Riassunti di Metodi numerici con elementi di programmazione

23/09/19

Tipi di errore:

• Errore iniziale, ovvero un errore dovuto alla scelta relativa al modello.
• Errore di troncamento dovuto genericamente alla sostituzione di un R_C tramite uno ma approssimandolo ad esso.
• Errore di arrotondamento dovuto allo scrittura di n cifre oltre che di un numero aventi m x n cifre (troncano, rappresentano).

In realtà si commettono in relazione ai troncamenti, intendiamo sottrilizzare troncamenti in algoritmo ch ma accadono per soddoere, tale errore.

x =

(a): x_n-1

a: x + l²

0,5 * 10 ¹

• x = [0.9989, 1.0002]

(b): α

• ?

run:

• ^∞∫
• _-∞∫

+ 1 la ^e ₂ controlla errore chiamazione da f(x)=x

x+ altro = 7; che l =: 0.214 (x + 1 ⁰) diverso involte maggiore di quelli intenti.

per risolvere il problema, posso forse come segue:

serie Taylor e^x - 1/x = (1^x - x² /x)⁷ ≤ e¹=4.10 supp = 1. ² 4 *10 = da

Per rappresentare numeri molto grandi o piccoli

(e_x+1)x²¹ β _e

• k>-∞
• 540,56
• 52056 x 10
• 51056 ,40
• esponnente
• esponnente
• x = 0,5 * 10 * 10 ¹ 2,54

queste sono le cifre significative

Conclusione ha i titoli che non presentano un curioso delle classi

10₁₀: 1, 2, 0, 2, 1, 1₅ ÷ 5 → in binario, ossia con β=2

1 ⅔

½

¼

⅛

• → per trovare la scrittura in binario

5 1

2 0

1 1

0

24/09/19

Ogni numero è esprimibile come X=±m β^e → esponenti, base, mantissa

in base binaria, ad esempio: divido il numero per due (se il numero è intero)

5 1

2 0

1 1 → il numero 11 in codice binario è 1011, (partendo dal basso)

→ sono i resti delle divisioni

divido ogni volta per 2

→ se invece il numero è decimale

0.25 × 2

0.50 0 ← toglie il numero intero → il numero 0.25 in codice binario è (partendo dall'alto)

1.00 1

0.01 = 0₂ (0, 2^-1, 1 × 2^-2)

→ il numero 11,25 in binario sarà 1011.01 = 0,1010,10 × 2^-2 = (base)

per il segno esponenti_ecc, mantissa_cambi, ordine, tutti mancato, base

3 se il segno è positivo

1 se negativo

· R(x) = 2x

=> C(x) = ^x/₂ - 1, x ^-3/₂ => il problema è sempre ben condizionato

· R(x) = 1/√x

=> C(x) = x^-4/₂, x^-3/₂ => il problema è sempre ben

· R(x) = sin x

C(x) = |x cos x|/|sin x| => per x ≒ nπ, sin x ≒ 0, e quindi va quell'intornoe mal condizionato

· R(x) = log x

C(x) = |1/x|/|log x|, 1/|log x| => per x ≒ 1 è fortemente mal condizionato=> per x → ∞ è ben condizionato

· R(x) = x² + x⁴ - x

Δ(x) = 2x √x³ + x²

R(x) = x

R(x) = x^1/4

· I_n = ∫¹₀ xⁿ/x+5 lnⁿ dx    n > 0, dove I_m = ∫¹₀ xⁿ/x₊₅ dx

       {log(kxi)/(ki)}_n=0

verificare se tale relazione è esatta e poi controllare se l'algoritmoè stabile in caso contrario determinarne un algoritmo stabile

Sia R(kx) ≒ max|h|, x ≒ R(x), con 5 C.S.|R(x)| ≒ |Δ(x) ≒

a questo è associato l'errore di troncamento|R(x)| ≒ ε_r

errore per arrotondamento

questo in verde da- per esempiodovuto al fatto ε_r usando algoritmo di lavoro con 5 cifrementre troncamento esatto con 2 cifrequindi viene veramente cruciale diminuire

