Riassunto completo lezioni di Fondamenti di Automatica

Sistemi dinamici e stabilità

Equazioni dei sistemi

ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
X(t) = e^At x₀ + ∫₀^t e^A(t-σ) B(u(σ)) dσ

Linearizzazione

ẋ = β_x(x̄,ū)x̄ + β_u(x̄,ū)u(t)
y = g_y(x̄,ū)x̄(t) + g_u(x̄,ū)u(t)

Esponenziale di una matrice

• A diagonalizzabile:
  A = [a0 0 ... 0... a] → eAt [ea1t ... eant]
• A con autovalori reali distinti:
  A = MÂM-1 → A = [â10 0 ... 0... âm]
  eAt = HeâtH-1
• A con autovalori complessi distinti:
  eAt = H eât H-1
  eAt = [eσtcos(ωt) eσtsin(ωt) -eσtsin(ωt) eσtcos(ωt)] con A = [σ -ω ω σ]
• A con autovalori con molteplicità λ≥1:
  Diagonalizzabile: Termini col vettore dei primi
  Non diagonalizzabile: Forma di Jordan

Stabilità dei sistemi

∀ ε>0 ∃ δ>0 : |X(0)-X̄| → Stabilità e lim _t→∞ ||X(t)-X̄||=0
Sistemi con perturbazione non nulla: XH = X̄ + e^AtfδX
δX(t) = x̄-x̄̄ - e^At δX = e^XH(0)-X̄
Se e^At è limitata, allora il sistema è stabile.
Se e^At converge a 0, allora c'è stabilità asintotica.
Se e^At diverge per t→∞, il sistema è instabile.

Proprietà dei sistemi e stabilità

La soluzione alla perturbazione δx(0) = δx̄ non è riducente.
Sistemi 2TI:
x̄(t) = e^At x̄₀ + ∫ e^A(t-σ) B u(σ) dσ t.

Linearizzazione e stabilità

x̄ = β(x̄, ξ)u + g(x̄, ξ)
ȳ = g(ȳ, ξ)
δx̄(t) = β_x̄(x̄₀, ξ₀) δx(t) + β_ξ(x̄₀, ξ₀) δu(t)
δy(t) = g_x̄(x̄₀, ξ₀) δx(t) + g_ξ(x̄₀, ξ₀) δu(t)

Espressione della matrice

• A diagonale:
  A = ^○0^○ → e^At [...].
  
• A con autovalori reali distinti:
  A = M Â M⁻¹, Â = [○e^At → e^Âte^At M[...] ^○0^○] e^Ât M [...]
• A con autovalori complessi distinti:
  A = MÂM⁻¹ con  = [_...e^At M e^{Âtσ̄ −ω}_{ω σ̄}[...]^eAte^σt]
• A con autovalori con molteplicità ≥ 2:
  Diagonalizzabile: Termine al caso del primo
  Non diagonalizzabile: Forma di Jordan

Stabilità

∃ε>0 ∃δ>0 : ||x(t)−x̄||