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V

Definizione 4.6 (Densità locale) dm

ρ(x, y, z) = (4.20)

dV

dm = ρ dV

Z Z

M = dm = ρ dV

V V

R

R ρr dV

rdV ρ V

V = (4.21)

r =

CM R

M ρ dV

V

Se la densità è uguale in tutti i punti il centro di massa è solo un fattore

geometrico: R r dV

V

r =

CM V

dθ

ds

r

Figura 4.3: Esempio 4.5.

Esempio 4.5 (semicirconferenza)

x = 0 per simmetria

CM

dm ds

= ds = rdθ

M πr

M ds M rdθ M dθ

dm = = =

πr πr π

4.7. CENTRO DI MASSA 39

y = r sin θ

π

R Z

ydm r r r 2r

π

− − −

y = = sin θdθ = [cos θ] = (−1 1) =

CM 0

M π π π π

0 R

R/2

C

Figura 4.4: Esempio 4.6.

Esempio 4.6 (cerchio bucato) Luna è il cerchio grande meno il piccolo

r

(C) di raggio y = 0 per simmetria

CM

2 2

r 3 r

r 2 2

2 2 luna 2

C − −

= ρπ r = ρπr M = ρ πr π

M = ρπ 2 4 4 2

luna C C

x + x M

pieno CM CM

x = 0 =

CM C luna

M + M

C C 2 luna C

M 4M 4ρπr x x

CM CM

luna C luna C luna C

0 = x x = x x = x x =

CM CM CM CM CM CM

luna 2 2

·

M 3ρπr 4 3ρπr 3

R

luna C

x = 3x =

CM CM 6

4.7.2 Teorema di Pappo–Guldino

Teorema 4.3 (Pappo–Guldino) Il volume generato dalla rotazione di una

superficie è uguale all’area della superficie per la distanza percorsa dal centro

di massa durante la rotazione.

Esempio 4.7 (Semicerchio) Il volume generato dalla rotazione del semicer-

43 3

πr , la distanza percorsa dal centro di massa è

chio è il volume della sfera: 2

πr

2πy con y l’ordinata del centro di massa, la superficie del semicerchio è ,

2

quindi 2

πr 4 3

2πy = πr

2 3

4 r

y = 3π

40 CAPITOLO 4. DINAMICA

4.8 Impulso di una forza

Definizione 4.7 (Impulso di una forza) L’impulso di una forza F tra il

tempo t e t è definito come:

1 2 t

Z 2 F dt (4.22)

J (t , t ) =

1 2 t

1

poiché v(t )

t

t t

Z

Z

Z Z

dv

2

2

2 2

ma dt = m

F dt = dv

dt = m

dt

t v(t )

t t

1 1

1 1

− −

= m [v(t ) v(t )] = p p = ∆p

2 1 2 1

allora:

Teorema 4.4 (inpulso) t

Z 2

J = F dt = ∆p

t

1

In particolare se il sistema è isolato con due corpi si ha:

t t

Z Z

2 2

∆p = F dt ∆p = F dt

1,2 2,1

1 2

t t

1 1

Z

∆p + ∆p = (F + F ) dt = 0 = ∆p

1,2 2,1

1 2 totale

p = p

iniziale finale

dove si è usato terzo principio della dinamica. La conservazione della quantità

di moto vale in tutti i sistemi isolati.

4.9 Urti

Gli urti si classificano in elastici ed anelastici. Gli urti reali sono una via

intermedia. Negli urti elastici si conserva tutta l’energia cinetica, agiscono

solo forze conservative; durante l’urto l’energia cinetica si trasforma in energia

potenziale, per poi tornare completamente energia cinetica. La quantità di

moto si conserva sempre in quanto non agiscono forze esterne.

4.9. URTI 41

4.9.1 Urti elastici

Urti in 1 dimensione

m v + m v = m v + m v v =?

1 i,1 2 i,2 1 f,1 2 f,2 1,f

1 1 1 1

2 2 2 2

m v + m v = m v + m v v =?

