Riassunto esame Fondamenti di Automatica

DIAGRAMMA APPROSSIMATO DELLA

 per ω 0



µ>0 asintoto orizzontale a quota -90*h



µ<0 asintoto orizzontale a quota -90*h-180



per ω>>0 ho cambi di fase ogni qual volta incontro una radice:

polo stabile o zero instabile -90°



polo instabile o zero stabile +90°

 –τiω

DIAGRAMMI DI BODE CON RITARDO: F(S) * e

- stesso diagramma del modulo

- diagramma della fase viene spostato di -τ * ω

Sistema a sfasamento minimo = tutti i poli e gli zeri sono stabili



DIAGRAMMI DI BODE DI AGGREGATI:

cascata



diagramma del modulo = la somma (in dB) dei diagrammi del modulo dei due sistemi

diagramma della fase = la somma (in gradi) dei diagrammi della fase dei due sistemi

parallelo



diagramma del modulo = si ottiene prendendo, per ogni valore di ω, il massimo tra i

diagrammi del modulo dei due sistemi

diagramma della fase = si ottiene, dopo aver ribaltato rispetto allo 0 il diagramma

della fase più alto, prendendo, per ogni valore di ω, il diagramma della fase del

sistema che ha modulo massimo

retroazione



Dato un anello di retroazione (negativa) con ramo di andata G1(s)=FDT e ramo di

a->b

ritorno G2(s)=FDT b->a

diagramma del modulo dell’anello chiuso si ottiene prendendo, per ogni valore di



ω, il minimo tra i valori del diagramma del modulo di G1(s) e quello di G2(s) ribaltato

attorno all’asse 0 db.

diagramma della fase dell’anello chiuso si ottiene prendendo, per ogni valore di ω:



* fase di G1 quando il modulo di G1 < modulo di 1/G2

* fase di 1/G2 = fase di - G2 quando il modulo di G1 > modulo di 1/G2.

DIAGRAMMI DI BODE ESATTI

modulo:

 quando trovo un polo il diagramma esatto passa sotto quello approssimato con

un errore di circa 3db

quando trovo uno zero il diagramma esatto passa sopra quello approssimato

con un errore di circa 3db

fase:

 il contributo della fase di un polo o zero arriva al suo valore asintotico in circa

due decadi

Per radici complesse coniugate ho un picco di risonanza.

DIAGRAMMA DI NYQUIST

Definizioni:

Diagramma polare diagramma di G(iω) nel piano complesso

 

Circonferenza di Nyquist luogo geometrico dei punti composto da:

 

- asse immaginario esclusi i poli a parte reale = 0

- semicerchi di raggio infinitesimo che lasciano le eventuali radici a parte reale

= 0 a sinistra

- semicerchio all’infinito

Diagramma di Nyquist

 = immagine della circonferenza di Nyquist attraverso G(s) nel piano complesso

è composto dall’unione del diagramma polare e del suo simmetrico rispetto



all’asse orizzontale

REQUISITI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO

1) STABILITÀ

Il sistema in anello chiuso deve essere asintoticamente stabile.

2) PRECISIONE STATICA

a regime ed a seguito di determinate perturbazioni del segnale di ingresso

(scalino, rampa…) il segnale di errore deve essere nullo, oppure inferiore ad

una soglia prefissata.

3) PRECISIONE DINAMICA

il segnale di uscita deve seguire il riferimento e reagire a perturbazioni

rapidamente e senza comportamenti oscillatori. Il modulo della funzione

sensitività complementare deve essere tale da riprodurre correttamente yo,

attenuando d e dt.

4) MODERAZIONE DEL SEGNALE DI CONTROLLO

il segnale di controllo deve rimanere entro limiti prestabiliti, per non

danneggiare o saturare gli attuatori. La funzione sensitività del controllo deve

avere modulo piccolo.

1) STABILITÀ: CRITERI DI BODE E NYQUIST

Pulsazione critica ω pulsazione per cui il diagramma del modulo attraversa l’asse



c

a 0 dB. (se il diagramma del modulo attraversa gli 0 dB in più punti, ω si dice “non

c

ben definita”.

Fase critica ϕ fase in corrispondenza della pulsazione critica



c

Margine di fase ϕ è il primo indicatore di stabilità ed è pari a = 180° - |ϕ



m c|

Pulsazione critica per il guadagno ω pulsazione per cui il diagramma della fase



c,g

attraversa l’asse a 180°

Margine di guadagno µ è il secondo indicatore di stabilità ed è pari a = -20log|G(i



m

ω |

c,g)

CRITERIO DI BODE

ipotesi:

- eventuali autovalori nascosti hanno parte reale negativa

- FDT ad anello L non ha poli a parte reale strettamente positiva

- ω ben definita (il diagramma attraversa gli 0db in un solo punto, dall’alto

c

verso il basso / ma=1)

- lim [G(iω)] ≠ -1

ω->∞

il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se

 * guadagno µ >0

L

* margine di fase ϕ (L)>0

m

CRITERIO DI NYQUIST

PL = numero di poli di L(s) a parte reale strettamente positiva (instabili)

N = numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist intorno al punto 1 dell’asse

reale, contati positivamente in senso antiorario (se il diagramma passa per il punto

-1, N si dice “non definito”)

ipotesi: eventuali autovalori nascosti hanno parte reale negativa

il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se N = PL (≠ -1)



Rapporto tra Bode e Nyquist:

Il criterio di Bode è un caso particolare del criterio di Nyquist, ossia quando PL=0

(non esistono poli a parte reale positiva), che per Nyquist comporta N=0, cioè nessun

giro del diagramma di Nyquist attorno al punto -1.

