Riassunti fisica II

Forza e campo elettrostatico

Una forza elettrostatica è quella che si sviluppa in un materiale che, una volta strofinato con un panno, è in grado di attrarre piccoli oggetti. Questa forza è stata scoperta già nell’antica Grecia con esperimenti sull’ambra, il vetro e la bachelite e il suo studio è stato ripreso tra il ‘700 e l’800.

Materiali conduttori e isolanti

I materiali si dividono in:

• Conduttori: caratterizzati da elettroni interni liberi e quindi incapaci di “caricarsi” per strofinìo;
• Isolanti: capaci di trattenere la carica data per strofinìo.

Gli isolanti, a loro volta, si dividono in due gruppi, secondo il modello di B. Franklin:

• Vetrosi: si caricano positivamente strofinandoli con panni di seta; ovvero: strappa elettroni strofinando la seta sul vetro, il panno alla bacchetta provocando su di essa un eccesso di cariche positive, mentre il panno stesso si carica negativamente.
• Ebanosi: si caricano negativamente strofinandoli contro panni di lana, che cedono elettroni all’ebano provocando su di essi un eccesso di carica negativa.

Si verifica, inoltre, che:

• Avvicinando due isolanti uguali (vetro/vetro) caricati per strofinìo, questi si respingono;
• Avvicinando due isolanti diversi (vetro/ebano) caricati, questi si attraggono;
• L’unico modo per caricare tramite strofinìo un conduttore, è quello di metterlo in contatto con un isolante.

Carica elettrica e principio di conservazione

La forza elettrostatica si sviluppa in funzione dell’esistenza di una elettricità propria di ogni materiale, sotto forma di trasporto di elettroni: ogni corpo è formato da atomi e ogni atomo ha un nucleo formato di protoni e neutroni circondato da una nube di elettroni, più o meno legati al nucleo; la posizione periferica degli elettroni e la loro struttura semplice (puntiformi, con carica ~1.6x10^-19 C) danno all’elettrone la caratteristica di carica elementare. Il trasporto di carica, inoltre, avviene per multipli interi della carica elementare, Q=Ne, ovvero: la carica è quantizzata. Tuttavia, la quantità di cariche elementari spostate nell’elettrizzazione è talmente alta (~10¹⁰ e) che la carica stessa viene considerata continua.

Principio di conservazione della carica: “In un sistema elettricamente isolato, la somma algebrica di tutte le cariche rimane costante nel tempo (si conserva)”.

Elettroscopio

Formato da un anello metallico, chiuso da lastre di vetro, al cui interno si trovano due “foglioline” di materiale conduttore attaccate a un perno metallico che esce dall’anello, a sua volta connesso ad esso tramite un tappo isolante; utilizzato per conoscere lo stato relativo di carica rispetto a un materiale con cui viene messo in contatto: le foglioline divergono se il corpo in esame e l’elettroscopio hanno cariche uguali. Ponendo a contatto con l’elettroscopio due cariche, si stabilisce se queste sono di uguale o diversa entità misurando l’angolo θ che si forma quando le foglioline divergono. Può essere caricato per induzione elettrostatica: avvicinando una bacchetta carica positivamente all’elettroscopio, le foglioline divergono e un eccesso di carica negativa si presenta sulla parte esterna del conduttore; se la carica della bacchetta è negativa, l’eccesso di carica all’esterno dell’elettroscopio sarà positiva. Una volta rimossa la bacchetta, l’elettroscopio torna alla sua configurazione iniziale; questo significa che un materiale conduttore può essere caricato localmente per induzione. La carica può essere resa permanente mettendo “a terra” il conduttore, durante il processo di induzione: in questo caso, essendo la terra un conduttore, la carica spostata dall’induttore sul conduttore si distribuisce sull’intera superficie; tagliando il collegamento con la terra e togliendo l’induttore, il conduttore resta carico di carica opposta a quella indotta.

