Riassunti di Metodi numerici con elementi di programmazione

Name: Riassunti di Metodi numerici con elementi di programmazione
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Author: simone.43

Revisionato il 01/06/2026

di simone.43

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Gli appunti coprono tutta la durata del corso, sia per quanto riguarda la parte di metodi numerici che Matlab. Voto conseguito: 25. Appunti di metodi numerici con elementi di programmazione …

Esame Metodi numerici con elementi di programmazione

Facoltà Ingegneria aeronautica e dello spazio

Dal corso del Prof. Bruni Vittoria

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2019-2020

88 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

TIPI DI ERRORE:

errore intrinseco, errore dovuto alla scelta del modello

errore di troncamento, dovuto generalmente alla sostituzione di un tramite una sua approssimazione del numero

dovuto per calcolo, tramite Taylor

tipo di regola che ho utilizzato

Gli errori che si commettono, inserendo per troncamento, vanno poi sviluppati tramite un algoritmo che non faccia esplodere tali errori

errori di arrotondamenti, dovuti allo scrittura a n cifre di un numero avente un m > n cifre

1) p(x) = (x - 1)²

2) p(x) = x⁵ + 2(x - 3⁵) - 3³ - 2(x - 1) x - 1

x ∈ [0.9998, 1.0002]

F(x) = ∫₀^t+1 (e^x - t) / x dt = {0 se x = 0 e^-x / x se x ≠ 0}

x ≠ 0 ➝ se x = 1.4×10^-10 uso quello ➝ F(1.4×10^-10) ≃ 0.241

trova gli errori dell'approssimazione di (=0)=1

_x0 da errore di ₁ - 0.714 < 0.05 (=0) intero maggiore di quello iniziale

per risolvere il problema, posso fare come segue:

user Taylor e = 1 - + ² / 2 (³) e mi fermo al secondo ordine

^- = 1 - + ² / 2 - ...+

= || ≥ 1.41×10^-10 , 1, 1, 2.14×10^-10 ➝ di mi determina un errore della base ottava di partenza

Per rappresentare numeri molto grandi o piccoli: ∑_=∞ con B-base a 0. × β > 1

540.56 = 51.056, 10² + 51056×10^-2 = esponente ➝ rappresentazione in virgola mobile monviso ➝ base

χ è normalizzata Se 0.51 056×10 ³ = sono cifre 4 + 0 sarebbe solo la cifra significativa, poi 4 cifre = 540.56

TIPI DI ERRORE:

errore inerente, oltre un errore dovuto alla sbagliata validazione del modello

errore di troncamento dovuto generalmente alla sostituzione di una F(x) tramite una sua approssimazione del numero finito di operazioni

errori di arrotondamento; dovuto alla scrittura di n cifre di un numero aventi m+1 cifre

(a): x₁ = x_k-1²

(x-1)(x-5)²+2(x-5)+3x³-2(x+1)+x-1

x∈[0.9998,1.0002]

per risolvere il problema, posso fare come segue:

per Taylor e=1-x+x²/2-x³/3

ε * 1/1 * 1+x²/x

dove mi determinano un errore delle base ottave di partenza

Rappresentare numeri molto grandi e piccoli

somma x B^K

54.056 = 51.056 10⁰

0.54056 10⁶ = esporre -1

0.5 4056 10¹

i numeri sono le cifre significative

10: 1 · 2² · 0 · 2¹ · 1 · 2⁰ = 5 -> in binario, ossia con β=2

111₂

←

-> per trovare la scrittura in binario

5 | 1

2 | 0

1 | 1

24/09/19

Ogni numero è esprimibile come X= (m (β^e)^-1)

e --> esponenti

β --> base

m --> mantissa

In base binaria, ad esempio, divide il numero per due (se il numero è intero)

11 | 1

5 | 1

2 | 0 -> il numero 11 in codice binario è 1011 =1 ·2³+0 ·2²+1 ·2¹+1 ·2⁰=11

1 | 1 (partendo dal basso)

-> sono i resti delle divisioni

quando ogni volta per 2

-> se invece il numero è decimale

0.25

0.50 | 0 -> lungo il numero intero = il numero 0.25 in codice binario è (partendo dall'alto)

1.00 | 1

0.01 = 0₂ . (0 (β^-1 · 1 · 2^-2))

-> il numero 0.125 in binario sarà 1011,01 o 0.101₁₀ 0.2^{e^-3}

per il segno ex. di mantissa t corretta (esente)

t = n+1: numero di bit necessario per rappresentare il numero al calcolatore,

2 del segno e scrittura questo è il modo

1 se negativo in cui viene rappresentato al calcolatore un numero

La rappresentazione in singola precisione ha un totale di 32 bit con

n=8 e t=23

la doppia precisione ha un totale di 64 bit con

n=11 e t=52

La scelta della rappresentazione è importante perchè in base a questa,

diciamo ad esempio il numero massimo rappresentabile è 1

numero maggiore di quello verrà rappresentato come 11 (overflow)

e se invece il numero è minore del numero più piccolo rappresentabile

verrà rappresentato uno 0 (underflow)

ad esempio -16,25

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