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V
Definizione 4.6 (Densità locale) dm
ρ(x, y, z) = (4.20)
dV
dm = ρ dV
Z Z
M = dm = ρ dV
V V
R
R ρr dV
rdV ρ V
V = (4.21)
r =
CM R
M ρ dV
V
Se la densità è uguale in tutti i punti il centro di massa è solo un fattore
geometrico: R r dV
V
r =
CM V
dθ
ds
r
Figura 4.3: Esempio 4.5.
Esempio 4.5 (semicirconferenza)
x = 0 per simmetria
CM
dm ds
= ds = rdθ
M πr
M ds M rdθ M dθ
dm = = =
πr πr π
4.7. CENTRO DI MASSA 39
y = r sin θ
π
R Z
ydm r r r 2r
π
− − −
y = = sin θdθ = [cos θ] = (−1 1) =
CM 0
M π π π π
0 R
R/2
C
Figura 4.4: Esempio 4.6.
Esempio 4.6 (cerchio bucato) Luna è il cerchio grande meno il piccolo
r
(C) di raggio y = 0 per simmetria
CM
2 2
r 3 r
r 2 2
2 2 luna 2
C − −
= ρπ r = ρπr M = ρ πr π
M = ρπ 2 4 4 2
luna C C
x + x M
pieno CM CM
x = 0 =
CM C luna
M + M
C C 2 luna C
M 4M 4ρπr x x
CM CM
luna C luna C luna C
0 = x x = x x = x x =
CM CM CM CM CM CM
luna 2 2
·
M 3ρπr 4 3ρπr 3
R
luna C
x = 3x =
CM CM 6
4.7.2 Teorema di Pappo–Guldino
Teorema 4.3 (Pappo–Guldino) Il volume generato dalla rotazione di una
superficie è uguale all’area della superficie per la distanza percorsa dal centro
di massa durante la rotazione.
Esempio 4.7 (Semicerchio) Il volume generato dalla rotazione del semicer-
43 3
πr , la distanza percorsa dal centro di massa è
chio è il volume della sfera: 2
πr
2πy con y l’ordinata del centro di massa, la superficie del semicerchio è ,
2
quindi 2
πr 4 3
2πy = πr
2 3
4 r
y = 3π
40 CAPITOLO 4. DINAMICA
4.8 Impulso di una forza
Definizione 4.7 (Impulso di una forza) L’impulso di una forza F tra il
tempo t e t è definito come:
1 2 t
Z 2 F dt (4.22)
J (t , t ) =
1 2 t
1
poiché v(t )
t
t t
Z
Z
Z Z
dv
2
2
2 2
ma dt = m
F dt = dv
dt = m
dt
t v(t )
t t
1 1
1 1
− −
= m [v(t ) v(t )] = p p = ∆p
2 1 2 1
allora:
Teorema 4.4 (inpulso) t
Z 2
J = F dt = ∆p
t
1
In particolare se il sistema è isolato con due corpi si ha:
t t
Z Z
2 2
∆p = F dt ∆p = F dt
1,2 2,1
1 2
t t
1 1
Z
∆p + ∆p = (F + F ) dt = 0 = ∆p
1,2 2,1
1 2 totale
p = p
iniziale finale
dove si è usato terzo principio della dinamica. La conservazione della quantità
di moto vale in tutti i sistemi isolati.
4.9 Urti
Gli urti si classificano in elastici ed anelastici. Gli urti reali sono una via
intermedia. Negli urti elastici si conserva tutta l’energia cinetica, agiscono
solo forze conservative; durante l’urto l’energia cinetica si trasforma in energia
potenziale, per poi tornare completamente energia cinetica. La quantità di
moto si conserva sempre in quanto non agiscono forze esterne.
4.9. URTI 41
4.9.1 Urti elastici
Urti in 1 dimensione
m v + m v = m v + m v v =?
1 i,1 2 i,2 1 f,1 2 f,2 1,f
1 1 1 1
2 2 2 2
m v + m v = m v + m v v =?
1 2 1 2 2,f
i,1 i,2 f,1 f,2
2 2 2 2 −
2m m m
2 2 1
−
v = v v
1,f i,2 i,1
m + m m + m
1 2 1 2
−
2m m m
1 1 2
−
v = v v
2,f i,1 i,2
m + m m + m
1 2 1 2
casi limite
1. m = m
1 2 v = v
f,1 i,2
v = v
f,2 i,1
• v = 0
i,2 v = 0
f,1
v = v
f,2 i,1
2. m m
2 1 m 1 ' 0
m
2
−v
v = + 2v
f,1 i,1 i,2
v = v
f,2 i,2
• v = 0
i,2 −v
v =
f,1 i,1
v = v = 0
f,2 i,2
• v = 0
i,1 v = 2v
f,1 i,2
v = v
f,2 i,2
42 CAPITOLO 4. DINAMICA
Urti in due dimensioni
Due corpi di massa m , m , prima dell’urto velocità v = 0, v , il secondo
1 2 i,2 i,1
corpo è fermo, dopo l’urto velocità v , v .
f,1 f,2
m v = m v + m v
1 i,1 1 f,1 2 f,2
1 12 12
2 2 2
m v = m v + m v
1 1 2
i,1 f,1 f,2
2
m v = m v cos ϕ + m v cos ϕ
1 i,1 i f,1 1 2 f,2 2
−
0 = m v sin ϕ m v sin ϕ
1 f,1 1 2 f,2 2
12 1
1 2 2 2
m v = m v + m v
1 1 2
i,1 f,1 f,2
2 2
Il sistema è formato da 3 equazioni, ma da 4 incognite (ϕ , ϕ , v , v ), ha
1 2 f,1 f,2
1
∞ soluzioni.
Nel caso particolare di m = m si ha:
1 2
1 1 1
2 2 2
mv mv mv
= +
i,1 f,1 f,2
2 2 2
2 2
2
= v + v
v
i,1 f,1 f,2
2 2 2 2 2
2 2 = m v + m v + 2m v v cos α
m v 1,f 2,f
i,1 f,1 f,2
2 2
2
= v + v
v
i,1 f,1 f,2
2 2 2
v = v + v + 2v v cos α
1,f 2,f
i,1 f,1 f,2
◦
⇒
quindi cos α = 0 α = 90 , oppure v = 0 e v = v
1,f 2,f 1,i
4.9.2 Urti completamente anelastici
Negli urti anelastici il sistema perde la massima energia cinetica possibile, che
non è tutta in quanto se il sistema perdesse tutta l’energia cinetica violerebbe
la conservazione della quantità di moto. Si dimostra che questo caso è quello
in cui dopo l’urto i due corpi rimangono attaccati.
Esempio 4.8 (pendolo balistico) Un proiettile di massa m, velocità v ur-
ta un pendolo balistico di massa M > m e velocità V = 0. Prima dell’urto
la quantità di moto totale del sistema è mv, dopo (M + m)V .
mv = (M + m)V
mv
V = M + v
Dopo l’urto il pendolo balistico, con il proiettile incorporato oscilla come un
pendolo, l’energia meccanica si conserva, quindi K = U (B)
A
4.10. MOMENTO D’INERZIA 43
1 2
(m + M )V = (m + M )gh
2 2
1 mv = (m + M )gh
2 M + m
2 2
1 m v = (m + M )gh
2 M + m 2
·
(m + M )gh 2(m + M ) 2(m + M ) gh
2
v = =
2 2
m m
m + M p
2gh
v = m ∗
Consideriamo un sistema di riferimento inerziale rispetto al CM con la
stessa velocità del CM. ∗ ∗
P = (m + M )V = 0
prima CM
∗ = 0 sono attaccati v = 0
P dopo
Quindi tutta l’energia cinetica è persa.
4.10 Momento d’inerzia
Corpo rigido(CR): presi due punti qualsiasi la loro distanza rimane inalterata.
Servono tre punti, quindi 9 coordinate, ma le distanze rimangono fisse nel
tempo, quindi il corpo ha 6 gradi di libertà. Per descrivere il moto di un
corpo bisogna dare 6 coordinate in funzione del tempo. Se fissiamo un asse
di rotazione si ha un solo grado di libertà. In questo caso si ha una rotazione
intorno ad un asse fisso. Ogni punto del CR descrive una circonferenza. θ è
comune a tutti, quindi anche ω e α
ds = dθr
i i
dv
i = αr
v = r ω a = i
i i t dt
1
X 2
K = m v
i i
2
i !
