Riassunto esame Fondamenti di Automatica

Sistemi dinamici a tempo continuo

·x = f(t, x, u)
y = g(t, x, u)

Definizioni

Movimento dello stato di un sistema = x(t) soluzione del sistema.
Movimento dell’uscita di un sistema = y(t) corrispondente.

Sistema dinamico a tempo invariante: non c’è la dipendenza dal tempo t → ·x e y dipendono solo da x e u → si può scrivere in forma matriciale (se lineare) → ·x = Ax + Bu, y = Cx + Du.

Sistema strettamente proprio matrice D = 0 → LTI - Sistemi dinamici lineari.
La soluzione (il movimento) di un sistema dinamico lineare è data dalla formula di Lagrange ed è composta da due parti:

• Movimento libero: Ate * x(0) → dipende solo dalle condizioni iniziali x(0).
• Movimento forzato: At Aτe * integrale di [e- *B*u(τ)] dτ → dipende solo dall’ingresso u.

Per i sistemi lineari è possibile applicare il principio di sovrapposizione.

I sistemi dinamici si possono studiare approssimandoli al comportamento che assumono al loro punto di equilibrio. I sistemi lineari sono invertibili, dunque:

• Esiste sempre un punto di equilibrio.
• Esiste una caratteristica statica costante.

Definizioni

Punto di equilibrio per LTI = stato tale per cui: f(x, u) = 0 -1A* + B* = 0 = -A *B* → dove è un ingresso costante.
Caratteristica statica relativa a un punto di equilibrio ( ); per sistemi tempo invarianti è pari a = (- C*A *B + D) * -1.
Guadagno di un sistema lineare = - C*A *B + D (= derivata della caratteristica statica).

NLTI - Sistemi dinamici non lineari

Per studiare i sistemi non lineari ci si avvale della linearizzazione in modo tale da ottenere un modello lineare approssimativo del modello non lineare attorno al suo punto di equilibrio.

Punto di equilibrio per NLTI stato tale per cui f(, ) = 0, dove è un ingresso costante e uno degli equilibri del NLTI attorno al quale si è linearizzato il sistema.

Movimento libero e forzato

Ate * x(0) dipende solo dalle condizioni iniziali x(0).
Il tempo di assestamento (pari a 5* τ) non può dipendere dalla scelta delle variabili, dunque le matrici dei sistemi lineari tempo varianti devono avere particolari proprietà affinché risultino indipendenti dal tipo di variabile; in particolare devono essere diagonalizzabili.

Il sistema dinamico lineare tempo invariante: ·x = Ax + Bu, y = Cx + Du ~con il cambio di variabili: x = T*x, avrà come nuove matrici le seguenti:

• A~ = T*A* T^-1
• B~ = T*B
• C~ = C* T^-1
• D~ = D

Le nuove matrici sono simili a quelle precedenti → la matrice T è composta dagli autovettori di A → ~la matrice A è diagonale ed ha sulla diagonale gli autovalori λ di A.

Il movimento libero del sistema x(t) diventa dunque il vettore che ha come elementi i λi t “modi del sistema” cioè le traiettorie e * x (0).

λi numero reale modo esponenziale → λi numero complesso modo oscillatorio smorzato con andamento esponenziale.

Dunque, dato un sistema dinamico lineare tempo variante non diagonalizzato e data ~ -1 la matrice diagonale A = T*A* T, il movimento libero delle variabili iniziali è uguale alla composizione lineare dei modi del sistema.

~tAt -1 Ae = T * e * T

Quando il sistema non è diagonalizzabile la matrice A assume la forma di Jordan, ossia presenta sulla diagonale non i singoli autovalori, ma i blocchi di Jordan, delle sottomatrici ciascuna associata a un particolare autovettore di A. Il movimento forzato dell’uscita y(t) ha come trasformata la funzione di trasferimento del sistema.

Stabilità

LTI 1 equilibrio stabilità equilibrio = stabilità del sistema → NLTI 1 o + equilibri stabilità degli equilibri.

Definizioni

• Per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che a partire da ogni condizione iniziale nella sfera di raggio δ e centro, la traiettoria x(t) rimane all’interno della sfera di raggio ε e centro.
• È stabile alla Lyapunov → stabile alla Lyapunov + limite di t→∞ di x(t, ) = per ogni x(0) è asintoticamente stabile.
• Per LTI: Re [λi] < 0 sistema asintoticamente stabile.
• Esiste un λ | Re[λ] > 0 sistema instabile.
• Re [λi] ≤ 0 + ma=mg per λk | Re[λk]=0 sistema stabile alla Lyapunov con modo costante.
• Re [λi] ≥ 0 + ma>mg per λk | Re[λk]=0 sistema instabile.

Criteri di stabilità = metodi per determinare la negatività della parte reale degli autovalori.

• Criterio di Stodola = condizione necessaria: tutti i coefficienti del polinomio caratteristico sono ≠ 0 e hanno lo stesso segno. NB Se il sistema è di 1° o 2° ordine la condizione è anche sufficiente.
• Criterio di Hurwitz = condizione necessaria e sufficiente: tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Hurwitz […] sono diversi da zero e hanno lo stesso segno.

Per i sistemi con equilibrio asintoticamente stabile il comportamento del movimento libero è descritto dal modo dominante si definiscono:

• Costante di tempo dominante τ: max [-1/a] dove a=Re[λi]
• Tempo di assestamento dominante: 5τ at
• Modo dominante = quello che si osserva per t>>=, cioè e | (-1/a) = τ dominante

Funzione di trasferimento

Y(s) = F(s) * U trasformata di y(t) = movimento forzato dell’uscita → -1FDT = F(s) = C* (I*s – A) + D

F(s) = polinomio fratto N(s) / D(s)
Zeri = radici del numeratore
Poli = radici del denominatore = sottoinsieme degli autovalori di A
Autovalori nascosti = radici in comune tra numeratore e denominatore
FDT asintoticamente stabile = poli e autovalori nascosti a parte reale negativa
deg(D) – deg(N) = eccesso di poli

Eccesso di poli > 0 grado relativo alla FDT positivo sistema strettamente proprio (D=0)
Eccesso di poli <= 0 grado relativo alla FDT nullo sistema proprio
Eccesso di poli < 0 grado relativo alla FDT negativo non esiste alcun sistema dinamico con questa FDT

Teorema del valore iniziale lim y(t) = lim s*Y(s) → t→0 s→∞
Teorema del valore finale lim y(t) = lim s*Y(s) → t→∞ s→0

Schemi a blocchi aggregati fondamentali

• Cascata = F1*F2
• Parallelo = F1+F2
• FDT anello = FDT andata * FDT ritorno
• FDT retroazione = FDT andata / (1 + FDT anello)

Definizioni

Esternamente stabile = poli a parte reale negativa
Asintoticamente stabile = poli e autovalori nascosti a parte reale negativa (si formano autovalori nascosti tramite semplificazioni zero-polo in cascata, in parallelo o in retroazione).

NB: aggregare in cascata o in parallelo non modifica.