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Riassunti/Appunti di Fisica 1 - 2 - 3

Fisica 1
1 Grandezze e misure 5
1.1 Grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Pre ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Vettori 7
2.1 Versori e coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Individuazione vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Passaggio da individuazione geometrica... Vedi di più

Esame di Fisica generale docente Prof. M. Ragosta

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ESTRATTO DOCUMENTO

14.4. METODO DELLE CARICHE IMMAGINE 215

Quindi il potenziale: !

ad

− q

q

1

ϕ(x) = +

0 0

2

a

kxn̂ − k

4πε dn̂ −

xn̂ n̂

0 d P

0

d r θ

R R z

+ −q +q −Q

+Q a

Figura 14.2: La sfera a potenziale nullo può essere sostituita da due cariche

immagine al suo interno.

Esempio 14.5 (sfera in campo uniforme) Consideriamo un campo uni-

forme di modulo E diretto come l’asse z e una sfera conduttrice centrata

0

nell’origine, di raggio a messa a terra. Il campo uniforme può essere simula-

to da due cariche puntiformi poste all’infinito in direzioni opposte di carica

opposta (vedi fig. 14.2). Infatti il potenziale:

−Q

1

Q

1 +

ϕ(r) = kr − k kr − k

4πε R 4πε R −

0 + 0

Q 1

1 −

= 2 2

2 1/2 2 1/2

− · − ·

4πε (r + R 2r R ) (r + R 2r R )

0 + −

+

( )

Q 1 1 1

= 2 2

r r r r

4πε R 1/2 1/2

( (

+ 1 + 2 cos θ) + 1 2 cos θ)

0 2 2

R R R R −

si noti che l’angolo tra R e r è θ, mentre l’angolo tra R e r è π θ.

− +

Usando il solito sviluppo usanto anche per lo sviluppo in multipoli:

−1/2

2 2 2

r 2r 1 r 2r r 2r

± − ± ±

1+ cos θ =1 cos θ + o cos θ

2 2 2

R R 2 R R R R

r

r

= 1 cos θ + o

R R

→ ∞:

quindi l’approssimazione per R

1 2Q 1 2Q

− −

ϕ(r) = r cos θ = z

2 2

4πε R 4πε R

0 0

| {z }

z

216CAPITOLO 14. PROBLEMA GENERALE DELL’ELETTROSTATICA

Q rimanga finito. Il campo elettrico è nullo in tutte

sempre che il rapporto 2

R

le componenti tranne: 1 2Q

E =

z 2

4πε R

0

2Q

poiché E = E si ricava che = 4πε E .

z 0 0 0

2

R

Ora bisogna aggiungere delle cariche immagine in modo tale che sulla

supreficie della sfera il potenziale risulti nullo. Le due cariche dovranno es-

sere all’interno della sfera. Per simmetria dovranno essere sull’asse z, poste

in maniera simmetrica. Si può usare l’esempio precedente per ricavare il loro

valore e la loro posizione. Consideriamo, grazie al principio di sovrappo-

−Q.

sizione separatamente la carica Q e la carica Se abbiamo solo la carica

2

0 a

a

− Q e posta a d = (vedi es-

Q ci servirà una carica immagine di valore R R

−Q.

ercizio precedente). Discorso analogo per la carica Quindi il potenziale

generato dalle quattro cariche risulta:

( 1

Q 1 − −

ϕ(r) = 2 2 1/2 2 1/2

4πε (r + R + 2rR cos θ) (r + R 2rR cos θ)

0 )

a a

R R

− +

02 0 02 0

2 1/2 2 1/2

(r + d + 2d r cos θ) (r + d 2d r cos θ)

→ ∞

i primi due termini sono quelli di prima. Ora per fare R gli ultimi due

termini si espandono in maniera analoga:

−1/2

4 2 2 2

a a a a

−1

2 ± ∓

r + 2 r cos θ = r 1 cos θ + o

2

R R Rr Rr

mettendo tutto insieme: 3

2a

Q 2

ϕ(r) = r cos θ + cos θ

2 2 2

4πε R R r

0

si noti che la coppia di cariche all’interno della sfera costituisce un dipolo

0 0

→ ∞ →

p = q(2d )ẑ, infatti con la teoria del dipolo per R (d 0):

2

a a

0 3

Q 2 z

·

1 p r q 2d z Q 2a

R R

ϕ (r) = = = = cos θ

dipolo 3 3 3 2 2

4πε r 4πε r 4πε r 4πε R r

0 0 0 0

2Q 3

= 4πε E (cioè p = 4πε E a ):

Infine considerando che 0 0 0 0

2

R 3

a

−E −

ϕ(r) = r cos θ

0 2

r

14.4. METODO DELLE CARICHE IMMAGINE 217

3

2

1

0

- 1

- 2

- 3 - -

4 2 0 2 4

Figura 14.3: Linee equipotenziali e linee di campo per una sfera a potenziale

nullo immersa in un campo elettrostatico uniforme. Il colore sul bordo della

sfera indica la carica superficiale.

218CAPITOLO 14. PROBLEMA GENERALE DELL’ELETTROSTATICA

Si può ricavare la densità di carica dal teorema di Coulomb:

∂ϕ

· −ε

σ = ε E n̂ = = 3ε E cos θ

0 0 0 0

∂r r=a

Quindi la carica totale indotta sulla sfera:

π π

Z Z Z

2

Q = σ da = 3ε E cos θ2πa sin θa dθ = 3ε E 2πa sin θ cos θ = 0

0 0 0 0

0 0

quindi si può concludere che in questo caso non c’è differenza tra una sfera

a terra e una sfera isolata.

All’interno il campo è nullo, quindi il campo generato dalla carica indotta

sulla sfera deve essere uguale ed opposto al campo esterno. Abbiamo quindi

anche dimostrato che una sfera carica con una densità di carica che varia

come cos θ genera un campo interno uniforme e un campo esterno di dipolo.

Dal segno della densità di carica si deduce la discontinuità che deve avere

il campo elettrico e quindi che il campo elettrico interno costante è diretto

dall’emisfero dove cos θ > 0 all’emisfero dove cos θ < 0.

15

Corrente stazionaria

Indice

15.1 Modello del gas di elettroni liberi . . . . . . . . . 220

15.2 Densità di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

15.2.1 Conservazione della carica . . . . . . . . . . . . . . 221

15.3 Conducibilità elettrica . . . . . . . . . . . . . . . 222

15.3.1 Resistività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

15.3.2 Unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

15.4 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

15.4.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

15.4.2 Resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

15.5 Tempo di rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . 228

15.6 Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

15.6.1 Resistenza interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

15.7 Effetto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

15.7.1 Macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

15.7.2 Microscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Per definizione la corrente è un flusso ordinato di cariche elettriche, la

grandezza che la caratterizza è l’intensità di corrente:

Definizione 15.1 (intensità di corrente)

dq

I = (15.1)

dt

219

220 CAPITOLO 15. CORRENTE STAZIONARIA

È una grandezza scalare, anche se la corrente ha un verso, quello del moto

delle cariche positive e una direzione, quella del campo elettrico. Per corrente

stazionaria si intende una corrente che è costante nel tempo. La corrente non

1

ha bisogno della presenza di un conduttore. Si misura in ampere (A): Cs .

Dall’equazione (15.1): t

Z 0 0

I(t )dt (15.2)

Q = 0

essendo però la corrente stazionaria Q = It. Il moto delle cariche ha origine

da una differenza di energia potenziale e quindi da una differenza di poten-

ziale. Tutte le particelle cariche che con il loro moto generato una corrente

si chiamano portatori di cariche. Muovendo un corpo carico, per esempio

traslandolo, si crea una corrente, in quanto si stanno muovendo delle cariche;

per differenziare queste correnti non del tutto proprie, chiameremo corren-

ti di conduzione il moto di portatori di carica all’interno del corpo, senza

movimento del corpo.

15.1 Modello del gas di elettroni liberi

Ipotizziamo che gli elettroni liberi si muovano come gli atomi di un gas clas-

sico, quindi con urti casuali, ecc. . . In assenza di campo elettrico gli elettroni

saranno in agitazione termica con una velocità v di agitazione termica:

T

f

1 2

m v kT

=

K = e T

2 2

con f = 3 gradi di libertà k costante di Boltzmann. Alla temperatura di

300K: r 3kT ' 1E5ms

v =

T m

Definiamo τ il tempo medio tra due urti consecutivi e l il libero cammino

medio, cioè lo spazio medio che un elettrone percorre senza urti:

l = τ v

T

Se ora applichiamo un campo elettrico E costante, provocheremo un al-

tro moto dovuto alla forza elettrica con velocità v , velocità di deriva, che

D

bisogna sovrapporre a quello di agitazione termica. A temperature usuali

v v e quindi τ e l rimangono pressoché invariati.

D T

1 in realtà è il Coulomb che dovrebbe essere definito come Ampere secondo, vedi oltre

per definizione di ampere

15.2. DENSITÀ DI CORRENTE 221

15.2 Densità di corrente

Consideriamo un conduttore con N portatori di carica per unità di volume,

tutti uguali, con carica q e velocità di deriva v . Nel tempo dt attraverso

D

una sezione dA passa una quantità di carica:

dQ ·

= dI = qN (v n) da (15.3)

D

dt

Definizione 15.2 (densità di corrente) Si definisce J densità di corrente:

J = qN v (15.4)

D

Allora la (15.3) si scrive come: ·

dI = J n da

E la corrente totale: Z ·

J n da (15.5)

I = S

che è l’espressione di un flusso, precisamente il flusso di J :

I = Φ (J ) (15.6)

S

15.2.1 Conservazione della carica

Applicando il teorema della divergenza: Z

Z · − ∇ ·

I = J n da = J dV (15.7)

V

S

il segno meno è dovuto al fatto che consideriamo positive le correnti che

entrano nel volume V . Per definizione di corrente:

Z

dQ d

I = = ρ dV (15.8)

dt dt V

Confrontando la (15.7) e la (15.8) si ottiene:

Z Z

∂ρ − ∇ ·

= J dV

∂t

V V

per l’arbitrarietà di V :

222 CAPITOLO 15. CORRENTE STAZIONARIA

Legge 15.1 (conservazione della carica)

∂ρ

div J = (15.9)

∂t

la legge (15.1) è detta anche principio di continuità . Le sorgenti del campo

∂ρ

J sono le variazioni di densità di carica. In condizioni stazionarie =0e

∂t

dunque: div J = 0

e dunque J è un campo solenoidale, non ha sorgenti.

15.3 Conducibilità elettrica

Indichiamo con N (t) il numero di elettroni che al tempo t non hanno subito

nessuna collisione. Sia N il numero totale di elettroni, ovviamente N (0) =

0 dt .

N . La probabilità media che un elettrone subisca un urto nel tempo dt è

0 τ

Quindi in media il numero di elettroni che subiscono un urto nel tempo dt è

dt

dt . Il numero di elettroni che subiscono il primo urto N (t) . Allora:

N (t)

0 τ τ

dt

N (t + dt) = N (t) N (t) τ

Facendo il primo sviluppo di Taylor: dN

N (t + dt) = N (t) + dt

dt

Confrontando: dt

−N

dN (t) = (t) τ

che rappresenta il numero di elettroni che hanno subito un urto nell’intervallo

dt dopo il tempo t. dN dt

= dt

N τ

Risolvendo: t t t

− −

+c

log N (t) = + c N (t) = e = Ae

τ τ

τ

Imponendo che N (0) = N :

0 t

N (t) = N e τ

0

15.3. CONDUCIBILITÀ ELETTRICA 223

Il numero di elettroni che non hanno subito una collisione decresce molto

rapidamente. La probabilità che al tempo t un elettrone non abbia subito

collisioni è N (t) −t

= e

P (t) = τ

N

0

Vogliamo ora sapere quanto tempo ci vuole ad avere un urto qualsiasi dopo

il tempo t: t

∞ ∞ ∞

Z Z Z

1 N (t) 1 tN e 1

τ t

0 −

t = t dt = dt = te = τ

τ

N τ N τ τ

0 0

0 0 0

Quindi τ non è solo il tempo medio tra un urto di una particella e il successivo,

sempre di quella particella, ma è anche il tempo medio che al tempo t bisogna

attendere per avere il primo urto tra due particelle qualsiasi. Naturalmente

essendo indipendente dal tempo τ è anche il tempo medio dall’ultimo urto.

Possiamo calcolare la velocità di deriva, considerando l’accelerazione data

dal campo elettrico durante il tempo dall’ultimo urto:

−e

F = Eτ

v = aτ =

D m m

e e

Usando la densità di corrente: 2

e τ N

−N

J = ev = E = σE

D m

e

σ è la conducibilità elettrica: 2 2

e τ N e N l

σ = =

m m v

e e D

La conducibilità elettrica ci dice come il conduttore risponde al campo elet-

trico, l’ostacolo che gli elettroni incontrano nel loro moto; alta conducibilità

significa alta disposizione da parte del conduttore di mettere in moto i suoi

elettroni. Se supponiamo che σ non dipenda dallo spazio, cioè il conduttore

sia omogeneo, che σ non dipenda da E, cioè che il conduttore sia lineare

e che non dipenda dalla direzione di E cioè sia isotropo e quindi J abbia

×

la direzione di E allora σ è uno scalare, altrimenti è un tensore 3 3 del

second’ordine: ⇒

J = σE

15.3.1 Resistività

Definizione 15.3 (resistività elettrica) La resistività ρ è l’inverso della

conducibilità 1

ρ = σ

224 CAPITOLO 15. CORRENTE STAZIONARIA

Più la resistività è alta più la risposta al campo elettrico del conduttore sarà

bassa.

15.3.2 Unità di misura

[J] A m

[σ] = = = Ωm

[E] m V

[ρ] = Ωm

con: V = ohm

Ω= A

−1

ohm = mho = = S = siemens

f

15.4 Legge di Ohm dl

J

Consideriamo un filo isotropo, omogeneo, di lunghezza l e sezione Σ vari-

abile e con conduttività σ. Sia ∆V la differenza di potenziale mantenuta tra

i due capi, con V > V . Consideriamo la differenza di potenziale tra due

1 2

porzioni di superfici equipotenziali: J J

· ·

· dl = n̂ dl (15.10)

dV = E dl = σ σ

dove n̂ è la normale alla superficie. Se integriamo sulla superficie:

Z Z J ·

dV dΣ = n̂ dl dΣ (15.11)

σ

poiché la superficie su cui stiamo integrando è equipotenziale dV è costante

su tutta la superficie e può uscire dall’integrale:

R

·

J dΣ dl

Z

dV dΣ = dV Σ = (15.12)

σ

15.4. LEGGE DI OHM 225

e si è supposto che σ sia anch’essa costante su tutta la superficie. Integrando

su tutta la lunghezza del conduttore:

Z Z Idl (15.13)

∆V = dV = Σσ

Essendo gli elementini in serie la corrente è la stessa per tutti, mentre la

sezione e la conducibilità potrebbero dipendere dalla posizione: σ = σ(l),

Σ = Σ(l): Z dl

∆V = I = IR (15.14)

Σσ

Definizione 15.4 (resistenza elettrica)

B

Z ρ

R = dl (15.15)

Σ

A

Legge 15.2 (Ohm) ∆V = IR (15.16)

che in realtà è stata introdotta come legge sperimentale. I materiali che

rispettano questa legge sono detti ohmnici.

Esempio 15.1 (Filo) Un filo a sezione S, resistività ρ entrambi costanti e

lunghezza L, avrà resistenza: B

Z L

ρ dl = ρ (15.17)

R = Σ S

A L Σ

S

Esempio 15.2 (Conduttori cilindrici) Consideriamo due superfici cilin-

driche concentriche, e tra queste inseriamo un materiale con resistività ρ

uniforme. Appichiamo una ∆V sulle due superfici, vogliamo sapere quanto

è la corrente che scorre. Z

∆V dl

R = = ρ

I Σ(l)

226 CAPITOLO 15. CORRENTE STAZIONARIA

V

A V

B

r h

dove l è la distanza tra un conduttore e l’altro, quindi il raggio. Per la

geometria dei conduttori Σ(r) = 2πrh

Z r

ρ

dr B

= log

R = ρ 2πrh 2πh r A

∆V 2πh

I = = ∆V r

R ρ log B

r

A

15.4.1 Temperatura

La temperatura modifica ρ in quanto al crescere della temperatura i nu-

clei degli elettroni si muovono più velocemente e gli urti con gli elettroni

diventano più probabili. L’aumento di resistività del tipo:

2 3

− − − · · ·

ρ(T ) = ρ 1 + a (T T ) + b (T T ) + c (T T ) +

0 0 0 0

· · ·

di solito a > b > c > e si considera solo il primo termine:

ρ(T ) = ρ (1 + α (T T ))

0 0

considerandolo come uno sviluppo di Taylor:

1 ∂ρ

α = ρ ∂T

0 T 0

Per i semiconduttori α < 0. Ad una certa temperatura, detta temperatura

critica, la resistività crolla e si ha il fenomeno della superconduttività.

Il modello basato sul gas di elettroni non riesce a spiegare questo anda-

mento, infatti: r kT

v = 3

T m

e

15.4. LEGGE DI OHM 227

∝ ∝ ∝

cioè ρ v T invece che ρ T . Inoltre non riesce a spiegare la diversità

T

di ρ tra i diversi materiali, sia conduttori che non, infatti

m m v

e e T

ρ = =

2

e Nτ eN l

dice solo che la variazione tra i diversi materiali è data da N , che in realtà

non varia di molto da conduttore a conduttore. Nella realtà ρ è influenzato

da numerosi fattori tra cui le impurezze cioè il disordine del reticolo.

15.4.2 Resistori

Definizione 15.5 (resistore) Un resistore è un conduttore caratterizzato

2

dal valore della resistenza .

Definizione 15.6 (rete resistiva) Una rete resistiva è un insieme di resis-

tori collegati insieme.

Definizione 15.7 (circuito elettrico) Un circuito è una successione chiusa

di resistori e generatori di forza elettromotrice, più eventuali altri elementi.

Resistori in serie e in parallelo

Serie I resistori si dicono collegati in serie quando sono attraversati tutti

dalla stessa corrente. Applicando la legge di Ohm:

− ··· −

V V = IR V V = IR

1 2 1 n−1 n n

Sommando tutte le espressioni si ottiene che la caduta di tensione ai capi

della rete è N

X

V V = I R

1 n i

i=1

Quindi la resistenza equivalente, la resistenza di quel resistore che produce

gli stessi effetti dei resistori in serie, è la somma delle resistenze.

Parallelo I resistori si dicono collegai in parallelo quando ai capi di ogni

resistore è applicata la stessa differenza di potenziale. Applicando ancora la

legge di Ohm: − −

V V V V

1 2

1 2 ··· = I

n

R R

1 n

Sommando si ottiene che il reciproco del resistore equivalente è la somma dei

reciproci dei resistori in parallelo.

228 CAPITOLO 15. CORRENTE STAZIONARIA

h a B

A beta

delta

dz

c z

b

Figura 15.1: resistenza di un corpo esteso.

Esempio 15.3 (resistenza corpo esteso) Consideriamo il corpo in figura

(15.1). Vogliamo calcolare la resistenza tra i capi A e B. Scomponiamo la

geometria in tanti elementini di altezza dz, essi risultano in parallelo. La

loro resistenza: y

l = ρ

dR = ρ A hdz

con y = a + δ che varia tra a e b. Troviamo δ: −

b a

− − −

(c z) tan β = δ c tan β = b a δ = (c z) c

Allora y: − − −

(c z)(b a) z a b

y = a + δ = a + = b + (a b) dy = dz

c c c

c c a

Z Z Z

1 hc hc a

1 hdz dy

= = = = log

− −

R dR ρy ρ(a b) y ρ(a b) b

0 0 b

ρ(a b)

R = ab

hc log

15.5 Tempo di rilassamento

Vogliamo sapere quanto è il tempo necessario per un conduttore per eliminare

un eccesso di carica. Consideriamo un conduttore isotropo, omogeneo, lin-

eare, con conducibilità σ, con un eccesso di carica al tempo zero ρ (r) in una

0

2 La resistenza è una grandezza, non è un conduttore

15.6. GENERATORI 229

regione limitata di spazio. Si creerà un campo elettrico e quindi una densità

di corrente J = σE. Vogliamo studiare l’evolversi di ρ(r, t). Sappiamo:

∂ρ(r, t)

ρ(r, t) −

div J =

div E = ε ∂t

0

Essendo J = σE: ∂ρ

σ div E = ∂t

Sostituendo: σ ∂ρ

ρ =

ε ∂t

0

Risolvendo:

dρ σ σ σ σ

− −

t t

− −

= dt log ρ = t + c ρ = Ae = ρ e

ε ε

0 0

0

ρ ε ε

0 0

σ

Chiamando τ = tempo caratteristico, o tempo di rilassamento:

ε 0 −τ t

ρ = ρ e

0

Il tempo caratteristico è quel tempo dopo il quale la densità di carica si è

1 . Dopo qualche τ possiamo considerare tutto l’eccesso di carica

ridotta di e

eliminato.

15.6 Generatori

Con un campo elettrostatico si possono creare correnti, come visto nel para-

grafo precedente, ma non mantenerle in quanto il fenomeno si esaurisce in

pochissimo tempo. I generatori possono mantenere una differenza di poten-

ziale costate tra i poli o morsetti o variarla secondo una funzione, tipicamente

sinusoidale. Nel primo caso si parla di pile o batterie. In un circuito chiuso:

I ·

E dl = 0

C

Essendo J = σE: I I

· ·

J dl = σ E dl = 0

C C

È assurdo perché non ci sarebbe corrente. Dobbiamo supporre ci siano alte

forze, non conservative, che non sono svolte dal campo elettrostatico, essendo

il suo lavoro nullo. Tali forze sono localizzate nel generatore. Consideriamo

230 CAPITOLO 15. CORRENTE STAZIONARIA

allora un a altro campo E , il campo elettrico impresso o elettromotore che

i

si somma al campo elettrostatico:

E = E + E J = σ(E + E )

T i i

Il campo impresso nasce quando si è in presenza di una disomogeneità come

ad esempio all’interno della pila. − +

Figura 15.2: simbolo della pila.

Calcoliamo il lavoro fatto dai due campi su una carica unitaria all’interno

di un circuito chiuso: Z

Z

I I Z ·

·dl

·

· · E dl

E =

E dl +

L = (E + E ) dl = E dl = i

i

i

i i pila

circuito

pila |{z}

=0 (15.18)

avendo notato che la circuitazione del campo elettrostatico è nulla, mentre il

campo impresso è nullo all’esterno della pila.

Definizione 15.8 (fem) La forza elettromotrice è il lavoro fatto dal campo

totale E + E su una carica positiva unitaria che percorra una linea chiusa

i

che passi per gli elettrodi della pila: Z ·

E dl (15.19)

fem = i

pila

15.6.1 Resistenza interna

Ogni generatore reale è caratterizzato da una resistenza interna r e da una

forza elettromotrice ε. Se gli colleghiamo un resistore con resistenza R la

circuitazione del campo elettrostatico deve essere nulla e quindi anche la vari-

azione di potenziale. Allora se ai capi del generatore ideale c’è una differenza

di potenziale ε la caduta di tensione attraverso R e r deve essere uguale e

contraria a ε. La differenza di tensione del generatore reale è minore di quella

del generatore ideale e in particolare:

− −

V V = ε Ir

2 1

Se in un ramo di circuito con estremi A e B ci sono dei resistori in serie

e un generatore vale:

15.7. EFFETTO JOULE 231

Legge 15.3 (Ohm generalizzata)

V V + ε = IR (15.20)

A B

P

con R = R + r.

i

Potenza massima

Vogliamo sapere quando un circuito assorbe la potenza massima. Riassum-

iamo tutto il circuito con un resistore con resistenza R, che rappresenta il

carico cioè tutte le resistenze collegate al generatore reale, un generatore

ideale e una resistenza interna r. Sappiamo che la potenza è

2

ε

2

P = RI = R R + r

Vogliamo sapere qual è l’R ottimale per cui viene dissipata la potenza mag-

giore su R. Deriviamo in R:

2R

dP 1

2 −

= ε 2 3

dR (R + r) (r + R)

che ha uno zero per r = R.

Se r è molto diverso da R gran parte dell’energia viene dispersa su r, cioè

all’interno del generatore.

15.7 Effetto Joule

L’effetto Joule può essere spiegato sia da un punto di vista macroscopico che

microscopico utilizzando il modello del gas di elettroni liberi. L’effetto Joule

avviene ogni qualvolta la corrente passa attraverso un resistore.

15.7.1 Macroscopico

Quando una carica dq passa da un potenziale V a un potenziale V ci sarà

B A

una variazione di energia potenziale; per definizione:

dW = dq(V V )

B A

ma dq = I(t)dt, sostituendo:

Legge 15.4 (Joule) −

dW = I(t)(V V )dt (15.21)

B A

232 CAPITOLO 15. CORRENTE STAZIONARIA

corrente stazionaria

Nel caso stazionario I(t) = I:

t

Z − −

W = I(V V )dt = I(V V )t

B A B A

0 ∆V :

se il conduttore è ohmnico I = R 2

W = RI t

e la potenza: 2

dW ∆V

2

P = = I∆V = RI =

dt R

15.7.2 Microscopico

Consideriamo un conduttore con N portatori di carica nell’unità di volume.

·

L = F s

e

la potenza: ·

P = F v

e

considerando tutti gli elettroni nel volume dv, la potenza: 2

· −eN · ·

dP = F v = dvE v = E J dv = σE dv −1

Si puo anche ragiornare come segue. Il singolo elettrone ha in media τ col-

lisioni nell’unità di tempo. Quindi nell’elementino di volume dv nel tempo dt

dv

avvengono N dt collisioni. Tra un urto e un altro un elettrone viene acceler-

τ −eE

ato con una forza parallela al campo elettrico costante. Lo spostamento

sarà v τ parallelo al campo elettrico. Allora il lavoro su un elettrone sarà

D · −eEv

dL = F s = dt

e D

e su tutti gli elettroni nel volume dv:

−eEv

dL = dtN dv

D

Considerando tutti gli elettroni del volume dv la potenza:

N dv

− eEv τ

dP = d

τ

Ricordando che: 2

eE e N

v = σ = τ

D mτ m

15.7. EFFETTO JOULE 233

2 2

e N E 2

τ dv = σE dv

dP = m

Se consideriamo un filo conduttore di lunghezza l e sezione S con una dif-

ferenza di potenziale V V = El.

A B 2 2

Z Z ∆V

S

∆V

2 2 2

∆V =

Sl = σ

P = dP = σE dv = σE (Sl) = σ 2

l l R

V V 16

Campo induzione magnetica

Indice

16.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

16.1.1 Definizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

16.1.2 Unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

16.2 Forza magnetica su una corrente . . . . . . . . . 240

16.2.1 Seconda formula di Laplace . . . . . . . . . . . . . 241

16.3 Momento su un circuito . . . . . . . . . . . . . . 242

16.4 Ago magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

16.4.1 Lamina magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

16.5 Campi magnetici generati da correnti . . . . . . 244

16.5.1 Legge di Biot–Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

16.5.2 Prima formula di Laplace . . . . . . . . . . . . . . 245

16.5.3 Forze tra due circuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

16.5.4 Fili rettilinei indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . 252

16.6 Circuitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

16.6.1 Forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

16.7 Flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.7.1 Forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.8 Maxwell per la magnetostatica . . . . . . . . . . 255

16.9 Potenziale scalare magnetico . . . . . . . . . . . . 256

16.10Potenziale vettoriale magnetico . . . . . . . . . . 257

16.10.1 Dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

234

16.1. DEFINIZIONE 235

16.1 Definizione

Ogni punto dello spazio è caratterizzato oltre che da un campo E anche da

un vettore di induzione magnetica B. Su una carica q con velocità v immersa

in un campo magnetico B viene esercitata una forza:

×

F = qv B (16.1)

chiamata forza di Lorentz. Essa è diretta perpendicolarmente alla velocità e

quindi allo spostamento, ne deriva che non compie lavoro; è massima quando

la velocità è perpendicolare a B e nulla quando gli è parallela. Considerando

anche un campo elettrostatico la forza totale risulta:

×

F = q (E + v B) (16.2)

16.1.1 Definizione operativa

Per misurare il campo elettrico è sufficiente effettuare una misura, per quello

magnetico non è sufficiente. Ricaviamo dalla (16.1) il campo magnetico,

moltiplichiamo vettorialmente per v:

×

F v 2

× × − ·

= (v B) v = vB (v B) v

q

1

Allora : ×

F v

B = + cv

2

qv

Facciamo due misure usando q e due velocità ortogonali v , v :

1 2

× ×

F v F v

1 1 2 2

B = + c v B = + c v

1 1 2 2

2 2

qv qv

1 1

Moltiplichiamole scalarmente per v :

1

× · × ·

(F v ) v (F v ) v

1 1 1 2 2 1

2 ·

=

+ c v + c (v v )

1 2 2 1

1

2 2

qv qv

1 1 | {z }

0

×

(F v ) v

2 2 1

c =

1 2 2

qv v

1 2 ×

× (F v ) v

F v

1 1 2 2 1

B = + v 1

2 2 2

qv qv v

1 1 2

1 ??!! 236 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

16.1.2 Unità di misura Vs Wb

Ns

−1 −1 4

= = = T = 1E4G = 10 gauss

[B] = [mlq t ] = Cm m m

Wb

Dove Wb = weber = Vs, T = tesla = .

m

Esempio 16.1 (elettrone in campo magnetico) Spariamo un elettrone

in un campo magnetico B con velocità v = v(0). Per semplicità scegliamo

0

un sistema di riferimento in modo che B = B k̂ e che r(0) = 0. Ad ogni

istante sull’elettrone agisce la forza di Lorentz:

−ev(t) ×

F (t) = B

Scomponiamo le componenti:

 −e − −ev

ma = F = (v B v B ) = B

x x y z z y y

 −

ma = F = e (v B v B ) = ev B

y y x z z x x

−e −

ma = F = (v B v B ) = 0

 z z x y y x

riassumendo:  eB

− ẏ

ẍ = m

 eB

ÿ = ẋ

m

z̈ = 0

che è un sistema di equazioni differenziali del second’ordine accoppiate. Ope-

d r = v:

riamo la sostituzione dt  −ωv

v̇ =

x y

 v̇ = ωv

y x

v̇ = 0

 z

eB

con ω = . L’ultima ha naturalmente soluzione:

m z = v t

z 0

Deriviamo la prima: 2

−ω −ω

v̈ = v̇ = v

x y x

e la seconda: 2

−ω

v̈ = ω v̇ = v

y x y

Abbiamo disaccoppiato le equazioni. Una soluzione generale della prima è

v = A sin (ωt + ϕ)

x

16.1. DEFINIZIONE 237

Sostituendo troviamo anche la seconda:

−A

v = cos (ωt + ϕ)

y

La forza di Lorentz non compie lavoro, quindi si deve conservare l’energia

cinetica essendo v costante si deve conservare la quantità

z 2 2 2 2 2

v + v = v + v = v

x y x y

0 0

Allora A = v . Manca da ricavare ϕ:

⊥ v = v sin (ωt + ϕ)

x −v

v = cos (ωt + ϕ)

y

Imponendo che v(0) = v :

0

v (0) = v sin (ϕ) = v

x x 0

−v

v (0) = cos (ϕ) = v

y y 0

Dividendo:

v

x 0

ϕ = arctan v

y 0

Per trovare x, y basta integrare, si trova: p 2 2

v

v = + v

v

 −

x = cos (ωt + ϕ)

⊥ ⊥ x y

0 0

ω

 eB

ω =

v

y = sin (ωt + ϕ) con

⊥ m

ω

v x

z = v t ϕ = arctan 0

 z 0 v

y 0

È l’equazione di un elica con asse parallelo a B. Se si considera solo la

proiezione sul piano xy si trova una circonferenza con raggio:

v

r =

L ω

chiamato raggio di Larmor.

Esempio 16.2 (spettrometro di massa) Lo spettrometro di massa è uno

strumento che consente di determinare con alta precisione la massa di par-

ticelle cariche, per esempio ioni. La prima parte è detta separatore di

velocità . Le particelle focalizzate da fenditure entrano con velocità casuale

e vengono sottoposte a un campo magnetico B e uno elettrico E ortogonali.

La forza risultante è F = q(E + vB)

238 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

B

+ −

E B’

Figura 16.1: spettrometro di massa.

essendo v B. Solo le particelle che hanno una certa velocità e cioè

E

v = B

non sono deviate dai campi e quindi riescono a uscire dal separatore di veloc-

ità Nella seconda parte le particelle cariche subiscono una deviazione dovuta

0

al campo magnetico B . Misurando dove le particelle colpiranno lo schermo

si può dedurre il raggio di Larmor e ricavare la massa:

0

qB B r

m = L

E

Esempio 16.3 (Ciclotrone) Il ciclotrone è un acceleratore inventato negli

anni 30. È formato da due conduttori cavi semicilindrici a forma di D,

che uniti formano un ciclindro. Tra le due cavità è applicata una differen-

za di potenziale varibile in modo alternato V = V sin ω t dove RF sta

0 RF

per radiofrequenza. Inoltre è applicato un campo magnetico ortogonale alle

cavità.

Il processo inizia iniettando uno ione di massa m e carica q da una sorgente

al centro del sistema. Esso viene accelerato dalla differenza di potenziale tra

le due D a una velocità finale v che si può ricavare dalla conservazione

1

dell’energia: 1 2

mv = qV

1

2

2qV

2

quindi v = . Lo ione entra in D dove il campo elettrico è nullo, e viene

1

1 m mv

deviato dalla forza di Lorentz su una traiettoria circolare di raggio r = .

1

1 qB

16.1. DEFINIZIONE 239

Il tempo che ci impiegherà ad uscire da D sarà:

1

πm

πr

1 =

t =

1 v qB

1

come si nota questo tempo non dipende dalla velocità della particella. Nello

stesso tempo la tensione (la radiofrequenza) ha cambiato segno e quindi lo

ione viene accelerato passando da D a D . Ad ogni semigiro lo ione acquista

1 2

un’energia cinetica qV . Dentro a D lo ione compie una semicirconferenza

2

con raggio maggiore rispetto a prima: r = mv qB e ci impiega:

2 2

πm

πr

2 = = t = ∆t

t = 1

2 v qB

2

infatti come già sottolineato il tempo di percorrenza di un’orbita circolare in

un campo magnetico non dipende dalla velocità della particella. Il grande

vantaggio del ciclotrone è che la particella ci mette sempre lo stesso tempo a

percorrere metà circonferenza. La velocità angolare della particella è:

2π π qB

2π = = =

ω = T 2∆t ∆t m

quindi si può ottenere un’accelerazione se il tempo impiegato dalla parti-

cella a fare una semicirconferenza è pari al semiperiodo di V :

T π

RF

∆t = =

2 ω

RF

questo vuol dire ω = ω, cioè la pulsazione della radiofrequenza, detta

RF

pulsazione di ciclotrone, deve essere pari alla velocità angolare dello ione.