Legge di Coulomb

La legge di Coulomb stabilisce che la forza esercitata tra due cariche a distanza r tra loro e agente lungo la congiungente le cariche, è proporzionale (direttamente) ai valori q₁ e q₂ delle cariche e (inversamente) al quadrato della loro distanza, tramite la costante dielettrica k:

\[\vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}\]

Coulomb sviluppò la legge d’interazione tra le cariche nel 1785, studiando i comportamenti di una bilancia di torsione formata da un’asta isolante e una sfera conduttrice (bilanciata da un contrappeso), cui veniva avvicinata un’altra sfera carica, misurando l’angolo di rotazione del filo all’equilibrio ed eguagliando il momento di torsione a quello dato dalle cariche. La forza può essere attrattiva o repulsiva.

Campo elettrostatico

Il campo elettrostatico è quella regione dello spazio all’interno del quale una carica di prova q₀ subisce l’effetto di un numero finito di cariche elettriche puntiformi, dopo un tempo t=r/c proporzionale alla distanza e alla velocità della luce. La carica di prova è una carica puntiforme di entità talmente piccola da non perturbare la distribuzione di cariche; una volta messa nel campo, su di essa le forze agiscono ognuna come se fosse la sola forza presente nel campo e tutte insieme come la somma delle forze agenti nel campo: vale il principio di sovrapposizione.

La grandezza “campo elettrostatico” è vettoriale e definita come il rapporto tra la somma delle forze e la carica di prova:

\[\vec{E} = \frac{\sum \vec{F}}{q_0} = k \sum \frac{q_i}{r_i^2} \hat{r}_i\]

Ovviamente, essendo un vettore, il valore del campo elettrostatico dipende dalla posizione occupata nello spazio dalla carica di prova. La forma del campo elettrico, data dalle linee di campo, di una carica puntiforme è radiale: il campo risulta negativo se il verso di percorrenza delle linee è verso la carica (pozzo, la carica è di segno negativo) e positivo se il verso è uscente (sorgente, la carica è di segno positivo). Inoltre, le linee di campo si infittiscono tanto più quanto più ci si avvicina alla sorgente del campo. Considerando un dipolo (coppia di cariche puntiformi positiva/negativa), si ha che la forma del campo è data da linee di forza che escono dalla carica positiva ed entrano in quella negativa, che non si incrociano mai e che sono tangenti al campo in ogni punto. Se la coppia di cariche considerata è composta da due cariche di stesso segno, allora al centro del campo le linee divergono e “si chiudono all’infinito”. Infine: una coppia di cariche a distanza infinita tra loro influiscono su una carica di prova come cariche singole, quando la carica è vicina a una delle due, ma come una sola carica di entità pari alla somma delle cariche quando quella di prova si trova a grande distanza da entrambe.

In presenza di una distribuzione continua di cariche, cioè di un numero n infinito di cariche, il campo elettrostatico si esprime come campo elementare dE definito sulla carica elementare dq, dove è definita la densità di carica ρ = ρ(x,y,z) dV. In questo caso, il campo elettrostatico totale agente su una carica i-esima in un punto P dello spazio è definito tramite l’integrale del campo elementare.

Moto di una carica in un campo

Su una carica elementare posta in un campo di forze agisce la legge di Newton:

\[\vec{F} = m \vec{a} = q \vec{E} \quad \Rightarrow \quad \vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E}\]

che, integrata, permette di conoscere la velocità e la posizione occupata dalla carica nello spazio. Se l’accelerazione è positiva la direzione del moto sarà nel verso del campo, altrimenti è contro la direzione del campo. Il rapporto q/m permette di conoscere la natura della particella.

Flusso e legge di Gauss

Presa una superficie di area A, immersa in una regione di spazio in cui sia definito un campo elettrico \(\vec{E}\), definiamo il flusso attraverso la (componente normale della) superficie, la quantità scalare Φ, ovvero:

\[\Phi = \vec{E} \cdot \vec{n} A = E \cos \theta A\]

dove E cosθ è il modulo della componente normale del campo. Ovviamente se la superficie è irregolare, si divide in infinitesimi ΔA di superficie e si esegue il calcolo del flusso come somma degli infinitesimi di flusso; al limite, il flusso si calcola come l’integrale tra la componente normale del campo elettrico e l’infinitesima superficie. Il segno del flusso è determinato dalla direzione ^n, ma è per convenzione presa uscente dalla superficie, perciò il segno del flusso dipende dal prodotto scalare E con ^n. Se il flusso è definito attraverso una superficie chiusa, l’integrale diventa circuitale:

\[\Phi = \oint \vec{E} \cdot \vec{n} \, dA\]

ed è definito uscente e il segno dipende da (cioè se il campo è entrante o uscente).

