integrabile su [a, x] per ogni x maggiore di a (condizione

sufficiente). Se f è assolutam