Il processo continua fino a quando lo ione non arriva alla circonferenza

massima di raggio R, quindi: qBR

v =

max m

cioè un’energia cinetica massima di: 2 2 2

1 q B R

2

E = mv =

max max

2 2m

Ad ogni giro lo ione guadagna un’energia pari a 2qV , quindi il numero di giri

necessari è: 2 2

E qB R

max

N = =

2qV 4mV

240 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

e quindi un tempo: 2

πR B

t = 2∆tN =

max 2V

Il limite a questo acceleratore è dato dalla relatività, infatti ω non è

qB . Poiché γ cresce con la velocità allora ω decresce e

costante, ma pari a γm

non è più in fase con ω . Si riesce quindi ad accelerare una particella solo

RF

fino a qualche decina di MeV. Il sincrociclotrone risolve questo problema

modificando ω in base alla velocità della particella e si possono raggiungere

RF

centinaia di MeV.

16.2 Forza magnetica su una corrente

Sperimentalmente si trova che su un filo di lunghezza l, sezione S percorso

dalla corrente stazionaria I, immerso in un campo magnetico uniforme B

agisce una forza: ×

F = Il B (16.3)

l è il vettore con modulo l e verso e direzione quello della corrente positiva.

La cosa può essere dimostrata partendo dalla (16.1). Su ogni elettrone agisce

una forza di Lorentz: −ev ×

F = B (16.4)

e D

Quindi la forza sul filo è la somma delle forze (16.4) su tutti gli elettroni. Se

N è il numero di elettroni nell’unità di volume e il volume V = Sl:

−N ×

F = Slev B (16.5)

D

L’espressione (16.5) può essere semplificata ricordando che per definizione la

densità di corrente è −N

J = ev D

−N × ×

F = Slev B = SlJ B (16.6)

D

L’intensità di corrente è ZZ ·

I = J n da = JS = N ev S

D

S ×

Dunque la forza per unità di volume è J B. Ora possiamo definire l con

modulo l e direzione e verso quelli di J , dunque:

× ×

F = SJl B = Il B (16.7)

che è proprio la (16.3) e può essere usata come definizione di B. Potremmo

anche definire un vettore I = SJ e la forza per unità di lunghezza sarebbe

×

I B.

16.2. FORZA MAGNETICA SU UNA CORRENTE 241

16.2.1 Seconda formula di Laplace

Per passare dalla (16.4) alla (16.5) bisogna supporre che B sia uniforme e

quindi F è uguale per ogni elettrone. Nel caso più generale, la forza che si

e

esercita su un elemento infinitesimo dl è ×

dF = Idl B (16.8)

La seconda formula di Laplace non è semplicemente il differenziale della

forza (16.7). Allora: I ×

F = Idl B (16.9)

C

è la forza su tutto il circuito C. Dato che Idl = J Sdl = J dv la (16.9)

diventa: Z ×

J B dv (16.10)

F = V

Esempio 16.4 (effetto Hall) L’effetto Hall avviene nei conduttori percorsi

da corrente in un campo magnetico B. Immaginiamo una lastra conduttrice

di larghezza w e altezza t. Sia v la velocità di deriva degli elettroni. Essi

D

saranno deviati con una forza: −ev ×

F = B

D

Si crea allora un accumulo di cariche da un lato e del segno opposto

w

E H B

v D

F F

E B

E H

t

sull’altro: si crea un campo elettrico E ortogonale alla direzione della cor-

H

rente. Tra i due lati della lastra di è formata una differenza di potenziale

242 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

∆V = E w. Il sistema raggiunge l’equilibrio quando la forza sugli elettroni:

H H −ev × −

F = B eE

D H

è nulla cioè quando la forza del campo elettrico è uguale e contraria alla forza

di Lorentz. Ricordando che la velocità è ortogonale al campo magnetico e al

campo elettrico: E = v B

H D

Ricordando l’espressione di v :

D I I

J = =

v =

D Ne SN e wtN e

I B

∆V = E w =

H H tN e

Si può definire una resistenza di Hall:

∆V 1

H

R = = B

H I tN e

16.3 Momento su un circuito

Sia C un circuito piano chiuso attraversato da una corrente stazionaria I

immerso in un campo magnetico B uniforme. Dalla (16.9) deduciamo che

sulla spira agisce una forza nulla:

I

I I ×

× × dl B = 0

F = Idl B = I dl B = I

C C C

H H

6

in quanto 0 = dl = dl. Scegliamo un sistema di riferimento xyz in

C C

modo che il piano xy contenga C e la proiezione di B sia parallela all’asse

x; sia θ l’angolo che B forma con z. Allora:

B = B cos θ B = B sin θ

z x

Suddividiamo il circuito in tante strisce infinitesime. Se la corrente di C gira

in verso antiorario, anche quella nelle strisce; in questo modo i lati adiacenti

si cancellano. Ogni spira a causa del campo magnetico è soggetta ad una

forza: ×

dF = Idl B

kdF k = IdlB sin α = dyB sin θI

x

16.4. AGO MAGNETICO 243

Dunque la forza è massima quando la spira è perpendicolare al campo mag-

netico. dM = IlBdy sin θn = IdaBn

dm = Idan

×

dM = dm B

Z

ZZ ZZ Z

× × × ×

M = dm B = Idan B = In da B = ISn B

S S

Definiamo il momento di dipolo magnetico:

m = ISn

allora: ×

M = m B ×

che ricorda l’analoga espressione per il dipolo elettrico: M = p E.

16.4 Ago magnetico

Un ago magnetico immerso in un campo magnetico costante B si comporta

come un circuito, cioè subisce un momento che lo fa disporre parallelamente

alle linee del campo: ×

M = K B

con K è un vettore che dipende dalle caratteristiche dell’ago, ed è orientato

secondo la linea polo sud, polo nord dell’ago.

Il suo comportamento è analogo a quello del dipolo elettrico, con momento

di dipolo p = qδ. Possiamo immaginare l’ago magnetico come costituito da

due cariche magnetiche di segno opposto q , una al polo nord e l’altra al

m

polo sud. Definiamo m momento magnetico dell’ago in modo tale che:

K = m = q δ

m

m

−q q

m m

delta

244 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

16.4.1 Lamina magnetica

Suddividiamo una spira di area S in infinitesime spire di area da. Ogni

spira avrà un momento magnetico dm = Idan. Per analogia con il dipolo

possiamo anche dire che dm = σ daδ e allora:

m I

σ =

m δ

rappresenta la densità di carica magnetica sulle facce di una lamina magnetica

con lamine a distanza δ, che a grande distanza è equivalente alla spira iniziale.

16.5 Campi magnetici generati da correnti

Una corrente crea un campo magnetico. Al posto di usare una carica di

prova per esplorare il campo, si può usare un aghetto magnetico di prova. Si

scopre che un filo rettilineo crea un campo magnetico le cui linee di forza si

chiudono su se stesso.

16.5.1 Legge di Biot–Savart

Legge 16.1 (Biot–Savart) Per un filo infinito percoso da corrente I vale

I (16.11)

B = k r

con k una costante che dipende dalle unità di misura. Il primo modo è porre

k = 1, in realtà si pone: µ 0

k = 2π

con µ la permeabilità magnetica del vuoto:

0 −

µ = 4πe 7Hm

0

Quanto detto vale per il modulo, essendo il campo magnetico attorno al filo,

allora: ×

µ ŝ r

0

B (r) = I

2

2π r

con ŝ è un versore orientato come il verso della corrente, mentre r è il vettore

che individua il punto rispetto al filo, ha quindi il modulo della distanza tra

il filo e il punto.

16.5. CAMPI MAGNETICI GENERATI DA CORRENTI 245

unità di misura weber Vs Ωs H

[µ ] = = = =

0 ·

metro ampere mA m m

con: ·

H = ohm secondo = henry

16.5.2 Prima formula di Laplace

La prima legge di Laplace stabilisce che un elemento dl di circuito percorso

da una corrente I produce in un punto P distate r da esso un vettore di

induzione magnetica: 0

× −

dl (r r )

µ 0 I (16.12)

dB (r) = 3

4π 0

kr − k

r

Per un circuito generico possiamo usare il principio di sovrapposizione con

tutti gli elementini dl del circuito: 0

× −

I

µ dl (r r )

0

B (r) = I (16.13)

3

4π 0

kr − k

r

C

Se il conduttore non è filiforme, essendo Idl = J dv:

0 0

× −

Z

µ J (r ) (r r )

0 0

dv (16.14)

B (r) = 3

4π 0

kr − k

r

Esempio 16.5 (filo infinito) Ricaviamo la legge di Biot–Savart. Chiami-

amo r la distanza di P dall’elementino dl e R la distanza dal filo. Allora:

×

µ dl r dl sin θ

µ

0 0

dB (r) = I I

dB (r) =

3 2

4π 4π r

krk

ma: R R R R

r = l = = dl = dθ

2

sin θ tan (π θ) tan θ sin θ

+∞ π 2

Z Z R

µ sin θ µ sin θ sin θ

0 0

B (r) = I dl = I dθ

2

2 2

4π r 4π R sin θ

−∞ 0

π

Z

µ µ

I I

0 0

= sin θ dθ =

4π R 2π R

0

in forma vettoriale: µ I

0 ×

B(r) = ŝ ê (16.15)

r

krk

246 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

I

theta dl

r l

R

P dB

Esempio 16.6 (spira circolare) Consideriamo un circuito di forma circo-

lare, con raggio R. Vogliamo il campo magnetico lungo l’asse. Per ragioni di

simmetria il campo magnetico risultate è ortogonalmente al piano della spi-

ra. Usiamo le coordinate cilindriche. P avrà coordinate (0, 0, w), individuato

dal vettore r = wê , mentre l’elementino dl della spira sarà individuato dal

w

0 0

vettore r = r ê . L’elementino dl = Rdθê .

r θ 2π

0

× − × −

Z Z

µ

Idl (r r ) IRdθê (w ŵ Rê )

µ 0 θ z r

0 =

B (r) = 3 3

4π 4π

0

kr − k

r 2 2

(R + w ) 2

l 0

Ricordando che: 2π 2π

Z Z

× × −ê

ê ê = ê ê ê = dθê = (cos θı̂ + sin θ̂) dθ = 0

θ w r θ r w r

0 0

Z

µ IR µ IR

0

0 (wê + Rê ) dθ =

B (w) = Rê 2π

r w w

3 3

2 2 2 2

4π (R + w ) 4π (R + w )

2 2

0

2

µ IR

0 ê

= w

32

2 2 2

(R + w ) (16.16)

Nel caso particolare w = 0 si ha: I

µ 0

B = ê

w

2 R

Esempio 16.7 (solenoide) Immaginiamo il solenoide come l’insieme di tante

spire affiancate e usiamo il principio di sovrapposizione. Sia N il numero di

spire per unità di lunghezza, l la sua lunghezza. Il campo magnetico generato

16.5. CAMPI MAGNETICI GENERATI DA CORRENTI 247

0

da una spira che non si trovi nell’origine, ma ad una distanza w sull’asse è

(dalla (16.16)): 2

IR

µ 0

0 ê

B (w, w ) = w

S 3

2 2

0

2 − 2

R + (w w )

0 0

Essendo N dw il numero di spire in dw :

l l 0

2

Z Z

µ IN R dw

2 2

0

0 0

B(w) = B (w, w )N dw = ê

S w 3

2 2

l l

0

2 − 2

− − R + (w w )

2 2 0

Occupiamoci dell’integrale, usiamo la sostituzione u = w w quindi du =

0

−dw : 0 Z Z

Z 1

du du

dw − −

= =

3 3 32

3

R

2 2 2

(R + u )

2

0

2 − 2 2

R + (w w ) u

1+ R

u

Sostituendo ora = sinh t, du = R cosh tdt:

R Z Z

Z R cosh t 1 dt 1

1 − −

− dt = = tanh t

... = 2

3

3 2 2

R R R

cosh t

2

1 + sinh t 2

Risostituiamo all’indietro: u

sinh arcsinh

1 1 u 1

R

− − −

tanh t = =

u q

2 2 3

R R cosh arcsinh R 2 u

1 + sinh arcsinh

R R

0

u 1

1 w w

− −

= =

q q

3 3

R R 2

2 0

u w−w

1+ 1 +

R R

Allora: l

  2

0

2 −

1 w w

µ N IR

0

B(w) = ê

w  

q

3

2 R 2

0 −w

w

1+ R l

0

w =− 2

 

l l

w

w +

µ N I

0  

2 2

= ê w  

r r

2R 2 2

l l

 

w+ w−

1 + 1 +

2 2

R R

248 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

che rappresenta il campo magnetico generato da un solenoide di lunghezza l,

→ ∞:

se l B = µ IN ê (16.17)

0 w

Infatti per esempio, usando al primo passaggio Hôpital:

12

l ±

±

w 2 = lim

lim −1/2

r

2 l→∞

l→∞ 2

l

w± w±l/2 w±l/2 ±1

1

1+ 2 1 + 2

R 2 R R 2R

r r

2 2

w±l/2 R R

+1 +1

R w±l/2 w±l/2 ±R

= lim =

= lim ±1

w±l/2 ±1 2

l→∞ l→∞

2 2R

R 2R

Esempio 16.8 (Spira rettangolare) Sia una spira rettangolare di lati a,

b percorsa dalla corrente I. Vogliamo calcolare il campo magnetico generato

lungo il suo asse, al variare di z. È opportuno calcolare prima il campo

z a

I b

generato da ciascun lato. Prendiamo quindi un filo di lunghzza l e calcoliamo

il campo sul suo asse, ad una distanza R, che cosideriamo l’origine del nostro

sistema (r = 0). Il campo generato da un elementino:

L/2 Θ

dl -r'

R

I

L/2

16.5. CAMPI MAGNETICI GENERATI DA CORRENTI 249

0 0

× − ×

µ

µ dl (r r ) dl (−r )

0

0 =

dB = I I

3 03

4π 4π r

0

kr − k

r

il modulo: dl sin θ

µ 0 I

dB = 02

4π r

scriviamo tutto in funzione dell’angolo θ, variabile sulla quale integreremo:

2

1 sin θ R

−R dθ

= l = cot θ dl = 2

02 2

r R sin θ

µ sin θ

0

dB = I dθ

4π R

2

Il campo totale : θ

Z

µ max

0 I sin θdθ

B = 4πR θ

min

π π

∈ ∈

con θ (0, ) e θ ( , π). Per simmetria il campo generato dalla metà

min max

2 2

inferiore del filo è uguale a quello generato dalla parte superiore:

θ

Z µ µ L/2

µ max h i

0 0

0 −

I sin θdθ = 2 I cos θ = I

B =2 max p

4πR 4πR 2πR 2 2

R + (L/2)

0

con L/2 L/2

− −

cos(π θ ) = cos θ = =

max max 0 p

r 2 2

R + (L/2)

max

vettorialmente: L/2

µ 0 I

B = û θ

p

2πR 2 2

R + (L/2)

Fin qui, abbiamo in pratica rifatto l’esempio 16.5. Ritornando alla spira

rettangolare l’unica cosa da fare è sommare i contributi dei singoli lati:

µ b/2

0

B = B = I

1 3 p

2πR 2 2

R + (b/2)

b b

µ a/2

0

B = B = I

2 4 p

2πR 2 2

R + (a/2)

a a

con: √

0

L R

2 2 2

±

Si poteva anche integrale in dl tra usando r = R + l e sin θ = :

2 2 2

R +l

L/2

 

L

Z Z

µ R I 1 µ I l/R

µ

2

0 0 0

B = I dl = dx =  

2

2 2 3/2 q

4π 4π R 4π R

(R + l ) cosh x 2

L

− 1 + (l/R)

2 −L/2

l

avendo usato la sostituzione sinh x = .

R

250 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

B B

1 3 B B

1 3

α

R

b R b

a

1 I 3 b α I

a

p p

2 2 2 2

R = z z

+ (a/2) R = + (b/2)

b a

Sommando vettorialmente le uniche componenti che non si annullano sono

quelle lungo l’asse z: a/2

B = B = B cos α cos α =

1,z 3,z 1 R

b

l’angolo α tra B e l’asse z è lo stesso tra la base a e l’ipotenusa R del

1 b

triangolo evidenziato in figura; questo perché sono legati da una rotazione di

90 gradi (la tangente e il raggio sono sempre perpendicolari).

µ

µ I ab I ab

0

0 =

B = B =

1,z 3,z 2 p p

2 2

8π R 8π z + (a/2)

2 2 2 2 2

R + (b/2) z + (a/2) + (b/2)

b b

e analogamente per gli altri due lati. Infine il campo totale:

1

1

Iab

µ 0 +

B =2 û z

p 2 2 2 2

8π z + (a/2) z + (b/2)

2 2 2

z + (a/2) + (b/2)

a grande distanza, z a, b: µ Iab

0

B(z a, b) = û z

3

|z|

se introduciamo il momento magnetico della spira m = Iabû :

z

2m

µ 0

B(z a, b) = 3

|z|

16.5. CAMPI MAGNETICI GENERATI DA CORRENTI 251

esatto

dipolo

10

1

0.1 a = b

0.01 -4 -2 0 2 4

z

Figura 16.2: Potenziale di una spira quadrata di lato a = 2 esatto e in

approssimazione di dipolo. La scala delle ordinate è logaritmica e le unità

sono arbitrarie.

Campo magnetico di una carica in moto

Sia j la densità di corrente in un conduttore, quindi il campo magnetico da

un volume infinitesimo: 0 0

× − × −

µ

J (r r ) nqv (r r )

µ 0

0 dv = dv

dB = 3 3

4π 4π

0 0

kr − k kr − k

r r

ma ndv è il numero di carich nel volume infinitesimo, considerando una sola

carica si ha: 0

× −

µ qv (r r )

0

B = (16.18)

3

4π 0

kr − k

r

0

dove r individua la posizione della carica in moto. Il campo elettrostatico

della carica è: 0

q r r

E = 3

4πε 0

kr − k

r

0

questo non è del tutto corretto perché la carica è in moto. Confrontando con

l’espressione precedente: 1

× ×

B = µ ε v E = v E (16.19)

0 0 2

c

tutto ciò è vero nei limiti v c.

252 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

16.5.3 Forze tra due circuiti

Prendiamo due circuiti generici C e C percorsi da correnti stazionarie I

1 2 1

e I . Usando la prima formula di Laplace possiamo dire che la forza che

2

l’elementino dl del secondo circuito risente del campo magnetico del primo

2

è ×

dF = I (dl B (r)) (16.20)

2 2 1 0

× −

dl (r r )

µ 0 I

dB = (16.21)

1

1 3

4π 0

kr − k

r 0

× −

I dl (r r )

µ 1

0 I

B (r) = (16.22)

1

1 3

4π 0

kr − k

r

C

1

Sostituendo l’ultima espressione nella (16.20): 0

× −

I dl (r r )

µ 1

0

× I (16.23)

dF = I dl 1

2 2 3

4π 0

kr − k

r

C 1

Integrando: 0

× −

I I

µ dl (r r )

0 1

×

I I (16.24)

F = dl

1 2

12 2 3

4π 0

kr − k

r

C C

2 1 −F

Naturalmente per il terzo principio della dinamica F = .

21 12

16.5.4 Fili rettilinei indefiniti

Siano due fili indefiniti paralleli, a distanza d percorsi dalle correnti concordi

I e I .

1 2 I

I 2

1

B 1

k d

j

16.6. CIRCUITAZIONE 253

Usiamo Biot–Savart, il campo generato dal primo filo a distanza d:

×

µ k̂ ̂ I

µ

0 1

0

B(d) = I ı̂ (16.25)

=

1 2

2π d 2π d

La forza sul secondo: I I I

µ µ

1 1 2

0 0

× − × −

I dl dl ̂ (16.26)

dF = I dl B(d) = k̂ ı̂ =

2 2 2

2 2 2π d 2π d

Integrando: µ I I

0 1 2

F = l̂

2π d

Se la corrente fosse stata di verso opposto allora la forza sarebbe stata

repulsiva.

Definizione di ampere

Dalla (16.26) possiamo dire: µ I I

dF 0 1 2

= (16.27)

dl 2π d

e definire l’ampere usando solo quantità meccaniche come la forza e la dis-

tanza:

Definizione 16.1 (ampere) l’ampere è quella corrente che passando tra

due fili distanti 1m produce una forza per unità di lunghezza pari a 2E 7Nm.

16.6 Circuitazione

Prendiamo un filo rettilineo, calcoliamo la circuitazione di B lungo una linea

di forza: I I I µ µ

I I

0 0

·

B dl = B dl = dl = 2πR = µ I

0

2π R 2π R

Questo risultato vale per qualsiasi percorso purché concateni una corrente I.

Consideriamo un circuito che non concatena nessuna corrente:

Z Z

· ·

B dl = 0 B dl = 0

1 3

Z Z

µ I µ I

0 0

· · −

B dl = (r θ) B dl = (r θ)

2 1

2π r 2π r

2 1

2 4

Sommando si ottiene che la circuitazione è nulla. Generalizzando si arriva al

teorema di Ampere:

254 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

Teorema 16.1 (Ampere) Sia I la corrente totale che il percorso C con-

catena: I ·

B dl = µ I (16.28)

0

C

se la corrente viene concatenata n volte va contata n volte. La corrente va

contata con segno, dipendente dal verso di concatenamento, positiva se in

senso antiorario.

La circuitazione dipende dal cammino della circuitazione, infatti B non è un

campo conservativo.

16.6.1 Forma differenziale

Essendo: Z ·

I = J n da

S

sostituendola nella (16.28) si ha:

I Z

· ·

B dl = µ J n da

0

C S

Usando il teorema del rotore:

Z Z

· ·

rot B n da = µ J n da

0

S S

Essendo S qualsiasi: rot B = µ J (16.29)

0

Esempio 16.9 (cilindro rotante) Sia un cilindro rotante lungo l’asse con

periodo T , all’interno del quale ci sia una distribuzione di carica uniforme ρ.

Vogliamo conoscere il campo magnetico generato. Per la simmetria il campo

è coassiale. Creiamo un percorso che concatena parzialmente il cilindro.

R 2 2

ρ dv −

Q ρlπ (R r )

V

= =

I = T T T

Per il teorema di Ampere: 2 2

I ρlπ (R r )

·

B dl = Bl = µ I = µ

0 0 T

C 2 2

ρπ (R r )

B = µ 0 T

16.7. FLUSSO 255

l R−r

r

R

16.7 Flusso

Sappiamo che le linee del campo di B sono linee chiuse o infinite, non esistono

sorgenti. Se prendiamo una superficie qualsiasi ci accorgiamo che tante linee

di forza entrano, tante ne escono, quindi:

Z ·

B n da = 0 (16.30)

Φ (B) =

S S

16.7.1 Forma differenziale

In forma differenziale: div B = 0 (16.31)

Questa espressione poteva essere ricavata calcolando:

0 0

× −

Z

µ J (r ) (r r )

0 0

dv

div B = div = 0

3

4π 0

kr − k

r

16.8 Maxwell per la magnetostatica

∇ · B =0 (16.32)

∇ × B = µ J (16.33)

0

o in forma integrale: Z ·

B n da = 0 (16.34)

S

Z ·

B dl = µ I (16.35)

0

C

256 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

16.9 Potenziale scalare magnetico

Supponiamo di poter scrivere: −µ

B(r) = grad ϕ (r) (16.36)

0 m

Consideriamo una spira C piana percorsa da corrente I. La (16.13) ci fornisce

il campo magnetico in P : 0

× −

I

µ dl (r r )

0 (16.37)

I

B (r) = 3

4π 0

kr − k

r

C

Se da P ci spostiamo di uno spostamento infinitesimo ds allora il potenziale

in P varia di: 1

· − ·

dϕ = grad ϕ ds = B ds (16.38)

m m µ 0

avendo usato la (16.36). Sostituendo l’espressione del campo magnetico

(16.37): · ×

I

I ds (dl r)

dϕ = (16.39)

m 3

4π r

C

0

dove abbiamo battezzato r := (r r ) che quindi indica il vettore che indi-

vidua P rispetto a dl. L’ultima relazione la possiamo anche scrivere come:

· ×

I

I r (ds dl)

dϕ = (16.40)

m 3

4π r

C

Tutto ciò lo possiamo ottenere mantenendo P fermo e spostando la spira di

−ds e la variazione del campo magnetico sarebbe ancora (16.40). Durante

−ds ×

questo spostamento i vettori dl e ds descrivono un’area da = dl che

compare nella (16.40) e punta nel semispazio di P . Vogliamo dimostrare che

l’integrale: · ×

I r (ds dl)

− 3

r

C

è uguale a dω, la variazione di ω, l’angolo solido con cui P vede C, durante

·

lo spostamento ds. da r = da r area perpendicolare a r:

0

·

r da rda da

0 0

= = = ddω

3 3 2

r r r

integrando si trova dω. Allora: I

dϕ = dω (16.41)

m 4π

16.10. POTENZIALE VETTORIALE MAGNETICO 257

e quindi: Iω (16.42)

ϕ =

m 4π

Suddividiamo la superficie S delimitata da C in tante spire di area da

percorse da corrente I. Per il solito discorso sommando tutte le da si torna

alla spira C. Il verso della corrente determina l’orientamento delle spire.

Essendo: ·

Z da r

ω = 3

r

S

possiamo scrivere la (16.42) come: ·

Z

1 Ida r

ϕ = (16.43)

m 3

4π r

S

essendo il momento della spira elementare dm = Idan = Ida lo possiamo

introdurre nella (16.43): ·

Z dm r

1 (16.44)

ϕ =

m 3

4π r

S

Sviluppando a grande distanza il potenziale è approssimato da:

·

m r (16.45)

ϕ (r) =

m 3

4πr

con m = ISn. Tornando alla notazione iniziale: r

0

· − Z

1

1 m (r r ) − ·

=

ϕ (r) = B dl (16.46)

m 3

4π µ

0

kr − k

r 0 ∞

16.10 Potenziale vettoriale magnetico

Essendo la divergenza del vettore B nulla, cioè essendo B un campo vetto-

riale solenoidale si può dimostrare che:

∃A : B = rot A (16.47)

in questo caso A è detto potenziale vettore magnetico, e non è univocamente

determinato, per esempio se scegliamo un certo A potenziale vettore allora

anche A + grad ψ soddisfa la condizione (16.47):

rot (A + grad ψ) = rot A

258 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

in quando il rotore di un gradiente è sempre nullo. Tra le tante possibili

scelte di A scegliamo (per la magnetostatica) A tale che:

div A = 0 (16.48)

6

questo è sempre possibile, supponiamo che div A = k = 0, ma allora scelgo

0 0

2

∇ −k,

A = A + grad ψ tale che ψ = allora div A = 0. Sappiamo dalla

circuitazione di Ampere che: rot B = µ J (16.49)

0

Sostituendo la (16.47): 2

− ∇

rot B = rot rot A = grad div A A = µ J (16.50)

0

e per la condizione per la magnetostatica (16.48):

2

∇ −µ

A = J (16.51)

0 ρ

2

∇ − , che però è un

da confrontare con la (14.4) per l’elettrostatica ϕ =

0

equazione scalare. La soluzione della (16.51) è

0

Z J (r )

µ 0 0

dv (16.52)

A(r) = 0

kr − k

4π r

V

16.10.1 Dipolo magnetico

16.10. POTENZIALE VETTORIALE MAGNETICO 259

Calcoliamo il potenziale vettoriale generato da una spira circolare di

0

raggio r percorsa da corrente stazionaria I. Dalla (16.52):

0

I

µ dl

0 I (16.53)

A(r) = 0

kr − k

4π r

0

0

essendo J dv = Idl . Se la spira giace nel piano xy allora la componente A z

0

è nulla essendo dl nel piano xy. Introducendo il momento magnetico della

spira: m = IAn (16.54)

con A l’area della superficie racchiusa dalla spira, possiamo descrivere la spi-

ra come un dipolo magnetico mediante il potenziale vettoriale, sviluppando

la (16.53). Sappiamo già che se usassimo il potenziale scalare magnetico

potremmo scrivere: ·

1 m r

ϕ = (16.55)

m 3

4π r

−1

0

kr − k

sviluppiamo la quantità r che compare nella (16.53): 12

0

02

·

1 2r r

r

1

−1

0 02 02

2 −

kr − k − · =

r = r + r 2r r 1+

2 2 2

r r r

0

Consideriamo r r , consideriamo solo i termini del primo ordine dello

sviluppo di potenze: 0 02 0

02

· ·

1 r r r r r

1 r

−1

0

kr − k −

r = + + o +2

1 2 2 2 2

r 2 r r r r (16.56)

0 0 0

· ·

1 r r r 1 r r

'

+ o

= 1+ 1+

2 2

r r r r r

Tenendo conto che: 0 0 0 0

dl = r dθ û r = r û (16.57)

θ r

Allora la (16.53) si scrive come: 0

·

I

I r r

µ 0 0 ·

dl 1 +

A = 2

4π r r

I

µ I

0 0 0 (16.58)

· ·

= dl (r r)

3

4π r I

µ I

0 02

= r û (cos θx + sin θy) dθ

θ

3

4π r

260 CAPITOLO 16. CAMPO INDUZIONE MAGNETICA

ricordando che û = cos θ î + sin θ ĵ e û = sin θ î + cos θ ĵ le componenti di

r θ

A: 2π

Z

µ I µ I

0 0

02 02

− −

A = sin θ(cos θx + sin θy) dθ =

r r πy

x 3 3

4π r 4π r

0 2π

Z

I µ I

µ 0

0 02 02

− cos θ(cos θx + sin θy) dθ =

A = r r πx

y 3 3

4π r 4π r

0 02

che si riassume, tenendo conto che l’area è A = πr :

×

m r

µ 0 (16.59)

A = 3

4π r 17

Dielettrici

Indice

17.1 Isolanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

17.2 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

17.2.1 Momento atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17.2.2 Molecole polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17.2.3 Polarizzazione per orientamento . . . . . . . . . . 264

17.2.4 Polarizzazione per deformazione . . . . . . . . . . 265

17.2.5 Vettore polarizzazione elettrica . . . . . . . . . . . 265

17.3 Campo elettrico generato da un dielettrico . . . 265

17.3.1 Esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

17.3.2 Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

17.4 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

17.5 Suscettività e permittività . . . . . . . . . . . . . 273

17.6 Maxwell per i dielettrici . . . . . . . . . . . . . . 274

~ ~

17.7 Condizioni al contorno per E e D . . . . . . . . . 276

~

17.7.1 D ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

~

17.7.2 E tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

17.8 Energia del campo elettrostatico . . . . . . . . . 284

17.8.1 Self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Se vogliamo calcolare esattamente il campo elettrico a livello microscopico

ε all’interno della materia quello che dovremo conoscere è la distribuzione di

carica microscopica. Questa distribuzione di carica è generata dagli elettroni

261

262 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

e dai protoni. La soluzione delle equazioni di Maxwell per l’elettrostatica è:

0

Z

1 x x 0

0 dV (17.1)

ε(x) = ρ(x ) 3

4πε 0

kx − k

x

0

questa soluzione non è molto utile, in quanto ρ dovrebbe essere conosciuta con

precisione a livello microscopico ed è la sovrapposizione di moltissime parti-

celle; inoltre il risultato ε varierebbe molto velocemente su scala microscop-

ica. Per un’analisi macroscopica non abbiamo bisogno di questa precisione,

e quindi possiamo lavorare con una ρ e una ε mediata.

17.1 Isolanti

A differenza che nei conduttori negli isolanti o dielettrici gli elettroni sono

fortemente legati ai nuclei e non si possono allontanare. Su di essi però agisce

−eE

una forza F = se sottoposti ad un campo elettrico esterno E . Non si

0 0

parla di moto di cariche, ma di spostamento. Gli elettroni spostandosi dalla

loro posizione originaria fanno si che il centro di carica positiva e negativa

non coincidano più. Il dielettrico si dice polarizzato e il fenomeno è chiamato

polarizzazione. In questo modo si crea un campo elettrico di polarizzazione

E ; il campo elettrico totale:

P E = E + E (17.2)

T 0 P

ma E = E (E ).

P P T

Consideriamo un approccio fenomenologico. Consideriamo un conden-

Sd . Se sulle

satore a facce piane e parallele. La sua capacità è C = ε

0 0

armature depositiamo una carica q si creerà una differenza di potenziale

σ

∆V = E d = d. Inseriamo un dielettrico tra le armature, si nota che la

0 0 ε 0

capacità è aumentata di un fattore ε > 1:

r

C = ε C

r 0

ε è caratteristica del dielettrico. ∆V è diminuita:

r Q ∆V

Q 0

∆V = = =

C ε C ε

r 0 r

anche il campo è diminuito: ∆V ∆V E

0 0

E = = =

d ε d ε

r r

17.2. POLARIZZAZIONE 263

allora la forza: qE

0

F = qE = ε r

La legge di Coulomb nei dielettrici diventa: 0

r r

q (17.3)

F = 3

4πε ε 0

kr − k

r

0 r

Per usarla anche nel vuoto ε = 1 nel vuoto. Mentre la circuitazione è sempre

r

nulla il teorema di Gauss diventa:

I Q

·

E n da = (17.4a)

ε ε

0 r

S ρ

∇ · (17.4b)

E = ε ε

0 r

17.2 Polarizzazione

Ogni molecola del dielettrico è considerata neutra. Il termine successivo dello

sviluppo in multipoli è quello del dipolo:

Z

1 r 0 0 0

·

ϕ(r) = r ρ(r ) dv (17.5)

3

4πε r

0 V

e lo scriviamo come: ·

1 p r

ϕ(r) = (17.6)

3

4πε r

0

con Z 0 0

p = r ρ(r ) dv (17.7)

V

momento di dipolo. Se invece prendiamo un’origine generica, non al centro

del dipolo: 0

· −

1 p (r r )

ϕ(r) = (17.8)

3

4πε 0

kr − k

r

0

0 0

· − −

1 3 (p (r r )) (r r ) p

E = (17.9)

5 3

4πε 0 0

kr − k kr − k

r r

0

Consideriamo le nostre molecole polarizzate come dei dipoli, e il dielettrico

come somma di tanti dipoli. Possiamo vedere anche il dielettrico come un

unico dipolo, risultante dalla somma, è come se concentrassimo della carica

−∆q

∆q in un volumetto ∆V e della carica in un altro volumetto uguale a

|∆q|δ.

distanza δ tale che p =

264 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

Delta V Delta V

r − r

2 1

r

1 r

2

17.2.1 Momento atomico

Il modello atomico più semplice è quello di Bohr. Consideriamo l’atomo di

idrogeno. Al centro troviamo un nucleo positivo e un elettrone negativo che

'

gira attorno a distanza a 0 5Å. L’atomo è un momento di dipolo p = ea

che ruota. Mediamente esso è nullo.

