Riassunti metodi statistici per il management

la probabilità è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento

definizione classica di probabilità:

e il numero dei casi possibili, purché essi siano tutti ugualmente possibili.

/

P(A) =

ex: lancio di un dado

nel caso del lancio di un dado ci sono 6 eventi elementari, tutti ugualmente possibili, corrispondenti alle 6 facce

del dado. Se consideriamo come evento A, il presentarsi della faccia numero 5, la probabilità dell’evento è



misurata dal valore 1/6, vale a dire P(A=5) = 1/6

Se, nella stessa prova, avessimo definito l’evento A come il presentarsi di una faccia con un numero pari , i

casi favorevoli ad A sarebbero stati 3 (i numeri 2,4,6) e la relativa probabilità sarebbe stata espressa dal

rapporto 3/6 = ½ in alcune situazioni si vuole valutare la probabilità di un evento,

probabilità condizionate e indipendenza:

sapendo che si è già verificato un altro evento a esso collegato.

Consideriamo nel lancio di un dado, 2 possibili eventi:



evento A: esce il numero 2 P(A)=1/6



evento B: esce un numero pari P(B) = 3/6 = 1/2

Ci poniamo questa domanda: qual è la probabilità che esca il numero 2 (evento A), se siamo certi che sia uscito

un numero pari (evento B)? 

in questo caso P(B) = 1 , P(A∩B) = P(A) = 1/6 e allora: P(A/B) = (1/6 / 3/6) = 1/3) si legge come probabilità

condizionata di A dato B . ∩

 P(A/B) = Ω,

Quando 1 dei 2 eventi viene considerato certo, allora il numero dei suoi casi favorevoli è cioè l’insieme degli

eventi elementari, ossia tutti i possibili risultati della prova.

∩

∩ , viceversa: P(B/A) =

Quindi: P(A/B) = due eventi sono indipendenti quando la probabilità del primo condizionata al secondo è

Eventi indipendenti:

uguale alla probabilità del primo non condizionata (e viceversa).

Se P(A/B) = P(A) e P(B/A)= P(B) allora A e B sono indipendenti.



Se e solo se: P(A∩B) = P(A) x P(B) la probabilità che due eventi indipendenti si verifichino entrambi è uguale

al prodotto delle loro probabilità.

ex: probabilità di fare testa 2 volte

probabilità di fare testa al primo lancio (0,50) x probabilità di fare testa al secondo lancio (0,50)

 0,50 x 0,50 = 0,25

→ ↓

ESEMPI: DADO A , DADO B

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Evento E: punteggio minore di 6

P(E) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1/36 + 2/36 + 3/36 + 4/36 = 10/36

Evento E2: punteggio minore di 6 U punteggio maggiore di 8

–

P(E2) = P(A U B)= P(A) + P(B) P(A∩B) ma dato che P(A∩B) = 0 , allora: P(A U B)= P(A) + P(B)

–

10/36 + [4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36] = 10/36 + 10/36 0 = 5/9

Evento E3: punteggio pari U punteggio minore di 6

– P A∩B =

P(A U B) = P(A) + P(B)

–

18/36 + 10/36 4/36 = 24/36

pu teggio pa i ∩ pu teggio i o e di 6

Evento E4: ∩

P A∩B = P A P B/A = P A 6

= 18/36 x = 4/36

8

6

∩

Evento E5: dado A=1 punteggio =7

in questo caso si tratta di eventi indipendenti e si usa la regola del prodotto, allora:

1/6 X 6/36 = 1/36 afferma che, dato un evento B e una partizione A1, A2, . . ., An, possiamo

Teorema della probabilità totale:

scrivere la probabilità dell’evento B come:

P(B) = P(B/A1) x P(A1) + P(B/A2) x P(A2) + . . . + P(B/An) x P(An)

ex: il 30% degli uomini fuma, rispetto al 40% delle donne. Se ci sono tanti uomini quante donne, qual è la

probabilità che preso un individuo a caso sia fumatore?

B = fumatore , M = maschio , F=femmina

P(B) = P(B/M) x P(M) + P(B/F) x P(F) = 0,30 x 0,50 + 0,40 x 0,50 = 0,35 = 35%

VARIABILI CASUALI O ALEATORIE: Ω,

Una variabile casuale X è una funziona definita sullo spazio campionario che associa a ogni risultato

elementare un unico numero reale.

Ω 

X : R (variabile che attribuisce un valore reale ad uno dei possibili risultati della prova).



ex: lancio di un dado associo all’esperimento una v.c. che assume valore 0 se esce una faccia pari e valore 1

se esce una faccia dispari. = ,

sta ad indicare la determinazione di X, in questo caso

ex: il numero di clienti che visitano un negozio in un intervallo di tempo costituisce una v.c. che assume valori

= , , ,…, può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali.

VARIABILE CASUALE DISCRETA: può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale.

VARIABILE CASUALE CONTINUA:

Ω Ω

Se è discreto, la v.c. sarà discreta, mentre se è continuo la v.c. può essere continua o discreta.

Ω

Consideriamo una prova consistente nell’osservare l’altezza di un individuo. In tal caso è continuo perché

contiene un’infinità non numerabile di eventi (tutte le possibili altezze). La v.c. X altezza (espressa per

esempio in cm) è un v.c. continua in quanto, può assumere, almeno in teoria, qualsiasi valore nell’intervallo

(20,300). Se però consideriamo 2 eventi, E1 = altezza uguale o superiore ai 150 cm e E2 = altezza inferiore ai

150 cm, possiamo definire una variabile casuale X che assume valore 1 in corrispondenza di E1 e valore 0 in

corrispondenza di E2. In tal caso, otteniamo una v.c. discreta.

In alcune situazioni potremmo essere interessati non alla probabilità che la v.c. X assuma uno specifico valore,

.

bensì alla probabilità che essa assuma un valore minore o uguale a un dato valore In questo caso utilizziamo

la c.d. (esprime la prob. che X non superi il valore di ).

funzione di ripartizione =