Legge di Gauss

Afferma che il flusso prodotto da una carica puntiforme attraverso una superficie chiusa è pari al rapporto tra la carica stessa e la costante dielettrica nel vuoto:

\[\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\]

Dimostrazione: Data una carica puntiforme, scelgo una superficie sferica che la contenga, di raggio R e tale che il campo sia uscente e radiale; in questo modo \(\vec{E} \cdot \vec{n} = \lVert \vec{E} \rVert \cdot \lVert \vec{n} \rVert = E\) in ogni punto. Avendo scelto una sfera, l’area della sua superficie sarà \(4 \pi R^2\), da cui:

\[\Phi = \oint \vec{E} \cdot \vec{n} \, dA = 4 \pi R^2 E\]

Per la legge di Coulomb il campo elettrico generato da una carica puntiforme è pari a:

\[\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \vec{r}\]

da cui:

\[\Phi = 4 \pi R^2 E = \left(4 \pi R^2\right) \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{q}{\varepsilon_0}\]

La legge di Gauss è generalizzabile per un sistema di cariche puntiformi che agiscono in un punto P: una volta trovato il centro di carica del campo, basta calcolare il flusso come somma dei flussi delle i-esime cariche in P:

\[\Phi = \sum_i \Phi_i = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_i q_i\]

Per distribuzioni di cariche, il flusso dipende dalla densità superficiale, lineica o volumica della carica. Si verifica inoltre che:

• La quantità di linee di flusso entranti o uscenti da una superficie dipende dalla forma stessa della superficie e dall’entità della carica contenuta all’interno;
• La quantità di linee di flusso entranti o uscenti da una superficie non dipende dalla distribuzione della carica all’interno di essa;
• Per una carica puntiforme, il flusso attraverso una superficie non dipende dalla forma della superficie, ma solo dall’entità della carica e dalla costante dielettrica nel vuoto;
• Cariche esterne a una superficie non forniscono contributo al flusso di campo attraverso quella superficie.

In caso di particolari simmetrie, per il calcolo del campo elettrostatico, è più conveniente usare la legge di Gauss che quella di Coulomb. Inoltre, è possibile ricavare la legge di Coulomb da quella di Gauss:

• Prendo una carica puntiforme e una superficie sferica di raggio r intorno ad essa;
• La normale uscente è parallela al raggio della sfera, così come il campo generato dalla carica, perciò: \(\vec{E} \cdot \vec{n} = \lVert \vec{E} \rVert \cdot \lVert \vec{n} \rVert = E r\), ovvero il campo dipende dal raggio, ma non dalla normale;
• Il flusso attraverso la superficie sarà:

\[\Phi = \oint \vec{E} \cdot \vec{n} \, dA = 4 \pi R^2 E\]

ovvero, per il teorema di Gauss:

\[E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}\]

che è proprio il campo trovato con la legge di Coulomb.

Conduttori e legge di Gauss

I conduttori (metalli) non trattengono cariche in quanto i loro elettroni sono, in una certa misura, liberi di muoversi nella struttura del materiale; questo permette ai conduttori di neutralizzare l’effetto dei campi elettrici esterni in cui vengono posti: se il conduttore è scarico e viene messo a contatto con una sorgente esterna di campo elettrico, risistema la sua carica in modo da neutralizzarne l’effetto e raggiungere l’equilibrio elettrostatico.

Si dimostra, tramite la legge di Gauss, che all’interno di un conduttore cavo il campo è nullo e che tutta la carica è distribuita solo sulla sua superficie, infatti:

• Prendo un conduttore e una carica di prova positiva al suo interno (induzione completa): il conduttore risistema la sua carica interna, spostando un eccesso di elettroni vicino alla carica positiva;
• Prendo una superficie che contenga tutta la carica nell’intorno della carica di prova: calcolando il flusso questo risulta nullo. Di conseguenza la carica totale interna risulta nulla (tutto ciò che sta all’interno del conduttore è schermato) e, quindi, la carica del conduttore è distribuita solo sulla sua superficie.

All’esterno del conduttore si verifica che il campo elettrico è non nullo e normale alla superficie.