Se consideriamo la meccanica quantistica attorno al nucleo l’elettrone

assomiglia a una distribuzione negativa di raggio a. Essendo la distribuzione

a simmetria sferica, tutti gli atomi non sottoposti a campi elettrici non hanno

momento di dipolo essendo i centri di cariche positive e negative coincidenti.

17.2.2 Molecole polari

A seconda della composizione e anche della geometria che ne deriva le molecole

possono essere polari o apolari. Per esempio O , H , CO sono apolari,

2 2 2

mentre H O, HCl, NaCl presentano un momento di dipolo.

2

Se consideriamo un campione abbastanza numeroso di molecole polari la

media dei momenti di dipolo sarà nulla, essendo l’orientazione dei singoli

dipoli casuale.

17.2.3 Polarizzazione per orientamento

Un campo elettrico esterno su una molecola polare tenderà ad orientare il suo

momento di dipolo parallelamente al campo. Questo non vuol dire che tutte

le molecole sono orientate siano orientate parallelamente al campo elettrico,

in quanto il movimento che prevale è quello di agitazione termica, che medi-

amente è nullo. Se lo eliminiamo vedremo i momenti di dipolo che oscillano

attorno alla direzione parallela al campo elettrico esterno. In generale si not-

erà che ogni singolo dipolo avrà mediamente una componente non nulla nella

direzione del campo elettrico. La molecola è polarizzata per orientamento.

17.3. CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DIELETTRICO 265

17.2.4 Polarizzazione per deformazione

Se mettiamo un atomo, o una molecola apolare, in un campo elettrico risul-

terà deformato: il centro di carica positiva e negativa non coincideranno più,

si è creato un momento di dipolo indotto, il dielettrico è polarizzato per de-

formazione. Anche le molecole polari subiscono questo effetto, ma è di gran

lunga inferiore alla polarizzazione per orientamento.

17.2.5 Vettore polarizzazione elettrica

Consideriamo un elemento ∆V di un dielettrico polarizzato. Questo presen-

terà un momento di dipolo: Z

Z ρ(r)r dv = r dq

∆p = ∆V ∆V

Definizione 17.1 (vettore polarizzazione elettrica)

∆p(r) (17.10)

P (r) = ∆V

con ∆V si intende un elemento di volume sufficientemente piccolo da un

punto di vista macroscopico in modo che P possa essere assunto uniforme

all’interno di ∆V , da un punto di vista microscopico abbastanza grande per

contenere abbastanza atomi da variare con continuità.

P è dato dalla somma di tutti i momenti di dipolo delle singole molecole:

P p m (17.11)

P = ∆V 6

Se non c’è un campo elettrico esterno allora P = 0 anche se p = 0 nelle

m

molecole polari, in quanto sono orientate in modo casuale. In realtà esistono

materiali, detti elettreti che mantengono P anche dopo una polarizzazione

in assenza di campo elettrico.

Anche nei conduttori avviene l’effetto di polarizzazione, ma è trascurabile.

17.3 Campo elettrico generato da un dielet-

trico

17.3.1 Esterno

Consideriamo un dielettrico polarizzato, vogliamo calcolare il campo elet-

trico da esso generato all’esterno del dielettrico conoscendo il vettore P (r).

266 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

0 0

Consideriamo un elementino dv individuato dal vettore r . Esso presenta

0 0

un momento di dipolo dp = P (r )dv per la (17.10). Segue dall’espressione

0

del potenziale del dipolo (17.8) che l’elementino dv genera un potenziale:

0 0

· −

P (r ) (r r )

1 0

dv (17.12)

dϕ(r) = 3

4πε 0

kr − k

r

0

Il potenziale generato da tutto il dielettrico di volume V sarà

0 0

· −

Z Z

1 P (r ) (r r ) 0

dϕ(r) =

ϕ(r) = dv (17.13)

3

4πε 0

kr − k

r

0

V V

Possiamo introdurre il gradiente, rispetto alle coordinate primate, usando la

relazione: 0

1 (r r )

0

∇ = (17.14)

3

0

kr − k

r 0 k

kr − r

Possiamo allora riscrivere l’ultima equazione (17.13):

Z

1 1

0

0 0

· ∇

ϕ(r) = P (r ) dv (17.15)

0

kr − k

4πε r

0 V

Usando la relazione: ∇ · ∇ · · ∇f

(f F ) = f F + F (17.16)

0

con f una funzione scalare e F una vettoriale. Considerando F = P (r ) e

1 si ha:

f = 0

kr−r k 0

0 0

∇ ·

1 P (r ) P (r )

0 0

0 · ∇ ∇ · −

P (r ) = (17.17)

0 0 0

kr − k kr − k kr − k

r r r

La (17.15) diventa: 0

0 0

Z

∇ ·

Z

1 P (r ) P (r )

0 0 0

∇ · −

ϕ(r) = dv dv (17.18)

0 0

kr − k kr − k

4πε r r

0 V V

Usando il teorema della divergenza: 0

0 0

Z

· −∇ ·

Z

1 P (r ) n P (r )

0 0

ϕ(r) = da + dv (17.19)

0 0

kr − k kr − k

4πε r r

0 S V

·

P n ha le dimensioni di una distribuzione superficiale di carica, mentre

0

−∇ · P ha le dimensioni di una distribuzione di carica volumetrica.

0 0 ·

σ (r ) = P (r ) n (17.20a)

p 0

0 0

−∇ ·

ρ (r ) = P (r ) (17.20b)

p

17.3. CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DIELETTRICO 267

chiamate densità superficiale e densità volumetrica delle cariche di polariz-

zazione o legate.

In definitiva abbiamo dimostrato che il potenziale generato da un dielettri-

co polarizzato in un punto esterno ad esso è uguale al potenziale generato da

una distribuzione di cariche superficiale σ lungo il bordo e una distribuzione

p

di cariche volumetrica ρ all’interno del volume del dielettrico. Condizione

p

sufficiente affinché ρ = 0 è che P sia uniforme, infatti la divergenza si

p

1

annulla . 0

0

Z Z

1 ρ (r )

σ (r ) p

p 0 0 (17.21)

da + dv

ϕ(r) = 0 0

kr − k kr − k

4πε r r

0 V

S

Il dielettrico rimane sempre neutro per la conservazione della carica, infatti

la carica totale di polarizzazione è

Z Z Z Z

· −∇ ·

σ da + ρ dv = P n da + P dv

Q = p P

P S V S V (17.22)

Z

Z ·

· − P n da = 0

P n da

= S

S

Calcoliamo il campo esterno generato da un dielettrico polarizzato dall’e-

spressione del potenziale (17.21):

0 0

Z Z

1 σ (r ) ρ (r )

1

p p

0 0

−∇ −∇

E(r) = da + dv

0 0

kr − k kr − k

4πε r 4πε r

0 0

S V (17.23)

Usando: 0

1 1 r r

0

∇ −∇ −

= = 3

0 0

kr − k kr − k

r r 0

kr − k

r

0 0 0 0

− −

Z Z

σ (r )(r r ) ρ (r )(r r )

1 1

p p

0 0

E(r) = da + dv (17.24)

3 3

4πε 4πε

0 0

kr − k kr − k

r r

0 0

S V

che è proprio il campo generato dalle distribuzioni σ e ρ .

p p

r

1 Non è necessaria, infatti se P è proporzionale a le derivate non sono nulle:

3

r 1

12

2 2 2

3 2 2

− 2

+ y + z

r 3xr x 2x

∂ x 1 x

= = 3

3 6 3 5

∂x r r r r

ma la divergenza si annulla: 2 2 2

r 1 3x y 3z 3 3

− − − −

div =3 3 = =0

3 3 5 5 5 3 3

r r r r r r r

268 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

17.3.2 Interno

All’interno di un dielettrico il campo elettrico varia da punto a punto in modo

complesso, bisognerebbe tenere conto di tutti gli atomi, di come sono orientati

ad un certo istante. . . Siamo invece interessati a una quantità macroscopica,

cioè alla media del campo elettrico microscopico in un volume abbastanza

grande per contenere un numero grande di molecole in modo che vari con

continuità ma abbastanza piccolo perché vari. I procedimenti per arrivare

alla definizione di campo elettrico interno sono equivalenti e sono per esempio:

1. Si prende il valore medio nel tempo e nello spazio del campo elettrico

effettivamente esistente definito come la forza su una carica di prova e

la sua carica;

2. Si considera la media del campo elettrico generato da tutte le molecole

polarizzate e dalle cariche libere su una singola molecola interna al

P ;

dielettrico, in parole povere E = E +

ext 3ε 0

3. Si immagina una cavità aghiforme all’interno del dielettrico in cui ci

sia il vuoto. Il campo elettrico nel dielettrico sarà il campo elettrico

nella cavità ;

Anche all’interno del dielettrico deve valere:

I ·

E dl = 0

C

infatti il dielettrico può essere visto come un insieme di cariche nel vuoto

ferme. Scaviamo una cavità cilindrica molto sottile, aghiforme di volume

V e superficie S all’interno del nostro dielettrico di volume V e superficie

0 0

S polarizzato con vettore di polarizzazione P (r). All’interno della cavità

ci sia il vuoto e la sua presenza non alteri la polarizzazione del dielettrico.

Calcoliamo la circuitazione del campo elettrico lungo un circuito rettangolare

con i lati maggiori paralleli all’asse del cilindro, uno all’interno della cavità

l’altro fuori. Il campo all’interno della cavità sia E , nel dielettrico E :

0 d

Z Z Z Z

· · · ·

E dl + E dl + E dl + E dl = 0 (17.25)

0 d

∆l ∆l h h

1 2 1 2

Facciamo tendere ∆h e ∆h a zero, gli ultimi due integrali diventano nulli.

1 2

Essendo dl parallelo all’asse del cilindro svolgiamo il prodotto scalare:

Z Z

E dl E dl = 0 (17.26)

0 tan d tan

∆l ∆l

1 2

17.3. CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DIELETTRICO 269

S

V E

d

E

V S

0 0

0 l 1

h h

1 2

C

l 2

Essendo ∆l uguale a ∆l :

1 2 E = E (17.27)

0 tan d tan

Cioè la componente parallela alla superficie del cilindro del campo elettrico

interno ed esterno alla cavità in prossimità della superficie sono uguali, quin-

di la componente parallela varia con continuità. Se ora scegliamo una cavità

cilindrica con asse parallela al campo elettrico nel dielettrico otteniamo che

E = E . Consideriamo anche un materiale isotropo, allora la polariz-

d d tan

zazione è parallela al campo elettrico esterno. Concludiamo che E = E .

d 0 tan

Si può dimostrare che con tutte queste ipotesi:

E = E (17.28)

0 d

Allora tutto il campo elettrico varia con continuità ed essendo la cavità una

regione esterna al dielettrico e vuota possiamo usare la formula per il campo

elettrico esterno generato da un dielettrico polarizzato (17.24):

0 0 0 0

− −

Z Z

σ (r )(r r ) ρ (r )(r r )

1

1 p p

0 0

da + dv (17.29)

E(r) = 3 3

4πε 4πε

0 0

kr − k kr − k

r r

0 0

S V

Bisogna fare attenzione a capire cosa sia S e V in quest’ultima equazione.

Infatti il volume del dielettrico è diminuito, quindi anche le cariche in esso

contenuto, mentre è aumentata la superficie e quindi le cariche superficiali:

S = S + S (17.30a)

cavità dielettrico

V = V V (17.30b)

dielettrico cavità

Dove S e V sono la superficie e il volume del dielettrico senza

dielettrico dielettrico

la cavità. Se però scegliamo la cavità cilindrica con asse parallelo al cam-

po nel dielettrico isotropo sulla superficie laterale sarà parallelo e quindi le

270 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

·

cariche superficiali di polarizzazione σ = P n si disporranno solo sulle

p

basi del cilindro, ma queste tendono a zero. Allora le cariche di polariz-

zazione si dispongono solo sulla superficie esterna del dielettrico, il contrib-

uto delle cariche di polarizzazione sulla superficie della cavità è nullo, allora

nell’integrale potremo usare S . Per le densità volumetriche di polar-

dielettrico

izzazione basta considerare che il volume della cavità tende a zero e quindi

sono trascurabili, V può essere usato nell’integrale. Allora l’espres-

dielettrico

sione per il campo elettrico all’interno del dielettrico è uguale all’espressione

per il campo esterno (17.24) nell’ipotesi di cavità aghiforme orientata come

il campo nel dielettrico e dielettrico isotropo.

In tutto il ragionamento c’è un grosso problema che ci costringerà a intro-

durre delle relazioni che tengono conto della natura del materiale: le cariche

di polarizzazione che compaiono nell’espressione per il campo elettrico interno

o esterno al dielettrico (17.24) sono in funzione del vettore di polarizzazione

P (r) il quale dipende oltre che dal campo elettrico esterno che causa la po-

larizzazione, ma anche dal campo elettrico creato dalla polarizzazione stessa.

Il problema è ciclico:

E (σ (P (E , E ), ρ (P (E , E )))

pol p pol ext p pol ext

17.4 Teorema di Gauss

Cerchiamo una forma generale del teorema di Gauss che valga anche in pre-

senza di dielettrici. Come visto nella sezione 12.5 a pag. 176 il teorema di

Gauss: I Q

· (17.31)

E n da = ε 0

S

oppure in forma differenziale: ρ (17.32)

div E = ε 0

Consideriamo a proposito un dielettrico all’interno del quale sia posta una

0 0

carica libera q su un conduttore di volume V e superficie S . Consideriamo

una superficie immaginaria S racchiudente un volume V di dielettrico e

0 0

il conduttore. Il teorema di Gauss (17.31), quanto quello della circuitazione

nel paragrafo precedente, deve valere anche ora considerando tutto le cariche,

consideriamo cioè il dielettrico e la carica di polarizzazione come tante cariche

nel vuoto: Z 1

·

E n da = (q + q ) (17.33)

p

ε 0

S

0

17.4. TEOREMA DI GAUSS 271

S’

V’ q

V

0

S

0

con q le cariche di polarizzazione. Vogliamo passare in forma differenziale.

p 1

D’istinto diremmo div E = (ρ + ρ ). Ma le σ che fine fanno? Le cariche

p p

ε 0

di polarizzazione q sono:

p

Z Z Z Z

· −

q = σ da + ρ dv = P n da + div P dv

p p p

0 0 0 0

−V −V

S V S V

0 0 (17.34)

Z Z Z

· − · − ·

= P n da P n da = P n da

0 0

S S +S S

0 0

− ·

Nel primo passaggio abbiamo usato ρ = div P e σ = P n, nel secondo il

p p

teorema della divergenza. Nel calcolo non abbiamo considerato la superficie

2

S perché non è una superficie fisica del dielettrico . È come se ci fossero

0 3

della cariche sulla superficie (immaginaria) S . Sostituendo la carica di

0

2 La questione è delicata. Il risultato della sezione 17.3 è valido sia che il volume (la

superficie) considerato sia quello del dielettrico o sia un volume (superficie) immaginaria

interna al dielettrico. Quindi non è chiaro perché nell’equazione (17.34) non venga con-

siderato l’integrale su S . Possiamo fare questo ragionamento: considerando il volume V

0 0

e usando il ragionamento del paragrafo 17.3 troviamo una densità di carica superficiale su

S , ma questa non è l’unica carica presente su questa superficie, infatti se consideriamo il

0

volume dato dal volume totale del dielettrico meno V allora troveremo che sulla superficie

S c’è un’altra carica superficiale che annulla quella precedente. Quindi in generale sulle

0

superfici immaginarie interne ai dielettrici non ci sono cariche superficiali di polarizzazione.

3 Questo non è in contraddizione con la nota precedente. Infatti se rifacessimo il conto

dell’equazione (17.34) considerando anche la superficie S e le cariche indotte su di esso

0

allora sarebbe q = 0, ma poiché non le abbiamo considerate il risultato è proprio quello

p R

− ·

che manca col segno invertito, cioè P n̂ da. Inoltre possiamo fare quel’altro ragiona-

S

0

mento. Consideriamo il dielettrico come formato da due dielettrici separati dalla superficie

S . Il dielettrico interno avrà una carica totale nulla. Quello esterno avrà una carica di

0

polarizzazione sulla superifice S con una normale uscente se consideriamo il dielettrico es-

0

terno, ma entrante se consideriamo il dielettrico interno. Esso S una superficie in comune

0

questa carica superficiale risulta come carica di polarizzazione per il volume immaginario

V .

0 272 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

polarizzazione nel teorema di gauss:

I I

· − ·

ε E n da = q P n da (17.35)

0 S S

0 0

usando il teorema della divergenza:

Z Z Z

Z −

div E dv = ρ dv div P dv = (ρ + ρ ) dv (17.36)

ε p

0 V V V V

0 0 0 0

quindi: 1

div E = (ρ + ρ ) (17.37)

p

ε 0

e siamo praticamente tornati al teorema di Gauss per i dielettrici (17.33).

Vettore induzione elettrica

Se sostituiamo l’espressione di q data dalla (17.34) nel teorema di Gauss

p

informa integrale per i dielettrici (17.33) si ottiene:

Z ·

(ε E + P ) n da = q (17.38)

0

S

0

Stiamo ottenendo un teorema di gauss che tiene conto solo delle cariche libere

q. Introduciamo un nuovo vettore:

Definizione 17.2 (vettore induzione elettrica)

D = ε E + P (17.39)

0

chiamato anche vettore spostamento elettrico. Per l’equazione (17.38) il suo

flusso è Φ (D) = q (17.40)

con q cariche libere. In forma differenziale, usando il teorema della divergen-

za, diventa: div D = ρ (17.41)

con ρ densità di volumetrica di cariche libere.

2

[D] = Cm

Si sottolinea che il campo elettrico E che compare è il campo elettrico totale,

cioè quello creato dalle cariche libere più quelle di polarizzazione.

17.5. SUSCETTIVITÀ E PERMITTIVITÀ 273

17.5 Suscettività e permittività

Per chiudere il problema, cioè determinare il campo elettrico serve una nuova

equazione, in quanto il campo elettrico è funzione delle cariche di polariz-

zazione, le quali sono funzione del vettore polarizzazione elettrica il quale è

funzione del campo elettrico. Leghiamo direttamente il vettore polarizzazione

elettrica con il campo totale: P (r) = χ E(r) (17.42)

e

Dove χ è la suscettività del dielettrico.

e [χ ] = Fm

e

Per dielettrici anisotropi è un tensore del second’ordine e quindi P e E non

hanno la stessa direzione. Per dielettrici non lineari (quasi sempre con alti

campi elettrici) è una funzione di E. Per dielettrici omogenei è uno scalare,

per i disomogenei una funzione del punto. χ è sempre maggiore di zero, nel

e

vuoto è nullo.

Se sostituiamo nel vettore induzione elettrica (17.39) l’ultima espressione

introdotta: D = ε E + χ E = (ε + χ ) E (17.43)

0 e 0 e

Definizione 17.3 (costante dielettrica)

ε = (ε + χ ) (17.44)

0 e

chiamata anche permittività dielettrica usando questa definizione la (17.43)

diventa: D = εE (17.45)

Definizione 17.4 (costante dielettrica relativa)

ε χ

e

= 1+ (17.46)

ε =

r ε ε

0 0

chiamata anche permittività dielettrica relativa del mezzo rispetto al vuoto.

È uno scalare adimensionale e per il vuoto ε = 1, per i dielettrici è maggiore

r

di 1. Si ha allora: ε = ε ε (17.47)

0 r

274 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

ε

D = εE = ε ε E = P (17.48)

0 r χ e

Se il mezzo è isotropo i tre vettori D, E, P sono paralleli.

La relazione che lega P a E oppure equivalentemente D a E è la relazione

costitutiva dei materiali per quanto riguarda il comportamento dielettrico.

Per ricordarsi i legami tra χ e ε è utile notare che:

e r

ε + χ = ε ε (17.49)

0 e 0 r

Altre convenzioni

In passato χ era definito come

e χ e

?e (17.50)

χ = ε 0

che è adimensionale, quindi le equazioni erano scritte come:

?e ?e ?e

P = ε χ E ε = ε (1 + χ ) ε = 1 + χ

0 0 r

17.6 Maxwell per i dielettrici

Nel caso statico siamo in grado di scrivere le equazioni che descrivono to-

talmente il campo elettrico. Innanzitutto dobbiamo includere la relazione

costituiva: ⇒

D = ε E (17.51)

In forma integrale sono: Z ·

D n da = Q (17.52)

S

I ·

E dl = 0 (17.53)

C

In forma differenziale: ∇ · D = ρ (17.54)

∇ × E =0 (17.55)

Le equazioni sono 7 (tre dalla (17.51), tre dalla (17.55), una dalla (17.54)),

le incognite 7(ρ,E,D).

17.6. MAXWELL PER I DIELETTRICI 275

Esempio 17.1 (carica puntiforme) Consideriamo una carica puntiforme

q in un dielettrico infinatemente esteso, omogeneo, isotropo e isotropo. Vogliamo

R ·

calcolare il campo elettrico. Dal teorema di Gauss per i dielettrici D

s

n̂ da = q si ha che: r

q

D = 3

4π r

quindi da D = εE dove ε = ε ε :

0 r r

q

E = 3

4πε ε r

0 r

come si vede il campo è minore a causa del dielettrico che si è polarizzato.

È interessante notare che questo campo elettrico è uguale al campo elettrico

q

nel vuoto di una carica elettrica ridotta pari a . Questo effetto è dato dalla

ε

r

polarizzazione del dielettrico che induce delle cariche di polarizzazione che

schermano la carica libera. Calcoliamole; ci serve il vettore di polarizzazione:

r q(ε 1) r

qχ r

e =

P (r) = χ E(r) =

e 3 3

4πε r 4πε r

0 r

spesso si preferisce lavorare in termini di ε piuttosto che di χ . Nonostante la

r e

polarizzazione non sia uniforme le cariche di polarizzazione volumetriche sono

r = 0. Le densità di cariche di polarizzazione saranno

nulle in quanto div 3

r

sulla superficie del dielettrico. Una superficie è all’infinito, ma non è l’unica

infatti anche la carica puntiforme costituisce una superficie. Consideriamo

al posto di una carica puntiforme una sfera di raggio a. Su questa superficie:

q(ε 1) 1

r

σ =

p 2

4πε a

r

· −r.

avendo usato r n = La carica totale di polarizzazione sulla sfera è

ε 1

r

−q

q =

p ε r

quindi le sorgenti del campo elettrico saranno tutte le cariche, sia quelle libere

che quelle di polarizzazione: q

q + q =

p ε r

e allora abbiamo dimostrato che è come se ci fosse una carica ridotta di un

fattore ε nel vuoto.

r

Il dielettrico complessivamente rimane neutro grazie alle cariche di polar-

izzazione all’infinito.

276 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

~ ~

17.7 Condizioni al contorno per E e D

~

17.7.1 D ortogonale n dS 1 dS

1 sigma

2 dS 2

n

Vogliamo sapere cosa succede ai vettori E e D quando si passa da un mez-

zo ad un altro, sia dielettrico che conduttore. Ipotizziamo che sulla superficie

separatrice ci possa essere una distribuzione di carica libera σ(r). Conside-

riamo due mezzi omogenei, lineari, isotropi. La superficie di separazione può

essere di qualsiasi forma. Prendiamo un cilindro infinitesimo di basi nei due

mezzi aventi area dA e altezza dh con asse perpendicolare alla superficie di

separazione; la superficie di separazione intercettata dal questo risulta piana.

Sappiamo che il flusso attraverso tutta la superficie del cilindro:

Z ·

D n da = σdS (17.56)

S

Questa può essere scomposta:

Z Z Z

· · ·

D n da + D n da + D n da = σdS (17.57)

1 2

dS dS dS

1 2 l

dove dS e dS sono le superfici di base del cilindro, dS è la superficie

1 2 l 4

laterale. Se facciamo tendere dh 0 allora l’ultimo integrale si annulla .

· · −D

Facciamo già il prodotto scalare: D n = D , D n = ; queste due

1 1n 2 2n

componenti sono nella direzione ortogonale alla superficie di separazione e il

verso positivo è quello di n nel primo mezzo (in figura verso l’alto):

Z Z

D da D da = σdA (17.58)

2n

1n

dS dS

1 2

4 →

può sorgere un problema: come fa dh 0 se il cilindro è già infinitesimo? Bisogna con-

siderare la superficie laterale di ordine d’infinitesimo maggiore dell’ordine di infinitesimo

dell’area delle basi ~ ~

17.7. CONDIZIONI AL CONTORNO PER E E D 277

5

dS , dS sono infinitesimi, quindi D e D sono uniformi sulle superfici,

1 2 1n 2n

possiamo svolgere l’integrale: −

D dA D dA = σdA (17.59)

1n 1 2n 2

D D = σ (17.60)

1n 2n

Se non c’è carica sulla superficie di separazione allora le due componenti

normali sono uguali e D varia con continuità. In generale se ogni volta

n

che usciamo da una superficie (cioè ci muoviamo nella direzione della sua

normale) la componente normale uscente di D aumenta.

~

17.7.2 E tangente dl 2

C

1

2 dl 1

Calcoliamo la circuitazione su C, un rettangolo con lati dl e dl par-

1 2

alleli alla superficie di separazione, altezze dh e dh , in modo tale che la

1 2

sua superficie contenga la separazione tra i due mezzi. Il rettangolo è in-

finitesimo e quindi la superficie di separazione di qualsiasi forma è vista da

C come un piano. Sappiamo che la circuitazione di E deve essere nulla, o

equivalentemente che il rotore di E è zero:

I ·

E dl = 0 (17.61)

C

Lo spezziamo:

Z Z Z Z

· · · ·

E dl + E dl + E dl + E dl (17.62)

1 1 2

dl dl dh dh

1 2 1 2

5 usare D e D serve solo per distinguere dove è calcolato D, ma è sempre e solo D

1 2

che stiamo calcolando

278 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

6 → −dl

facciamo dh 0 e il prodotto scalare considerando che dl = :

1 2

Z Z

E dl E dl = 0 (17.63)

1 tan 1 2 tan 2

dl dl

1 2

Essendo dl , dl infinitesimi E si mantiene costante su di essi e possiamo

1 2

svolgere l’integrale: E = E (17.64)

1 tan 2 tan

essendo dl = dl . La componente tangente varia con continuità.

1 2

Riprendiamo l’equazione sulla componente normale di D (17.60) nel-

l’ipotesi che sulla superficie non ci sia carica libera:

D = D (17.65)

1n 2n

cioè la componente di D normale alla superficie di separazione varia con

continuità. Usando: D = εE = ε ε E (17.66)

0 r

ε ε E = ε ε E (17.67)

0 r1 1n 0 r2 2n

quindi la componente normale di E non varia con continuità.

ε

E r2

1n = (17.68)

E ε

2n r1

In modo analogo si può mostrare che anche la componente di D tangente

subisce discontinuità. D ε

1 tan r2

= (17.69)

D ε

2 tan r1

Esempio 17.2 (piano di separazione) Riproponiamo l’esempio 14.3 a pag-

ina 212 ma al posto del conduttore mettiamo un dielettrico. In particolare

consideriamo due dielettrici caratterizzate da ε e ε separati da un piano

1 2

z = 0 e una carica puntiforme nel primo dielettrico, distante d dal piano. Le

equazioni differenziali del problema sono:

∇ · ·

D = ε ε (z)∇ E = ρ

0 r

∇ × E =0

6 ancora: dh deve essere di ordine di infinitesimo maggiore di dl

~ ~

17.7. CONDIZIONI AL CONTORNO PER E E D 279

dove ε (z) è uguale a ε per z positivi e ε altrimenti. Le condizioni al bordo

r 1 2

sono: − − + +

ε ε E (x, y, 0 ) = D (x, y, 0 ) = D (x, y, 0 ) = ε ε E (x, y, 0 )

0 2 z z z 0 1 z

E (x, y, 0−) = E (x, y, 0+)

x x

E (x, y, 0−) = E (x, y, 0+)

y y

cioè abbiamo imposto la continuità sulla componente normale di D (non

essendoci cariche libere sulla superficie di separazione) e la continuità sulle

componenti tangenti di E. Risolviamo il problema per la regione dove è pre-

sente la carica puntiforme. Per simulare le condizioni al bordo aggiungiamo

una carica immagine puntiforme all’esterno della regione in considerazione.

Per ragioni di simmetria la carica immagine sarà in posizione simmetrica

rispetto alla carica reale. Poiché rot E = 0 possiamo sempre considerare un

potenziale. Considerando le due cariche: !

0

1 q q

+

ϕ(r) = kr − k 0

4πε ε r r r

0 1 q q

questa è la soluzione per z > 0. Nell’altro semispazio non ci sono cariche;

l’unica carica che consideriamo è una carica immagine per simulare le con-

dizioni al contorno. Questa carica sarà all’esterno della regione, quindi sarà

in z > 0 e scegliamo che sia nella posizione della carica vera:

00

1 q

ϕ(r) = 00

4πε ε r r

0 2 q

0 00

Per trovare q e q basta imporre le condizioni al contorno. Calcoliamo

±

E (x, y, 0 ):

z !

00

00 − )

(z z

∂ q q

− −

E (x, y, 0 ) = ϕ(x, y, 0 ) =

z 3

∂z 4πε ε 00

r r

0 2 q z=0

! !

00 00

−d d

q q

= =

3/2 3/2

4πε ε 4πε ε

2 2 2 2 2

(x + y + d ) (ρ + d )

0 2 0 2 !

0

(z z )

∂ 1 (z z )

q q

0

+ +

E (x, y, 0 ) = ϕ(x, y, 0 ) = q + q

z 3 3

∂z 4πε ε kr − k

r 0

r r

0 1 q q z=0

!

0 −

q q d

= 3/2

4πε ε 2 2

(ρ + d )

0 1

280 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

00 0 0 00 0 00

−z

ricordando che z = z = = d, x = x = x = y = y = y = 0 e

q q q

q q q q q q

p − +

2 2

ρ = x + y . Uguagliano ε E (x, y, 0 ) = ε E (x, y, 0 ) si ottiene:

2 z 1 z

00 0

q = q q

Per le componenti tangenziali calcoliamo la componente x:

00

q x

∂ −

− ϕ(x, y, 0 ) =

E (x, y, 0−) =

x 2 2 3/2

∂x 4πε ε (ρ + d )

0 2 0

1 qx

∂ q x

+

− ϕ(x, y, 0 ) =

E (x, y, 0+) = +

x 2 2 3/2 2 2 3/2

∂x 4πε ε (ρ + d ) (ρ + d )

0 1

uguagliandole: 00 0

q q + q

=

ε ε

2 1

usando la componente y non si ottiene nulla in più, infatti il problema ha

7

simmetria cilindrica e quindi è simmetrico rispetto allo scambio x y .

Usando le due equazioni trovate, risolvendo il sistema:

− 2ε

ε ε 2

1 2 00

0 q q = q

q = ε + ε ε + ε

1 2 1 2

Per calcolare la carica di polarizzazione serve il vettore di polarizzazione:

−1)E.

P = χ E = ε (ε La divergenza di P è nulla in quanto dal teorema di

e 0 r

Gauss la divergenza di E è nulla, tranne che nelle cariche puntiformi. Quindi

la densità volumetriche di polarizzazione sono nulle. Le cariche superficiali

sono invece sulla superficie di separazione: −

+

· · −ε − − −

σ = P n + P n = (ε 1)E (x, y, 0 ) ε (ε 1)E (x, y, 0 )

pol 1 2 0 1 z 0 2 z

Il campo elettrico sul piano l’abbiamo già calcolato, quindi sostituendo, dopo

varie semplificazioni: −

1 ε ε d

1 2

σ =

pol 2 2 3/2

2π ε (ε + ε ) (ρ + d )

1 1 2

Riassumiamo con dei grafici quanto trovato. In figura 17.1 è rappresentato

il potenziale elettrico, con le linee di forza del campo elettrico.

Si noti che questo esempio è un caso generale dell’esempio 14.3 in cui al

posto dei dielettrici c’era il vuoto e un piano conduttore. L’esempio parti-

0

∞. −q

colare si ottiene con ε = 1 e ε = Infatti in questo caso: q = e

1 2

00

q = 0.

7 Questo non vuol dire che la componente y è inutile. Infatti abbiamo usato la simme-

tria per decidere che le cariche immagini sono sull’asse z. Se non l’avessimo fatto allora

avremmo avuto bisogno anche di questa equazione.

~ ~

17.7. CONDIZIONI AL CONTORNO PER E E D 281

4

2

0

-2

-4 0 2 4

-4 -2

Figura 17.1: Potenziale e campo elettrico per una carica con due regioni

con costante dielettrica diversa. In particolare ε (sinistra) > ε (destra).. Il

2 1

colore del piano è proporzionale alla carica di polarizzazione. Il bordo rosso

indica il limite della regione del grafico.

Figura 17.2: Componente parallela al piano del campo elettrico. Come si

nota non ci sono discontinuità. La linea rossa è il piano.

282 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

z

2 4

-4 -2

Figura 17.3: Componente parallela al piano del campo elettrico lungo le linee

orizzontali della figura precedente.

Figura 17.4: Componente normale al piano del campo elettrico. Come si

nota c’è una discontinuità. La linea rossa è il piano.

~ ~

17.7. CONDIZIONI AL CONTORNO PER E E D 283

z

2 4

-4 -2

Figura 17.5: Componente normale al piano del campo elettrico lungo le linee

orizzontali della figura precedente.