1 2 1 2 2,f

i,1 i,2 f,1 f,2

2 2 2 2 −

2m m m

2 2 1

−

v = v v

1,f i,2 i,1

m + m m + m

1 2 1 2

−

2m m m

1 1 2

−

v = v v

2,f i,1 i,2

m + m m + m

1 2 1 2

casi limite

1. m = m

1 2 v = v

f,1 i,2

v = v

f,2 i,1

• v = 0

i,2 v = 0

f,1

v = v

f,2 i,1

2. m m

2 1 m 1 ' 0

m

2

−v

v = + 2v

f,1 i,1 i,2

v = v

f,2 i,2

• v = 0

i,2 −v

v =

f,1 i,1

v = v = 0

f,2 i,2

• v = 0

i,1 v = 2v

f,1 i,2

v = v

f,2 i,2

42 CAPITOLO 4. DINAMICA

Urti in due dimensioni

Due corpi di massa m , m , prima dell’urto velocità v = 0, v , il secondo

1 2 i,2 i,1

corpo è fermo, dopo l’urto velocità v , v .

f,1 f,2

m v = m v + m v

1 i,1 1 f,1 2 f,2

1 12 12

2 2 2

m v = m v + m v

1 1 2

i,1 f,1 f,2

2

 m v = m v cos ϕ + m v cos ϕ

1 i,1 i f,1 1 2 f,2 2

 −

0 = m v sin ϕ m v sin ϕ

1 f,1 1 2 f,2 2

12 1

1 2 2 2

m v = m v + m v

 1 1 2

i,1 f,1 f,2

2 2

Il sistema è formato da 3 equazioni, ma da 4 incognite (ϕ , ϕ , v , v ), ha

1 2 f,1 f,2

1

∞ soluzioni.

Nel caso particolare di m = m si ha:

1 2

1 1 1

2 2 2

mv mv mv

= +

i,1 f,1 f,2

2 2 2

2 2

2

= v + v

v

i,1 f,1 f,2

2 2 2 2 2

2 2 = m v + m v + 2m v v cos α

m v 1,f 2,f

i,1 f,1 f,2

2 2

2

= v + v

v

i,1 f,1 f,2

2 2 2

v = v + v + 2v v cos α

1,f 2,f

i,1 f,1 f,2

◦

⇒

quindi cos α = 0 α = 90 , oppure v = 0 e v = v

1,f 2,f 1,i

4.9.2 Urti completamente anelastici

Negli urti anelastici il sistema perde la massima energia cinetica possibile, che

non è tutta in quanto se il sistema perdesse tutta l’energia cinetica violerebbe

la conservazione della quantità di moto. Si dimostra che questo caso è quello

in cui dopo l’urto i due corpi rimangono attaccati.

Esempio 4.8 (pendolo balistico) Un proiettile di massa m, velocità v ur-

ta un pendolo balistico di massa M > m e velocità V = 0. Prima dell’urto

la quantità di moto totale del sistema è mv, dopo (M + m)V .

mv = (M + m)V

mv

V = M + v

Dopo l’urto il pendolo balistico, con il proiettile incorporato oscilla come un

pendolo, l’energia meccanica si conserva, quindi K = U (B)

A

4.10. MOMENTO D’INERZIA 43

1 2

(m + M )V = (m + M )gh

2 2

1 mv = (m + M )gh

2 M + m

2 2

1 m v = (m + M )gh

2 M + m 2

·

(m + M )gh 2(m + M ) 2(m + M ) gh

2

v = =

2 2

m m

m + M p

2gh

v = m ∗

Consideriamo un sistema di riferimento inerziale rispetto al CM con la

stessa velocità del CM. ∗ ∗

P = (m + M )V = 0

prima CM

∗ = 0 sono attaccati v = 0

P dopo

Quindi tutta l’energia cinetica è persa.

4.10 Momento d’inerzia

Corpo rigido(CR): presi due punti qualsiasi la loro distanza rimane inalterata.

Servono tre punti, quindi 9 coordinate, ma le distanze rimangono fisse nel

tempo, quindi il corpo ha 6 gradi di libertà. Per descrivere il moto di un

corpo bisogna dare 6 coordinate in funzione del tempo. Se fissiamo un asse

di rotazione si ha un solo grado di libertà. In questo caso si ha una rotazione

intorno ad un asse fisso. Ogni punto del CR descrive una circonferenza. θ è

comune a tutti, quindi anche ω e α

ds = dθr

i i

dv

i = αr

v = r ω a = i

i i t dt

1

X 2

K = m v

i i

2

i !

1 1 1

X X

2 2 2 2 2

K = m ω r = ω m r = Iω

i i

i i

2 2 2

i i

44 CAPITOLO 4. DINAMICA

N

X 2

I = momento d’inerzia = m r

i i

i=1

∞ Z

X 2

2 r dm

Nel caso di corpo continuo dm r =

i i V

i=1

Essendo r relativo a un punto O allora anche I sarà relativo ad O. Bisogna

sempre specificare rispetto quale punto si calcola I.

4.10.1 Calcolo Momenti di Inerzia

Barra Sottile per l’estremo dx

M

O x l

dm dx

=

M l l

l 3 3

Z M M

M x l M

2 2

=

I = dxx = = l

0 l l 3 l 3 3

0 0

Barra sottile per il centro di massa

l/2 l/2 3 3

Z Z M

M M l l M

2

2 2

x dx =

I = dxx = + = l

c l l 3l 8 8 12

−l/2 −l/2

Disco R r r+dr

dm 2πrdr

= 2

M πR

4.10. MOMENTO D’INERZIA 45

2dr

dm = M r

2

R

R R 4

Z Z 1

M 2M 2M R 2

3 3 · = M R

I = 2drr = r dr =

O 2 2 2

R R R 4 2

O O

Sfera omogenea

Dividiamo la sfera in tanti dischetti: dtheta

r

ds dh R theta

R

r = R cos θ ds = Rdθ dh = ds cos θ = Rdθ cos θ

2 2 2 3 3

dm = ρdV = ρπr dh = ρπR cos θR cos θdθ = R ρπ cos θdθ

1 1 1

2 3 3 2 2 5 5

I = dI = dmr = ρπR cos θdθR cos θ = ρπR cos θdθ

dischetto 2 2 2

4 3

m = ρ πR

3

π π

Z Z

3 2

2 2

2 5 2

I = 2 dI = mR cos θdθ = mR

sfera 4 5

0 0

4.10.2 Teorema di Steiner o degli assi paralleli

Teorema 4.5 (Steiner o degli assi paralleli) Sia d la distanza da un asse

di rotazione I parallelo all’asse I passante per il centro di massa. Allora:

0 CM

2

I = d M + I

0 CM

0

r = r + r

i C i

0 0 02 0

2 2 2

· · ⇒ ·

r r = r = (r + r ) (r + r ) r = r + r + 2r r

i i C i C i i C i

i i C

46 CAPITOLO 4. DINAMICA

i

r i r’

i

O r C C

X X

X

X 02 0

2

2 · ·

m + r m + m 2r r

= r

I = m r i i i i C i

0 i C

i

X X X

0 0

2 2

· · ·

= r m + I + 2r m r = d M + I + 2r m r

i C C i i C C i i

C

Per ipotesi C è il CM del sistema

0

P m r

i i 2

2 CM 2

· ·

I = d M + I + 2r M = d M + I + 2r r M = d M + I

0 CM i CM i CM

CM

M

2

Ma M d > 0 quindi I è il momento minimo possibile.

CM

Esempio 4.9 Il momento d’inerzia di una circonferenza rispetto al centro

1 2

M R , per un estremo è:

di massa è I =

CM 2 1 3

2 2 2 2

I = I + M R = M R + M R = M R > I

0 CM CM

2 2

4.11 Momento di una forza

Definizione 4.8 (Momento di una forza) Il momento di una forza (o

momento torcente) rispetto ad un polo fisso O

×

τ = r F (4.23)

O

dove r è il vettore che individua il punto di applicazione dela forza rispetto

al polo. δL = dK ds = rdθ

δL = F ds cos φ = F rdθ cos φ

1 2

K = Iω dK = Iωdω

2

F rdθ cos φ = Iωdω

4.12. MOMENTO ANGOLARE O DELLA QUANTITÀ DI MOTO 47

dω

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Francesko92
A.A. 2016-2017
463 pagine
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SSD Scienze fisiche FIS/01 Fisica sperimentale
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Francesko92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi della Basilicata o del prof Ragosta Marinella.