Riassunto esame Calcolo numerico e programmazione, Prof. Giannelli Carlotta, libro consigliato Calcolo numerico, Luigi Brugnano

Arithmetica Finita

Ormai i modelli matematici sono largamente utilizzati in questioni come: gli esempi tipici sono la meteorologia, dove i fenomeni e la dinamica atmosferica sono descritti da modelli che si basano sul sistema di equazioni differenziali. Un altro campo comune è la fluidodinamica (propulsione di motori) o nello studio della configurazione delle molecole.

L’utilità del modello matematico si basa su delle equazioni di qualunque tipo (lineare o non lineare, algesbraiche ecc...). Che descrivono un fenomeno in parole, se si riescono poi anche a risolvere per comprendere il fenomeno, fare previsioni o costruire una nuova tecnologia.In un primo step del modello matematico lo studio di un fenomeno si basa anche sulla definizione del modello e nella risoluzione delle equazioni che permettono di comprenderlo.

Ma il problema più grande è che quasi mai la soluzione è direttamente disponibile per svariati motivi:

1. Non esistono formule risolutive: ad esempio, per le equazioni polinomiali aventi grado uguale o superiore a 5 è stato dimostrato che non possono esistere formule generali per risolverle;
2. Costi computazionali troppo alti: quando anche i formula risolutivi esse si trovino cadono competitivamente nei sistemi numerici avanzati tramutando tutto in una macchina da fare molto a meno soluzioni tronche e sistemi tronchi non è sempre possibile per il costo delle operazioni;
3. Formule molto sensibili ad errori: quando le eseguono c’è chi va a risolverle molto irrocambptomibilmente e rendono la formula vera in una per imprecioni, i risultati sono ambigui e non corretti;
4. Il problema richiede per sua natura un’approssimazione: quando risolutivo il fenomeno in arcare i metodi teorici di modellizzazione. All’essimenente questo NON significa che si possa accettare quanti tipi di errori siano.

Alla luce di tutto questo possiamo dire che il calcolo numerico si occupa della definizione di metodi numerici che permettono di approssimare la risoluzione di problemi matematici tenendo conto principalmente due capacità:

• Accuratezza: bisogna pertanto concentrare le proprietà del metodo che la soluzione (dal punto di vista teorico) approssima ciò in qualche modo “¹” come a quella esatta;
• Semplicità d'implementazione: un metodo assai in più, facilmente traducibile in un algoritmo (cioè una sequenza di istruzioni) che può essere portato da un computer.

Un algoritmo di dotta è un procedimento descritto in modo non ambiguo che consenta di portare da un insieme di dati ad un risultato in un tempo finito. E' flaccido ă uno congiunto del computer, ma date quale che ci deriva. “Permaccan” la società di realizzare cazzata correttamente nel metodo linguagarlo comprensibile da un computer. Alcolto dell'addizione della programmazione.

Un computer infatti è in grado, mediante un SOFTWARE opportuno, di interpellare ed eseguire istruzioni scritte in un LINGUAGGIO DI PROGRAMMAZIONE, fatto di regole e sintassi ben precisa.

ELEMENTI DI UN ALGORITMO

Prima ancora di imparare le regole del linguaggio specifico, è bene conoscere la struttura ELEMENTARI di un algoritmo, la quale sono comuni a tutti i linguaggi.

In un algoritmo avremo per prima cosa delle DATI IN INGRESSO [INPUT] e dei RISULTATI IN USCITA [OUTPUT].

Gli INPUT possono essere immagazzinati attuali in variabili [a,b,c] nel elemento per dati numerici, che OUTPUT sotto forme non è molto utilizzato anche se non è raro.

Comunque, con INPUT ed OUTPUT non intendiamo un DATI che compare in uno schermo, come anche un messaggio.

In un linguaggio di programmazione, dati in INPUT ed OUTPUT sono contenuti in oggetti chiamati variabili.

Nei linguaggi di programmazione a noi noti, sono sempre ESTREMAMENTE FORMALI: non si deve per aiuto nessuna situazione.

Per la scelta c'è memoria ASSEGNARE TUTTI I VALORI di cui si ha bisogno, nel tempo, all'interno di una variabile.

Indice 134, a=b:

Serve a predisporre l'esecuzione di diverse istruzioni a seconda del verificarsi o meno di una o più condizioni.

Esempio 1:

• if a+b > c
• if (a+b) > (b-a)

Esempio 2:

• if x>b;
• a=a+b;

Esempio 3 (if annidati):

• if x>=y
• if delta >0
• m=-1;
• n=1;
• else
• m=0;
• else
• n=0;

E’ bene ricordare che poiché la mantissa è sempre 0, C1C2... in forma normale,

l’ordine di grandezza del numero dipende solo dal esponente.