Esempio 17.3 (Sfera dielettrico polarizzata) Immaginiamo un dielet-

trico sferico uniformemente polarizzato con il vettore di polarizzazione P

rivolto come l’asse z. Il potenziale da esso generato sarà:

0

· −

Z

1 P (r r )

ϕ = 3

4πε 0

kr − k

r

0 sfera

questo conto è complicato e quindi cerchiamo un trucco. Si tratta di schema-

tizzare la sfera polarizzata come un dipolo. Per ragioni di simmetria le due

cariche del dipolo giacciono sull’asse z. Si può immaginare che l’effetto della

polarizzazione sia di separare le cariche positive e negative di δ nella direzione

di P . Il nostro sistema allora è equivalente a un sistema di due sfere cariche

uniformemente con segno opposto e separate di δ. A grande distanza le due

±Q

sfere diventano due punti di carica e quindi il momento di dipolo p = Qδ

e il vettore di polarizzazioen P = ρδ.

Il campo generato all’interno della sfera sarà quello della somma dei campi

generati dalle due sfere. Il campo generato da una sfera carica uniformente

si può trovare con il teorema di gauss: 4 3

2 πr ρ

4πr E = 3

cioè: ρ

E (r) = r

± 3ε 0

284 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

se r e r sono le distanze dei centri delle sfere da un punto generico allora

+

in questo punto il campo totale sarà: ρ 0

(r r )

E(r) = 3ε 0

0

− −δ

ma (r r ) = quindi all’interno della sfera polarizzata:

ρ P

− −

E = δ =

3ε 3ε

0 0

All’esterno invece usiamo l’appossimazione di dipolo con momento di

4

43 3 3

πR ρδ = πR P . Poichè P è diretto lungo l’asse z usando

dipolo p = 3

l’espressione (12.26): 3

1 r p R r P

n o

· − −

E(r) = 3(p r) = Pz

5 3 5 3

4πε r r ε r 3r

0 0

La carica di polarizzazione sarà ·

σ = P n̂ = P cos θ

p

17.8 Energia del campo elettrostatico

Consideriamo N conduttori con superfici S , i = 1 . . . N . Partiamo dall’e-

i

quazione (12.17) che descrive l’energia per un sistema di cariche puntiformi:

n n N

1 q q 1 1

X X X

i j

W = = q ϕ (17.70)

i

kr − k

2 4πε r 2

0 i j

i=1 i=1

i6 = j

Nel nostro caso le cariche sono date dalle distribuzioni σ(r) sulle superfici

e ρ(r) all’esterno dei conduttori (nei conduttori la carica si distribuisce solo

ni=1

S

sulla superficie). Sia S = S e V il volume esterno ai conduttori:

i

Z Z Z Z

1 1 1 1

ϕρ dv + ϕσ da = ϕ div D dv + ϕσ da

W = 2 2 2 2

V S V S

Z Z Z

1 1 1

− ·

= div(ϕD) dv D grad ϕ dv + ϕσ da

2 2 2

V V S (17.71)

Z Z Z

1 1 1

·

= div(ϕD) dv + D E dv + ϕσ da

2 2 2

V V S

Z Z Z

1 1 1

· ·

= ϕD n da + D E dv + ϕσ da

2 2 2

S V S

V

17.8. ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO 285

dove S è la superficie che delimita il volume V (il volume esterno alle su-

V

perfici S , in quanto all’interno dei conduttori ρ = 0). S è composta da una

i V

superficie limite all’infinito S e dalle superfici dei conduttori.

Z Z Z Z

1 1 1 1

· · ·

W = ϕD n da + ϕD n da + D E dv + ϕσ da (17.72)

2 2 2 2

S S V S

∞ 1

1 2

, D come

Sappiamo che ϕ varia come e da come r , quindi il primo

2

r r

1 e l’integrale si annulla.

integrando va come r

Z Z Z

1 1 1

· ·

W = ϕD n da + D E dv + ϕσ da (17.73)

2 2 2

S V S

−σ

ma D·n = in quanto le normali sono dirette verso l’interno delle superfici

conduttrici: Z Z

1

1 2

·

E D dv = E dv (17.74)

W = ε

2 2

V V

e la densità di energia w: 1 1 2

·

w = E D = εE (17.75)

2 2

17.8.1 Self-energy

Come si nota dalla (17.75) la densità di energia del campo elettrostatico è

definita positiva, quindi anche il suo integrale, cioè l’energia totale è sempre

positiva. Questa è una contraddizione con l’equazione (17.70), per esempio

se consideriamo due cariche, una positiva e l’altra negativa:

q q

1 1 2

W = kr − k

4πε r

0 1 2

Il problema è che l’equazione (17.75) contiene termini di autointerazione,

mentre la (17.70) no. Infatti proviamo a calcolare la densità di energia per

il sistema formato dalle due cariche. Il campo elettrostatico:

− −

1 q (r r ) q (r r )

1 1 2 2

E(r) = +

3 3

4πε kr − k kr − k

r r

0 1 2

e quindi la densità di energia: 2 2

− · −

1 ε q q q q (r r ) (r r )

0 1 2 1 2

1 2

2

w = ε E = + +2

0 4 4 3 3

2

2 2(4πε ) kr − k kr − k kr − k kr − k

r r r r

0 1 2 1 2

286 CAPITOLO 17. DIELETTRICI

I primi due termini rappresentano i termini di autointerazione. Tralasciando

questi e cosiderando solo il rimanente calcoliamo l’energia totale integrando

sul volume: − · −

Z

q q (r r ) (r r )

1 2 1 2 dv

W = 3 3

2

16π ε kr − k kr − k

r r

0 V 1 2

r−r 3

kr − k

, da cui r = r x+r e dv = d r =

usiamo la sostituzione x = 1 1 2 1

kr −r k

1 2

3 3

kr − k

r d x:

1 2 kr − k kr − k

Z

q q x r r (x + n)

1 2 1 2 1 2 3 3

kr − k

W = r d x

1 2

3 3 3 3

2

16π ε kr − k kxk kr − k kx

r r + nk

0 V 1 2 1 2

·

Z

1 x (x + n)

q q

1 2 3

d x

= 3

2 kr − k

16π ε r 3 kx

x + nk

0 1 2 V

−r

r

con n = . Occupiamoci dell’integrale, in coordinate polari diventa:

1 2

kr −r k

1 2 2

Z x + x cos θ 2

sin θx dxdθ

2π 3 2 3/2

x (x + 1 + 2x cos θ)

−1

Z Z x + y

= 2π dx dy

2 3/2

(x + 1 + 2xy)

1

 

1

" # 1

Z Z

1 1

 

=2π dx (x + y) + dy

p p

2 2

x x + 1 + 2xy x x + 1 + 2xy

−1

 

−1 1

#

"

Z 1

1 p 2

− (x + y) + x + 1 + 2xy

=2π dx p 2

x

2

x x + 1 + 2xy −1

1

" #

Z 1 + xy

=2π dx p

2 2

x 2xy + x + 1 y=−1 2

avendo usato l’integrazione per parti e la sostituzione z = x + 1 + 2xy.

Valutando gli estremi:

Z 1+ x 1 x

√ √

2π dx 2 2

−2x

2 2 x + x + 1

x 2x + x + 1

Z 1+ x 1 x

=2π dx 2 2

|1 |1 −

x + x| x x|

Z sgn(x + 1) + sgn(x 1)

=2π dx 2

x

17.8. ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO 287

L’integrale è facile perché la somma delle due funzioni segno fa:

 −2 x < 1

sgn(x + 1) + sgn(x 1) = +2 x > 1

 0 altrimenti

quindi l’integrale in x: ∞

Z 2 1

− = 4π

2π dx = 2

2

x x

1 1

allora l’energia totale: ·

Z x (x + n)

q q 1 q q 1

1 2 1 2

3

W = d x =

3

2 kr − k kr − k

16π ε r 4πε r

3 kx

x + nk

0 1 2 0 1 2

V

come voluto. 18

Magnetostatica nei mezzi materiali

Indice

18.1 Magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

18.2 Approccio teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

18.3 Correnti di magnetizzazione . . . . . . . . . . . . 290

18.3.1 Superfici di separazione . . . . . . . . . . . . . . . 292

18.4 Correnti di magnetizzazione in generale . . . . . 292

~

18.5 Vettore intensità magnetica H . . . . . . . . . . . 294

18.6 Condizioni al bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

18.7 Suscettività e permeabilità magnetica . . . . . . 295

18.1 Magnetizzazione

Ogni atomo è assimilabile ad una spira percorsa da corrente che ha un certo

momento magnetico, chiamato momento di dipolo orbitale magnetico, per

esempio per l’atomo di idrogeno: e

− Sn

m = T

dove S è la superficie racchiusa dalla traiettoria dell’elettrone, e T il perio-

do dell’orbita. Il momento magnetico può essere scritto anche in termini di

e

2 −

momento magnetico L = m r ωn: m = L (vedi 31.6.1). A questo va

e m e

288

18.2. APPROCCIO TEORICO 289

aggiunto il momento magnetico di dipolo intrinseco o di spin dovuto all’elet-

1

trone . In realtà anche i protoni e in neutroni contribuiscono al momento

magnetico totale m. Riconduciamo il fenomeno della magnetizzazione alle

correnti atomiche, come aveva intuito Ampere. Possiamo immaginare che il

momento di dipolo magnetico sia dovuto alla presenza di cariche magnetiche

q :

m m = q δ (18.1)

m

Definizione 18.1 (intensità di magnetizzazione)

P m i

i (18.2)

M = ∆V

usando sempre la convenzione di ∆V piccolo dal punto di vista macro-

scopico e grande dal punto di vista microscopico. Il vettore intensità di

magnetizzazione è anche detto semplicemente magnetizzazione.

Se non applichiamo un campo magnetico esterno mediamente M è nullo in

quanto m è orientato casualmente nello spazio. Per alcuni materiali questo

non è del tutto vero. Quando applichiamo un campo magnetico esterno

questo crea una coppia di forze sui dipoli che tende a farli disporre secondo

un orientamento, allora M è diverso da zero e il materiale è magnetizzato.

Il momento che si crea: ×

τ = m B

I materiali paramagnetici aumentano il campo magnetico in quanto i dipoli

magnetici si orientano come il campo esterno. Nei materiali diamagnetici

invece M è opposto a B e quindi il campo magnetico diminuisce.

unità [m] = Am [q ] = Am [M ] = Am

m

18.2 Approccio teorico

Un materiale magnetizzato può essere studiato facendo ricorso alle correnti

di magnetizzazione oppure usando i dipoli magnetici. Usando il secondo

approccio non si fa altro che rifare quello che è stato fatto per i dielettrici,

1 in un contesto classico lo spin dell’elettrone può essere immaginato come il momento

angolare dovuto ad una rotazione dell’elettrone; in realtà per dimostrare l’esistenza dello

spin è necessaria la meccanica quantistica relativistica.

290 CAPITOLO 18. MAGNETOSTATICA NEI MEZZI MATERIALI

cioè trovare delle densità di carica fittizie che interpretino i fenomeni. Usando

i dipoli si userà il potenziale scalare magnetico, mentre usando le correnti di

magnetizzazione il potenziale scalare magnetico.

J σ , ρ

m m m

~

M

A ϕ m

−µ

B = rot A B = grad ϕ

0 m

18.3 Correnti di magnetizzazione

Se consideriamo un materiale magnetico caratterizzato da un vettore mag-

6

netizzazione M = 0 lo possiamo vedere come formato da spire elementari,

tutte percorse da una corrente nello stesso verso, dato dal vettore M . Se M

è uniforme allora si ha che le correnti di spire adiacenti si annullano, quello

che rimane sono delle correnti che percorrono la superficie del materiale. La

densità di corrente che si genera è massima sulle superfici parallele a M e

nulla sulle superfici ortogonali a M . Deve essere:

∝ ×

J M n

Consideriamo una magnetizzazione non uniforme. In questo caso le cor-

renti elementari adiacenti non si annullano totalmente, la risultante è una

corrente macroscopica all’interno del materiale, oltre alla corrente superfi-

ciale.

Consideriamo il caso generale di un materiale non uniformemente magne-

tizzato. Consideriamo due parallelepipedi infinitesimi di volume dV e dV ,

1 2

di lati dx, dy, dz, adiacenti lungo la direzione y. Se nel primo volumetto c’è

una magnetizzazione M (x, y, z) nel secondo sarà:

∂M dy (18.3)

M (x, y + dy, z) = M + ∂y

18.3. CORRENTI DI MAGNETIZZAZIONE 291

consideriamo la componente x. Dalla (18.2) possiamo dire che la componente

x del momento magnetico sia:

dm = M dV = dm dxdydz (18.4)

x x x

ma sappiamo anche che dm = IdSn, quindi nel nostro caso dobbiamo

considerare la corrente che si avvolge nel piano perpendicolare a M :

x

dm = I dS = I dydz (18.5)

x m1 m1

dove I è la corrente di magnetizzazione ortogonale a M nel primo volume.

m1 x

Dal confronto delle ultime due equazioni:

I = M dx (18.6)

m1 x

Per il secondo volume invece:

∂M x

I = M + dy dx (18.7)

m2 x ∂y

Sommando le due correnti di magnetizzazione (col segno) troviamo la cor-

rente che passa nel tratto verticale in comune:

∂M ∂M

x x

0 − − −

I = I I = M dx M + dy dx = dxdy (18.8)

m1 m2 x x

mz ∂y ∂y

e quindi una densità di corrente: ∂M x

0 − (18.9)

J =

mz ∂y

Se ora i volumetti li cambiamo di posizione e li mettiamo adiacenti lun-

go l’asse x al posto che adiacenti lungo l’asse y otterremmo che lungo la

superficie di separazione scorre una corrente:

∂M y

00

I = dxdy (18.10)

mz ∂x

La corrente totale lungo z vale allora:

∂M

∂M x

y

0 00 − dxdy (18.11)

I = I + I =

z mz mz ∂x ∂y

e la densità di corrente:

∂M ∂M

y x

J = (18.12)

mz ∂x ∂y

Usando lo stesso procedimento per le altre componenti si arriva a:

J = rot M (18.13)

m

292 CAPITOLO 18. MAGNETOSTATICA NEI MEZZI MATERIALI

18.3.1 Superfici di separazione

L’espressione (18.13) ci dice che se la magnetizzazione di un materiale è

uniforme non troveremo correnti al suo interno, ma solo sulla superficie dove

è presente una discontinuità

Supponiamo un cilindro uniformemente magnetizzato con asse lungo z,

quindi M = M k̂. Dalla (18.13):

z 

∂M ∂M

∂M y

z − =

J =

 mx

 ∂y ∂x ∂y

∂M ∂M

∂M

 z

x − −

= (18.14)

J =

my ∂z ∂x ∂x

∂M ∂M

 y x

 −

J = =0

 mz

 ∂x ∂y

All’interno del cilindro M è costante, mentre sulla superficie passa del valore

M al valore 0.

Consideriamo la superficie di separazione e consideriamo un percorso C

che attraversi la superficie di separazione passando dal materiale al vuoto. Il

flusso della densità di corrente lungo la superficie S racchiusa da C è

Z Z I

· · ·

φ (J ) = J n da = rot M n da = M dl (18.15)

S m m

S S C

Facendo tendere a zero il tratto ∆l ortogonale alla superficie di separazione

e supponendo M uniforme lungo il tratto ∆l la circuitazione risulta:

I · ·

M dl = M ∆l = M ∆l (18.16)

tg

C

dove M è la componente tangente alla superficie.

tg J = M (18.17)

sm t

×

J = M n (18.18)

sm

18.4 Correnti di magnetizzazione in generale

Segue una trattazione generale molto simile alla trattazione per i dielettrici

(vedi 17.3). Il vettore potenziale magnetico di una spira è

0

× −

µ m (r r )

0

A(r) = (18.19)

3

4π 0

kr − k

r

18.4. CORRENTI DI MAGNETIZZAZIONE IN GENERALE 293

0

con m = SIn. Ad ogni elemento di volume infinitesimo dv possiamo

associare un momento magnetico infinitesimo:

0 0

dm = M (r )dv (18.20)

che genera un potenziale vettore infinitesimo:

0 0 0

× − × −

dm (r r ) M (r ) (r r )

µ µ

0 0 0

dA(r) = = dv (18.21)

3 3

4π 4π

0 0

kr − k kr − k

r r

Sommando tutti i contributi il potenziale vettore totale:

0 0

× −

Z Z

µ M (r ) (r r )

0 0

dv (18.22)

A(r) = dA(r) = 3

4π kr − rk

V V

0 0

r−r 1

ricordando che = grad :

0

3 kr−r k

0

kr−r k Z 1

µ

0 0

0 0

×

M (r ) grad dv (18.23)

A(r) = 0

kr − k

4π r

V 0

0 0 − ×

usando la relazione rot (ϕF ) = ϕ rot F F grad ϕ: 0

0 0

Z Z

µ M (r )

rot M (r ) µ

0 0 0

0 0

A(r) = rot

dv dv (18.24)

0 0

kr − k kr − k

4π r 4π r

V V

Consideriamo solo la componente x del secondo integrale:

0 0

Z Z ∂

M (r ) ∂

M (r ) M

z y

0 0 0

· −

rot dv ı̂ = dv

0 0 0 0 0

kr − k kr − k kr − k

r ∂y r ∂z r

V V

×

Z Z [M n]

M M

z y 0 0

x

= cos(n, y) cos(n, z) da = da

0 0 0

kr − k kr − k kr − k

r r r

S S (18.25)

nel quale abbiamo usato la formula: Z

Z ∂f (x, y, z) dv = f (x, y, z) cos(n, x) da (18.26)

∂x S

V

tornando al vettore potenziale:

0 0 ×

Z Z

rot M (r ) M n

µ µ

0 0

0 0

A(r) = dv + da

0 0

kr − k kr − k

4π r 4π r

V S (18.27)

Z Z

µ J µ J

0 m 0 sm

0 0

= dv + da

0 0

kr − k kr − k

4π r 4π r

V S

avendo usato la (18.18) e la (18.13). Da qui si potrebbe trovare B con la

relazione B = rot A.

294 CAPITOLO 18. MAGNETOSTATICA NEI MEZZI MATERIALI

~

18.5 Vettore intensità magnetica H

Dal teorema di Ampere avevamo che:

rot B = µ J (18.28)

0

che vale nel vuoto. Se vogliamo usare la stessa legge per i materiali magne-

tizzati dobbiamo tenere conto delle correnti di magnetizzazione J :

m

rot B = µ (J + J ) = µ (J + rot M ) = µ J + µ rot M (18.29)

0 m 0 0 0

portando tutto in un unico rotore (il rotore è un operatore lineare):

B −

rot M = J (18.30)

µ 0

Definizione 18.2 (vettore intensità magnetica)

B −

H = M (18.31)

µ 0

si misura in Am. Usando questa nuova definizione, sostituendo nella (18.30):

rot H = J (18.32)

Che in forma integrale diventa: Z

Z

I · · ·

H dl = rot H n da = J n da = I (18.33)

S

S

C

mentre se vogliamo usare B con i materiali magnetizzati:

B = µ (H + M ) (18.34)

0

I ·

B dl = µ (I + I ) (18.35)

0 m

C

rot B = µ (J + J ) (18.36)

0 m

18.6 Condizioni al bordo

Come fatto per i dielettrici analizziamo le condizioni al contorno per B e H.

Vale sempre che la divergenza di B è nulla, mentre l’equazione del rotore nei

18.7. SUSCETTIVITÀ E PERMEABILITÀ MAGNETICA 295

mezzi materiali va sostituita con rot H = J . Oltre a queste due equazioni

per risolvere i problemi serve una relazione costitutiva che lega B a H.

Consideriamo due mezzi separati da una superficie Σ e un cilindro ele-

mentare di superficie S che si interseca normalmente con Σ:

Z

Z ÷B ·

dv = B n =0 (18.37)

V S

Se l’altezza del cilindro tende a zero il flusso è dato solo dal flusso sulle basi

e si ottiene: B = B (18.38)

1n 2n

cioè la componente normale di B varia con continuità.

Consideriamo invece un circuito che interseca la superficie Σ e calcoliamo

il flusso: Z Z

· ·

rot H n da = J n da (18.39)

S S

usando il teorema di Stokes:

I Z

· ·

H dl = J n da (18.40)

C S

Facendo tendere a zero l’altezza del circuito:

H H = J (18.41)

1t 2t s

dove J è una densità di corrente di conduzione superficiale.

s

18.7 Suscettività e permeabilità magnetica

M = χ H (18.42)

m

B = µH (18.43)

19

Induzione elettromagnetica

Indice

19.1 Legge Faraday–Neumann–Lenz . . . . . . . . . . 297

19.1.1 Forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

19.2 Flusso tagliato e flusso concatenato . . . . . . . 298

19.3 Autoinduttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

19.4 Mutua induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

19.4.1 Simmetria di M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Sappiamo come una corrente possa indurre campi magnetici. Vale anche

l’opposto, cioè una variazione di flusso del campo magnetico induce una

corrente.

Per esempio se avviciniamo un magnete ad una spira ferma nella spira si

genera una corrente indotta fig.19.1. Avvicinando una spira percorsa da

corrente ad una ferma si genera in quest’ultima una corrente indotta. In gen-

erale quando si modifica il flusso del campo magnetico si genera una corrente

indotta. La corrente indotta e la relativa fem indotta a sua volta genera un

campo magnetico opposto a quello esterno, che si oppone al cambiamento

del flusso del campo magnetico. 296

19.1. LEGGE FARADAY–NEUMANN–LENZ 297

I

N

S

Figura 19.1: magnete in movimento – spira ferma.

19.1 Legge Faraday–Neumann–Lenz

Legge 19.1 (Faraday–Neumann) Quando il flusso del vettore induzione

magnetica B concatenato con un circuito varia nel tempo, nel circuito si

induce una forza elettromotrice proporzionale alla variazione del flusso

Legge 19.2 (Lenz) In un sistema magnetico ogni variazione produce un’azione

che tende ad opporsi alla variazione stessa

Riassumendo la forza elettromotrice indotta:

Legge 19.3 (Faraday–Neumann–Lenz)

dΦ(B)

− (19.1)

fem = dt fem

dove il meno tiene conto della legge di Lenz, cioè la corrente indotta I = R

è tale da generare un campo magnetico che annulla la variazione del flusso

magnetico totale.

Notare che la fem esiste anche indipendentemente dalla presenza del

circuito, o di un conduttore.

19.1.1 Forma differenziale

Sappiamo che: I ·

fem = E dl (19.2)

C

298 CAPITOLO 19. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Allora: Z I

d

d −

− · ·

Φ(B) =

fem = B n da = E dl (19.3)

dt dt S C

Se il circuito è indeformabile possiamo portare la deriva sotto il segno di

integrale e usando il teorema di Stokes:

Z Z

∂B

− · ∇ × ·

n da = E n da (19.4)

∂t

S S ∂B

∇ × −

E = (19.5)

∂t 6

Se il campo magnetico è variabile nel tempo allora rot E = 0, segue che E

non è più conservativo.

19.2 Flusso tagliato e flusso concatenato

La legge di Faraday–Neumann–Lenz è una legge sperimentale, non deducibile

da altre leggi, tranne in un caso, il flusso tagliato, ovvero quando c’è un moto

relativo tra un circuito e una sorgente di campo magnetico.

Consideriamo un circuito rettangolare, in cui un lato sia mobile, in cui ci

sia un generatore di corrente continua. Ci sia un campo magnetico perpen-

dicolare alla superficie del circuito. Sulla sbarra mobile agisce una forza di

Lorentz: F = IBl (19.6)

Per la conservazione dell’energia la potenza del generatore V I in parte è

0

2

dissipata per effetto Joule RI e in parte per spostare la sbarra F v:

2

V I = RI + F v (19.7)

0

Se la sbarra fosse fissa l’ultimo addendo sarebbe nullo e l’intensità della

V = I , ora invece:

corrente sarebbe 0 0

R V Fv 1

0 = I = I + (19.8)

0

R I R

La corrente che circola è inferiore a I di:

0 Fv 1

I I = (19.9)

0 I R

è come se nel circuito oltre che alla forze elettromotrice V agisse una forza

0

elettromotrice V in senso opposto:

Fv ds dφ(B)

− −lBv −lB −

V = = = = (19.10)

I dt dt

19.3. AUTOINDUTTANZA 299

che è la legge di Faraday–Neumann–Lenz.

Nel caso di flusso concatenato invece sia il circuito in cui si induce la

corrente sia il circuito sorgente del campo magnetico sono fissi e la variazione

del flusso è dovuto a variazioni di corrente nel tempo. Questo caso non è

descrivibile con la forza di Lorentz, ma è un caso nuovo.

19.3 Autoinduttanza

In un circuito isolato il campo magnetico generato dal circuito è funzione

della corrente: B = B(I) (19.11)

quindi il flusso del campo magnetico:

Φ(B) = Φ(B(I)) (19.12)

cioè anch’esso è funzione della corrente la quale è funzione del tempo: I =

I(t), allora in questo caso, cioè se la variazione del flusso è data esclusivamente

da variazioni di corrente (per esempio il circuito è indeformabile), la legge

dell’induzione la possiamo scrivere: dΦ(B) dI

dΦ(B) −

− = (19.13)

fem = dt dI dt

Definizione 19.1 (autoinduttanza di un circuito)

dΦ(B)

L = (19.14)

dI

che è una caratteristica della geometria circuito, infatti:

0

× −

Z

µ dl (r r )

0

B(r) = I 3

4π 0

kr − k

r

C

in generale; il flusso: 0

× −

Z Z

µ dl (r r )

0 ·

I n da

Φ(B) = 3

4π 0

kr − k

r

S C

d

e la derivata nella corrente :

dI 0

× −

Z Z

dΦ(B) µ dl (r r )

0 ·

= n da

3

dI 4π 0

kr − k

r

S C

300 CAPITOLO 19. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

che dipende solo dalla geometria. La legge di Faraday–Neumann–Lenz in

questo caso si scrive: dI

−L (19.15)

fem = dt

L’autoinduttanza si misura in henry:

Wb Vs

H= = = Ωs

A A

Esempio 19.1 (autoinduttanza di un solenoide) Vogliamo calcolare l’au-

toinduttanza di un solenoide di lunghezza l, raggio R e con N spire per unità

di lunghezza. Il campo magnetico, nell’approssimazione di solenoide infinito

sarà 0 r>R (19.16)

B = µ N I r < R

0

Il flusso concatenato con una singola spira circolare risulta:

2

Φ = πR µ N I (19.17)

spira 0

il flusso concatenato con tutto il solenoide, cioè con N l spire:

2 2

Φ = N lΦ = µ N πR I (19.18)

spira 0

usando la definizione: dΦ 2 2 2

= N lΦ = µ N lπR = µ N V (19.19)

L = spira 0 0

dI

che in realtà vale anche nel caso la sezione non sia circolare essendo il campo

magnetico uniforme.

Esempio 19.2 (cavo coassiale) Consideriamo un cavo coassiale, cioè due

conduttori cilindrici coassiali con raggi a < b. I due conduttori sono percorsi

da correnti uguali ed opposte. Calcoliamo il campo magnetico all’interno,

tra i due cilindri. Consideriamo un cammino chiuso C circolare coassiale coi

cilindri di raggio r : a < r < b. Allora:

I I

µ 0

·

B dl = µI B = (19.20)

2π r

C

all’esterno del cavo invece la corrente concatenata totale è zero, B(r > b) =

0. Consideriamo una superficie S rettangolare di larghezza ∆l con la base

inferiore che poggia sul r = a e la base superiore su r = b. Il flusso di B:

Z ·

Φ (B) = B n da (19.21)

S S

19.4. MUTUA INDUTTANZA 301

ma B = B ê quindi è ortogonale a n:

θ b

b Z Z

Z µ I µ I∆l b

0 0

B drdz = ∆l

Φ (B) = dr = log (19.22)

S 2πR 2π a

a ∆l a

dΦ µ b

0

L = = ∆l log (19.23)

dI 2π a

l’autoinduttanza per unità di lunghezza è b

µ 0 log (19.24)

L = 2π a

19.4 Mutua induttanza

Consideriamo n circuiti separati percorsi da correnti. Il circuito j produrrà

un campo magnetico B il quale concatenerà il circuito i creando un flusso:

j

Φ cioè il flusso sul circuito i–esimo creato dal circuito j–esimo. Il flusso

ij

totale sul circuito i sarà: n

X

Φ = Φ (19.25)

i ij

j=1

e la forza elettromotrice sul circuito i:

n n n

dΦ dΦ dI dI

X X X

ij ij j j

− − −

fem = = = M (19.26)

i ij

dt dI dt dt

j

j=1 j=1 j=1

nel caso i circuiti siano indeformabili, cioè se le variazione di flusso siano

dovute solo da variazioni di corrente nel tempo.

Definizione 19.2 (coefficiente di mutua induttanza)

ij (19.27)

M =

ij dI

j

Naturalmente M = L (19.28)

ii i

302 CAPITOLO 19. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

19.4.1 Simmetria di M

La matrice M = M è simmetrica. Dobbiamo dimostrare che M = M .

ij ij ji

Limitiamoci a considerare due circuiti e dimostriamo M = M . Il primo

21 12

circuito genererà un flusso sul secondo: × −

Z

Z dl (r r )

1 2 1 ·

I n da (19.29)

Φ (B ) = 1 2 2

2 1 3

kr − k

r

S C 2 1

2 1 × −

Z Z dl (r r )

dΦ 1 2 1

2 · n da (19.30)

=

M = 2 2

21 3

dI kr − k

r

1 C

S 2 1

1

2

Usiamo la relazione: × · × ·

(A B) C = (B C) A (19.31)

Z Z r r

2 1 × ·

M = n dl da (19.32)

21 2 1 2

3

kr − k

r

S C 2 1

2 1

R R

· ·

Usando il teorema del rotore: F dl = rot F n da:

2

C S

Z Z r r

2 1 × ·

n n da da (19.33)

M = rot 2 1 1 2

21 1 3

kr − k

r

S S 2 1

2 1

Usiamo la relazione: × × · − ·

A (B C) = (A C) B (A B) C (19.34)

∇:

usando A =

Z Z r r

r r 2 1

2 1 − ·

M = div n n da da

(div n )

21 1 2 1 1 2

1 2 3 3

kr − k kr − k

r r

S S 2 1 2 1

2 1

Z Z r r

2 1

− ·

= div n n da da

2 1 1 2

1 3

kr − k

r

S S 2 1

2 1

Z Z r r

2 1 ·

= div n n da da

2 2 1 1 2

3

kr − k

r

S S 2 1

2 1

Z Z r r

r r 2 1

2 1 ·

+ div

= (div n ) n n da da

2 2 1 1 2

2 2 3 3

kr − k kr − k

r r

S S 2 1 2 1

2 1

Z Z r r

2 1 × ·

= rot n n da da

2 2 1 1 2

3

kr − k

r

S S 2 1

2 1 −

Z Z r r

2 1

× ·

= dl n = M

2 1 21

3

kr − k

r

S C 2 1

1 2 (19.35)

19.4. MUTUA INDUTTANZA 303

Esempio 19.3 (trasformatore) Consideriamo due bobine di lunghezza l e

sezione S avvolte su un unico materiale ferromagnetico percorse da correnti

I e I . Il campo magnetico B che le attraversa è uguale in modulo. Le due

1 2

bobine abbiano N e N spire per unità di lunghezza.

1 2

B = µ N I B = µ N I (19.36)

1 0 1 1 2 0 2 2

Il campo magnetico totale: B = B + B (19.37)

1 2

Supponiamo che le due bobine siano messe in modo tale che i due campi

siano paralleli: B = B + B (19.38)

1 2

2 2

L = µ N lS L = µ N lS (19.39)

1 0 2 0

1 2

d(µ N N I Sl)

dΦ (B ) 0 1 2 1

2 1 = = µ N N Sl (19.40)

M = 0 1 2

12 dI dI

1 1

dΦ(B) dΦ(B + B ) d (Φ(B ) + Φ(B ))

1 2 1 2

− − −

fem = = =

1 dt dt dt

dΦ(B ) dΦ(B ) dΦ(B ) dI dΦ(B ) dI

1 2 1 1 2 2 (19.41)

− − −

= =

dt dt dI dt dI dt

1 2

dI dI

1 2

−L M

= 12

1 dt dt

analogamente: dI dI dI dI

2 1 2 1

−L − −L −

fem = M = M (19.42)

2 2 21 2 12

dt dt dt dt

˙ ˙ ˙ ˙

2

fem L I + M I µ N lS I + µ N N Sl I

1 1 12 2

1 0 1 0 1 2 2

1

= = (19.43)

˙ ˙ ˙ ˙

fem 2

L I + M I µ N lS I + µ N N Sl I

2 2 2 12 1 0 2 0 1 2 1

2

˙ ˙

2

N I + N N I N

1 1 2 2 1

1

= = (19.44)

˙ ˙ N

2

N I + N N I 2

2 1 2 1

2 20

Circuiti

Indice

20.1 Reti resistive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

20.2 RLC serie continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

20.2.1 Scarica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

20.2.2 Carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

20.3 RLC serie alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

20.3.1 Soluzione stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

20.3.2 Soluzione transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

20.4 Cavi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

20.4.1 Propagazione dell’onda . . . . . . . . . . . . . . . 315

20.4.2 Rappresentazione a elementi concentrati . . . . . . 318

20.4.3 Impedenza caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . 319

Definizione 20.1 (circuito elettrico) Una rete o circuito elettrico è un

insieme di conduttori e generatori di forze elettromotrici collegati tra loro

20.1 Reti resistive

Una rete resistiva è una rete per la quale compaiono solo componenti passivi

resistivi. 304

20.2. RLC SERIE CONTINUA 305

Definizione 20.2 (nodo) Un nodo è un punto di connessione tra tre o più

elementi della rete

Definizione 20.3 (ramo) Un ramo è l’insieme degli elementi collegati in

serie posti tra due nodi

Definizione 20.4 (maglia) Una maglia è un percorso chiuso formato da

elementi della rete

Nel risolvere i circuiti, cioè determinare i valori delle correnti che attraversano

i componenti o nel determinare la caduta di potenziale su di essi, si usano le

leggi di Kirchhoff:

Legge 20.1 (legge dei nodi) La somma delle intensità delle correnti en-

tranti in un nodo è uguale alla somma delle intensità delle correnti uscenti

Legge 20.2 (legge delle maglie) La somma col segno delle forze elettro-

motrici in un maglia è uguale alla somma delle cadute di tensione di tutti gli

elementi della maglia

La prima legge esprime l’equazione di continuità la seconda la circuitazione

del campo elettrostatico.

