Riassunto e dimostrazioni analisi 2

Riassunto 2^a iterazione:

• Dominio: Calcolare le C.E.
• Segno e zeri: Calcolare f(x) > 0 sull'interno del dominio
• Prolungare per continuità:
  • lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = L ≡ lim_{(h,k)→(0,0)} f(x₀+h, y₀+k)
• Limiti notevoli:
  • lim_x→0 senx / x = 1
  • lim_x→0 (1-cosx) / x² = 1/2
  • lim_x→0 ln(1+x) / x = 1
  • lim_x→0 x^m = 1ⁿ
• Derivate parziali:
  • lim_h→0 (f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)) / h = ∂f/∂x (x₀, y₀)
  • ∇f(x₀, y₀)
  • lim_k→0 (f(x₀, y₀+k) - f(x₀, y₀)) / k = ∂f/∂y (x₀, y₀)
• Derivata direzionale:
  • D_v f(p) = lim_t→0 (P+tv) / t (f(p)) con v = [u,v]
• Piano T_p a Γ in P:
  • Γ: Z - f(p), ∇f(p) ⋅ (x-x₀, y-y₀)
  • Π: Γ(x₀, y₀, z₀) con Ν = ⋃_x,y ∇r
• Differenziabilità:
  • lim_{(h,k)→(0,0)} (f(y,x) - f(x₀,y₀) - ∇f(x₀,y₀) ⋅ (x-x₀, y-y₀)) / [(√(x-x₀)² + (y-y₀)²)] = 0
• FdG: D^* f(p), ∇f(p) ⋅ ∇
• Teo del diff. totale: Se f e g sono reals. e continui in un intorno del punto P^* ⇒ f e differenziabile in Μ & Z
• Estremi liberi:
  • 1) Fermati: f_x = 0
  • f_y = 0
  • 2) H_f: f_xx, f_xy, f_yy = >0
• Estremi vincolati:
  • 3) Per determinare se sono ass. calcolati, f(p) e poi analizzato f(x,y) - f(x_p,y_p)
• Moltiplicatori di Lagrange:
  • f(x, y, λ) =
    • f + λ g
  • f_x = λg_x e poi calcolo f nei punti
  • g(x,y) = 0
• oppure parametrize f in base a g e calcola G(t) > 0
  • con G(t) = f(r)

Integrali doppi

• coord. polari:
  • x=ρcosθ
  • y=ρsinθ
  • n = ρdρdθ
• coord. ellittiche:
  • x=aρ'cosθ
  • y=bρ'sinθ
  • n = dxdy = a b ρ'dρ'dθ

Se E è pari o f è dispari rispetto alle x ⇒ ∫∫_E f(x,y)dxdy = 0 Se E è pari o f è pari rispetto alle x ⇒ ∫∫_E f(x,y)dxdy = 2∫₁^E f(x,y)dxdy

Applicazioni

1. M = ∫∫_E δ(x,y)dxdy massa
2. X_B, Ẏ_B = ∫∫_E xδ(x,y)dxdy baricentro (se δ = const => x_B = 1/A(E) ∫∫_E x dxdy)
3. I = ∫∫_E (x²+y²)δ(x,y) DxDy momento d'inerzia
4. V = ∫∫_E f(x,y)dxdy volume
5. N.m. = 1/Area(E) ∫∫_E f(x,y)dxdy con A(E) = ∫_E 1 dxdy valor medio

Integrali tripli

• coord. sferiche:
  • x=ρcosθsenφ
  • y=ρsinθcosφ
  • z=ρcosφ
  • n dxdydz = ρ²senφdρdφdθ
• coord. cilindriche:
  • x=ρcosθ
  • y=ρsenθ
  • z=z
  • n dxdydz = ρdρdθdz

Applicazioni

1. M = ∭_Ω δ(x,y,z) dx dy dz
2. I = ∭_Ω (x²+y²+z²) δ(x,y,z) dx dy dz rispetto ad O(0)
3. V = ∭_Ω 1 dx dy dz
4. N.m. = 1/Volume(Ω) ∭_Ω f(x,y,z) dx dy dz