Esiste una SOGLIA LIMITE, superiore ed inferiore, per l’ordine di grandezza dei nu-

meri che possono essere memorizzati; dette di OVERFLOW ed UNDERFLOW

PS: S_u = 2^-126 ≈ 10^-38 S_o = 2¹²⁷ ≈ 10³⁸

data S_u ≤ |x| ≤ S_o

DP: S_u = 2^-1022 ≈ 10^-308 S_o = 2¹⁰²³ ≈ 10³⁰⁸

Sopra e sotto queste soglie limite il numero non viene ad essere memorizzato dal com-

puter.

• BIT MANTISSA: se la mantissa è NORMALIZZATA, la prima cifra è sempre 1. (1.C1C2...)In alcuni casi si possono avere numeri DENORMALIZZATI, ed in que-sto caso è 0.
• Di solito però si dà per scontato che il numero sia normalizzato, il checomporta che la prima cifra della mantissa NON POSSA ESSERE 0. Poiche i “bit” sembrano pari o cadi, per limare memoria, laprima voce della mantissa di fatto è un BIT NASCOSTO.Questo significa che, almeno in informatica, si ha un bit in piùche può essere dedicato alla mantissa, proprio solo che

PS: m = 24 (non 23)

PD: m = 53 (ma 52)

Questo bit NON c’è normalmente dal punto di vista della memoria; inquanto non fa somma [si so c’è è +1], ma quando si fanno i calcolie’ computa se c’è c’è.

Fissato quindi m, cioè il numero totale di bit della mantissa, i nu-meri che si possono rappresentare, essendo totali soltanto, finitaè dato da tutti i numeri REALI a condizione che gliopposti vuoti, e la cui mantissa ha la cifra della Cm,n in poitutte uguali a zero.

Cm = Cm,n = ... = 0

Questo ci dice che L’INSIEME MI DEI NUMERI DI MACCHINA [dei quali

posso rappresentare in modo esatto in aritmetica finita] è un insiemeFINITO e DISCRETO [cioè che in un ciposso rappresentare mettiamo tutti i nume-ri quando si stanno ricavando numeri che diremmo infinito in chiache è infinito razzi mantisse 1. Ma è quindi un insieme CONTINUO.

Proprio il fatto che l’insieme dei numeri di macchina NON sia continuo, ma finito ediscreto, fa capire come per rappresentare un numero cerca se momento APPROSSIMARE.

Calcolo della Epsilon di Macchina

Per lo standard IEEE, la mantissa è scritta in forma normalizzata, dove la cifra prima della virgola in base binaria è un BIT nonché perche in forma normalizzata non può essere ZERO e pertanto non c'è. Abbiamo visto perciò:

E_m = 2^-m-1 con m numero di cifre della mantissa

Si può quindi facilmente calcolare che in PRECISIONE SINGOLA (23 bit per la mantissa) viene che E_m = 4.191·10^-8, mentre in PRECISIONE DOPPIA (52 bit per la mantissa) si ha che E_m = 2.22·10^-16. Solitamente i calcoli (anche su MATLAB) vengono eseguiti usando la PRECISIONE DOPPIA.

Epsilon di Macchina: Definizione Alternativa

Per la definizione che è stata data inizialmente, l’epsilon di macchina è la distanza tra 1 ed il numero di macchina successivo. Quindi se c’è un modo esatto per calcolare ε_m di macchina e poniamo riflettere ci consideriamo il seguente esempio, dato una BASE BINARIA ed m = 5.

Supponiamo che voglia utilizzare 2^-4 come condizionato per le scelte delle cifre, e le sommi ad 1:

1 ⊕ E_m = 1 ⊕ 2^-5 = fl(1.0000₂·2⁰ ⊕ 0.0001₂·2⁰) = fl(1.0001₂·2⁰) = 1.0001₂·2⁰

A questo punto perciò provo a dividere la quantità E_m per 2, e provare a rimanearla ad 1, questo che succede è...

1 ⊕ E_m/2 = 1 ⊕ 2^-5 = fl(1.0000₂·2⁰ ⊕ 0.00001₂·2⁰) = fl(1.00001₂·2⁰) = 1.0000₂·2⁰

...che come ritenuto fino a momento, ottenendo sopra per le mantissa.

Di fatto 2^-4 è proprio la logica di diciamo dalla definizione di E_m = 2^-m-1 per m = 5, se nato la sommazione ad uno, otteniamo produce, e se otteniamo qualcosa diverso tra 1, imm sommi ottenendo una sub-immissione dei numeri di macchina.

Ciò significa che l’epsilon di macchina Em può essere più piccolo numero le prossime, punto decimale ad 1 Estendiamo un ritenuto. E un numero di macchina:

• 1 ⊗ X ≠ 1 ⊕ E_m ⊗ X
• 1 ⊗ X OPPURE 1 ⊗ X_ε

Sfruttando quindi si può scrivere un ALGORITMO per il calcolo dell’epsilon di macchina.