20.2 RLC serie continua

20.2.1 Scarica

Immaginiamo di aver caricato il condensatore con una carica q , cui cor-

0

risponde una differenza di potenziale tra le armature ∆V e di chiudere il

0

circuito al tempo t = 0. Per la legge delle maglie:

dI(t) = ∆V (t) (20.1)

RI(t) + L dt

q

essendo ∆V = :

C dI q

RI + L =0 (20.2)

dt C

dq

derivando e tenendo conto che I = poiché la corrente positiva si genera

dt

per diminuzione di q sul condensatore:

2

d I dI I

L + R + =0 (20.3)

2

dt dt C

306 CAPITOLO 20. CIRCUITI

che è una semplice equazione differenziale omogenea:

1

2

Lλ + Rλ + =0

C

r 2

R R 1

− ± −

λ =

1/2 2

2L 4L LC

Introduciamo la costante di smorzamento:

R

γ = (20.4)

2L

e r 2

R 1

β = (20.5)

2

4L LC

la soluzione generale si scrive come

−(γ−β)t −(γ+β)t

I(t) = I e + I e (20.6)

1 2

a seconda che β sia reale, immaginario o nullo si hanno tre casi notevoli:

• β = 0, criticamente smorzato. Questo avviene quando:

1

γ = = ω (20.7)

0

LC

ω è la frequenza caratteristica del circuito. La soluzione diventa:

0 −γt

I(t) = (I + I t)e (20.8)

1 2

imponendo I(0) = 0: I(0) = I = 0

1 −γt

I(t) = I te (20.9)

2

per imporre q(0) = q dobbiamo andare a considerare l’equazione (20.2)

0

dove compare ancora q prima di derivare. Calcolandola per t = 0 e

0

considerando I(0) = 0: q

dI 0

L = (20.10)

dt C

t=0

andando a sostituire la nostra soluzione generale (20.9):

q q

0 0

−γt −γt 2

LI e γte = I = = q ω (20.11)

2 2 0 0

t=0 C LC

che porta alla soluzione particolare: −γt

2

I(t) = q ω te (20.12)

0 0

20.2. RLC SERIE CONTINUA 307

• β > 0 questo avviene quando: γ > ω (20.13)

0

e si parla di sottosmorzamento. Imponendo I(0) = 0 si trova ancora

−I

I = quindi:

1 2 −(γ+β)t −(γ−β)t

− (20.14)

I(t) = I e e

2

considerando che deve valere ancora la (20.10), sostituendo la soluzione

trovata (20.14): 2

q q ω

0 0 0

− −

I = = (20.15)

2 LC 2β

e la soluzione: 2

q ω

0 −γt −βt

0 βt

I(t) = e e e (20.16)

• ∈

β che si verifica quando:

C γ < ω (20.17)

0

e si parla di sottosmorzamento. La soluzione generale (20.6) in questo

caso diventa: −(γ−jω)t −(γ+jω)t

I(t) = I e + I e (20.18)

1 2

q 2

1 R

− −I

. Imponiamo I(0) = 0 che ci fornirà I = e la

con ω = 1 2

2

LC 4L

soluzione diventa: −(γ+jω)t −(γ−jω)t

I(t) = I e e (20.19)

2

considerando ancora la (20.10) 2

q q ω

q 0 0 0 0

− = j = j (20.20)

I =

2 2CjωL 2CLω 2ω

e la soluzione 2 2

q ω q ω

0 0

−(γ+jω)t −(γ−jω)t −jωt −γt

0 0 jωt

− −

I(t) = j e e = j e e e

2ω 2ω (20.21)

poiché

−jωt jωt

− −

j e e = j [(cos(−ωt) + j sin(−ωt)) (cos(ωt) + j sin(ωt))]

= 2 sin(ωt) (20.22)

308 CAPITOLO 20. CIRCUITI

2

q ω

0 −γt

0

I(t) = e sin(ωt) (20.23)

ω −γt

l’ampiezza delle oscillazioni sinusoidali è smorzata dal termine e .

Tutta l’energia all’infinito è dissipata per effetto Joule. Il tempo carat-

teristico dello smorzamento è 2L

1 = (20.24)

τ = γ R

Riassumendo: 2

q ω

 −t/τ

0

γ > ω e sinh(βt)

0

0 β

 −t/τ

2

I(t) = (20.25)

γ = ω q ω te

0 0 0

2

q ω

 −t/τ

0 e sin(ωt)

γ < ω

 0

0 ω

1

con τ = e β = jω.

γ

20.2.2 Carica

Per quanto riguarda la carica dalla legge delle maglie:

Q

˙

L I + RI + = V (20.26)

0

C

la trattazione è del tutto analoga a quella per la scarica:

γ = ω smorzamento critico:

0 −γt

2

I(t) = q γ te (20.27)

0

γ > ω sovrasmorzamento:

0 2

ω −(γ−β)t −(γ+β)t

0

I(t) = q e e (20.28)

0 2β

γ < ω sottosmorzamento:

0 −γt

I(t) = q e (γ cos(ωt) + ω sin(ωt)) (20.29)

0

20.3 RLC serie alternata

Consideriamo un circuito RLC in alternata. Il generatore fornirà ai suoi capi

una tensione: jωt

<(V

V (t) = V cos (ωt) = e ) (20.30)

0 0

20.3. RLC SERIE ALTERNATA 309

20.3.1 Soluzione stazionaria → ∞.

Calcoliamo la soluzione stazionaria, per esempio per t Calcoliamo

l’impedenza del circuito: 1

− + jωL = R + jX (20.31)

Z = Z + Z + Z = R j

R C L ωC

il cui modulo è s 2

1

2

|Z| − (20.32)

= R + ωL ωC

usando i numeri complessi si scrive come: jϕ

|Z|e

Z = (20.33)

con: 1

ωL

X ωC

ϕ = arctan = arctan (20.34)

R R

la corrente che circola nella serie:

jωt

V (t) V e V

V

0 0

0 j(ωt−ϕ)

< < −

<

I(t) = = e = cos(ωt ϕ)

=

|Z|e |Z| |Z|

Z (20.35)

quindi ai capi del resistore avremo una caduta di potenziale:

V

0 − −

V (t) = RI(t) = R cos(ωt ϕ) = V cos(ωt ϕ) (20.36)

R 0R

|Z|

con V l’ampiezza, pari a:

0R V R

0

V = R = V (20.37)

0R 0

q

|Z| 2

1

2 −

R + ωL ωC

ai capi dell’induttanza (con Z = jωL) una caduta di potenziale:

L

V V

π

0 0

j j(ωt−ϕ)

< − <

V (t) =< (Z I(t)) = jωL cos(ωt ϕ) = ωLe e

2

L L |Z| |Z|

ωL π

π

( )

ωt−ϕ+ −

=< V e = V cos ωt ϕ +

2

0 0L

|Z| 2 (20.38)

con: ωL ωL

V = V = V (20.39)

0L 0 0

q

|Z| 2

1

2 −

R + ωL ωC

310 CAPITOLO 20. CIRCUITI

j

− ):

mentre ai capi del condensatore (Z =

C ωC

j V 1 V

π

0 0

−j j(ωt−ϕ)

< − − <

V (t) =<(Z I(t)) = cos(ωt ϕ) = e e

2

C C |Z| |Z|

ωC ωC

1 π

π

( )

j ωt−ϕ− − −

=< V e = V cos ωt ϕ

2

0 0C

|Z|ωC 2 (20.40)

con: 1 1

V = V (20.41)

V =

0C 0

0 q

|Z|ωC 2

1

2 −

ωC R + ωL ωC

Occupiamoci delle ampiezze. Riassumiamo:

R

V = V (20.42a)

0R 0

q 2

1

2 −

R + ωL ωC

ωL V (20.42b)

V = 0

0L q 2

1

2 −

R + ωL ωC

1

V = V (20.42c)

0C 0

q 2

1

2 −

ωC R + ωL ωC

V

0

I = (20.42d)

0 q 2

1

2 −

R + ωL ωC

Vogliamo trovare qual è quella frequenza ν che rende massima la corrente:

0

32

!

2

1

d 1 1

2 − −

I =0 R + ω L ω L L + =0

0 0

0 2

dω ω C ω C ω C

0 0 0

ω=ω 0 1 1

√ √

ω = ν = (20.43)

0 0

LC 2π LC 2

4L

che è effettivamente un massimo (la derivata seconda in ω vale ). Quan-

0 2

R

do ω = ω si parla di risonanza del circuito. Possiamo anche valutare quando

0

abbiamo i massimi per V e V :

0L 0C

p 2

−2C(R −

C 2L)

ω = (20.44)

0C 2CL

2

ω = (20.45)

0L 2 2

−2R C + 4CL

20.3. RLC SERIE ALTERNATA 311

Il valore massimo per l’ampiezza del potenziale nell’induttanza è uguale a

quello per il capacitore: 2L

V (ω ) = V (ω ) = V (20.46)

√ √

0L 0L 0C 0C 0

q 2

4L−CR

2

−CR

C + 2LR 2

−CR +2L

mentre naturalmente il valore massimo che assume V è

0R

V (ω ) = V (20.47)

0R 0 0

quando ω = ω V e V sono uguali:

0 0L 0C √ L

√ V (20.48)

V (ω ) = V (ω ) = 0

0L 0 0C 0 CR

per quanto riguarda i limiti:

lim V = 0 lim V = 0 (20.49a)

0R 0R

ω→∞

+

ω→0 V = 0 lim V = V (20.49b)

lim 0L 0L 0

ω→∞

+

ω→0

lim V = V lim V = 0 (20.49c)

0C 0 0C

ω→∞

+

ω→0

Per quanto riguarda le differenze di fase dei potenziali rispetto al poten-

ziale del generatore: 1

ωL ωC

φ = ϕ = arctan (20.50a)

R R 1

ωL

π π

ωC

− −

= arctan (20.50b)

φ = ϕ

L 2 R 2

1

ωL π

π ωC

φ = ϕ + = arctan + (20.50c)

C 2 R 2

Cerchiamo il caso in cui non si ha sfasamento ai capi del resistore rispetto al

generatore: 1

ωL ωC

0 = φ = arctan

R R

1

ω = = ω (20.51)

0

LC

312 CAPITOLO 20. CIRCUITI

quindi solo alla frequenza di risonanza non si ha sfasamento sul resistore. I

limiti: π π

lim φ = lim φ = (20.52a)

R R

2 2

ω→∞

+

ω→0 −π

lim φ = lim φ = 0 (20.52b)

L L

ω→∞

+

ω→0

lim φ = 0 lim φ = π (20.52c)

C C

ω→∞

+

ω→0

Introduciamo la grandezza coefficiente di smorzamento γ:

2 V

0R

V

0L

1.5 V

0C

V

0

1

0.5

0 0 1 2 3 4

ω/ω

0

pi

pi/2

0 sfasamento R

−pi/2 sfasamento L

sfasamento C

−pi, 0 1 2 3 4

ω/ω

0

Figura 20.1: Andamento delle ampiezze in funzione della frequenza e

differenze di fase in funzione delle frequenza.

R

γ = (20.53)

2L

e il fattore di merito o di qualità Q :

0 ω

0

Q = ω LR = (20.54)

0 0 2γ

Dividiamo in tre casi notevoli:

20.3. RLC SERIE ALTERNATA 313

ω = ω

0

1

− + jωL = R (20.55)

Z = R j ωC ω=ω 0

X

ϕ = arctan =0 (20.56)

R X=0

V V

0 0

I = cos (ωt ϕ) = cos(ωt) = I cos(ωt) (20.57)

0

|Z| R

V = V (20.58)

0R 0

V ω

0 0

|Z |

V = I = ω L = V = Q V (20.59)

0L 0 L 0 0 0 0

R 2γ

V 1 ω

0 0

|Z |

V = I = = V = Q V (20.60)

0C 0 C 0 0 0

R ω C 2γ

0

ω ω

0 1 1

− ' −

Z = R j + jωL j (20.61)

ωC ωC

X π

' = (20.62)

ϕ arctan R 2

+

R=0 ,X<0

V

0

I = = ωCV (20.63)

0 0

|Z| ω V 0

'

V I R = RωCV = (20.64)

0R 0 0 ω Q

0 0

2

ω

2

' |Z |

V I = ω LCV = V (20.65)

0

0L 0 L 0 2

ω

0

1

' |Z |

V I = ωCV = V (20.66)

0C 0 C 0 0

ωC

314 CAPITOLO 20. CIRCUITI

ω ω

0 1

− '

Z = R j + jωL jωL (20.67)

ωC

X π

'

ϕ arctan =+ (20.68)

R 2

+

R=0 ,X>0

V V

0 0

I = = (20.69)

0 |Z| ωL

R 2γ ω V

0 0

'

V I R = V = V = (20.70)

0R 0 0 0

ωL ω ω Q

V

0

' |Z | ωL = V (20.71)

V I = 0

0L 0 L ωL 2

V 1 1 ω

0 0

' |Z |

V I = = V = V (20.72)

0C 0 C 0 0

2 2

ωL ωC ω LC ω

Ampiezza di banda

La frequenza ω è un punto, che essendo un punto è impossibile da raggiun-

0

gere. Quello che vogliamo è che il massimo della caduta di potenziale sulla

resistenza sia “largo” in modo tale che se la nostra frequenza non è precisa-

mente ω abbiamo lo stesso risonanza. Scriviamo l’intensità di corrente in

0 ω L :

funzione di Q = 0

0 R V

0

V

0 R

I = = (20.73)

0 r

|Z| 2

2

2 −ω

ω

20

1 + Q 0

ωω

0

mentre l’ampiezza della caduta sul resistore:

V R

0

V = I R = R = V (20.74)

0R 0 0

|Z| |Z|

interessante è il rapporto: 1

R = (20.75)

r

|Z| 2

2

2 −ω

ω

20

1 + Q 0

ωω

0

Indichiamo con ω e ω i punti di potenza dimezzata, cioè quei valori per

1 2 R 1

diventa del suo massimo. Il massimo si ha

cui il valore del rapporto √

|Z| 2

quando ω = ω e il valore massimo vale 1. Quindi la condizione si ha quando:

0 2

2 2

ω ω 0

20

Q =1 (20.76)

ωω

0

20.4. CAVI COASSIALI 315

le soluzioni positive sono: p 2

20

2

± ω

+ 4Q

ω

+ 0

0 (20.77)

ω =

1,2 2Q

0

quindi l’ampiezza di banda ∆ω: ω

0

∆ω = ω ω = (20.78)

1 2 Q

0

1

inversamente proporzionale a Q .

0

20.3.2 Soluzione transitoria

Supponiamo che il generatore venga acceso all’istante t = 0. Per la seconda

legge di Kirchhoff: q

dI + (20.79)

ε = RI + L dt C

derivando: 2

dε dI d I I

= R + L + (20.80)

2

dt dt dt C

20.4 Cavi coassiali

Il cavo coassiale è costituito da filo conduttore coassiale con un conduttore

cilindrico cavo. Tra i due conduttori è posto del dielettrico.

20.4.1 Propagazione dell’onda

Sia a il raggio del conduttore interno, b quello del dielettrico con permeabilità

'

magnetica trascurabile (µ 1) e permittività dielettrica relativa . Lavo-

r r

riamo con l’approssimazione di cavo infinito e orientiamo il cavo in modo che

abbia l’asse z coassiale. Consideriamo:

div D = ρ (20.81)

e una superficie cilindrica S coassiale, con basi di raggio r e di coordinate z

e z + ∆z (Fig.20.2) Calcoliamo D, che per simmetria è radiale. Con Gauss

1 Q è chiamato fattore di merito perché nelle applicazioni è utile avere un’ampiezza di

0

banda stretta e quindi un Q alto; spesso i resistori nei circuiti RLC non sono presenti e

0

la resistenza è data dall’avvolgimento dell’induttanza e quindi Q diventa un parametro

0

relativo all’induttanza

316 CAPITOLO 20. CIRCUITI

S

delta z

Figura 20.2: cavo coassiale.

D2πr∆z = q = λ∆z λ(z, t)

D(z, t) = (20.82)

2πr

con λ densità lineare di carica.

Usiamo ora l’equazione: ∂D (20.83)

rot H = J + ∂t

e consideriamo un cammino circolare di raggio r coassiale, perpendicolare a

z e la superficie S che lo delimita 20.3. C

r

Figura 20.3: sezione di cavo coassiale.

I

Z Z Z ∂D

· · · ·

rot H n da = J n da + n da = H dl = 2πrH (20.84)

∂t

S S S C

R

· ·

ma D n = 0 perché D = D e

ˆ e J n da = I. Allora:

r S I(z, t)

H(z, t) = (20.85)

2πr

con I la corrente che scorre nel cavo interno.

Consideriamo ora un circuito rettangolare posto nel piano radiale di lati

∆r e ∆z (fig. 20.4). Usiamo l’equazione:

20.4. CAVI COASSIALI 317

C2

C1

Figura 20.4: percorsi.

∂B

− (20.86)

rot E = ∂t

Facendo il flusso e applicando Stokes:

I Z

d

· − ·

E dl = B n da (20.87)

dt

C S ∂E(z)

ovvero (approssimando E(z + ∆z) = E(z) + ∆z):

∂z

∂B

∂E − −

∆z ∆r E(z, t)∆r = ∆z∆t (20.88)

E(z, t) + ∂z ∂t

Semplificando: ∂E ∂B

− (20.89)

∂z ∂t

Se ora usiamo il circuito C posto in un piano perpendicolare alla direzione

2

radiale e usiamo ∂D (20.90)

rot H = J + ∂t

Facendo attenzione ai segni e alle direzioni delle normali e notando che J è

parallelo alla superficie:

∂H ∂D

− −

H(z)∆r H(z) ∆z ∆r = ∆r∆z (20.91)

∂z ∂t

ovvero: ∂H ∂D

= (20.92)

∂z ∂t

Derivando la (20.89) rispetto a z, usando la (20.92), e B = µH e D = εE:

2 2

∂ E ∂ ∂B ∂ ∂H ∂ ∂D ∂ E

− −µ

= = = µ = εµ (20.93)

2 2

∂z ∂z ∂t ∂t ∂z ∂t ∂t ∂t

se invece facciamo la stessa cosa partendo dalla (20.92):

2 2

∂ H ∂ ∂D ∂ ∂E ∂ ∂B ∂ H

− −ε

= = = ε = εµ (20.94)

2 2

∂z ∂z ∂t ∂t ∂z ∂t ∂t ∂t

318 CAPITOLO 20. CIRCUITI

Che è l’equazione di un’onda con velocità

1

v = (20.95)

εµ

λ(z,t)

Usando la (20.82): D(z, t) = :

2πr

2 2

∂ λ ∂ λ

1

= (20.96)

2 2 2

∂z v ∂t

e la soluzione è del tipo: ±

λ(z, t) = ψ(z vt) (20.97)

Ipotizziamo che all’estremità del cavo sia applicata una differenza di

potenziale V : V = ϕ(t) (20.98)

fissando z la differenza di potenziale tra il conduttore esterno e quello interno

vale: b

b b Z

Z Z λ(z, t) λ(z, t) b

1 ·

· D dr = dr = log (20.99)

V (z, t) = E dr = ε 2επr 2πε a

a

a a

2πε

la quantità è la capacità C per unità di lunghezza di un condensatore

b

log a

cilindrico, come un questo caso. λ(z, t)

V (z, t) = (20.100)

C

quindi anche la differenza di potenziale è un’onda. Inoltre anche la corrente

I rispetta l’equazione delle onde.

20.4.2 Rappresentazione a elementi concentrati

Si può dimostrare che un cavo coassiale si comporta come un circuito formato

dal ripertersi di una certa combinazione di elementi concentrati.

La resistenza R per unità di lunghezza tiene conto della perdita di tensione

sul cavo. La capacità C per unità di lunghezza è quella del cilindro, usata

nel paragrafo precedente. La conduttanza G tiene conto delle perdite sul

condensatore attraverso il dielettrico.

20.4. CAVI COASSIALI 319

20.4.3 Impedenza caratteristica

L’impedenza caratteristica Z è quell’impedenza tale che inserita come carico

0

risulta uguale all’impedenza della linea. −1

" #

1 1

Z 1 + +

Z = (20.101)

0 Z

2 Z + Z

1

2 0

2

s 2

Z

1 + Z Z (20.102)

Z = 2 1

0 2

s 2

(∆x)

R + jωL 2

+ (R + jωL) (20.103)

Z =

0 G + jωC 4

ma gli elementi sono concentrati, quindi ∆x 0:

s R + jωL (20.104)

Z =

0 G + jωC

Una linea non dissipativa è tale che R = 0 e G = 0, quindi:

r L

Z = (20.105)

0non dissipativa C

in questo caso l’impedenza è reale. Un altro caso in cui l’impedenza è reale

è il caso di linea bilanciata: R G

= (20.106)

L C r L

Z = (20.107)

0bilanciata C 21

Campo elettromagnetico

Indice

21.1 Corrente di spostamento . . . . . . . . . . . . . . 321

21.1.1 Calcolo correnti di spostamento . . . . . . . . . . . 322

21.2 Equazioni di Maxwell complete . . . . . . . . . . 323

21.2.1 Equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . 323

21.3 Conservazione dell’energia elettromagnetica . . 324

21.4 Quantità di moto elettromagnetica . . . . . . . . 325

21.5 Potenziali del campo elettromagnetico . . . . . . 327

~

21.5.1 Equazioni per A e ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

21.6 Equazione generale delle onde . . . . . . . . . . . 329

Riassumiamo i risultati finora ottenuti. Le relazioni costitutive della ma-

teria descrivono ogni materiali dal punto di vista di conduttore, dielettrico e

magnetico: ⇒

J = σE (21.1a)

D = ε E (21.1b)

B = µH (21.1c)

320

21.1. CORRENTE DI SPOSTAMENTO 321

A queste vanno aggiunte le equazioni di Maxwell fin’ora ricavate:

div D = ρ (21.2a)

∂B

− (21.2b)

rot E = ∂t

div B = 0 (21.2c)

rot H = J (21.2d)

Hanno una struttura asimmetrica, soprattutto nei rotori, se il rotore di E

è influenzato dalla variazione di B nel tempo ci si aspetterebbe che anche

il rotore di B sia influenzato dalla variazione di E nel tempo. Sappiamo

dall’equazione di continuità ∂ρ

div J + =0 (21.3)

∂t

vediamo se è compatibile con le equazioni di Maxwell.

∂ρ

6 −

div J = div rot H = 0 = (21.4)

∂t

perché la divergenza di un rotore è sempre nulla. L’equazione di continuità

non è compatibile con le nostre equazioni. È compatibile se e solo se div J = 0

∂ρ = 0 ovvero se la corrente è stazionaria. Concludiamo che le relazioni

cioè se ∂t

fino ad ora esposte valgono solo nel caso stazionario.

21.1 Corrente di spostamento

S S 2

1

I C

Facciamo il ragionamento di Faraday. Come è possibile che la corrente

passi in un condensatore essendoci tra le due lastre un dielettrico non condut-

tore, al limite il vuoto? Immaginiamo un condensatore. Sia S una superficie

1

322 CAPITOLO 21. CAMPO ELETTROMAGNETICO

piana, ortogonale al verso della corrente entrante che la concatena. Sia S

2

invece una superficie che poggia su S e che concatena la regione tra le ar-

1

mature. Calcoliamo le circuitazioni di H lungo i bordi della superfici (che

coincidono) con il teorema di ampere:

I Z

· ·

H dl = J n da = I (21.5)

C S

1

perché concatena la corrente I, usando l’altra superficie:

Z

I · ·

H dl = J n da = 0 (21.6)

C S

2

C’è una contraddizione. Faraday introduce le correnti di spostamento J che

s

chiudono il circuito. Essendo div D = ρ allora in questo caso, all’interno del

condensatore: D = σ(t)

con σ la densità di carica sulle armature del condensatore. Il flusso all’interno

del condensatore: φ(D) = Sσ(t) = q(t)

Derivando nel tempo: dq

∂φ(D) = (t) = I(t)

∂t dt

∂D = J S

∂t

21.1.1 Calcolo correnti di spostamento

Partiamo dall’equazione di continuità che sicuramente è giusta:

∂ρ ∂ ∂D

− − −

div J = = div D = div (21.7)

∂t ∂t ∂t

Portando tutto in un’unica divergenza:

∂D

div J + =0 (21.8)

∂t

Il termine in più che è comparso è la corrente di spostamento:

∂D = J (21.9)

S

∂t

L’equazione di Ampere diventa allora: ∂D

rot H = J + (21.10)

∂t ∂D

che soddisfa anche il caso stazionario, perché = 0 e ci si riconduce

∂t

all’equazione precedente.

21.2. EQUAZIONI DI MAXWELL COMPLETE 323

21.2 Equazioni di Maxwell complete

Le equazioni di Maxwell che descrivono tutto l’elettromagnetismo sono di-

1

ventate: div D = ρ (21.11a)

∂B

rot E = (21.11b)

∂t

div B = 0 (21.11c)

∂D

rot H = J + (21.11d)

∂t

considerando anche le relazioni costitutive abbiamo 16 incognite e 17 equazioni,

le equazioni non sono indipendenti; possiamo considerare indipendenti quelle

che contengono le sorgenti ρ, J : div D = ρ (21.12)

∂D (21.13)

rot H = J + ∂t

L’ultima può essere riscritta tenendo conte che D = ε E + P :

0

∂E ∂P

rot H = ε + + J (21.14)

0 ∂t ∂t

Si notano tre densità di correnti, una di cariche libere J , mentre la corrente

∂E ∂P

di spostamento è divisa in ε e che è presente solo nei dielettrici.

0 ∂t ∂t

21.2.1 Equazione di continuità

L’equazione di continuità è già contenuta nelle equazioni di Maxwell:

∂D ∂ ∂ρ

div rot H = div J + = div J + div D = div J + = 0 (21.15)

∂t ∂t ∂t

1 nel sistema CGS doppio simmetrico di Gauss le stesse equazioni si scrivono come:

div D = 4πρ

1 ∂B

rot E = c ∂t

div B = 0

1 ∂D 4π

rot H = + J

c ∂t c

324 CAPITOLO 21. CAMPO ELETTROMAGNETICO

21.3 Conservazione dell’energia elettromag-

netica

Consideriamo un volume V contenuto nella superficie S all’interno del quale

ci sia un campo elettrico E(r, t) e un campo magnetico B(r, t) variabili nel

tempo. Sia N il numero di cariche q per unità di volume con velocità v, la

forza nell’unità di volume sulle cariche è

dF ×

= N q (E + v B) (21.16)

f = dV

La potenza nel volume:

dP J

· × · · · ×

f v = = N q (E + v B) v = N qE v + N qv (v B) (21.17)

dV · ·

= N qv E = J E

Come doveva essere il campo magnetico non compie lavoro. La potenza

dissipata per effetto Joule la ricaviamo integrando:

Z ·

P = J E dv (21.18)

J V

∂D

Essendo J = rot H e usando:

∂t × · − ·

div (E H) = H rot E E rot H

Z Z ∂D

· − ·

P = J E dv = E rot H E dv

J ∂t

V V Z

Z Z ∂D

× − ·

− div (E H) dv + H rot E dv E dv

= ∂t

V

V

V (21.19)

Z Z ∂D

∂B

− × · − · ·

= (E H) n da H + E dv

∂t ∂t

S V

Z Z 1

∂ 1

− · − · ·

= S n da (H B) + (E D) dv

∂t 2 2

S V

Avendo usato il teorema della divergenza, definito il vettore di Poynting:

×

S = E H (21.20)

che si misura in Wm. Nell’ultimo passaggio abbiamo usato:

∂ 1 ∂ ∂D

1 2 ·

· εE = E

(E D) = (21.21)

2 ∂t 2 ∂t ∂t

21.4. QUANTITÀ DI MOTO ELETTROMAGNETICA 325

e analogamente: 1 ∂ ∂B

· ·

(H B) = H (21.22)

2 ∂t ∂t

· ·

Essendo w = E D l’energia elettrica e w = H B quella magnetica si ha:

e h

Z

Z Z ∂

∂ · −

− · − S n da

w dv = W dv (21.23)

P = S n da em em

J ∂t ∂t

S

S V

con w = w + w la densità di energia elettromagnetica. Si ottiene infine:

em e h Z

∂W em ·

= P + S n da (21.24)

J

∂t S

dove W è l’energia elettromagnetica. Si deduce che la potenza è dissipata

em

per due fattori: l’effetto Joule P e l’irraggiamento attraverso la superficie.

J

21.4 Quantità di moto elettromagnetica

M

In un sistema meccanico isolato la quantità di moto G è una costante del

moto e vale: M

dG (21.25)

F = dt

in un sistema elettromagnetico la quantità di moto delle particelle cariche

non è una costante del moto.

Consideriamo un volume V in cui agiscono i campi B e E su una dis-

tribuzione di carica ρ(r). La densità di forza:

×

f = ρ (E + v B) (21.26)

vogliamo calcolare la forza totale: Z

F = f dv (21.27)

usando: ∂D

rot H = J + (21.28)

∂t ∂D

J = N qv = ρv = ρH (21.29)

∂t

div D = ρ (21.30)

326 CAPITOLO 21. CAMPO ELETTROMAGNETICO

l’equazione (21.26) diventa: ∂D

× − ×

f = E div D + rot H B B (21.31)

∂t

a questa espressione possiamo aggiungere H div B = 0 e sostituire:

∂D ∂ ∂B ∂

× × × × − ×

B = (D B) + D = (D B) rot E D (21.32)

∂t ∂t ∂t ∂t ∂

× × − ×

f = E div D + H div B + rot H B + rot E D (D B) (21.33)

∂t

| {z }

0 × ×

se indichiamo con Σ = E div D + H div B + rot H B + rot E D la forza

si scrive come: Z Z

− × Σ dv (21.34)

F = (D B) dv +

∂t V

si può dimostrare che il secondo integrale si annulla:

Z

− ×

F = (D B) dv (21.35)

∂t V

Dato che vale: M

∂G

F = (21.36)

∂t

Z

M ×

G + (D B) dv = const (21.37)

V

che è dunque constante del moto. Definiamo:

Definizione 21.1 (quantità di moto elettromagnetica)

Z

em ×

G = (D B) dv (21.38)

V

detta anche impulso elettromagnetico.

possiamo definire anche una densità di quantità di moto elettromagnetica:

1

× ×

g = (D B) = εµ (E H) = εµS = S (21.39)

2

c

21.5. POTENZIALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO 327

21.5 Potenziali del campo elettromagnetico

Poiché la divergenza di B è nulla esiste un vettore A detto potenziale

magnetico tale che: B = rot A (21.40)

e allora l’equazione di Maxwell per il rotore di E diventa:

∂ (rot A) ∂A

∂B − −

− = = rot (21.41)

rot E = ∂t ∂t ∂t

portando tutto in un unico rotore:

∂A

rot E =0 (21.42)

∂t

∂A

scopriamo che il campo E è irrotazionale e quindi ammette potenziale

∂t

scalare, cioè esiste ψ scalare tale che:

∂A

− −

E = grad ψ = grad ϕ (21.43)

∂t

ϕ lo chiamiamo potenziale scalare o potenziale elettrico. Conoscendo i poten-

ziali i campi sono: ∂A

− (21.44)

E = grad ϕ + ∂t

B = rot A (21.45)

I potenziali A e ϕ non sono univocamente determinati. È utile introdurre

la condizione di Lorentz ∂ϕ

div A + εµ =0 (21.46)

∂t

~

21.5.1 Equazioni per A e ϕ

Usando la (21.43) nel teorema di Gauss:

∂A −

ρ = div D = ε div E = ε div div grad ϕ (21.47)

∂t

∂A ∂ ρ

2 2

− − ∇ − − ∇

div ϕ = div A ϕ = (21.48)

∂t ∂t ε

∂ϕ

−εµ

usando la condizione di Lorentz (21.46) (div A = ):

∂t

2

∂ ϕ ρ

2

∇ − −

ϕ εµ = (21.49)

2

∂t ε

328 CAPITOLO 21. CAMPO ELETTROMAGNETICO

Si può dimostrare una cosa analoga anche per A partendo dal rotore di H:

∂D ∂ ∂A

1 − −

rot rot A = + J = ε grad ϕ + J (21.50)

rot H = µ ∂t ∂t ∂t

avendo usato le (21.43) e (21.40). Poiché

∇ × × ∇ · − · ∇)

(∇ u) = (∇ u) (∇ u (21.51)

si ottiene: 2

∂ϕ ∂ A

2

∇ −

grad div A + εµ = A εµ + µJ (21.52)

2

∂t ∂t

e usando la condizione di Lorentz (21.46):

2

∂ A

2

∇ − −µJ

A εµ = (21.53)

2

∂t

Le due equazioni trovate si possono scrivere usando l’operatore dalembertiano

: 2

2

∇ − (21.54)

= εµ

2

∂t

ρ

ϕ = (21.55)

ε

−µJ

A = (21.56)

Le soluzioni di queste equazioni sono: [ρ]

Z

1 r

t− v

ϕ(r, t) = dv (21.57)

4πε r

V [J ]

Z

µ r

t− v

A(r, t) = dv (21.58)

4π r

V (21.59)

1 indica il valore della funzione tra parentesi al tempo

con v = e [ ]

√ r

t−

εµ v

r

t . Questo sta a significare che una perturbazione elettromagnetica si

v

propaga nello spazio a velocità finita v. Gli effetti dei potenziali si fanno

sentire con un certo ritardo, e ϕ e A si dicono potenziali ritardati.

21.6. EQUAZIONE GENERALE DELLE ONDE 329

21.6 Equazione generale delle onde

Vogliamo trovare le equazioni per i campi E e H in assenza di sorgenti, o

meglio supponendo che le uniche sorgenti siano le correnti indotte dal campo

elettrico (ρ = 0, J = σE). Consideriamo l’equazione di Maxwell:

∂D

rot H = J + ∂t

applichiamo il rotore: ∂D ∂

rot rot H = rot J + rot = σ rot E + ε rot E

∂t ∂t

avendo sostituito D = εE e J = σE. Sostituendo il rotore di E:

∂B ∂H

− −µ

rot E = =

∂t ∂t

avendo usato l’equazione di Maxwell e la relazione B = µH.

2

∂ H

∂H

−σµ + εµ

rot rot H = 2

∂t ∂t

2

− ∇

Usando rot rot H = grad div H H: 2

∂H ∂ H

2 −

− ∇ −σµ εµ (21.60)

grad div H H = 2

∂t ∂t

1

Consideriamo un mezzo omogeneo, quindi div H = div B = 0 allora:

µ

2

∂ H ∂H

2

∇ − −

H εµ σµ =0 (21.61)

2

∂t ∂t

Se applichiamo lo stesso procedimento al campo E e supponiamo che ρ = 0

allora: 2

∂ E ∂E

2

∇ − −

E εµ σµ =0 (21.62)

2

∂t ∂t

Le ultime due equazioni rappresentano le equazioni delle onde elettromag-

netiche in propagazione libera (ρ = 0) in un mezzo omogeneo conduttore.

