Riassunto completo lezioni di Fondamenti di Automatica

Sistemi LT

ẋ = Ax + Bu

y = Cx + Du

ẋ = A x̅ + B u̅

x = e^Atx₀ + ∫_t0^t e^A(t−σ)B(σ) dσ

y̅ = [−CA̅B̅+D̅+0̅] u̅

Linearizzazione

ẋ = g_x(x̅, u̅)

y = g_y(x̅, u̅)

S(t-t₀) = β_x(t, x̅₀, u̅(t)) + β_u(x̅, u̅)δ(t)

g_y(x̅, t) = γ_x(x̅₀, u̅(t)) + g_u(x̅, u̅)δ(t)

Esponenziale Matrice

1A) Diagonale

A = [λ₁ 0 ... 0]

e^At = [e^λ₁t ... e^λ_nt]

Radici del sistema

2A) Con Ator.

A = HΛH̅⁻¹ → e^At = H e^At H̅⁻¹

3A) Con Ator.

A = HΛH̅⁻¹ − con (ζ):

e^At = [e^σtcos(ωt), e^σtsen(ωt)]

con A:

σ = jω (σ = σ + jω)

4A) Con Autovalori

Non Diagonale.

Forma di Jordan

A = [σ / σ]

Autorità: I valori perturbazione d(x) = x̅

Stabilizzarsi / di sotto (in generale)

CRITERI DI STABILITÀ da autovalori di A

1. Un sistema di A asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa.

   • Re(s_i) < 0   ⇔ Asintotica
   • Imperturbata ⇔ Stabilità

2. Un sistema lineare invariante ed uguale un autovalore di A ha parte reale positiva.

   • Re(s_i) > 0 ⇔ Imperturbata

CASO CRITICO:

• Re(s_i) = 0
• No asintotica
• Asintotica ⇔ Periodica

Altri criteri:

1. Se A è diagonale/triangolare, sia tutti gli autovalori su diagonale:

   • Asintotica ⇔ Re(s_i) < 0 ⇔ a_ii < 0

2. Traccia è la somma obesa parte reale degli autovalori ⇒ TrA = ^m∑ _i=1a_ii = ^m∑ _i=1s_i

   • Asintotica ⇔ Re(s_i) < 0 ⇒ TrA < 0
   • Imperturbata ⇔ d= TrA > 0

3. Det(A) = Πi:

   • Asintotica ⇔ Re(s_i) < 0 ⇔ det ≠ 0

4. Caso per le 2x2:

   • Asintotica ⇔ Re(s_i) < 0 ⇔ ψ₀, ψ₁, ψ₂ ≠ 0 e causati

5. In generale:

   • Asintotica ⇔ Re(s_i) < 0 ⇔ {ψ_i} ≠ 0 e causati

6. Criterio di Routh:

   • ψ(s) = ψ₀s^m + ψ₁s^m-1 + ...+ ψ_m s + ψ_m
   • ψ₀ ≠ 0

   - Si costruisce tab. di Routh (MTTi rigide):

STUDIO

|z| < 1 CONVERGE A 0 δ = 1 LIMITATA δ = -1 LIMITATA |δ| > 1 DIVERGE

STUDIO R

|z| < 1 CONVERGE A 0 δ = 1 DIVERGE δ = -1 DIVERGE |δ| > 1 DIVERGE

CRITERI

1. Un discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno modulo minore di 1. |δ_i| < 1 ⇔ Asintotica stabilità
2. Un discreto è instabile se almeno 1 autovalore di A ha modulo maggiore di 1. |δ_i| > 1 ⇔ Instabile

CASO CRITICO

|δ_i| ≤ 1 ↔ No Asintotica Stabilità

Regione di asintotica stabilità:

Re | --------------------------- | Im

ALTRI CRITERI

• Basi si matrice A
• Asim. stabilità ⇔ |d| < 1, ∀_i ↔ |a_ii| < 1 (A triangolare)
• Asim. stabilità ⇔ |d_i| < 1, ∀_i ↔ |det(A)| < α (cond. necessaria)

1. Basii usio polinomio caratteristico di A
2. |δ_i| < 1, ∀_i ↔ Re(λ_i) < 0

Poli Reali con Zeri

G(s) = μ * (1 + δt) / ((1 + sτ₀)(1 + sτ₂)) δ₀ > δ₂   (τ₀ > τ₂D)

y(t) = G(s) * u(t) y(t) = a₁ e^-t/τ₀ + b₂ e^-t/τ₀ + ce^-t/τ₀   t > 0

_ST modo dell'impulso

y(t) = lim e^st μ = μ

t = > Tco y(t) = lim e^st = μ

T > 0   T < 0   T > 0  T < 0  (zero tco)

Comportamento a stazionarità non minimo (Comportamento diverso dall'inverso rispetto a valore di regime)

τ_a ≈ δ / σ

Divera Parametrizzazione

• W_m = √(δ² + ω²)
• ωm = ωmξ
• σ = ωmξ
• ω = ωm√(1 - ξ²)
• Wm: ripulazione monotona
• Smorziamento ω = ωm√(1 - ξ²) (0 < ξ < 1)
• Per Lavoru. (NOME)
• Per Reali Neg. (A. STAB)
• Oscillazioni

τ_a ≈ δ / ξω_m

Estensione criterio Nyquist

N = num. gli estremi a - jK P = num. poli G(s) con Re > 0

Retrocessione positiva

Estensione cella 2

Ritardo di tempo

y(t) = u(t - T) T > 0 Rottura tra ciò che entra e ciò che esce se s(s) con ritardo di t

No razionale ma razionabile

Risposta armonica

y(t) = Re{ G(s) e^jwT } G(jw) = e^-jwy

Il ritardo può rendere un sistema instabile

Stabilità robusta

• Imprecisione positiva → d(s) = d_m + d_p
• Imprecisione su guadagno → d(s) = Kd(s)
• Imprecisione su ritardo → d(s) = e^-js

Serve stabilità e distanza della situazione nominale dall'instabilità

distanza minima del diag. al di fuori dei punti critici

Analisi di S(s)

• Stazionaria:
  1. C(h) = A_sω^nth
  2. y(∞) = ?

  ω(jω) = ...

Quando, valore di y(∞) in risposta a C(h) e valore di C(jω) in risposta ad u(t) e d(t) :

C(s) = A_u/_1+s/ω

• 1. Poli e Zeri
  • δ(s) = 1 / (1 + δs(s))
  • δ(s) = δΔ(s)
  • 4(s) = Ν(ω)
• 2. Riuscita in Frequenza

  |δ(jω)| = 1 / (1 + δ(jω))^{ι_jω == ∞8} = 0.8

ω