Lavoro

W(F) = ∫_γ F · ds = ∫_a^b F(r(t)) · dr'(t)dt W=∮_γ F · ds se γ è chiusa

Campi

rot(F) = 0 ⇒ F è irrotet. Se F∈C¹(Ω) Ω semplicemente connesso e rotF = 0 ⇒ F è conservativo Se F è conserv. ⇒ W(F) = U(B) - U(A) Se F è cons. ⇒ ∮_γ F · ds = 0

Integrali di superficie

A(E) = ∫∫_Σ 1 dΣ = ∫∫_n ||∂r/∂u x ∂r/∂v|| dudv se Σ ∈ forma parametrico = ∫∫_n ||∇f(x,y,z)|| dx dy se Σ ∈ forma cartesiana

3)

F = (^X/_x²+y²-4^Y/_x²+y²-4)>

Ω = {(x, y) ∈ ℝ² : x²+y²>4}

Ω = aperto, delimitato, S non è sempl. connesso

a) Mostrare che F è irrotat. e trovare un potenziale in Ω

F è irrotaz. ∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y = 0 => F è irrotat. su Ω

N.B.: Non essendo Ω sempl. connesso ciò non garantisce che F sia cong.

I F.J ovvero ciò non garantisce che esiste un potenziale in Ω cui null.

F1 ≡ ∂U/∂x = F₂ ≡ ∂U/∂y => F1 = X/√(x²+y²-4)

U= ∫((x)/(√x²+y²-4)) dx =

= -√(x²+y²-4) + g(y)

=> ∂U/∂y = (y)/(√x²+y²-4) + g'(y) = F₂ =

(y)/(√x²+y²-4) => g'(y) = 0 => g(y) = k; k ∈ ℝ

= Tatti I potenziali sono della forma: U(x,y)=-√(x²+y²-4) + k

=> un potenziale è U(x+iy) = -√(x²+y²-4)

5) Calcolare il lavoro di F lungo la curva r(t) = (t, √(t)) t ∈ [2,3]

W(ab) = U(B) - U(A) = U(r(b)) - U(r(2)) = U(z,3) - U(z,j√2)

= -2√2 - √2 = J2

9) Scrivere eq part del piano T alla superficie Σ.

(x, t, ωt; zπ, ω, t) In a (-2;;1;1) e det. gli altri eventual

punti in cui T intersco Σ.

x= -2cosθ

y = sinθ/π,

tₘa-t

ω - ε = t - εω =Í{t, xy} + x² + y² + znm

(0,t) (t,π(t)) => B, a x⁺⁴(π,j)

n= √x² t^a = (co^sθ, x^ṣ̅nθ - z^ṣnθ) =>

Σ π(x,y).

rot F = 0 non è suff. poichè: (controesempio)

il campo magnetico F = (x_y/x² + y² i + x/x² + y² j) non è cons,

il lavoro lungo una linea chiusa (circ. unitaria) non è nullo, ma

rot F = 0.

Teo.

Condiz. suff. affinchè F sia cons.

Ω sia semplicemente connesso e che rot(F) = 0.

Def.

Insieme connesso e semplicemente connesso.

Rimanendo nell'ambito dei campi vettoriali si definisce il lavoro di un campo vettoriale F: Ω R³ R³ lungo un arco di curva r regolare a tratti, parametrizzato da: r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

con t ∈ [a; b]: W = ∫_a^b F · ds = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt

⦁ ∫ F · ds = ∫ F · dt con τ versore tg z r

L'integrale rappresenta il lavoro necessario per spostare il punto di applicazione di F da r(a) ad r(b) lungo r.

Teo.

Se F: Ω R³ R³ e cons. in Ω, cioè ∃ U ∈ C¹(Ω): F = ∇U

⇒ W(F) = ∫_a^b F · ds = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt = U(P) - U(Q), con

P = r(b) e Q = r(a) e r = r(t): [a; b] R³ curva regolare a tratti, parametrizzata da...