Se supponiamo che il mezzo non sia conduttore, cioè σ = 0 le ultime due

equazioni si scrivono come: 2

∂ H

2

∇ −

H εµ =0 (21.63)

2

∂t

2

∂ E

2

∇ −

E εµ = 0 (21.64)

2

∂t

330 CAPITOLO 21. CAMPO ELETTROMAGNETICO

oppure: = 0 (21.65)

H = 0 (21.66)

E

Le soluzioni delle equazioni ricavate non sono necessariamente soluzioni delle

2

equazioni di Maxwell da cui sono state ricavate . Occurre quindi sostituire le

soluzioni delle equazioni delle onde nelle equazioni di Maxwell e vedere quali

condizioni bisogna imporre affinché siano effettivamente soddisfatte.

2 −

Si pensi all’elevamento al quadrato: x 1 = 0, manipolando l’equazione posso arrivare

2

− ±1.

a (x 1) = 0 che ha come soluzione x = Per accertarci quale delle due soluzioni sia

anche soluzione della prima equazione dobbiamo sostituirle al suo interno.

22

Ottica

Indice

22.1 Riflessione e rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . 331

22.2 Ottica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

22.2.1 Soluzione diconale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

22.3 Dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

22.3.1 Oscillatore armonico elettronico . . . . . . . . . . . 336

22.1 Riflessione e rifrazione

Usiamo le condizioni al contorno per ricavare l’espressione delle onde riflesse

e trasmesse tra due dielettrici. Il piano di separazione sia il piano xy. Sia

(i)

E il vettore campo elettrico associato all’onda incidente. Sia la direzione

ω û. Sia θ l’angolo di incidenza,

di propagazione individuata dal vettore k = v 1

cioè quello tra la normale e il vettore k. Sia yz il piano di incidenza, cioè il

piano contenente la normale e la direzione di propagazione. I coseni direttori

di û sono: α = 0 α = sin θ α = cos θ (22.1a)

x y z

k = k û = k(α ı̂ + α ̂ + α k̂) (22.1b)

x y z

il campo elettrico è allora:

(i) (i)

(i) j(ωt−k·r) j(ωt−k(y sin θ+z cos θ))

E = E e = E e (22.2)

0 0

331

332 CAPITOLO 22. OTTICA

z (r)

k

k θ r

θ y

θ

t (t)

k

Figura 22.1: Onda incidente, riflessa e trasmessa

le componenti: (i)

(i) j(ωt−k(y sin θ−z cos θ))

E = E e (22.3a)

0

x x

(i) j(ωt−k(y sin θ−z cos θ))

(i) e (22.3b)

E = E

0

y y

(i)

(i) j(ωt−k(y sin θ−z cos θ))

E e (22.3c)

= E

0

z z

(r)

Dell’onda riflessa E non sappiamo nulla, sappiamo solamente che viaggia

(t)

nel mezzo dell’onda incidente. Analogo discorso per l’onda trasmessa E .

Supponiamo che siano onde piane monocromatiche:

(r) (r) (r)

(r) (r)

j ω t−k xα +yα +zα

(r)

(r) x y z

E = E e (22.4a)

0

(t) (t) (t)

(r) (r)

j ω t−k xα +yα +zα

(t)

(t) x y z

E = E e (22.4b)

0

La condizione al contorno per il campo elettrico è:

E = E (22.5)

1 2

tg tg

cioè la componente tangenziale deve variare con continuità nel nostro caso

significa che le componenti tangenziali dell’onda incidente più quella riflessa

devono essere uguali alla componente tangenziale dell’onda trasmessa. Le

componenti tangenziali sono le componenti x e y:

(i) (r) (t)

E (x, y, 0) + E (x, y, 0) = E (x, y, 0) (22.6a)

x x x

(i) (r) (t)

E (x, y, 0) + E (x, y, 0) = E (x, y, 0) (22.6b)

y y y

22.2. OTTICA GEOMETRICA 333

ovvero: h i h i

(r) (r) (t) (t)

(r) (r) (t) (t)

j ω t−k (xα +yα ) j ω t−k (xα +yα )

(i) (r) (t)

j[ωt−k(yα )] x y x y

E e + E e = E e

y

0 0 0

x x x (22.7a)

h i h i

(r) (r) (t) (t)

(r) (r) (t) (t)

j ω t−k (xα +yα ) j ω t−k (xα +yα )

(i) (r) (t)

j[ωt−k(yα )] x y x y

E e + E e = E e

y

0 0 0

y y y (22.7b)

∀t,

questa relazione deve valere x, y segue che:

(r) (t)

ω = ω = ω (22.8a)

(r) (r) (t) (t)

kα = k α = k α = 0 (22.8b)

x x x

(t) (t)

(r) (r) (22.8c)

= k α

kα = k α

y y

y

L’equazione (22.8a) dice che le frequenze delle onde non cambiano, la (22.8b)

(r) (t)

che i raggi giacciono tutti nello stesso piano (cioè che α = α = α = 0).

x x

x

Usando l’ultima equazione, con il fatto che ω è lo stesso per tutte le onde,

l’onda riflessa: ω (r)

k = = k

v

1

(r)

quindi k = k e allora: (r)

α = α

y y

che, unita al fatto che i raggi giacciono nello stesso piano, è la legge di Snell

per la riflessione: (r)

θ = θ (22.9)

Per l’onda rifratta: ω 1

ω 1

(t) (t)

α = α sin θ = sin θ

y y

v v v v

1 2 1 2

c

usando v = troviamo la legge di Snell (chiamiamo l’onda trasmessa onda

n

2): v n

sin θ 1 1 2

= = = n (22.10)

12

sin θ v n

2 2 1

rimarrebbe solo da determinare le ampiezze delle onde.

22.2 Ottica geometrica

L’ottica geometrica è l’appossimazione all’ordine zero. Consideriamo il caso

generale di un mezzo disomogeneo:

n = n(r) (22.11)

334 CAPITOLO 22. OTTICA

L’equazione differenziale per una componente di un’onda f (r, t):

2

∂ f (r, t)

2

∇ −

f (r, t) εµ =0 (22.12)

2

∂t

Scriviamo f come: −jωt

f (r, t) = u(r)e (22.13)

sostituendo nell’equazione differenziale:

1 −jωt

−jωt 2

2

∇ ω e u(r) = 0 (22.14)

e u(r) + 2

v (r)

semplificando: 1

2 2

∇ u(r) + u(r)ω = 0 (22.15)

2

v (r)

considerando che: 2 2

2

ω 2π 2πn

2 2 2

= k = = = k n (22.16)

0

2

v λ λ

0

cioè che: 2 2 2 2

ω = k n v (22.17)

0

l’equazione differenziale diventa: 2 2 2

∇ u = k n u (22.18)

0

con u e n funzioni del punto. Ipotizziamo che u sia del tipo:

jk L(r)

u(r) = Ae (22.19)

0

con L il cammino ottico. Calcoliamo le derivate del laplaciano: 2

2 2

∂ ∂ L ∂L

∂L

∂ jk L jk L 2 jk L

u = Ak j e Ak e

u = A jk e 0 0 0

0 0 0

2 2

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2

2 2

∂ ∂L ∂ ∂ L ∂L

jk L jk L 2 jk L

u = A jk e u = Ak j e Ak e

0 0 0

0 0 0

2 2

∂y ∂y ∂y ∂y ∂y 2

2 2

∂ ∂L

∂L ∂ ∂ L

jk L jk L 2 jk L

u = A jk e u = Ak j e Ak e

0 0 0

0 0 0

2 2

∂z ∂z ∂z ∂z ∂z

22.2. OTTICA GEOMETRICA 335

sostituendo nella (22.18) otteniamo:

( )

2 2 2

2 2

2

∂ L ∂ L ∂ L

∂L ∂L ∂L

jk L − − −

Ak e j + j + j

k k k

0

0 0 0 0

2 2 2

∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

2 2 jk L

= k n Ae (22.20)

0

0

semplificando:

( " #)

2 2 2

2 2 2

∂ L ∂L ∂L ∂L

∂ L ∂ L 2

j k + + = k n

+ + 0 0

2 2 2

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z (22.21)

che diventa: 2

2 2

− kgrad

j∇ L k Lk = k n (22.22)

0 0

se ora dividiamo ancora per k :

0

1 2

2 2

− kgrad

j∇ L Lk = n (22.23)

k

0 → → ∞,

e consideriamo l’approssimazione per λ 0, equivalente a k cioè

0 0

trascuriamo gli effetti di diffrazione, il primo termine non lo consideriamo:

kgrad Lk = n (22.24)

che prende il nome di equazione diconale.

22.2.1 Soluzione diconale

La soluzione dell’equazione diconale è B

Z

L(r) = min n(r) ds (22.25)

γ A

Mezzo omogeneo

se il mezzo è omogeneo: B

Z

L(r) = min n ds (22.26)

γ A

la curva che minimizza l’integrale è la retta e L è la lunghezza della retta

moltiplicato per l’indice di rifrazione costante. Quindi in un mezzo omogeneo

nell’approssimazione dell’ottica geometrica la luce viaggia in linea retta.

336 CAPITOLO 22. OTTICA

Equazione dell’onda

La componente f di un’onda si scrive come: B )

( R n(r) ds−ωt

j k min

j(k L(r)−ωt) γ

0 (22.27)

f (r, t) = A = A

0 A

22.3 Dispersione

Il fenomeno della dispersione è dovuto alla variazione di n in funzione della

frequenza. Il primo modello che approssima l’andamento del visibile è quello

di Cauchy: B C ···

n = A + + + (22.28)

2 3

λ λ

Un’altro modello, più preciso, è quello di Sir Mayer:

2

Aλ (22.29)

n =1+ 2 −

λ λ

0

in cui si associa ad ogni mezzo una lunghezza d’onda propria λ .

0

22.3.1 Oscillatore armonico elettronico

Immaginiamo ogni atomo con un singolo elettrone. Ogni elettrone lo pos-

siamo vedere come un oscillatore intorno al nucleo, che si muove nella di-

rezione z. Il nucleo lo assumiamo fermo. Ci sono anche degli altri oscillatore

associati al moto delle componenti positive e negative delle molecole, ma le

trascuriamo.

Immaginiamo l’elettrone immerso in una distribuzione uniforme sferica

di raggio a positiva (modello di Ruttherford) e. Il problema di Cauchy è

 −eE

mz̈ = z

 ż(0) = 0 (22.30)

ż(0) = z

 0

E è il campo della sfera positiva in cui è immerso l’elettrone. La densità di

z

carica della sfera è 3e

ρ = 3

4πa

Con Gauss: Q 4 4 e 3

2 3 3

E 4πz = = z ρ = πr

z 3

ε 3 3 ε 4πa

0 0

e z

E = (22.31)

z 3

4πε a

0

22.3. DISPERSIONE 337

l’equazione differenziale diventa: 2 k

e

− z = z

z̈ = 3

4πε a m m

0

avendo definito: 2

e

k = (22.32)

3

4πε a

0

costante elastica. La soluzione particolare è !

r k t

z(t) = z cos

0 m

definiamo la pulsazione caratteristica: r k

ω = (22.33)

0 m

e allora il moto sarà z(t) = z cos (ω t) (22.34)

0 0

oscillazioni forzate

Quando arriva un onda elettromagnetica sul nostro elettrone oscillante gli

imprime una forza, una forzante:

−e × −e ×

F = (E + v B) = (E + µ v H) (22.35)

0

q ε ×

ma in un onda elettromagnetica vale: H = û E. Prendiamo û = ı̂

0

µ

0

cioè ipotizziamo che la nostra onda propaghi lungo l’asse x.

r ε v

0

−e × × −e × ×

F = E + µ v û E = E + E k̂ ı̂ (22.36)

0 µ c

0

Consideriamo un’onda polarizzata lungo l’asse z:

v v

−eE − × −eE −

F = k̂ k̂ ̂ = k̂ ı̂ (22.37)

z z

c c

vc

L’ultimo termine è proporzionale a , che solitamente è molto piccolo, quindi

trascurabile. L’equazione dell’onda sarà j(ωt−kx)

E = E k̂ = E e k̂ (22.38)

z 0

z

338 CAPITOLO 22. OTTICA

poiché le dimensioni atomiche sono molto piccole, la variazione di x sarà

molto piccola rispetto alla variazione temporale, quindi trascuriamo la fase

spaziale, quindi la nostra onda diventerà j(ωt)

E = E e (22.39)

z 0 z

Introducento un attrito l’equazione del moto diventa:

−kz − −

mz̈ = (h + h ) ż eE (22.40)

r c z

h tiene conto delle perdite per radiazione, h per le collisioni. Siamo inter-

r c

essati ad una soluzione stazionaria del tipo:

jωt

z(t) = z e (22.41)

0

Sostituendo nell’equazione differenziale:

k ż e

− − −

z̈ = z (h + h ) E

r c z

m m m

e jωt

2

−ω − − e

= z γz E 0

0 z

m

avendo definito: h + h

r c (22.42)

γ = m e

2 jωt 2 jωt jωt jωt

−ω −ω − −

z e = z e jωγz e E e

0 0 0 0

0 z

m 2

− −

e 1 (ω ω) jωγ

e 0

− −

z = E = E

0 0 0 2

2

z z

2

m (ω ω ) + jωγ m 2 2 2 2

(ω ω ) + ω γ

0 0

la cui parte reale è 1

e

|z | = E

0

0 1

z

m h i

2 2

2 2 2 2

(ω ω ) + ω γ

0

la fase invece: ωγ

tan ϕ = (22.43)

2 2

ω ω

0

Allora in forma esponenziale: −jϕ

|z |e

z = (22.44)

0 0

e −jϕ

jωt jωt j(ωt−ϕ)

|z |e |z |e

z = z e = e = (22.45)

0 0 0

quindi l’oscillazione dell’elettrone non è in fase con l’onda incidente, ma ha

una fase pari a ϕ.

22.3. DISPERSIONE 339

dipoli oscillanti

All’elettrone oscillante e alla carica positiva (il nucleo fermo) è associato un

momento di dipolo elettrico: −ez

p = k̂ (22.46)

variabile nel tempo: 2

2 2 − −

ω ) jωγ

e (ω

0 jωt

jωt

−ez e (22.47)

p(t) = e = E

0 0 2

2

z 2

2 2

− γ

ω ) + ω

m (ω 0

0

se assumiamo tutti i dipoli uguali, come abbiamo fatto scegliendo come carica

quello di un elettrone, la polarizzazione:

2 2 2

− −

e (ω ω ) jωγ

0 jωt

e (22.48)

P = Np = N E

0 2

2

z 2

2 2

− ω ) + ω

m (ω γ

0

0

con N il numero di dipoli per unità di volume. Ma P = χ E con E il campo

e

totale nel punto, cioè il campo molecolare. Se consideriamo un gas possiamo

approssimare il campo totale con il campo esterno, cioè quello dell’onda

incidente E . Allora:

z 2 2 2

− −

P P e (ω ω ) jωγ

0 (22.49)

χ = = = N

e 2 2

jωt 2 2 2

E E e m (ω ω ) + ω γ

z 0 0 0

z −

troviamo la costante dielettrica relativa tramite χ = ε (ε 1):

e 0 r

2 2 2

− −

N e (ω ω ) jγω

0

ε = 1 + (22.50)

r 2 2 2 2 2

mε (ω ω ) + γ ω

0 0 '

possiamo facilmente trovare n, infatti trascurando µ 1:

r

s 2

√ 2 2

− −

N e (ω ω ) jγω

0

ε = 1 +

n = (22.51)

r 2 2 2 2 2

− ω

mε (ω ) + γ ω

0 0

n allora è un numero complesso.

assorbimento

Consideriamo un onda piana che si propaga in direzione x in un mezzo con

indice di rifrazione complesso n = n jn . Il vettore d’onda sarà

r i

2π 2π 2nπ 2πn

k = ̂ = ̂ = ̂ = ̂ = k n (22.52)

0

λ vν cν λ

0

340 CAPITOLO 22. OTTICA

con λ la lunghezza d’onda della perturbazione nel vuoto e k il relativo

0 0

vettore d’onda. Allora l’onda nel mezzo si scrive come: −n

j(ωt−k·r) j(ωt−k nx) j(ωt−k n x) k x

E = E e = E e = E e e (22.53)

r

0 0 0

i

0 0 0

quindi l’ampiezza diminuisce all’aumentare di x e l’attenuazione è data da

−=(n).

n = In realtà ciò che abbiamo detto è vero solo se l’onda incidente

i

è polarizzata lungo l’asse z.

assorbimento anomalo

Se proviamo a risolvere il sistema derivante dalla (22.51) per trovare n e n

r i

troviamo: ( 2 2 2

e N (ω ω )

1 0

√ −1

± +

n =

i 2 2

2 2 −

2 γ ω + mε (ω ω) (ω + ω)

0 0 0

1

± 2

2 2 2 2

γ ω + mε (ω ω) (ω + ω)

0 0 0

h 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4

− −

(γ ω + mε (ω ω) (ω + ω) ) (e N (ω 2ω ω + γ ω ω )+

0 0 0 0 0 12

)

1

i 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

−ω)(ω −ω) −ω)

2e N (ω +ω)(γ ω +mε (ω (ω +ω) +(γ ω +mε (ω (ω +ω) )

0 0 0 0 0 0 0 0 (22.54)

questa funzione ha un massimo per ω = ω molto ripido. Questa zona è una

0

banda di assorbimento. Delle quattro soluzioni solo due sono accettabili, una

per l’onda incidente, l’altra per quella riflessa.

Sir Mayer →

Se trascuriamo l’assorbimento, cioe γ 0, dalla (22.51):

s 2

N e 1

n = 1+ (22.55)

2 2

mε (ω ω )

0 0

se siamo molto lontano dalla risonza, cioè ω è molto diverso da ω allora il

0

secondo addendo è molto piccolo e possiamo approssimare al primo ordine:

2 2

1 N e 1 1 N e 1

n =1+ = 1 +

2

2

2 mε (ω ω ) 2 mε 1 1

2 −

4πc

0 0

0 2 2

λ

λ (22.56)

0

2 2 20 2

N e 1 λ λ Aλ

=1+ = 1 +

20 20

2 2 2

− −

2mε 4πc λ λ λ λ

0

22.3. DISPERSIONE 341

che è la legge di Sir Mayer (22.29). Parte III

Fisica 3

gas, radiazione di corpo nero, calori specifici dei solidi,

calori specifici dei gas

342

‘Per me si va ne la città dolente,

per me si va ne l’etterno dolore,

per me si va tra la perduta gente.

...

Dinanzi a me non fuor cose create

se non etterne, e io etterno duro.

Lasciate ogni speranza, voi ch’intrate’.

Inferno, canto III 23

Grandezze

Indice

23.1 Mole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

23.2 Unità di massa atomica . . . . . . . . . . . . . . . 344

23.1 Mole

Definizione 23.1 (mole) Una mole è definita come la quantità di materia

che contiene un numero di elementi uguale al numero di atomi che ci sono in

12

12 g di C. Usando la mole deve essere specificato il tipo di elementi (atomi,

molecole, . . . ). 12

Segue che una mole di C corrisponde a 12 g, ma una mole di C corrisponde

a poco più di 12 g perché in un campione naturale di C sono contenuti anche

isotopi più pesanti.

Definizione 23.2 (numero di Avogadro) Il numero di Avogadro è il nu-

12

mero di atomi in 12 g di C

Quindi una mole di una data sostanza corrisponde a un numero di Avogadro

di molecole o atomi di quella sostanza.

343

344 CAPITOLO 23. GRANDEZZE

23.2 Unità di massa atomica

Nel 1815 Proust propose di introdurre la massa atomica relativa, riferita

alla massa dell’idrogeno uguale a 1. Le masse atomiche degli altri elementi

risultano essere molto vicine a numeri interi. Un altro metodo era quello di

riferire la massa atomica al sedicesimo delle massa dell’atomo di ossigeno.

12

Oggi ci si riferisce al C:

Definizione 23.3 (unità di massa atomica) Una massa atomica (1 u) è

12

pari al dodicesimo della massa del C.

12

Una mole di C corrisponde per definizione a 12 g di carbonio 12 e in essa

12

sono contenuti N atomi, quindi la massa di un atomo di C è 12 g/N ,

A A

quindi il dodicesimo: gmol

gmol −27

' ×

= 1.660 540 2 10 kg

1u = 23

×

N 6.022 . . . 10 mol

A 24

Gas

Indice

24.1 Legge dei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

24.1.1 Gas reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

24.2 Distribuzione delle velocità . . . . . . . . . . . . 347

24.2.1 Distribuzioni delle componenti . . . . . . . . . . . 347

24.2.2 Determinazione costanti . . . . . . . . . . . . . . . 349

24.2.3 Distribuzione dei moduli . . . . . . . . . . . . . . . 351

24.2.4 Distribuzione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . 353

24.3 Effetto Doppler termico . . . . . . . . . . . . . . 354

24.3.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

24.4 Libero cammino medio . . . . . . . . . . . . . . . 355

24.4.1 Calcolo della velocità relativa media . . . . . . . . 356

24.5 Moto Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

24.5.1 Cammino casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

24.5.2 Numero di Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

24.6 Esperimento di Perrin . . . . . . . . . . . . . . . 362

24.7 Viscosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

24.8 Suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

24.8.1 Velocità del suono nei gas . . . . . . . . . . . . . . 364

24.8.2 Onde di pressione e di densità . . . . . . . . . . . . 366

24.8.3 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

345

346 CAPITOLO 24. GAS

24.1 Legge dei gas

Utilizzando la teoria del gas perfetto (vedi 8.5 a pag.87) si dimostra che il

prodotto P V è costante: 2 U (24.1)

PV = 3

con U l’energia interna totale di N particelle, legata all’energia cinetica K.

Essendo il gas perfetto K = U . Confrontando la (24.1) con l’equazione

(fenomenologica) dei gas perfetti

P V = nRT (24.2)

si scopre che: 3 nRT (24.3)

U = 2

Siamo allora indotti a formulare il principio di equipartizione dell’energia,

1 N kT .

cioè ad assegnare ad ogni grado di libertà un’energia pari a 2

24.1.1 Gas reali

Un gas reale è approssimato da un gas ideale tanto più è bassa la sua densità.

In questa condizione le ipotesi sul gas ideale sono approssimativamente vere.

Sviluppo del viriale ∞

n n n

2 j

X

+ B

pV = nRT 1 + B + . . . = nRT B (24.4)

1 2 j

V V V

j=0

B = 1, B , B , . . . sono detti coefficienti del viriale. Essi sono funzione della

0 1 2 n →

temperatura e diventano più piccoli al progredire della serie. Se 0 come

V

per un gas rarefatto si ritrova la legge del gas perfetto.

Equazione di stato di van der Waals

2

an −

p + (V nb) = nRT (24.5)

2

V

è uguale all’equazione di stato considerando un volume ridotto e una pres-

sione aumentata. Nel gas perfetto si assume che il volume occupato dalle

molecole sia trascurabile, questo non è del tutto vero e quindi il volume che

consideriamo nell’equazione dei gas perfetti è sovrastimato, va quindi dimi-

nuito. In altre parole il volume libero per il movimento delle molecole è più

piccolo. Consideriamo due molecole di diametro d. Possiamo schematizzarle

24.2. DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITÀ 347

come una molecola puntiforme e una di diametro 2d o raggio d. Quindi il

4 3

πd . Essendo

volume a disposizione della molecola puntiforme è ridotto di 3

le molecole due per ogni molecola è sottratto un volume pari a:

" #

3

3

4 d d

4

π =4 π (24.6)

3 2 3 2

cioè 4 volte il volume della molecola. Per una mole, cioè un numero di

Avogadro di molecole, il volume sottratto al movimento, cioè il covolume b,

è: #

" 3

d

4 π (24.7)

b = 4N

A 3 2

In realtà per alte pressioni le molecole sono molto più vicine e il 4 che compare

nell’espressione (24.7) può ridursi notevolmente. Per n moli il volume in meno

è nb.

Per quanto riguarda la pressione per il gas perfetto si assume che non

ci siano forze intermolecolari. Su una molecola mediamente il contributo

di queste forze sarà nullo, tranne per quelle che si trovano sul bordo, su di

queste agirà una forza netta verso l’interno, quindi la pressione (sulle pareti)

va diminuita rispetto a quella del gas ideale. La forza è proporzionale al

numero di molecole presenti nell’emisfero di raggio R in cui ha efficacia la

forza attrattiva, a sua volta proporzionale alla densità molecolare e quindi

n L’effetto sommato per tutte le molecole è anch’esso

alla densità molare V n . La riduzione di pressione

proporzionale alla densità molecolare e quindi a V

2

n

complessiva è quindi proporzionale a .

V

24.2 Distribuzione delle velocità

24.2.1 Distribuzioni delle componenti

Consideriamo un gas ideale chiuso in un recipiente, mantenuto ad una tem-

peratura T . Vogliamo sapere quante molecole hanno una certa velocità com-

presa tra v e v + dv lungo un asse, per esempio l’asse x. Indichiamo con

x x x

f la funzione densità di probabilità della variabile casuale v che ha dominio

x x

Ipotesi iniziali:

R. 1. lo spazio è isotropo;

2. la distribuzione delle velocità lungo un asse non è influenzata dalle

componenti sugli altri assi;

348 CAPITOLO 24. GAS

q

p 3kT

2

hv i

3. la velocità quadratica media è v = = ;

qm m

L’ipotesi 1 deriva dal fatto che il moto delle molecole è casuale, la 3 deriva

1 12

3 2 2

hv i.

kT = mv = m La prima ipotesi

dall’energia di un gas ideale U = 2 2

significa che: f (v , v , v ) = f (v , v , v ) = f (v , v , v ) (24.8)

x x y z y x y z z x y z

ma anche che: f (−v , v , v ) = f (v , v , v ) (24.9)

x x y z x x y z

o più in generale che ogni distribuzione è una funzione pari per ogni argo-

mento. La seconda ipotesi si traduce in:

f = f (v ) (24.10)

x x x

e analogamente per le altre.

Essendo le tre distribuzioni delle componenti uguali:

2 2 2

v = v = v (24.11)

x y z

quindi: 2 2 2 2 2 2 2 2

v = v + v + v = v + v + v = 3 v (24.12)

x y z x y z x

e allora: kT

2 (24.13)

v =

x m

Se f è la densità di probabilità allora è normalizzata a 1. N f è normal-

x x

izzata ad N numero di molecole. Possiamo scrivere:

dP (v ) = f (v ) dv

x x x

oppure dN (v ) = N f (v ) dv

x x x

Allora: v

Z x

2

N f (v ) dv (24.14)

x x

v

x 1

sarà il numero di molecole con velocità lungo l’asse x compresa tra v e v .

x x

1 2

La funzione distribuzione di probabilità di v utilizzando la probabilità

composta di eventi indipendenti (ipotesi 2) sarà:

F (v) = F (v , v , v ) = f (v )f (v )f (v ) (24.15)

x y z x x y y z z

24.2. DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITÀ 349

Quello che vogliamo fare ora trovare la distribuzione più probabile, quindi

dovremo massimizzare F . Poiché il logaritmo è una funzione crescente pos-

siamo massimizzare il logaritmo di F . Il differenziale del logaritmo della

(24.15): d log F =d (log f (v ) + log f (v ) + log f (v ))

x x y y z z

0 0

0 (24.16)

(v )

f (v )

(v ) f

f y z

x y z

x dv + dv + dv

= x y z

f (v ) f (v ) f (v )

x x y y z z

2 1

usando i moltiplicatori di Lagrange con il vincolo su v e quindi :

 0 2

(v )

f ∂(v )

∂ log F x

= = λ = 2λv

x x

 ∂v f (v ) ∂v

 x x x x

 0 2

f (v ) ∂(v )

∂ log F y

y (24.18)

= = 2λv

= λ y

∂v f (v ) ∂v

y y y y

0 2

 f (v ) ∂(v )

∂ log F z

= = λ = 2λv

 z

 z

∂v f (v ) ∂v

z z z z

preoccupiamoci solo della prima, abbiamo già dimostrato che f = f = f :

x y z

0 (v )

f x

x −2λv

= (24.19)

x

f (v )

x x

risolvendo l’equazione differenziale e scrivendo λ al posto di 2λ:

2

−λv

log f = + c (24.20)

x x

ovvero: 2

−λv

f (v ) = f e (24.21)

x

x x 0x

con f e λ costanti da determinare dal vincolo.

0x

24.2.2 Determinazione costanti

Integrali di Gauss

Calcoliamo: +∞

Z 2 2

−A x

e dx (24.22)

−∞

1 più precisamente il vincolo è la funzione: 3kT

2 2 2 −

G(v , v , v ) = v + v + v =0 (24.17)

x y z x y z m

350 CAPITOLO 24. GAS

di questo integrale non esiste primitiva analitica, definiamo I l’integrale,

0

calcoliamo: Z ZZ

Z 2 2 2 2 2 2 2

−A −A −A

x y (x +y )

2 e dx e dy = e dxdy

I =

0 2

R R R (24.23)

∞ 2π

Z Z

Z π

2 2 2 2

−A −A

ρ ρ

e ρdρdθ = 2π e ρdρ =

= 2

A

0 0 0

quindi: √

+∞

Z π

2 2

−A x

e dx = (24.24)

A

−∞

Definiamo: +∞

Z 2 2

−A

2 x

I = x e dx (24.25)

2 −∞ ∂I

e in modo analogo I , I , . . . Notiamo che I = , infatti:

0

4 6 2 2

∂A

Z Z

Z ∂

∂ 2 2

2 2 2 2 −A

−A −A 2 x

x x

− − x e dx = I (24.26)

e dx = e dx = 2

2 2

∂A ∂A

R R

R

Allora: √

∂ ∂ π π

I = I = = (24.27)

2 0

2 2 3

∂A ∂A A 2A

si può dimostrare che: ∂I n−2

I = (24.28)

n 2

∂A

2

con n pari. Per quelli dispari banalmente:

Z 1

2 2

−A x

I = xe (24.29)

dx =

1 2

2A

0

si nota che: ∞ ∞

Z Z

∂I ∂ ∂

2 2 2 2

1 −A −A

x x

− −

− = xe dx = xe

I = dx

3 2 2 2

∂A ∂A ∂A

0 0 (24.30)

Z 2 2

−A

3 x

= x e dx

0

quindi: ∂I 1

1

I = = (24.31)

3 2 4

∂A 2A

2 +

vengono definiti su , perché essendo funzioni dispari l’integrale su è nullo

R R

24.2. DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITÀ 351

Determinazione costanti

Imponiamo la normalizzazione e la velocità quadrata media:

+∞

Z kT

2

f (v ) dv = 1 v = (24.32)

x x x m

−∞ √

+∞

+∞ Z

Z π

2 2

2 2 −A

−A v

v dv = f

e

dv = f

f e =1 (24.33)

x

x x 0

x 0

0 A

−∞

−∞

si ricava: A

f = (24.34)

0 π

siamo arrivati a: A 2 2

−A v

f (v ) = (24.35)

e x

x π

Imponiamo la velocità quadrata media: √

Z Z A A π 1 kT

2 2

−A

2 2 v

√ √

v f (v ) dv = v e dv = = = (24.36)

x

x x x

x x 3 2

2A 2A m

π π

R R

si ricava: r m (24.37)

A = 2kT

La distribuzione delle componenti risulta allora: 2

mv

x

r m − 2kT

f (v ) = (24.38)

e

x 2πkT

e analogamente per le altre componenti. Si noti come argomento dell’espo-

12 2

nenziale decrescente sia il rapporto tra l’energia cinetica ( mv ) e kT .

x

24.2.3 Distribuzione dei moduli

Dati v , v , v siamo in grado di dare la distribuzione di probabilità:

x y z 32 32

2

m m

2 2 2

mv

mv mv

y mv

x z

− −

− −

f (v )f (v )f (v ) = e e e = e (24.39)

2kT 2kT 2kT 2kT

x y z 2πkT 2πkT

questa non è la distribuzione che stiamo cercando, infatti fissato v ci sono

kvk

infiniti vettori v tali che = v. Questi vettori stanno su una superfi-

cie sferica. Dobbiamo integrare sulla superficie sferica, ma siamo fortunati

perché la (24.39) ha simmetria sferica: 32

m 2

mv

− 2

f (v) = e 4πv (24.40)

2kT

2πkT

352 CAPITOLO 24. GAS

velocità più probabile

3

2 2 2v m

df mv mv

p p p

2 − −

2 −

= . . . 4π 2v e + v e =0 (24.41)

2kT 2kT

p p

dv 2kT

r 2kT

v = (24.42)

p m

che è effettivamente un massimo.

velocità media 3

Z Z m 2

mv

2 −

3 e

v = vf (v) dv = 4πv dv

2kT

2πkT

+ +

R R

+∞

32 3 2 2

Z m 4k T

m 2

mv 2

3

v e dv = 4π

=4π (24.43)

2kT 2

2πkT 2πkT 2m

0

r 8kT

= πm

avendo usato la (24.31).

velocità quadratica media 3kT

sappiamo già che la velocità quadrata media è , ma calcoliamolo:

m

32

Z Z m 2

mv

2 2 4

v = v f (v) dv = 4πv e dv

2kT

2πkT

+ +

R R

3 3

Z Z

m

1 m 2 2

mv

mv

2 2 −

4 4

4πv dv = 2π dv

= e v e (24.44)

2kT 2kT

2 2πkT 2πkT

R R

5

3

2 m 3 2kT 3kT

2

2

= =

2kT 4 m m

π √

3 π 5

in quanto I = A , la velocità quadratica media:

4 4 r 3kT (24.45)

v =

qm m

8 '

esaminando i coefficienti ( 2.5) risulta:

π v < v < v (24.46)

p qm

24.2. DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITÀ 353

24.2.4 Distribuzione dell’energia

Avendo fissato la massa di una particella la relazione che lega il modulo della

3

velocità all’energia della particella è biunivoca :

1 2

mv (24.47)

E = 2

possiamo passare dalla distribuzione dei moduli delle velocità alla distribuzione

dell’energia. Partendo dalla distribuzione dei moduli:

32

dP m 2

mv

2

f (v) = = 4πv e (24.48)

2kT

dv 2πkT

32

m 2

mv

2 dv (24.49)

dP = 4πv e 2kT

2πkT

dalla (24.47) possiamo ricavare v(E) e dv(dE):

r r

dE

2E 1

v = dv = = dE (24.50)

m mv 2Em

sostituendo nella (24.49) e semplificando: E

√ r

dP 1 − kT

g(E) = =2 E e (24.51)

3 3

dE πk T

Energia più probabile 3

d g(E ) = 0 E = kT (24.52)

p p

dE 2

Energia media Z 3

hEi = Eg(E) dE = kT (24.53)

2

+

R

Energia quadratica media

sZ r 15

2

E = E g(E) dE = kT (24.54)

qm 4

+

R

3 + +

non farsi ingannare dal quadrato: la velocità può essere solo positiva E : R R

354 CAPITOLO 24. GAS

24.3 Effetto Doppler termico

L’effetto Doppler non trasversale di una sorgente in movimento con velocità

v verso l’osservatore fermo è: (1 + β) (24.55)

ν = ν 0 p 2

1 β vc .

con ν la frequenza apparente e ν la frequenza propria della sorgente, β =

0

Se consideriamo v c allora:

1 1 1

2 2 3

ν ν (1 + β) 1 + = ν 1 + (24.56)

β β + β + β

0 0

2 2 2

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

v

ν = ν 1+ (24.57)

0 c

Consideriamo ora un forno con una finestra di quarzo molto piccola dal quale

esca della radiazione emessa dalle molecole all’interno con distribuzione delle

velocità: 12

m 2

mv x

− dv (24.58)

dN = N e 2kT x

2πkT

ipotizzando che noi possiamo vedere solo la radiazione emessa da molecole

con velocità nella direzione x. Passiamo dalla distribuzione delle velocità alla

distribuzione in frequenza usando la relazione (24.57) con v = v :

x

ν dν

− 1 c dv = c (24.59)

v =

x x

ν ν

0 0

sostituendo nella (24.58): 2 2 )2

( ) 2

ν

1 1 −mc (ν−ν

−1 m

m dν c

m c 0

ν

0

2 2

− 2

2kT ν

dN = N e c = N e dν

2kT 0

2πkT ν 2πkT ν

0 0 (24.60)

essendo l’intensità proporzionale a n analizzando lo spettro di emissione di

un gas non si ottengono delle righe infinitamente sottili, ma delle gaussiane:

2 2

12 −mc (ν−ν )

dN m c

0

2

∝ 2kT ν

I(ν) = N e (24.61)

0

dν 2πkT ν

0

24.4. LIBERO CAMMINO MEDIO 355

24.3.1 Risoluzione

Calcoliamo il massimo della gaussiana (l’altezza):

12 c

m

∝ (24.62)

I (ν) N

max 2πkT ν 0

La larghezza a metà altezza: 2 )2

12 12

−mc (ν−ν

m c 1 m

I c

0

max 2

2kT ν

N = N

I = e 0

2 2πkT ν 2 2πkT ν

0 0

2 )2 2

2

−mc (ν−ν −

mc (ν ν )

1

0 0

2

2kT ν

e = log 2

=

0 2

2 2kT ν

0

quindi: r r

2 log 2

2kT ν 2kT log 2

ν

0

0

± ±

ν = ν = ν (24.63)

0 0

1/2 2

mc c m

quindi l’ampiezza della campana a metà altezza è:

r 2kT log 2

ν

0 (24.64)

∆ν = 2

1/2 c m

la risoluzione: r

∆ν 2 2kT log 2

1/2 = (24.65)

ν c m

0

q T

che va come .

m

24.4 Libero cammino medio

4

Sappiamo che se consideriamo tutte le molecole ferme e solo una in moto,

il libero cammino di questa è: 1 1

L = = (24.66)

2

nπd nσ 2

con n il numero di molecole per volume, d il diametro molecolare, σ = πd

la sezione d’urto. Se le altre molecole si muovono dobbiamo considerare la

velocità relativa. Rifacendo tutto il ragionamento: la molecola spazza in un

2

tempo infinitesimo dt un cilindro di lunghezza vdt e quindi volume πd vdt.