Margine di fase ϕ = sfasamento, cioè la distanza tra il punto -1 e il punto in cui il

m

diagramma di Nyquist interseca la circonferenza di raggio 1.

Margine di guadagno µ = distanza tra il punto -1 e il punto in cui il diagramma di

m

Nyquist interseca l’asse orizzontale.

ϕ > 0 N=0 (ritrovo l’ipotesi del criterio di Bode e la sua conseguente validità)



m

ϕ < 0 N diverso da 0



m 2) PRECISIONE STATICA

Specifiche di precisione statica = specifiche sul comportamento asintotico dell’errore

a transitorio esaurito (sulla differenza tra il riferimento y e l’uscita y)

0

∞

Generica specifica statica e ≤ c, dove e = y -y

 0

Viene verificata considerando:

dt=0

 ERRORE DOVUTO AL SEGNALE DI RIFERIMENTO y

 0

tra y ed e

Data la fdt = 1/(1+L), con L di tipo h e guadagno µ;

0

dato un ingresso y con tipo k;

0

L’errore asintotico è:

se h=k-1 inversamente proporzionale al guadagno µ



o se h>k-1 nullo



o se h<k-1 infinito o pari all’ingresso se k=1



o

Principio del modello interno:

uno schema di retroazione con ingresso di tipo k, ha errore asintotico nullo

quando la FDT di anello L contiene al suo interno il modello dell’ingresso,

k

cioè un fattore 1/s .

ERRORE DOVUTO AI DISTURBI IN LINEA DI ANDATA d

 tra d ed e

data la fdt = -1/(1+L), con L di tipo h e guadagno µ

valgono le stesse considerazioni precedenti ma con segno opposto

- disturbo D filtrato da fdt = H con guadagno µ e tipo h

H H hH

il disturbo effettivamente agente sull’uscita è = D * µ /s

H

- disturbo D di carico costante (tra R e G, con G di guadagno µ e tipo h )

G G

hG

il disturbo effettivamente agente sull’uscita è = D * µ /s

G

dt ≠ 0



per far valere e=yo-y, il disturbo sul trasduttore dt deve essere ridisegnato a valle del

segnale e

data la fdt tra dt ed e = L/(1+L)

il segnale di errore è

- costante per disturbi costanti (scalino)

- tende a infinito per disturbi a rampa, a parabola…

il sistema di controllo non può garantire a regime una precisione migliore di quella

del trasduttore

COMPENSAZIONE DEL DISTURBO

Si immagina di introdurre nello schema di retroazione un compensatore C tra R e G

in modo da compensare gli effetti del disturbo d che entra in C e in un’altra FDT

(chiamata H).

FDT = - (CG+H) / (1+L)

d->e

Calcolando la nuova FDT tra il disturbo d ed e (data dal parallelo tra i due percorsi

intraprendibili a partire da d), per il teorema del valore finale:

l’errore asintotico è nullo se lim di s*D*F(s) = 0

s->0

Specifiche comuni per uno schema di compensazione (con o senza retroazione):

- C:= - H(s)/G(s) assicura y nullo per ogni segnale d, ma non è sempre



realizzabile

- C:= - H(0)/G(0) assicura reiezione a regime di un disturbo costante



- C(iω):= - H(iω)/(Giω) assicura reiezione a regime di un disturbo



sinusoidale con pulsazione ω

3) PRECISIONE DINAMICA

Date:

G1 = R*G = L fdt di andata



G2 = 1 fdt di ritorno



G1*G2 = R*G = L fdt di anello



F(s) = L / (1+L) fdt ad anello chiuso / di sensibilità complementare



y0->y

Il diagramma del modulo di F(s) si ottiene come il minimo tra |L(iω)| e |1|.

Di conseguenza, assumendo guadagno di L >1:

per ω0 in bassa frequenza ci aspettiamo |F(iω)|≈1

per ω∞ in alta frequenza ci aspettiamo una fdt stabile e strettamente positiva, cioè

con eccesso di poli positivo e dunque con più poli che zeri, così da avere |F(iω)| 0



(pendenza finale negativa)

Banda passante = rappresenta l’intervallo di pulsazioni [0; ω ], dove ω è la

c c

pulsazione critica di una data fdt di anello L.

RELAZIONE TRA BANDA PASSATE, VELOCITÀ DI RISPOSTA,

SMORZAMENTO E MARGINE DI FASE

ipotesi: |L(ω)| >> 1 per ω< ω 2 possibili diagrammi del modulo per F(s)



c y0->y:

ϕ > 60° approssimazione a un polo reale

 

m F(s) ≈ 1 / (1+s/ω )

c

costante di tempo = 1/ω c

tempo di assestamento = 5/ω c

ϕ < 60° approssimazione a due poli complessi coniugati

 

m 2 2 c2

F(s) ≈ ωc / (s + 2*ξ*ω *s + ω )

c

costante di tempo = 1/ ξ*ωc

tempo di assestamento = 5 / ξ*ω c

determinare smorzamento ξ:

- dall’approssimazione |F(iω )| = 1 /2*ξ

 c

- dal valore esatto |F(iω )| = 1/ (2*sen(ϕ /2))

 c m

ξ = sen (ϕ /2) = ϕ /100 (in gradi)

m m

perciò per ϕ < 60°, F(s) è ben approssimata da un sistema del secondo

 m

ordine, con:

costante di tempo = 100/(ϕ *ω )

m c

tempo di assestamento 500/(ϕ *ω )

m c

ampiezza del picco di risonanza in ω tanto maggiore quanto più ϕ è

c m

piccolo

RELAZIONE TRA BANDA PASSANTE E REIEZIONE DEI DISTURBI