θ₁ = -30

θ₂ = 0°

θ₃ = 30°

R

6.780

6.280

6.615

R(θ) = ^C/_{c + e sin(θ)} con c, e = costanti > 0

e da determinare

d) incomincio le note R prossima in funzione di θ posso determinare c, e:

c + e sin(θ₁ - 30) = 6.780 = 0

^-C/_{c + e sin(θ2)} = 6.280 = 0

^-C/_{c + e sin(θ3)} = 6.615 = 0

le scorse in modo da avere F(θ) = 0

Allango quando un sistema di equazioni non lineari che devo poter risolvere

dN(t) _{u(t) = V} eq di incremento della popolazione

K fattore di crescita

N(t) = N₀e^++t_{/T (e^-2/t} - x)

Per prima cosa devo determinare il numero di radici dell'equazione e marcature degli intervalli che contengano una sola di quelle radici

Se traccio (anche qualitativamente) il grafico

calcolo la funzione in alcuni punti scelti come voglio

se la funzione è continua tra x_a e x_n devo necessariamente avere almeno uno un retta

esempio

^U⁄_{fE log^a(Ee) + √}

o → eg. di Colebrook

=>

k+1 k + f'(ɛ ) f (x ) f''(ɛ ) ₂ ₂ ₁ x - ₂

f ' (x ) f'(x ) f''(ɛ ) ₂ ₂ ₂

=- e

f (x )

k f(x ) x ₂ e ₂ k

f (x )

f''(x )

e f ' (x ) e

= k f'(x ) ₂ k+1 ₂ ₂ - ( e ) e (x ) ₂ f'(x ) k ₂ ₂ f '(x )

= ( e ) f'(x ) f'(x ) ₂ ₂ k

=> f (ɛ ) k ₁ (ɛ ) f ' (x )(f ' (x ))

[f'(x ) ] ₂ ₂ ₂

=>

La convergenza è almeno quadratica ad ₂ e funzione di f '' (x ) e f ' (x )

esempio f(x) 4x - 5x = [1;1/3] => [f '( )] x 2x - 5 = 0 m f '(x )

[4, 8, 5] 1 ( 1;5 ) 1

p < 3

1/₂ 1/

(())

f(x ) = 1/2 ( 2 ) è quindi torno al punto iniziale, e quindi non sto convergendo. Questo è possibile perché il teorema non dice che l’unico giusto, e quindi ne devo scegliere un altro.

=>(x) = 24x f '(x=0)

Se alle ipotesi fatte di f '' (x)≠0 in I, allora posto x0 = tale che f '(x0) allora la successione x converge in maniera monotona e quadratica. Tale f ' è unico, ed pertanto occorre anche essere segura.

f (a)

=

questo modo del a quale io portere

14/10/19

Dato e_n = 3 - x_n, x_n+1 = φ(x_n) = g(t_n+1) ∩(3 - x_n) moltiplica se g(t₁) > 0 ∀ x ∈ I allora

determinando dalla funzione di iterazione,

l'errore mantiene il segno e quindi la convergenza è monotona. Se invece φ(x) <x0, l'errore cambia segno e quindi la convergenza è alternata.

¹φ'(c) e_n:

¹φ'(c) = φ'(3)

φ^(m)(ξ) = φ^(p) ∀ m = 1, 

−1

φ'(3)&neq;0

⇒ allora x_n = φ(x_n-1) converge a 3 con ordine di convergenza p.

Posso scrivere che (con Taylor) φ(x_n) = φ(3) + φ'(3)(x_n-3) + φ^(p)(3)(x_n−3)^p

per le potenze precedenti

in lontananza grande.

∴ x_n = φ(x_n+1) = ^φ(p)(3)( x_n−3)^p -⊃ ε

∴

ε_n+1 = b_mP^e

φ^(p)(3)(3)^p

∴ il factor di convergenza ∩ C = lim_n→∞ ^ε_n/_εn+1 = pyl#ifdef= 255;

3^p

esempio)

₁(x) = ^{x3 − 6x2 − x − 8}/_φp

₂(x) = ^x2/6

₃(x) = ^{φk−x_n -}

⇔ x_n+1 = ^u(3)(kx−x(3))

- A(ⁿ)

φ₄(x) = 7(l_x) = ^{x2 − φ(0)}/6

-¹⋅ 6x³ - 8 - 0 => posso studiare φ₁(x)

=> devo verificare che x: φ₂(x) = x - φ₃(x)

-⇒ I= 1, 21