Il numero di urti sarà uguale al numero di particelle all’interno del cilindro.

Se consideriamo la velocità relativa è più corretto:

1

L = (24.67)

2nσ

4 vedi 8.5.2 a pag.91

356 CAPITOLO 24. GAS

24.4.1 Calcolo della velocità relativa media

Per calcolare la velocità relativa media bisogna mediare sia sull’angolo tra le

direzioni di due molecole che sulla velocità delle due. Siano u, v le velocità

di due molecole rispetto ad un’osservatore inerziale con il contenitore del gas.

La velocità della seconda molecola rispetto alla prima, è:

p

p 2 2 2

− −

− krk (v u) = v + u 2vu cos(θ)

r = v u =

dove θ è l’angolo tra le due velocità misurato nel sistema dell’osservatore. Se

supponessimo che le velocità siano uguali e ad un valore fisso (v = u) allora:

√ p −

r = 2v 1 cos(θ)

5

Mediando sull’angolo : Z

1

hri | r dΩ

=

θ u=v 4π √ 2π π

Z Z

1 p −

= 2v dϕ dθ sin θ 1 cos(θ)

4π 0 0

√ −1

Z

1 p

− −

= 2v 1 y dy

2 1

√ 2

Z

1 2

= 2v 2z dz

2 0

√ 2

√ 3

z 4

= 2v = v

3 3

0

5 si ricorda che l’angolo solido infinitesimo è dΩ = sin θ dθ dϕ

24.4. LIBERO CAMMINO MEDIO 357

Questo non è il risultato corretto, ma numericamente ci assomiglia. Con-

siderando invece velocità diverse:

Z

1

hri = r dΩ

θ 4π π

Z

2π p 2 2 −

v + u 2vu cos(θ) sin θ dθ

= 4π 0

1 p 2 2

− −

= v + u 2uvy dy

2 √ 2 2

v +u +2uv

Z

1 z

− ) dz

= z(−

2 uv

2 2 −2uv

v +u

v+u

Z

1 2

= z dz

2uv |v+u| ( 1 2 2

3 3 ≤

− |v − (3u + v ) v u

(v + u) u| 3u

= = 1 2 2

6uv ≥

(u + 3v ) v u

3v

questa è la media nell’angolo, ora bisogna mediare sulle velocità usando la

distribuzione delle velocità di Maxwell. Mediamo su u usando la distribuzione

delle velocità: 2

4v 2 2

−v /v

f (v) = e p

3

πv

p q 2kT

dove è stata introdotta per comodità la velocità più probabile: v = .

p m

Mediando su v:

Z hri

hri f (v) dv

=

θ,kvk θ

0 ∞

u 2 2 2 2

Z

Z

4 3u + v u + 3v

2 2 2 2

−v −v

2 /v 2 /v

= v e dv + v e dv

p p

3 3u 3v

πv 0 u

p (24.68)

Questo integrale è abbastanza complicato. Iniziamo con una definizione:

x

Z Z

2 π

2 2

−t −x

e dt e dx =

Erf(x) = Erf(x) (24.69)

π 2

0

dove Erf(x) è la funzione dell’errore. Calcoliamo questa primitiva:

Z Z Z

1

2 2 2 2

−x −x −x −x

2 −e

x e dx = x(xe ) dx = x + e dx

2 (24.70)

1 π

2

−x

= e x + Erf(x)

2 4

358 CAPITOLO 24. GAS

che serve per calcolare la prima parte del primo integrale nell’equazione 24.68:

2

u/v

u √

v

Z

Z u

p 2 2 2

2 2 p

−y −u

−v 2

3 /v

2 /v −2e

y e dy = u +

dv = v

v e πv Erf

p

p p

p 4 v p

0

0 (24.71)

Per il secondo pezzo serve questa primitiva:

Z Z Z

3

1 2

2 2 2

−x

−x −x −x

3

4 3 2

− e x +

x e dx = x (xe ) dx = x e dx

2 2 (24.72)

3

1

3

2

−x 3

−e +

x + x

= π Erf(x)

4 2 8

usiamo questo risultato per calcolare il secondo pezzo del primo integrale:

u/v

u Z

Z p 2

2 2 −x

−v 4

4 /v 5 x e dx

v e dv = v

p p 0

0 (24.73)

1 u

3

2 2

−u

2 5

/v 2 2

= v v π Erf

e u(3v + 2u ) +

p

p p

p

4 8 v

p

sistemando, il primo integrale risulta: 2 2

u √

2 2 3u v

Z

4 4 u

3u + v 1

2 2 2 2

p

−v −u

2 /v /v

√ √ −2e

v e dv = πv Erf +

u +

p p p

3 3

3u 3u 4 v

πv πv p

0

p p √

3 u

1 2 2

−u

2 /v 2 2 5

− v e u(3v + 2u ) + v π Erf

p

p p p

4 8 v

p

2 2

2

v 3v + 8u

u 2 2

p p −u /v

= + u Erf e p

2u v 3v π

p p (24.74)

Per il secondo integrale, il primo pezzo:

∞ 2

2 v

v Z

Z 2 2 2 2

p p

−y −u

−v /v

/v

ve dv = e dy = e (24.75)

p p

2 2

2 2

u /v

u p

e il secondo pezzo: ∞ ∞

Z Z

2 2 2

−v −y

2 /v 4 2

v e v dv = v y (ye ) dy

p p

u u/v (24.76)

p

1 2 2

−u /v 2 2 2

= e v v + u

p p p

2

24.4. LIBERO CAMMINO MEDIO 359

Sommando e sistemando il secondo integrale risulta:

∞ 2

2 2 2 v

Z u + 3v 4

4 u

2 2 2 2

p

−v −u

2 /v /v

√ √ +

v e dv = e

p p

3 3

3v 3 2

πv πv

u

p p

1 2 2

−u 2 2 2

/v (24.77)

+ v v + u

e p p p

2 2 2 2

−u /v 2 2

= e 4u + 3v

p p

3 πv

p

Non rimane che sommare i due integrali: 2

2

2 + 8u

3v

v

u 2

2 2 2 2

p

p −u −u

/a /v 2 2

√ √

hri + u Erf e + e 4u + 3v

= p p

θ,kvk 2u v 3v π 3 πv

p p p

2

v

u v 2 2

p

p −u /v

√ e

= + u Erf + p

2u v π

p (24.78)

L’operazione finale è mediare su la velocità u:

Z hri

hri f (u) du

= θ,kvk

θ,kvk,kuk 0 ∞ 2

v

Z

4 u v

2 2 2 2

p

p

−u −u

2 /v /v

√ √

= u e + u Erf e

+ du

p p

3 2u v

πv π

p

0

p ∞

Z 1

4v 1

2 2

p −x −x

2

√ √

x e + x Erf (x) + e

= dx

2x

π π

0 (24.79)

Il primo pezzo dell’integrale: ∞

2 2 2

∞ −x −x

−x Z

Z e 2e

e

2

−x √

(xe ) Erf(x) dx = Erf(x) + dx

2 2 π

0

0 0

Z

1 2

−y

√ e

= dy

2π (24.80)

0 ∞

1

√ Erf( 2x)

= 2 2 0

1

= 2 2

Il pezzo che manca si calcola per parti usando il risultato precedente:

Z 5

2

−x

3 √

(x e ) Erf(x) dx = (24.81)

8 2

0

360 CAPITOLO 24. GAS

Per l’ultimo termine dell’integrale:

∞ ∞ r

Z Z

1 1 π

2 2

−2x −y

2 2

x e du = y e dy = (24.82)

8 2

2 2

0 0

In definitiva: r

4v 1 1 5 1 π 1

p

√ √ √ √

hri = + +

θ,kvk,kuk 2 2 8

π π

2 2 8 2 √

√ r r

√ √

8 2

v 2 2 2 2kT 8kT

p

√ √ √ √ hui

v = = 2 = 2

= = p m πm

π π π

2 2 (24.83)

4 '

che è il risultato voluto. Notiamo che il risultato precedente ( 1.33) era

√ 3

'

2 1.41).

numericamente abbastanza corretto (

24.5 Moto Browniano

24.5.1 Cammino casuale

Consideriamo il moto di una particella in un gas. Questa subirà un certo nu-

mero di urti e tra uno e l’altro percorrerà mediamente un certo spostamento,

il libero cammino medio l. Per descrivere questo spostamento definiamo L

2

un vettore casuale avente aspettazione quadratica di modulo l e direzione

2 2

= l , oppure L = l. La domanda è: “Dopo un

casuale uniforme: L RMS

certo numero di urti dove sarà la particella?”. Sappiamo che:

 

x √

2 2

2 2 2 2 2 2

kLk

y

L = x = y 3 x = l

= z = x + y + z =

 

z

quindi: l

2 2 2 √ (24.84)

x = y = z = 3

e naturalmente: hxi hyi hzi

= = = 0 (24.85)

Se la particella parte dall’origine, al primo scontro la sua posizione sarà

2 2 2

hl i hL i

l = L + 0. Naturalmente = = l . Al secondo urto la sua posizione

1 1

sarà: 2 2 2

2 kl k kLk kLk kl k

l = (l + L) = + + 2 cos θ

1 1 1

2 (24.86)

2 2 2

hLl

= l + L + 2 cos θi = 2l

1

1

24.5. MOTO BROWNIANO 361

con θ l’angolo compreso tra i due vettori. θ è una variabile casuale uniforme

π

1 R

hcos cos θ dθ = 0 In generale dopo

che varia tra [0, π]. Quindi θi = π 0

l’N-esimo passo sarà: 2 2

l = N l (24.87)

N ?

con N il numero di urti. Definiamo lo spostamento quadratico medio l :

qm

q

? 2

hl i

l = = Nl (24.88)

qm N

La velocità scalare media sarà:

Nl

NL

hvi = (24.89)

= t t

con t il tempo totale dal primo all’ultimo urto. Sostituendo N :

12

hvi t p

? hvi

l = l = lt (24.90)

qm l

24.5.2 Numero di Avogadro

Supponendo che tra un urto e l’altro si muova di moto rettilineo uniforme.

hEi

L’energia cinetica media della particella è:

2 2

hr i

1 1 r 1

2

hEi = m v = m m (24.91)

=

2 2

2 2 t 2 t

Il teorema dell’impulso dice:

t

Z 2 −

F dt = ∆Q = m (v(t ) v(t ))

2 1

t

1

vogliamo calcolare la forza media dall’istante iniziale t = 0, in cui la parti-

1

cella è nell’origine ferma (v(0) = 0), ad un istante generico t:

t =t t −

Z Z

1 m (v(t) v(0)) v(t)

1 2

hF i F dt = F dt = = m (24.92)

= −

t t t t t

2 1 t =0 0

1

6

che assomiglia ad F = ma. Sostituiamo la massa dalla (24.92) nella (24.91):

2

2

hF i hr i hF i hr i

1 1

hEi = t = (24.93)

2

hvi hvi

2 t 2 t

6 era facile: t

Z

m dv v(t)

hF i hmai hai

= = m = dt = m

t dt t

0

assumendo come instante iniziale lo zero e come velocità iniziale zero

362 CAPITOLO 24. GAS

Dalla teoria cinetica possiamo dire che essendo i gradi di libertà 2 (moto

piano di una particella): R

hEi T (24.94)

= kT = N

A

Imponendo che la forza sia: hF i hvi

= 6πa (24.95)

con a il raggio della particella. Sostituendo tutto nella (24.91) ricaviamo:

RT t

N = (24.96)

A 2

hr i

3πa

Quello che bisogna fare è osservare con un microscopio r, lo spostamento

dalla posizione iniziale, al variare del tempo t, misurare la temperatura T e

il raggio a. R lo si conosce già dall’esperienze macroscopiche sui gas.

24.6 Esperimento di Perrin

Perrin nel 1908 trovò sperimentalmente N dalla sedimentazione di particelle

A

in soluzione a temperatura omogenea. Calcoliamo come varia il numero di

particelle per unità di volume del soluto. Conoscendo la legge dell’atmosfera

7

(7.3) : ρ g

0

− y (24.97)

p = p e p

0

0

possiamo passare a quantità microscopiche:

p = nKT p = n KT ρ = n m

0 0 0 0

N

con n = numero di particelle nell’unità di volume e m massa di una

V

particella di soluto. Allora: NA mgy

mgy −

n = n e = n e (24.98)

KT RT

0

0

Notiamo come al numeratore dell’esponenziale ci sia l’energia totale. In

questo modo possiamo trovare N conoscendo R dalla teoria dei gas. Se

A

ora al posto delle molecole di soluto sostituiamo delle particelle di densità ρ p

il loro peso sarà diminuito della spinta di Archimede:

ρ

S = gρV = gm

A ρ p

−ρ)h

NA mg(ρp

n = n e (24.99)

ρp RT

0

7 vedi 7.1.2 a pag.68

24.7. VISCOSITÀ 363

24.7 Viscosità

Vogliamo ricavare la viscosità di un fluido a partire da argomentazioni cine-

matiche.

Immaginiamo un gas compreso tra due lastre di area A, quella superiore

mantenuta alla velocità u = uı̂ e quella inferiore ferma. Servirà un forza

−Fı̂

F = per mantenere la lastra superiore a velocità costante. Possiamo

studiare la viscosità di un gas schematizzandolo come formato da diversi

strati paralleli che si muovono a velocità nette diverse. Lo strato superiore si

muoverà con la lastra superiore a velocità u e quello inferiore a velocità dello

8

strato inferiore, cioè zero. La forza risulta :

du (24.100)

F = ηA dy

in direzione opposta a movimento. Se consideriamo i nostri strati paralleli

allora l’incremento di velocità è costante e la derivata diventa il rapporto.

Le molecole di ogni strato sono caratterizzate dal moto caotico dovuto

alla temperatura a cui si sovrappone il moto di trascinamento. Questo signifi-

ca che le molecole possono passare da uno strato all’altro. Alcune molecole

dello strato più veloce andranno a finire nello strato più lento, portando un

contributo addizionale alla quantità di moto nella direzione del flusso au-

mentando cosı̀ la velocità. Allo stesso modo alcune molecole dello strato più

lento raggiungeranno lo strato più veloce e tenderanno a farlo rallentare. In

generale si osserva un’attenuazione delle differenze nella velocità di flusso.

Consideriamo due strati adiacenti separati da un piano di area A. Concen-

triamoci sullo strato superiore, quello più veloce e calcoliamo la forza su

questo fatto dallo strato inferiore. Alcune molecole passeranno dallo strato

superiore a quello inferiore e quindi la quantità di moto dello strato superiore

diminuirà. Altre molecole passeranno dallo strato inferiore a quello superiore

e la quindi la quantità di moto dello strato superiore aumenterà. Vogliamo

calcolare il numero di queste molecole. La velocità lungo y delle molecole

1 v. Il numero di molecole che passano da uno strato all’altro nel tempo

sarà 3

dt è il numero di molecole contenute nel volume di area A e di altezza vdt.

Solo metà di queste molecole avrà la direzione lungo y giusta (metà vanno

in basso, metà in alto). Quindi: 1 hvi

N = nA dt (24.101)

2

Poiché dt è piccolo (più piccolo del tempo di rilassamento) la velocità che

ogni molecola ha è uguale alla velocità che aveva quando ha subito l’urto

8 vedi 7.3 a pag.80

364 CAPITOLO 24. GAS

precedente. Per le molecole attraversano il piano verso l’alto l’ultimo urto è

avvenuto a y l, per quelle che vanno verso il basso in y + l. La variazione

della quantità di moto dello strato superiore allora sarà:

− − −

dP =P (↑) P (↓) = N mv (y l) N mv (y + l)

z z

1 − −

= N m(v(y l) v(y + l))

3

1 ∂v ∂v

− − −

= N m v(y) l v(y) l (24.102)

3 ∂y ∂y

∂v

2

− Nm l

= 3 ∂y

1 ∂v

− hvi

= nA m l dt

3 ∂y

La velocità delle molecole v può essere identificata a livello macroscopico con

u, quindi se calcoliamo la forza esercitata sullo strato superiore più veloce

fatta dallo strato inferiore più lento:

1 du

− hvi

F = nA m l (24.103)

3 dy

Confrontando con l’equazione (24.100):

1 hvi

η = n ml (24.104)

3

Una derivazione più rigorosa che tiene conto della distribuzione delle velocità

porta a: 1 hvi

n ml (24.105)

η = 2

usando l’equazione (24.67) possiamo anche scrivere:

hvi m

η = (24.106)

2 2σ

dove σ è la sezione d’urto della collisione. In particolare la viscosità non

dipende dalla densità.

24.8 Suono

24.8.1 Velocità del suono nei gas

Il suono è un’onda longitudinale di spostamento. Consideriamo un tubo di

sezione costante A riempito con un gas omogeneo alla pressione p . Se A è

0

24.8. SUONO 365

piccolo possiamo parlare di onde monodimensionali che si propagano nella

direzione del tubo. Consideriamo un volumetto V di lunghezza dx e sezione

0

A nella posizione tale che il suo estremo sinistro sia nella posizione x. Esso

è investito dall’onda ∆p(x, t), quindi su di esso agisce a sinistra la pressione

p + ∆p(x, t) e a destra la pressione p + ∆p(x + dt, t). La forza totale esterna

0 0

esercitata sul volumetto è: ∂(∆p)

− −A dx (24.107)

F = A [(p + ∆p(x, t)) (p + ∆p(x + dx, t))] =

0 0 ∂x x+x+dx

Usando la legge di Newton per il centro di massa (con posizione = x):

2

2 2

∂(∆p) ∂ ξ ∂ ξ

−A

F = dx = ma = ρ(x, t)V = ρ(x, t)Adx (24.108)

2 2

∂x ∂t ∂t

dove ξ(x, t) è lo spostamento dal punto di equilibrio delle particelle del gas.

2

∂ ξ

∂(∆p) −ρ(x,

= t) (24.109)

2

∂x ∂t

Per far diventare questa equazione l’equazione di un’onda dobbiamo es-

2

∂(∆p) ∂ ξ

in funzione di . Per fare questo introduciamo il modulo

primere 2

∂x ∂x

di compressibilità, specifico per ogni gas:

∆p

− (24.110)

B = ∆V /V

il segno negativo è introdotto in modo che B sia una quantità positiva, infatti

se aumento la pressione il volume si riduce, cioè ∆V < 0.

∆p V Adx dx

− − − −

B = = ∆p = ∆p = ∆p (24.111)

dV /V dV Adξ dξ

invertendo: ∂ξ

−B

∆p = (24.112)

∂x

inserendo: ∂ξ 2 2

∂(−B ) ∂ ξ ∂ ξ

∂x −B −ρ(x,

= = t) (24.113)

2 2

∂x ∂x ∂t

2 2

∂ ξ ρ ∂ ξ

= (24.114)

2 2

∂x B ∂t

che è l’equazione dell’onda cercata, da qui si deduce che la velocità del suono

è: s B

v = (24.115)

ρ

366 CAPITOLO 24. GAS

l’espressione può essere scritta in funzione di quantità termodinamiche, in

particolare possiamo lavorare su B: assumendo che il suono si propaghi molto

più velocemente del calore possiamo approssimare il comportamento del gas

come quello di una trasformazione adiabatica:

γ

P V = const (24.116)

differenziando: γ γ−1

dP V + P γV dV = 0 (24.117)

−1

−γP

dP = V dV (24.118)

Sostituendo in B dP V

dP −

− = = γP (24.119)

B = dV /V dV

e la velocità del suono:

s s r r

γP γN KT γN KT γKT

v = = = = (24.120)

M

ρ Vρ m

M

con massa di una molecola e m massa del gas.

24.8.2 Onde di pressione e di densità

Il suono oltre che un’onda di spostamento può essere vista come un’on-

da di pressione e di spostamento. La soluzione dell’equazione 24.114 sarà

combinazione lineare di: −

ξ(x, t) = ξ cos(kx ωt)

m

ωk ).

con (v =

Consideriamo un volumetto di area A, spessore dx e massa dm nella

dm

posizione x quando il gas è imperturbato. La densità a riposo sarà ρ = .

0 Adx

Lo spostamento del volumetto è descritto dalla funzione ξ(x, t). La base

sinistra del volumetto si sposterà da x a x + ξ(x, t), mentre quella destra da

x + dx a x + dx + ξ(x + dx). Quindi il nuovo spessore del volumetto sarà:

ξ(x + dx) ξ(x, t)

x + dx + ξ(x + dx) (x + ξ(x, t)) =dx 1 + dx

∂ξ(x, t)

=dx 1 + ∂x

24.8. SUONO 367

e quindi la densità:

ρ

dm ∂ξ(x, t)

0 ' −

= (24.121)

ρ(x, t) = ρ 1

0

∂ξ(x,t) ∂x

∂ξ(x,t) 1+

Adx 1 + ∂x

∂x −

allora la variazione di pressione ∆ρ = ρ ρ :

0

∂ξ(x, t)

−ρ

∆ρ(x, t) = (24.122)

0 ∂x

usando l’onda di spostamento precedente si ottiene:

− −

∆ρ(x, t) = ρ ξ k sin(kx ωt) = ∆ρ sin(kx ωt)

0 m m

Per passare ad una descrizione in funzione della pressione bisogna legare

la pressione alla densità usando la comprimibilità.

B

∆p = V /∆V

m

da ρ = :

V m V ∆ρ

∆V

− −

∆ρ = ∆V ∆V = ∆ρ =

2

V ρ V ρ

allora sostituendo: B B

∆p = = ∆ρ (24.123)

V /∆V ρ

9

e l’onda diventa : B − −

∆p = ∆ρ sin(kx ωt) = ∆p sin(kx ωt) (24.124)

m m

ρ

0

Infine si può calcolare l’onda di velocità (cioè la velocità di oscillazione

dell’elemento attorno al suo punto di equilibrio) semplicemente differenziando

lo spostamento: ξ(x, t) − −

u(x, t) = = ωξ sin(kx ωt) = u sin(kx ωt)

m m

∂t

Si noti come le onde di densità, pressione e velocità siano in fase tra di loro

e in controfase con l’onda di spostamento. In tabella 24.1 sono riassunte le

diverse descrizioni della propagazione del suono.

9 la si poteva ricavare anche direttamente dalla 24.112

368 CAPITOLO 24. GAS

ξ(x, t) = ξ cos(kx ωt)

m −

∆ρ(x, t) = ∆ρ sin(kx ωt) ∆ρ = ρ ξ k

m m 0 m

∆p(x, t) = ∆p sin(kx ωt) ∆p = Bξ k

m m m

− u = ωξ

u(x, t) = u sin(kx ωt) m m

m

Tabella 24.1: Suono come onda di spostamento, densità, pressione e velocità.

24.8.3 Potenza

La forza esercitata su una sezione di area A ortogonale a un’onda acustica

sarà semplicemente F = Ap = A∆p sin(kx ωt). La potenza:

m 2

Av(∆p )

m 2

2 −

− sin (kx ωt) (24.125)

P = uF = A∆p u sin (kx ωt) =

m m B

poiché le oscillazioni sono molto rapide (ω grande) rispetto alla sensibilità

degli strumenti, quello che si osserva è la media temporale. Sapendo che la

1

media di un seno al quadrato è :

2 2

2 A(∆p )

Av(∆p ) m

m

hP i (24.126)

=

= 2B 2ρ v

0

La potenza è proporzionale al quadrato dell’ampiezza. Si definisce intensità:

2

hP i (∆p )

m

I = = (24.127)

A 2ρv 25

Elettrone

Indice

25.1 Scariche nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

25.2 Esperimento di Thomson . . . . . . . . . . . . . . 370

25.3 Esperimento di Millikan . . . . . . . . . . . . . . 372

25.4 Isotopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

25.1 Scariche nei gas

Lo studio delle scariche nei gas e in particolare dei raggi catodici ha portato

all’ipotesi che l’elettricità non fosse altro che il trasporto di particelle cariche.

Per produrre una scarica in un gas tra un catodo (negativo) e un anodo (pos-

itivo) alla pressione atmosferica serve un’altissima differenza di potenziale,

come quella che si verifica durante un fulmine. Usando invece basse pres-

sioni le scariche diventano molto più facili da produrre; abbassando troppo

la pressione di arriva ad un punto di inversione. Diminuendo la pressione o

cambiando il gas il carattere delle scariche cambia, per esempio con l’aria le

scintille abbassando la pressione diventano un bagliore viola riempente tutto

il tubo, col neon rosso. Abbassando ulteriormente la pressione il bagliore

diminuisce, mentre il vetro contenente il gas inizia a illuminarsi. Si può

provare che i raggi sono provenienti dal catodo (raggi catodici): infatti po-

nendo un oggetto di forma particolare (per esempio una croce) tra l’anodo

369

370 CAPITOLO 25. ELETTRONE

e il catodo si osserva un’ombra dalla parte dell’anodo. Provando ad usare

campi elettrici o magnetici si può verificare che effettivamente questi raggi

sono carichi negativamente.

25.2 Esperimento di Thomson

Thomson usò un tubo di vetro per lo studio dei raggi catodici, accelerati

tra un catodo e un anodo. L’anodo aveva un piccolo foro, in modo tale che

i raggi potessero proseguire, incontrare un altro anodo con una fenditura

più piccola e arrivare tra due lastre piane di un condensatore, all’interno del

quale poteva essere applicato un campo magnetico perpendicolare, e finire

sulla fine del tubo, dove venivano rilevati come un puntino fluorescente.

Se applichiamo un campo elettrico uniforme tra le armature i raggi catod-

ici descrivono un orbita parabolica all’interno del condensatore per poi con-

tinuare la traiettoria in modo rettilineo fino alla fine del tubo. Tutte le

grandezze geometriche dello strumento sono note. Il grosso problema di

questo esperimento sono gli effetti al bordo del condensatore, che fanno sı̀

che la traiettoria all’esterno delle armature è solo asintoticamente rettilinea.

Applicando solo il campo elettrico:

y y

2

E y

1 x

L D

qE 2

r = t + v t (25.1)

0

2m

essendo −E̂

E = v = v ı̂

0 0

( x = v t

0 (25.2)

qE 2

y = t

2m

25.2. ESPERIMENTO DI THOMSON 371

eliminando il tempo: 2 2

x qE L

qE −

− = (25.3)

y = y(L) =

1 2 2

2m v 2m v

0 0

x=L

le velocità invece: ( v = v

x 0 (25.4)

qE

v = t

y m

eliminando il tempo: qE x qE L

− −

v (L) = = (25.5)

y m v m v

0 0

x=L

Dopo il condensatore si muove di moto rettilineo uniforme:

x = L + v t = L + v t

x 0 (25.6)

qE L

y = y + v t = y t

2 y 2 m v

0

eliminando il tempo: 2

− qE qE qEL

qE L x L L DL L

− − −

− = = + D

y = y 2 2 2 2

m v v 2m v m v mv 2

0 0 0 0 0

L+D (25.7)

q

In questo modo si potrebbe conoscere per inversione. Il problema è che

m

non si conosce v . Questa grandezza potrebbe essere calcolata sapendo la

0

differenza di potenziale tra il catodo e l’anodo e la loro distanza. Infatti

la forza d’accelerazione impressa è pari al potenziale per la distanza per

la carica. Thomson invece usò il metodo del separatore di velocità (vedi

esempio 16.2 a pag. 237): si usa un campo magnetico B = B k̂ ortogonale

al campo elettrico e si regola l’intensità fino a quando il campo magnetico

annulla l’effetto del campo elettrico e i raggi non vengono deviati. In queste

condizioni: ? ? ? ?

×

F = qE + qv B = q (E + v B ) ı̂ = 0 (25.8)

0 0

cioè: ?

E (25.9)

v =

0 ?

B

L’esperimento è diviso in due parti, nella prima si determina la velocità

?

v delle particelle dei raggi catodici usando un campo elettrico E e uno

0 ?

magnetico B . Nella seconda parte si applica solo un campo elettrico E e

372 CAPITOLO 25. ELETTRONE

si misura lo spostamento verticale y. Sostituendo la (25.9) nella (25.7) si

ottiene: 2

?

y E

q −

= (25.10)

?

m EL(L + 2D) B

?

spesso si usa E = E , quindi:

q y E

= (25.11)

2

m L(L + 2D) ?

(B )

−1

−1.758

che corrisponde a circa C kg .

25.3 Esperimento di Millikan

L’esperimenti do Millikan dimostra che la carica è quantizzata e ne trova il

valore minimo. Si consideri la caduta di una goccia d’olio supposta sferica

nell’aria. Le forze agenti sono la gravità, la spinta di Archimede e la forza di

Stokes: − −

F = mg ρ V g βv (25.12)

aria

con m la massa della goccia, ρ la densità dell’aria, β il coefficiente della

aria

forza di Stokes. Prendiamo come positivo l’asse verticale verso il basso. Per

una sfera: β = 6πηr (25.13)

con η il coefficiente di viscosità dell’aria e r il raggio della goccia, η è conosci-

uto. Innanzitutto vogliamo conoscere β e quindi il raggio r. La velocità di

regime v si raggiunge quando la somma delle forze è nulla:

a −

m V ρ

aria g (25.14)

v =

a β m

questa può essere misurata, infatti dopo qualche costante di tempo τ = si

β

1

può considerare che la velocità raggiunta sia quella di regime . Sostituendo

1 risolvendo l’equazione differenziale (25.12) in funzione della velocità si trova:

m V ρ

βt t→+∞

aria −

− −−−−→

v(t) = g 1 e v

m a

β

e allora: −

v(5τ ) v a −5

−e ' −0,

= 67%

v a

25.3. ESPERIMENTO DI MILLIKAN 373

nella (25.12) le espressioni della massa in funzione del volume e l’espressione

di β e usando la velocità di regime:

4 4

3 3

− −

πr ρ g ρ πr g 6πηrv = 0 (25.15)

olio aria a

3 3

possiamo trovare r: r ηv

a

r =3 (25.16)

2g (ρ ρ )

olio aria

tornando a β s 3

η v

a

β = 6πηr = 18π (25.17)

2g (ρ ρ )

olio aria

Il procedimento un po’ contorto è la prima parte dell’esperimento che ci

consente di trovare β a partire da grandezze direttamente misurabili.