1 1 1
X X
2 2 2 2 2
K = m ω r = ω m r = Iω
i i
i i
2 2 2
i i
44 CAPITOLO 4. DINAMICA
N
X 2
I = momento d’inerzia = m r
i i
i=1
∞ Z
X 2
2 r dm
Nel caso di corpo continuo dm r =
i i V
i=1
Essendo r relativo a un punto O allora anche I sarà relativo ad O. Bisogna
sempre specificare rispetto quale punto si calcola I.
4.10.1 Calcolo Momenti di Inerzia
Barra Sottile per l’estremo dx
M
O x l
dm dx
=
M l l
l 3 3
Z M M
M x l M
2 2
=
I = dxx = = l
0 l l 3 l 3 3
0 0
Barra sottile per il centro di massa
l/2 l/2 3 3
Z Z M
M M l l M
2
2 2
x dx =
I = dxx = + = l
c l l 3l 8 8 12
−l/2 −l/2
Disco R r r+dr
dm 2πrdr
= 2
M πR
4.10. MOMENTO D’INERZIA 45
2dr
dm = M r
2
R
R R 4
Z Z 1
M 2M 2M R 2
3 3 · = M R
I = 2drr = r dr =
O 2 2 2
R R R 4 2
O O
Sfera omogenea
Dividiamo la sfera in tanti dischetti: dtheta
r
ds dh R theta
R
r = R cos θ ds = Rdθ dh = ds cos θ = Rdθ cos θ
2 2 2 3 3
dm = ρdV = ρπr dh = ρπR cos θR cos θdθ = R ρπ cos θdθ
1 1 1
2 3 3 2 2 5 5
I = dI = dmr = ρπR cos θdθR cos θ = ρπR cos θdθ
dischetto 2 2 2
4 3
m = ρ πR
3
π π
Z Z
3 2
2 2
2 5 2
I = 2 dI = mR cos θdθ = mR
sfera 4 5
0 0
4.10.2 Teorema di Steiner o degli assi paralleli
Teorema 4.5 (Steiner o degli assi paralleli) Sia d la distanza da un asse
di rotazione I parallelo all’asse I passante per il centro di massa. Allora:
0 CM
2
I = d M + I
0 CM
0
r = r + r
i C i
0 0 02 0
2 2 2
· · ⇒ ·
r r = r = (r + r ) (r + r ) r = r + r + 2r r
i i C i C i i C i
i i C
46 CAPITOLO 4. DINAMICA
i
r i r’
i
O r C C
X X
X
X 02 0
2
2 · ·
m + r m + m 2r r
= r
I = m r i i i i C i
0 i C
i
X X X
0 0
2 2
· · ·
= r m + I + 2r m r = d M + I + 2r m r
i C C i i C C i i
C
Per ipotesi C è il CM del sistema
0
P m r
i i 2
2 CM 2
· ·
I = d M + I + 2r M = d M + I + 2r r M = d M + I
0 CM i CM i CM
CM
M
2
Ma M d > 0 quindi I è il momento minimo possibile.
CM
Esempio 4.9 Il momento d’inerzia di una circonferenza rispetto al centro
1 2
M R , per un estremo è:
di massa è I =
CM 2 1 3
2 2 2 2
I = I + M R = M R + M R = M R > I
0 CM CM
2 2
4.11 Momento di una forza
Definizione 4.8 (Momento di una forza) Il momento di una forza (o
momento torcente) rispetto ad un polo fisso O
×
τ = r F (4.23)
O
dove r è il vettore che individua il punto di applicazione dela forza rispetto
al polo. δL = dK ds = rdθ
δL = F ds cos φ = F rdθ cos φ
1 2
K = Iω dK = Iωdω
2
F rdθ cos φ = Iωdω
4.12. MOMENTO ANGOLARE O DELLA QUANTITÀ DI MOTO 47
dω