Riassunti teoria di Idrodinamica

Presunti idrodinamica.

Schema di continuo.

Ogni particella è individuata da un vettore posizione.

A ogni V₁ → M₁ / V₁ = U.d.m. [Kg/m³]

[F] = MLT^-2

Per avere una misura precisa della massa devo ridurre il volume all'ordine del millimetro.

Per l'acqua la densità si considera costante per valori di temperatura non troppo elevati.

Discorso diverso per i gas dove f = f (p, T) Equazione di stato sempre in funzione di pressione e temperatura mentre è = cost. → per fluidi incomprimibili e inalterabili.

Nel caso del volume del continuo la pressione è:

s(x, t) funzione continua del tempo e dello spazio.

Forze su (continuo) fluido:

• due tipi: forza di massa e forza di superficie.
• dV → dH → dg = FdM con F somma di forza che sulla terra = g.

G = ∫_V dG = ∫_V FdM = ∫_V g dV

Forze di superficie.

Il volume dV avrà esternamente la superficie S.

F = ∫_S dF con dF = t_x ds tensione. t = u.d.m. := N/m² = Pa (Pascal).

La tensione dipende da:

t ( x ; t ; n )

(posizione nello spazio tempo normale).

Nel caso di fluido in quiete (dall'assioma di Eulero):

t = -p n normale.

Esempio: Corpo immerso in un fluido, applichiamo l’equilibrio delle forze tra G e F.

G = F

F = g

_tN t ds + _VN g F dV = 0.

dove:

_tN t ds = _VN g dV

Equazione integrale della statica.

Con il teorema di Gauss passando da integrali di superficie a volume.

_tN p m ds = _VN ∇p dV

con ∇p = (∂p/∂x₁, ∂p/∂x₂, ∂p/∂x₃) → gradiente di P

finora a ottenere:

{_VN (∇P - 3F) dV = 0 →

∇P = 3F

detta equazione puntuale della statica.

Relazioni pressione e funzionamento manometro a fluido.

Considero f: z = α x e z: α x t

p = p(x₁, x₂, x₃) int(t)

{ ∂p/∂x₁ = 0 → p(x₁, x₃)∂p/∂x₂ = - 3g → dp/dx₂ = -3g

p(x₂) = -3g x₂ + C₁

p(x₃) = p(x): dipende solo da x₂

dove C₁ può essere determinata conoscendo g:

dove γ = 3gx

Per x₂ = 0 → p(0) = C₁, quindi

p(x₂) = P₀ - 3g x₂

con p(x₂) che aumenta più è negativo x₂

Il manometro a fluido segue questo principio:

P_A = P_B   P_{gas 1} = P_A   P_{gas 2} = P_C

P_C = P_A - 3m ∆h = P_{gas 2} = P_{gas 1} - γ m ∆h

m = densità fluido manometrico (solitamente mercurio)

Fenomeni di interfaccia

Si dimostra che nel caso di interfacce piane non vi è un salto di pressione. Dimostro:

Applico l'equilibrio di F+G=0

G_z = ∫yδV

G_z = -(γ₁Ω₂ + γ₂-Ω₂)

F_z = -p_m ρd

F_z = p₂ Ω - p₁ Ω

F_z + G_z = 0 ⇒ p₂ Ω - p₁ Ω = γ₁ α ρ + γ₂ α ρ

Nel caso di α->0 (come se la lastra non vi fosse quindi interfacce a contatto) ⇒ p₂ - p₁ = 0 ⇒ p₂ = p₁

Da qui vedo che non c'è salto di pressione.

Nel caso di interfaccia convessa o concava avremo un contributo dalla tensione superficiale σ.

L'interfaccia è una superficie su cui agisce una tensione.

σδc = tensione superficiale e dipende da:

• P₁ ρ, tipo di fluidi
• temperatura

Esempio con goccia d'acqua

Prendo mezza goccia

Uso l'equazione integrale della statica

Pi πR² - 1/2 π 2/3 π R³ - ∫σ δc = 0

Tutti volori piccoli: per l'ordine di infinitesimo 2/3 π R² e trascurabile. Rimane:

Pi R - σ z π R = 0

Pi = 2σ/R

Similitudini e modelli:

calcolare la resistenza in una sfera che si muove in acqua.

Per la resistenza usiamo la formula:

R = 3 · _UT² ⋅ D · C_D (Re)

C_D coefficiente di resistenza (in funzione di Reynolds)

Per fare le prove vere dei modelli deve essere uguale il numero di Reynolds:

λ = _Dm⁄_D scala delle lunghezze.

velocità: Re = Re_m ⇒ … = λ^-1

accelerazione: devo introdurre il tempo.

_Um⁄_Uo = ...

scala del tempo.

Per un modello in similitudine di Reynolds:

Complicata situazione

_Vo

R = f (ß, μ, U_o, D, h, g₈)

C’è di vero il numero di Froude …

Similitudine per le forze: …

ϕ = Fn ⋅ ... ⇒

nel caso di Reynolds ϕ = 1

Quindi due scelte per i numeri in base all’importanza degli effetti:

• viscosi (Reynolds)
• spostatorizionali (Froude)

Correnti fluide

Per lo studio delle correnti fluide introduco qualche definizione:

Sezione della corrente = Ω.

Asse corrente: linea media, retta che unisce i baricentri delle sezioni.

Portate:

• Portata volumetrica: Q=∫_Ω dΩ (v·n) dipendono tutte da S e t.
• Portata massica: Q_m=∫_S ρ (v·n) dΩ.
• Portata ponderale: Q_p=∫_Ω ρg (v·n) dΩ.

Moto laminare (Re basso) Moto turbolento (Re alto)

Velocità media _{portata volumetrica}:

V=1/Ω ∫ (v·n) dΩ ⇒ V=Q/Ω.

Energia nei condotti è data dal carico piezometrico:

h= p/γ + z dove h è costante sulle sezioni delle correnti.

Altro contributo è la velocità quindi vi è anche l’energia cinetica: (v-m)²/2g (x unità di peso).

La somma è il carico totale: H = h + (v-m)²/2g.

Lo semplifichiamo con la velocità media perde differenza:

H = h + v²/2g carico totale che useremo nei conti flusso di energia meccanica della corrente.

P=∫_Ω H ρ (v-m) dΩ = δ H ∫_Ω (v-m) dΩ = [QH] questa è una

con H=h+ v²/2g quindi quella approssimata. Potenza del esempio di una pompa.

Reti idrauliche

abbiamo: 6 nodi e 7 rami.

Il problema ci chiederà di calcolare le portate Q.

verso di percorrenza (scelto da noi).

HA - HB = J = Q_L / x²z²R_i

HB - HA = Q_L / x²z²R_i

• H_A + (Q|Q|L) / (x²z²R_i = H_B

Q > 0 se verso discorde

Q < 0 se verso concorde alla freccia rossa.

∑_i=1^h K_m Q_m |Q_m| = H_i

dove i----------------a m-esimo ramo.

Questo problema non è lineare, per risolverlo si usa il metodo di Hardy-Cross.

∑_j=1^N_m k_j Q_j |Q_j| = 0 Nm: n° di rami della maglia.

Q_s = Q_j + ΔQ differenza di portata ottenuto per tentativo sostituito nella precedente relatione.

∑_j=1^N_m k_j (Q_j + ΔQ) |Q_j + ΔQ| = 0 moltiplico -> ∑_j=1^N_m k_j Q_j |Q_j| + ΔQ ∑_j=1^N_m 2k_j|Q_j| + trascurando termini

era tutto uguagliato a zero, porto ΔQ a destra (Đ(ΔQ)).

1. ΔQ = - ∑_j=1^N_m k_j Q_j |Q_j|
2. --------------------------------------------
3. 2 ∑_j=1^N_m K_j |Q_j|

relazione che si servirà per i conti.

dove K_j = L_j / x²z²R_ik_j