Riassunto e dimostrazioni analisi 2

Riassunto 2^a funzione:

• Dominio: Calcolare le C.E.
• Segno e zeri: Calcolare f(x,y) > 0 sull'intero del dominio
• Prolungare per continuità:
  • lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) = L = lim_{(u,v)→(a,b)} f(φ(u,v))
• Limiti notevoli:
  • lim_x→0 sinx/x = 1
  • lim_x→0 (1-cosx)/x = 1/2
  • lim_x→0 ln(1+x)/x = 1
  • lim_x→0 xⁿ/x = x^n-1
• Derivate parziali:
  • lim_h→0 (f(x₀+h,y₀) - f(x₀,y₀))/h = ∂f/∂x |_(x0,y0)
  • lim_k→0 (f(x₀,y₀ + k) - f(x₀,y₀))/k = ∂f/∂y |_(x0,y0)
• Derivate direzionali:
  • D_N = f(P) = lim_h→0 (∇f ⋅ N ⋅ u)_h = f'(P), con N = Ψ/||Ψ||
• Piano π a f in P:
  • π: Ζ ⋅ f(P), ∇f(P) ⋅ (x-x_P + y-y_P)
  • π: Ν ⋅ (x-x₀, y-y₀, z-z₀), con Ν = Ψ⋅ (x, y)
• Differenziabilità:
  • lim_{(h,k)→(x0,y0)} (f(x,y) - f(x₀,y₀) - ∇f(x₀,y₀) ⋅ (x-x₀,y-y₀))/((x-x₀)+(y-y₀)) = 0
• Teorema del diff. totale: Se f(x,y) sono reali e continui in un intorno del punto P, allora f è differenziabile in M.
• Estremi liberi: Fermati:
  • f_x = 0
  • f_y = 0
  • ∇H_P = |f_xy f_x| → |a > 0 min rel. a < 0 max rel.
• Estremi vincolati:
  • Moltiplicatori di Lagrange |f(x,y) = λg'| e poi calcola f nei punti g(x,y)=0
  • oppure parametrize f in base a g e calcola f(g') > 0 con G(u) = f(y)

Riassunto 2^a timore:

• Dominio: Calcolare le C.E.
• Segno (zeri): Calcolare f(x)≥0 sull'interno del dominio
• Prolungare per continuità:
  • Lim_{(h,k)→(0,0)} f(x,y) e L = Lim_{(h,k)→(0,0)} f(μ,ν)
• Limiti notevoli:
  • Lim_x→0 x/sen x = 1
  • Lim_x→0 (1-cos x)/x = 1/2
  • Lim_x→0 ln(1+x)/x = 1
  • Lim_x→0 x-1/x = 0
• Derivate parziali:
  • Lim_h→0 (f(x+h,y₀) - f(x₀,y₀))/h = ∂f/∂x |_(x0,y0)
  • Lim_k→0 (f(x,y+k) - f(x₀,y₀))/k = ∂f/∂y |_(x0,y0)
• Derivate direzionale: D_vf(p) = Lim_h→0 (f(p+hU) - f(p))/h, con N = U
  v
• Piano T_g a f in P:
  • Φ: Z: f(p), ∇f(p) - (x-x_p - y-y_p)
  • Π: T: N(p) (x-x₀, y-y₀, z-z₀), con N = [i,j,k]
• Differentiabilità:
  • Lim_{(h,k)→(x0,y0)} (f(x+h,y+k) - f(x₀,y₀)) / (x-x₀ - y-y₀) = 0
  • F.d.G: D_a(T

    ) ∇f(P) ∙ n

• Teo del diff. totale: Se f e y sono reale e continui in un intorno del punto P
  • → f è differenziabile in M
• Estremi liberi:
  • P.t. Fermati:
    • ƒ_x = 0
    • ƒ_y = 0
  • H_ƒ = | ƒ_xx ƒ_xy | | ƒ_yx ƒ_yy | →
• Estremi vincolati:
  • Moltiplicatori di Lagrange
    • ƒ = λg
    • ƒ_x = λg₁ e poi calcol.: f nei punti
    • G(x,y) = 0

Integrali doppi

coord. polari: x=ρ·α·cos(φ) ^ y=ρ·sen(φ) ^ dxdy = ρ·dρdφ

coord. ellittiche: x=x₀·aφcosφ ^ y=y₀·bφsenφ ^ dxdy = a·b·dφdρ

• Se E è pari e φ è dispari rispetto alle x → ∫∫E f(x,y)dxdy = 0
• Se E è pari e f è pari rispetto alle x → ∫∫E f(x,y)dxdy = 2∫∫E+ f(x,y)dxdy

Applicazioni:

1. M = ∫∫E f(x,y)dxdy massa
2. X_B = M^-1∫∫E xδ(x)δ(y)dxdy baricentro (se δ=const → X_B = X
3. I = ∫∫E (x²+y²)·δ(x)δ(y) dxdy momento d'inerzia
4. V = ∫∫E f(x,y)dxdy volume
5. N_m = 1/Area(E) ∫∫E f(x,y)dxdy con A(E)=∫∫E 1 dxdy valor medio

Integrali tripli

coord. sferiche: x=ρ·senψ·cosφ y=ρ·senψ·senφ z=ρ·cosψ ^ dxdydz = ρ²senψdψdφdρ

coord. cilindriche: x=ρ·cosφ y=ρ·senφ z=z ^ dxdydz = ρdρdφdz

Applicazioni: