Riassunto esame psicometria di base, prof. Rosato

Inferenza statistica

Statistica inferenziale

La statistica inferenziale stabilisce procedure per effettuare induzioni su una popolazione ignota a partire da rilevamenti parziali.

Variabile statistica

Una variabile statistica è un vettore di una matrice CxV.

Variabile aleatoria o causale

La variabile aleatoria è generata da esperimenti con esiti da prevedere, e associa un evento unico a una funzione su numeri reali nello spazio campionario:

• Discreta: assume un numero finito di valori. È un sottinsieme di numeri reali nel range X (come "sì/no") e la sua rappresentazione è a gradini.
• Continua: assume infiniti valori su un intervallo, ad esempio l'esito di un farmaco. La rappresentazione è una curva a incremento costante.

Funzione di ripartizione variabile continua

È un insieme finito e non numerabile associato a una funzione densità di probabilità con due proprietà: il valore su un intervallo chiuso è una funzione monotona non decrescente e la derivata di f(x) è rappresentata da ∑.

Funzione probabilità associata a variabile continua

La funzione f(x) ha due proprietà: f(x) ≥ 0 e l'integrale f(x)dx definisce la probabilità P(a<x<b) con ∑x1p(x1).

Valore atteso e varianza di variabile aleatoria continua

Il valore atteso è la media della variabile aleatoria continua e la varianza è definita come (x-u) al quadrato.

Differenza tra probabilità e statistica descrittiva

• La probabilità prova l'incertezza soggettiva e può produrre esiti detti eventi.
• Un esperimento aleatorio trasforma una distribuzione di frequenza in probabilità su eventi.
• La statistica descrittiva esamina eventi reali a posteriori e calcola le probabilità elencando esiti di eventi ipotetici a priori.

Distribuzioni teoriche di probabilità

Le distribuzioni teoriche di probabilità possono essere:

• Discrete: come la distribuzione binomiale.
• Continue: come la distribuzione normale.

Le distribuzioni teoriche di probabilità intervengono nella statistica inferenziale per rappresentare distribuzioni osservate dipendenti da un ristretto numero di parametri.

Variabile aleatoria bernoulliana

È una variabile discreta che può assumere solo due valori: successo (1) e insuccesso (2), dove la probabilità di insuccesso è q = (1-p).

La media bernoulliana è E(x) = u = p (probabilità di successo) e la varianza è p(1-p), con q che rappresenta il probabile insuccesso.

Variabile aleatoria binomiale

Per costruire una variabile aleatoria binomiale, si utilizza la variabile bernoulliana (successo/insuccesso). È la replica di n esperimenti indipendenti, dove la probabilità di successo in ciascuna prova deve restare costante. Ad esempio, per ottenere 3 successi: p³(1-p)⁰. La somma delle probabilità assegna 1 a ogni risultato. La funzione grafica è rappresentata da barre.

Regole di calcolo combinatorio

La probabilità di successo è P, quella di insuccesso è q (1-p). La funzione di probabilità è rappresentata dal coefficiente binomiale: (n x) = n!/x!(n-x)! * p^x q^n-x. Ad esempio, P(x=2) dove N=3 e P = ½, calcolata come 3!/2!(3-2)! = 3/8. La media di X è n*p, e la varianza di X è n*p(1-p).

Distribuzione normale gaussiana

La distribuzione normale gaussiana è relativa a variabili continue con valori compresi tra ±∞. Le caratteristiche principali sono:

• Valori su tutti i numeri reali, dove X è una variabile continua.
• Costanti π = 3,14 ed e = 2,72 con ulteriori incognite x, u, σ quadro.
• La forma della distribuzione si modifica in base a due parametri (famiglia di funzioni normali).
• L'integrale della funzione su ±∞ è 1.
• Per ogni X può esserci un'area intervallo conforme all'integrale di b).
• Simmetria rispetto alla media con un'area totale di 1 dalla media = 0,5.
• Forma a campana con la maggior parte dei casi intorno alla media e due punti di flesso infiniti.