La goccia d’olio continuando a cadere entra in un condensatore a facce

piane e parallele all’interno del quale è presente un campo elettrico uniforme

verticale. La goccia si carica elettricamente per sfregamento con l’aria, con

l’ugello, o con una sorgente radioattiva posta nelle sue vicinanze. Assumendo

che la goccia sia carica negativamente (potrebbe essere anche carica positiva-

mente) e che il campo elettrico sia tale da imprimere una forza verso il basso

si ha: − −

F = mg βv ρ V g + qE (25.18)

aria

6

si arriverà ad una velocità di regime v = v :

e a

βv = mg ρ V g + qE (25.19)

e aria 2

il termine mg ρ V g lo possiamo ricavare dalla (25.14) :

aria βv = v β + qE (25.20)

e a

essendo E noto, possiamo ricavare la carica della goccia d’olio:

s 3

β 18 η v a

− − −

(v v ) = (v v ) (25.21)

q = e a a e

E π 2g (ρ ρ )

olio aria

Naturalmente il tutto può essere fatto usando il campo elettrico al contrario o

3

usando gocce di altro materiale, come mercurio . Osservando le gocce con un

microscopio quello che si trova è che la carica delle gocce d’olio è quantizzata

e il valore tra le cariche è costante e si suppone essere quello della carica

dell’elettrone. Il valore di Millikan era leggermente sbagliato perché usava

una sottostima di η per l’aria.

2 più lineare, ma più lungo sarebbe stato sostituire il valore di β in funzione di v e m

a

in funzione del raggio r e quest’ultimo in funzione di v a

3 il problema principale è l’evaporazione

374 CAPITOLO 25. ELETTRONE

25.4 Isotopi

Dopo la scoperta dell’elettrone ci si chiedeva se poteva esistere un flusso di

cariche positive che generasse una corrente. La ricerca di queste particelle fu

condotta usando un apparato simile a quello per lo studio dei raggi catod-

ici. Goldstein osservò che se nel catodo di un tubo con gas rarefatto aveva

una sottile fenditura apparivano raggi luminosi nel gas dalla parte opposta

dell’anodo. Questi raggi furono chiamati “raggi positivi”.

q . La scarica avveniva in un grande bulbo

Thomson misurò il rapporto m

mantenuto a bassa pressione tra un anodo e un catodo. Il catodo aveva

una fenditura, in modo tale che alcuni raggi potevano attraversarlo. Al dı̀

là del catodo si trovavano i poli di un elettromagnete che generavano un

campo magnetico B, allo stesso tempo era generato un campo elettrico E

antiparallelo a B. Dopo questa regione di lunghezza L si trova uno spazio

di lunghezza D in cui i raggi proseguono in linea retta, prima di arrivare su

uno schermo rilevatore.

I raggi arrivano nella regione dei campi con una velocità v = v ı̂, in

0 0x

quanto la fenditura fa si che solo la componente x sopravviva. Il campo

−E̂

elettrico sia orientato verso il basso: E = e il campo magnetico verso

l’alto: B = B̂. Le forze che agiscono sui raggi supposti come flusso di

particelle cariche sono: −qE̂

F = qE = (25.22)

E

× ×

F = qv B = qBv ̂

B

− − −

= qB (v 0 v 1) ı̂ + (v 0 v 0) ̂ + (v 1 v 0) k̂ (25.23)

y z z x x y

−v

= qB ı̂ + v k̂

z x

Notiamo che la forza elettrica modifica solo la v che non influenza la F ,

y B

quindi potremmo usare semplicemente i procedimenti fatti precedentemente.

Impostando il problema di Cauchy usando il formalismo newtoniano mr̈ =

F :  x(0) = 0

 y(0) = 0

 

−qB

mẍ = ż 

  z(0) = 0

 

−qE

mÿ = (25.24)

ẋ(0) = v

0x

 

mz̈ = qB ẋ

 

 ẏ(0) = 0

 ż(0) = 0

25.4. ISOTOPI 375

La seconda equazione è disaccoppiata dalle altre ed è facilmente integrabile:

1 qE 2

y(t) = t (25.25)

2 m

Per disaccoppiare le rimanenti possiamo derivarle ulteriormente:

...

( −qB

x

m = z̈ (25.26)

...

z

m = qB ẍ

Partiamo dalla seconda, sostituendo ẍ: 2

qB qB

... −

z = ẍ = ż (25.27)

m m

che è autonoma, facile da risolvere:

2

qB qB

3 ±

λ + i

λ =0 λ = 0 λ =

1 2/3

m m

Allora la soluzione generale è:

qB qB

λ t λ t λ t t +C sin t (25.28)

z(t) = C e +C e +C e = C +C cos

1 2 3

3 1 2 3

1 2 m m

Troviamo la soluzione generale anche per x(t): 2

qB qB

... − −

x = z̈ = (25.29)

m m

che è esattamente la (25.27), quindi la soluzione deve essere del tipo (25.28):

qB

qB t + C sin t (25.30)

x(t) = C + C cos

4 5 6

m m

Iniziamo ad imporre le condizioni iniziali z(0) = 0:

−C

0 = z(0) = C + C C = (25.31)

1 2 2 1

−C

e anche per x: C = . Per le velocità ż(0) = 0:

5 4 qB ⇒

0 = ż(0) = C C = 0 (25.32)

3 3

m

mentre per x: qB m

v = ẋ(0) = C C = v (25.33)

0x 6 6 0x

m qB

376 CAPITOLO 25. ELETTRONE

Non siamo riusciti a determinare tutte le costanti perché abbiamo solo due

condizioni iniziali, mentre stiamo risolvendo un equazione del terz’ordine, le

informazioni aggiuntive saranno ricavate dal modo in cui le equazioni dif-

ferenziali per x e per z sono accoppiate; riassumiamo quello che abbiamo

trovato:

qB

− t (25.34)

z(t) = C C cos

1 1 m

m qB

qB

− t + v sin t (25.35)

x(t) = C C cos 0x

4 4 m qB m

Usiamo le condizioni di accoppiamento: qB

 −

ẍ = ż

 m (25.36)

qB

z̈ = ẋ

 m

facendo le derivate:

qB qB qB qB qB

 − −C

C cos t v sin t = sin t

 4 0x 1

 m m m m m

 (25.37)

qB qB qB

qB qB

 cos t = C sin t + v cos t

C

 4 0x

1

 m m m m m

Riscriviamo in questo modo:

qB qB

 −

qBC cos t + (qBC v m) sin t = 0

 4 1 0x

 m m

 (25.38)

qB qB

 −

(C qB + v m) cos C qB sin t =0

 1 0x 4

 m m

Dividendo: −

qBC qBC v m

4 1 0x

= (25.39)

C qB + v m C qB

1 0x 4

ovvero: 2 2

(C qB + v m) = (qBC ) (25.40)

1 0x 4

che è vera se : qBC = 0 (25.41)

4

cioè C = 0. Oppure se

4 C qB + v m = 0 (25.42)

1 0x

25.4. ISOTOPI 377

v m Eguagliando e raccogliendo le equazioni del sistema (25.38):

cioè C = 0x

1 qB

qB qB

− −

(qBC C qV + v m) cos t +(qBC v m + C qB) sin t =0

4 1 0x 1 0x 4

m m (25.43)

v m . Allo stesso modo sostituendo

e sostituendo C = 0 si ottiene C = 0x

4 1 qB

v m

C = si ottiene C =0. Dopo tutti questi conti le equazioni del moto e

0x

1 4

qB

le velocità delle particelle all’interno del campo magnetico ed elettrico sono:

m qB qB

 

x(t) = v sin t t

v (t) = v cos

 

0x x 0x

 

qB m m

 

 

 

 

1 qE qE

 

2 (25.44)

y(t) = t v (t) = t

y

2 m m

 

 

m qB

m qB

 

 

 

z(t) = v (t) = v sin

v v cos t t

  z 0x

x x

 

qB qB m m 26

Radiazione di corpo nero

Indice

26.1 Radiazione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

26.2 Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

26.2.1 Legge Stefan–Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 380

26.2.2 Legge di Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

26.2.3 Cavità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

26.2.4 Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

26.3 Radiazione della cavità . . . . . . . . . . . . . . . 382

26.4 Rayleigh–Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

26.4.1 Modi di oscillare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

26.4.2 Legge di Rayleigh–Jeans . . . . . . . . . . . . . . . 384

26.5 Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

26.1 Radiazione termica

Un corpo emette della radiazione visibile se è caldo abbastanza. Possiamo

scomporre questa radiazione con un prisma ed analizzarne le componenti, per

esempio potremmo mettere in relazione l’emittanza monocromatica R(λ) =

dW , cioè la potenza irradiata per unità di superficie per la lunghezza d’onda

compresa tra λ e λ+dλ, con λ. Si osserva che ogni corpo ha la sua curva R(λ).

Facendo l’inviluppo di tutte le funzioni R(λ) variando il tipo di materiale e

378

26.1. RADIAZIONE TERMICA 379

usando la stessa temperatura si ottiene una curva, quella della radiazione di

corpo nero.

Ogni corpo emettere dell’energia per irraggiamento, cioè radiazione, questo

fa si che si crei un equilibrio termico tra vari corpi anche senza un contatto.

Infatti se il corpo A è più caldo del corpo B, ci sarà un flusso netto di radi-

azione da A a B fino a quando B assorbendo la radiazione di A convertendola

in energia interna non avrà la stessa temperatura di A che contemporanea-

mente si è raffreddato per perdita di energia interna sotto forma di radiazione

verso B. Aumentando la temperatura di un corpo aumenta la potenza da

esso irradiata.

Consideriamo un intervallo di lunghezze d’onda infinitesimo dello spettro

di emissione di n corpi opachi in equilibrio termico tra loro e l’ambiente.

Poiché i corpi sono opachi non possono trasmettere la radiazione, parte di

essa sarà assorbita e parte riflessa. Sia E l’energia che arriva su un corpo.

La parte di energia riflessa sarà aE, quella riflessa rE. a è il coefficiente di

assorbimento, r di riflessione. Naturalmente essendo tutta la radiazione o

riflessa o assorbita: ⇒

E = aE + rE = (a + r)E (a + r) = 1 (26.1)

per tutti i corpi a + r = 1 . . . a + r = 1. Poiché i corpi sono in equilibrio

1 1 n n

termico tra di loro e con l’ambiente (li possiamo considerare nel vuoto) l’en-

ergia irradiata dal primo corpo in un certo ∆t deve essere uguale all’energia

assorbita: W ∆A ∆t = a I∆A ∆t (26.2)

1 1 1 1

con W l’emittanza, ∆A l’area della superficie e I l’intensità ricevuta dagli

1 1

altri corpi. Questo vale per tutti i corpi:

W ∆A ∆t = a I∆A ∆t (26.3)

2 2 2 2

Dividendo membro a membro la (26.2) e la (26.3):

a

W 1

1 = (26.4)

W a

2 2

o meglio: W W

1 2

= (26.5)

a a

1 2

Wa

cioè il rapporto è costante per qualsiasi corpo (dipenderà dalla lunghezza

d’onda e dalla temperatura). Quindi se un corpo ha un W alto, cioè è un

buon emettitore allora avrà un alto valore di a cioè sarà un buon assorbitore.

380 CAPITOLO 26. RADIAZIONE DI CORPO NERO

26.2 Corpo nero

Un corpo nero è un perfetto emettitore, o equivalentemente un perfetto assor-

bitore. Per un corpo nero a = 1. Il modo pratico per costruire un corpo nero

è quello di usare una cavità con un piccolo foro. Ritornando all’equazione

(26.5):

Legge 26.1 (Kirchhoff) Ad una data temperatura

W W

W 2 b

1 = = = W (26.6)

b

a a 1

1 2

con W l’emittanza del corpo nero.

b

Quindi il rapporto tra l’emittanza e il coefficiente di assorbimento è pari

all’emittanza del corpo nero.

26.2.1 Legge Stefan–Boltzmann

La potenza per unità di area emessa dal corpo nero W è data dall’integrale

b

+

della curva R(λ) su . Stefen trovò empiricamente:

R

Legge 26.2 (Stefan–Boltzmann) 4

W = σT (26.7)

b

con σ costante di Stefan–Boltzmann. La legge empirica di Stefan era stata

derivata teoricamente da Boltzmann. Per un corpo generico possiamo dire:

4

W = aW = aσT (26.8)

b

26.2.2 Legge di Wien

Cambiando temperatura la funzione R(λ) cambia e in particolare cambia il

massimo. Si nota che rimane costante:

Legge 26.3 (legge di Wien)

λ T = const (26.9)

max

26.2. CORPO NERO 381

26.2.3 Cavità

Dimostriamo che una cavità con un piccolo foro si comporta come un cor-

po nero, ciò vorrà dire che è solo la geometria che importa. Consideriamo

due pareti, una di fronte all’altra, contenute in un contenitore che le iso-

la dall’esterno. Su una delle due pareti sia praticato un foro molto piccolo

rispetto all’area della parete. Consideriamo un intervallo di tempo ∆t. La

parete A emette una certa energia per unità di area pari a W ∆t (anche in

A

assenza della seconda parete), questa arriva sulla seconda parete, ed è riflessa

parzialmente, esattamente r W ∆t = (1 a )W ∆t, quest’energia arriva

B A B A

− −

sulla parete indietro che riflette (1 a )(1 a )W ∆t, eccetera. Lo stesso

A B A

discorso si può fare per l’energia che parte dalla parete B. Riassumiamo:

→ W ∆t

W ∆t B

A

← − → −

(1 a )W ∆t (1 a )W ∆t

B A A B

→ − − ← − −

(1 a )(1 a )W ∆t (1 a )(1 a )W ∆t

A B A A B B

2 2

← − − → − −

(1 a )(1 a ) W ∆t (1 a ) (1 a )W ∆t (26.10)

A B A A B B

2 2 2 2

→ − − ← − −

(1 a ) (1 a ) W ∆t (1 a ) (1 a ) W ∆t

A B A A B B

3 2

2 3 → − −

← − − (1 a ) (1 a ) W ∆t

(1 a ) (1 a ) W ∆t A B B

A B A

... ... ... ...

Supponiamo che il nostro piccolo foro sia praticato nella parete di destra,

quindi l’energia per area W che uscirà sarà la somma di tutte le riflessioni

r

→:

verso destra 2 2

− − − −

W ∆t = W ∆t + (1 a )(1 a )W ∆t + (1 a ) (a a ) W ∆t + . . . +

r A A B A A B A

2 3 2

− − − − −

+ (1 a )W ∆t + (1 a ) (1 a )W ∆t + (1 a ) (1 a ) ∆t + . . .

A B A B B A B (26.11)

che è la somma di due serie geometriche:

∞ ∞

X X n

n

− − − − −

W = W [(1 a )(1 a )] + W (1 a ) [(1 a )(1 a )]

A B

A B B A

r A n=0 n=0

X n

− − −

= (W + W (1 a )) [(1 a )(1 a )]

A B A A B

n=0 1

= (W + W (1 a ))

A B A − − −

1 (1 a )(1 a )

A B

1

= (a W + a W (1 a ))

A b B b A −

a + a a a

A B A B

a + a + a a

A B A B

= W = W

b b

a + a + a a

A B A B (26.12)

382 CAPITOLO 26. RADIAZIONE DI CORPO NERO

avendo ricordato che W = a W W = a W

A A b B B b 1

con W la radiazione del corpo nero e una nota relazione algebrica . Abbi-

b

amo allora dimostrato che la radianza che esce dalla fenditura nella cavità è

proprio quella del corpo nero. Questo è di fondamenta importanza, oltre a

permetterci di costruire un corpo nero come cavità, questa affermazione dice

che per studiare la radiazione di corpo nero possiamo studiare la radiazione

all’interno di una cavità.

26.2.4 Wien

Wien notò la somiglianza della curva R(λ) che descrive la potenza per unità di

area per una lunghezza d’onda compresa tra (λ, λ + dλ) con la distribuzione

di Maxwell per le velocità. Usando questo tipo di funzione e cercando i

coefficienti che interpolassero i dati ottenne:

−5

c λ

1 (26.14)

R(λ) = c

2

e λT

c e c sono chiamati prima e seconda costante di radiazione.

1 2

26.3 Radiazione della cavità

Come abbiamo detto la radiazione di un corpo nero è uguale alla radiazione

emessa da un corpo nero. Studiamo quindi lo spettro della densità di energia

della radiazione all’interno di una cavità ρ. Questa quantità non è altro

che l’energia per unità di volume all’interno della cavità nell’intervallo di

frequenze (o lunghezze d’onda corrispondenti) ν-ν + dν. È evidente che:

ρ R (26.15)

1 serie geometrica:

∞ n

X X

k k 2 3 n

x = lim x = lim 1 + x + x + x + . . . + x

n→∞ n→∞

k=0 k=0

1 2 3 n

− − − − −

(1 x) + (1 x)x + (1 x)x + (1 x)x + . . . + (1 x)x

= lim −

1 x

n→∞ 1

 n+1 |x|

− < 1

1 x 

6 −

 

x = 1 1 x

= lim =

1 x ≥

+∞ x 1

n→∞ n +1 x =1

  ≤ −1

 x

@ (26.13)

− −

Nel nostro caso x = (1 a )(1 a ) 0 < x < 1

A B

26.4. RAYLEIGH–JEANS 383

26.4 Rayleigh–Jeans

Un modo rigoroso è quello intrapreso da Lord Rayleigh. Egli suppone che

nella cavità le onde stazionarie abbiano l’energia kT somma dell’energia ci-

netica su un grado di libertà e di quella potenziale. Ogni onda stazionaria

ha un certo numero di modi di oscillare, ognuno dei quali ha energia kT .

26.4.1 Modi di oscillare

Un’onda monodimensionale stazionaria è tale che:

λ (26.16)

L = n 2

con n naturale. Consideriamo λ L. Differenziando:

2

− Ldλ (26.17)

dn = 2

λ

Esempio 26.1 (numero di modi di oscillare) Se una corda è lunga L =

1 m e l’intervallo di lunghezze d’onda è (λ, λ + ∆λ) = (1 cm, 1.1 cm) allora ci

sono: ·

2 1m

2L ∆λ = 0.001 m = 20

∆n = 2 2

λ (0.01 m)

modi di oscillare.

Se avessimo fatto un conto esatto allora:

1 1 '

− − 18.1

∆n = n n = 2L

2 1 λ λ

2 1

quindi contando anche gli estremi ci sono 19 modi di oscillare.

Passiamo al problema tridimensionale. Ipotizziamo che la cavità si cubica

di lato L. L’onda stazionaria che si propaga sarà del tipo:

E = E cos(k x) sin(k y) sin(k z) sin ωt (26.18)

x 0 x y z

e cosı̀ per le altre componenti. La condizione al contorno che deve rispettare

è che le componenti parallele a ogni superficie devono essere nulle sulla su-

perficie (la stessa cosa avveniva per il caso monodimensionale). Per esempio

consideriamo la parete y = L, qui deve valere:

E (x, L, z) = E cos(k x) sin(k L) sin(k z) sin ωt = 0

x 0 x y z k L = n π

y y

E (x, L, z) = E cos(k z) sin(k L) sin(k x) sin ωt = 0

z 0 z y x (26.19)

384 CAPITOLO 26. RADIAZIONE DI CORPO NERO

e cosı̀ via con n , n , n N.

x y z πc 1

2 2 2

kkk

ω = c = n + n + n (26.20)

2

x y z

L

fissato ω il vettore n ha modulo: ωL

knk (26.21)

= πc

Vogliamo sapere quanti modi di oscillare con pulsazione minore di ω. Per

ogni scelta di n ci sono 2 modi di oscillare dati dalla polarizzazione. Quindi

il numero di modi di oscillare è: 3 3

4 ωL

1 ω V 8πV

=

π

2 = (26.22)

2 3 3

8 3 πc 3π c 3λ

Il 2 deriva dal fatto che per ogni scelta di n ci sono 2 polarizzazioni, mentre

l’ottavo deriva dal fatto che le componenti di n possono essere solo positive.

Differenziando come prima possiamo sapere quanti modi di oscillare ci sono

per lunghezze d’onda comprese tra (λ, λ + dλ):

8πV dλ (26.23)

dN = 4

λ

26.4.2 Legge di Rayleigh–Jeans

Dall’equazione (26.23) divisa per V otteniamo la densità di modi. Associando

ad ogni modo l’energia kT si ottiene: 8πkT

R(λ) = (26.24)

4

λ

Che è la potenza monocromatica per unità di area secondo Rayleigh–Jean.

Questa funzione per λ 0 tende a +∞, che è ovviamente impossible, la

cosidetta catastrofe ultravioletta. Dalla legge di Rayleigh–Jeans si deduce

che la fisica classica non è capace di descrivere lo spettro del corpo nero.

26.5 Planck

Planck postula che l’energia degli oscillatori sia discreta, multipla intera di

. Il numero di oscillatori aventi l’energia m con m è:

N

Em m

− −

n = n e = n e (26.25)

kT kT

m 0 0

26.5. PLANCK 385

e la loro energia totale: m

− (26.26)

E = n (m) = mn e kT

m m 0

il numero totale di particelle:

∞ ∞ ∞ 1

m

m

X X X

− −

N = n = n e = n e = n (26.27)

kT kT

m 0 0 0

1 e kT

m=0 m=0 m=0

− 2

essendo una serie geometrica di ragione 0 < e < 1. L’energia media sarà

kT

allora: m

∞ ∞

m −

− m e

mn e

E kT

kT

X X

X 0

m

hEi = =

= 1 1

N n

0 − −

m=0 m=1

m=0 1−e 1−e

kT kT −2

m−1 −

1 e

∞ −

P kT

m e 1

kT − −

− m=1

= e = e = e =

kT kT kT

−1 −1 −

− −

− − 1 e e 1

− −

1 e 1 e kT kT

kT kT (26.28)

La densità di modi di oscillare è data dalla (26.23) divisa per il volume, quindi

la potenza per unità di area totale, associando ad ogni modi di oscillare la

(26.28), è: 8π

R(λ) = (26.29)

4

λ −

e 1

kT

per tornare al caso classico dobbiamo ammettere che l’energia non sia quan-

tizzata, cioè 0

hE i hEi

= lim = lim = lim = kT (26.30)

classico

e 1

→0 →0 →0

kT kT

l’energia non è costante ma varia con la frequenza:

hc

= hν = (26.31)

λ

con h costante di Planck. La distribuzione della radianza diventa:

8π hc (26.32)

R(λ) = hc

5

λ −

e 1

λkT

−2

2 −

ricordiamo lo sviluppo in serie di (1 x) :

∞ ∞

−2 X X

m m−1

(1 x) = (m + 1)x = mx

m=0 m=1

386 CAPITOLO 26. RADIAZIONE DI CORPO NERO

questa distribuzione si adegua bene ai dati sperimentali, evitando la catas-

trofe ultravioletta ad alte frequenze, infatti ad alte frequenze è molto grande

e la probabilità che un modo di oscillare con quella frequenza esista è molto

bassa.

Il fatto che l’energia è quantizzata significa anche che l’emissione di ener-

gia da parte del corpo nero è quantizzata, cioè sotto forma di quanti o fotoni,

ognuno dei quali trasporta energia hν. 27

Calore specifico dei solidi

Indice

27.1 Doulong–Petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

27.2 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

27.3 Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

27.3.1 Modi di vibrare in un cristallo . . . . . . . . . . . 391

27.3.2 Approssimazione di Debye . . . . . . . . . . . . . . 391

Consideriamo trasformazioni a volume costante, queste trasformazioni

−pdV

hanno il vantaggio di compiere lavoro nullo, infatti δL = ; per il primo

principio della termodinamica: dU = δQ + δL (27.1)

con U l’energia interna di un sistema che diventa

dU = δQ (27.2)

il calore in relazione al calore specifico molare, in questo caso a volume

costante è: δQ = nc dT (27.3)

V

ma per la (27.2): dU

1

c = (27.4)

v n dT

spesso lavoreremo considerando un solo atomo o una sola mole.

387

388 CAPITOLO 27. CALORE SPECIFICO DEI SOLIDI

27.1 Doulong–Petit

Se la temperatura di un gas è una misura diretta dell’energia cinetica traslazionale

delle sue molecole la temperatura di un solido è la misura dell’energia cinetica

degli atomi che vibrano attorno alle loro posizione di equilibrio nel reticolo.

Se un solido e un gas sono in equilibrio termico significa che hanno la stessa

32 kT per atomo. Se

temperatura e quindi la stessa energia cinetica media

immaginiamo ogni atomo come un oscillatore armonico, l’energia potenziale

sarà: 1 2

V = βx (27.5)

2

dato che l’equazione del moto armonico, considerando come condizioni in-

iziale x = 0 e velocità massima: !

r β (27.6)

t

x(t) = A sin m !

r r

β β

ẋ(t) = A cos t (27.7)

m m

possiamo ricavare come variano E e U :

C !

r

1 1 β

2 2 2

E (t) = mv = A β cos t (27.8)

C 2 2 m !

r

1

1 β

2 2 2

βx = A β sin t (27.9)

U (t) = 2 2 m

calcoliamo i valori medi: √ m

π 2

Z

1 A β

β

hE i = (27.10)

E (t)dt =

C c

q 4

m

π 0

β √ m

π 2

Z

1 A β

β

hU i = U (t)dt = (27.11)

q 4

m

π 0

β

il calcolo non era necessario in quanto U (t) e E (t) sono due funzioni uguali,

C

ma sfasate, quindi in un periodo l’area sottesa sottesa deve essere uguale.

Concludiamo che l’energia cinetica media per atomo e l’energia potenziale

32

cinetica per atomo sono uguali. Sommando l’energia cinetica ( kT ) e quella

potenziale l’energia media per atomo diventa:

E = 3kT (27.12)

atomo

27.2. EINSTEIN 389

e per una mole: E = 3kN T = 3RT (27.13)

A

Allora possiamo calcolare il calore specifico a volume costante:

dE −1 −1

'

= 3R 24.94 J mol K (27.14)

c =

v dT

che è la legge di Doulon–Petit. Nella semplice derivazione non abbiamo

tenuto conto dei possibili cambiamenti della struttura cristallina e dell’ener-

gia associata agli elettroni liberi (nei metalli). I dati sperimentali mostrano

che la legge di Doulong–Petit funziona solo per temperature molto alte e vale

per tutti i materiali solidi. Il teorema di equipartizione dell’energia fallisce.

27.2 Einstein

Nel 1906 Einstein derivò il calore specifico dei solidi assumendo ipotesi simili

a quelle di Planck per la radiazione di corpo nero. Assumiamo che il nostro

solido contenga N atomi, e possa essere rappresentato come 3N oscillatori.

Il modello di Eintein si caratterizza per associare ad ogni oscillatore la stessa

frequenza ν uguale per tutti. In accordo con Planck l’energia di un oscillatore

1

può essere : ∈

= nhν n (27.15)

N

n

L’energia media risulta allora: nhν

∞ ∞

− −

P P

e nhνe

kT kT

n=0 n=0

hi (27.16)

= =

∞ − nhν

P −

e P e

kT kT

n=0 n=0

per valutare questa serie possiamo usare lo stesso procedimento che abbi-

amo usato per Planck, nell’equazione (26.28). Infatti il denominatore è una

serie geometrica di ragione e ; il numeratore invece dopo gli opportuni

kT 1

raccogliamenti è lo sviluppo in serie di :

− 2

(1−e )

kT

hi = (27.17)

hν −

e 1

kT

1 in realtà sarebbe più corretto

1

= n + hν

n 2

390 CAPITOLO 27. CALORE SPECIFICO DEI SOLIDI

che contempla il risultato classico, per alte temperature:

hν hν

h i hi

= lim = lim = = kT (27.18)

classico hν hν

→∞ →∞ −

T T 1

e kT kT

L’energia di tutto il solido: hν

hi

E = 3N = 3N (27.19)

hν −

e 1

kT

e il calore specifico: hν

2

∂ ∂ (hν) e

1 hν 3N

1 kT

E = 3N =

c =

V 2

hν 2

n ∂T n ∂T n kT

− 1

e hν

kT −

e 1

kT (27.20)

2

hν e kT

=3R 2

kT

hν −

e 1

kT hi → ∞

Tanto quanto l’energia media tende a quella classica per T anche il

calore specifico di Einstein tende al calore specifico di Doulong–Petit:

2

hν e kT

lim c = lim 3R = 3R (27.21)

V 2

kT

→∞ →∞

T T hν −

e 1

kT

Introduciamo la temperatura di Einstein Θ :

E

Θ = (27.22)

E k

che ha proprio le dimensioni di una temperatura. Il calore specifico (27.20)

si può scrivere: Θ

2 E

Θ e T

E

c = 3R (27.23)

v 2

T

Θ

E −

e 1

T

Θ

E

questa espressione va a zero come e . Sperimentalmente si nota invece

T 3

che i calori specifici vanno a zero come T . In pratica il calore specifico

diminuisce troppo rapidamente a basse temperature.

27.3. DEBYE 391

27.3 Debye

27.3.1 Modi di vibrare in un cristallo

Ripartiamo da quello che avevamo detto per la cavità. La condizione al

contorno che l’onda stazionaria tridimensionale deve soddifare è la (26.21):

2πνL 2νL

ωL

knk = = (27.24)

= πc πc c

S S S

dove c è stato sostituito con c essendo ora non più onde elettromagnetiche,

S

ma onde meccaniche. I modi di vibrare compresi tra n e n + dn sono:

2 2

ν L

1 2

4πn dn = 2π dn (27.25)

dN = 2

8 c S

che è il volume di una crosta sferica di spessore infinitesimo di raggio n. Si

considera un ottante perché le componenti di n sono positive. Vogliamo il

numero di modi di vibrare in funzione della frequenza, troviamo dn differen-

ziando la (27.24): 2L

dn = dν (27.26)

c S

e sostituiamola nella (27.25): 2 3

ν L 4πV 2

dN = 4π dν = ν dν (27.27)

3 3

c c

S S

3

con L = V . In realtà l’equazione va corretta perché nel nostro mezzo si pro-

pagano sia onde longitudinali con velocità c e onde trasversali con velocità

L

c con due polarizzazioni diverse:

T

1

2 2

+ ν dν (27.28)

dN = 4πV 3 3

c c

T L

27.3.2 Approssimazione di Debye

La lunghezza d’onda è grande rispetto alle distanze tra gli atomi, quindi

l’onda vede il cristallo come un continuo. Se gli atomi sono N il numero

massimo di modi di vibrare sono 3N che corrisponde ad una frequenza ν .

D

Il numero di modi di oscillare con frequenza compresa tra 0 e ν è:

D

ν ν

Z Z 2 1 4 2 1

D D 2 3

dN = 4πV + ν dν = πV + ν = 3N

D

3 3 3 3

c c 3 c c

0 0 T L T L (27.29)

392 CAPITOLO 27. CALORE SPECIFICO DEI SOLIDI

allora invertendo: s −1

9N 2 1

3

ν = + (27.30)

D 3 3

4πV c c

T L

2

facendo un conto approssimativo si arriva ad una lunghezza d’onda dell’or-

dine della distanza tra gli atomi. Questo è in netto contrasto con l’ipotesi in-

iziale soprattutto per le alte frequenze. Possiamo inserire l’equazione (27.30)

nella (27.28):

1 9N 1 9N

2 2

+ = dN = ν dν (27.31)

3 3 3 3

c c 4πV ν ν

T L D D

Associando ad ogni modo di vibrare l’energia di un oscillatore secondo Planck

si ottiene l’energia totale:

ν ν ν 3

3

Z Z Z

hν 9N ν

hν 9N h

D D D

dN

E = = dν = dν

3 3

hν hν hν

ν ν

− − −

e 1 e 1 e 1

kT kT kT

0 0 0

D D (27.32)

Definiamo una temperatura di Debye Θ :

D

D (27.33)

Θ =

D k

e calcoliamo il calore specifico:

ν ν

3 3

Z Z

N

1 ∂E N 9N h ∂ ν 9N h ∂ ν

D D

A

A

c = = dν = dν

V 3 3

hν hν

n ∂T N ν ∂T N ν ∂T

− −

e 1 e 1

kT kT

0 0

D D

ν 4

2 Z

9N h ν e

D kT

A dν

= 2

3 2

ν kT

0 −

D 1

e kT (27.34)

questo integrale non ha primitiva analitica, possiamo semplificarlo intro-

ducendo: hν kT kT

x = ν = x dν = dx (27.35)

kT h h

2 N −1

28 3 3

× ×

= 1 10 /m c = c = 1 10 m s

S suono

V

s −1

1

9N −10

12

3 ' × ' ×

ν = 2 10 Hz λ = c ν 5 10 m = 5 Å

D D S D

3

4πV c

S

27.3. DEBYE 393

mentre gli estremi di integrazione:

hν hν hν

D

x = = 0 x = = (27.36)

1 2

kT kT kT

ν=0 ν=ν

D

sostituendo: kTh

hx

hνD 4

kT

2 e

x

Z

9N h kT

kT

kT

A h dx

c =

V 2

3 2

ν h

kT

kT

hx

0

D h −

e 1

kT

hνD Θ

D

5 3

2 4 x 4 x

Z Z

9N h x e kT x e

kT kT T

A

= dx = 9N k dx

A

2 2

3 2

ν h hv

kT x x

− −

(e 1) (e 1)

D

0 0

D Θ

D

3 4 x

Z

T x e

T

= 9R dx

2

Θ x −

(e 1)

D 0 (27.37)

3

per basse temperature tende a zero come T , mentre all’infinito vale 3R.

3

2,5

C/R 2

1,5

1

0,5

0 0 0,5 1 1,5 2

T/Theta

Debye

Einstein

Doulong-Petit 28

Meccanica statistica

Indice

28.1 Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

28.2 Distribuzione Maxwell–Boltzmann . . . . . . . . 396

28.2.1 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

28.3 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

28.4 Equilibrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

28.1 Boltzmann

Consideriamo un sistema in equilibrio ad un certa temperatura T . Qual è la

probabilità di trovare il sistema in equilibrio, isolato dall’ambiente, con ener-

gia E? Sperimentalmente posso misurare ad intervalli di tempo ravvicinati

l’energia interna. Oppure posso prendere diversi sistemi, che comunicano

solo con scambi di calore e valutare le loro energie interne. È la stessa cosa.

Consideriamo due sistemi 1 e 2 a contatto identici in equilibrio termico.

La distribuzione di probabilità del primo corpo è uguale a quella del secondo:

P = P , perché la probabilità di trovare il primo sistema ad energia E

1 2

è la stessa di trovare il secondo corpo ad energia E. Questa probabilità

sarà proporzionale alla temperatura. La probabilità che i due corpi abbiamo

energia E e E rispettivamente è P (E )P (E ). Consideriamo i due sistemi

1 2 1 2

0

come un unico sistema. Definiamo P la densità di probabilità di trovare il

394

28.1. BOLTZMANN 395

0

sistema globale all’energia E = E + E e il sistema 1 all’energia E e il

1 2 1

sistema 2 all’energia E :

2

0 0

P (E = E + E ) = P (E )P (E ) (28.1)

1 2 1 2

0

Ma P e P sono uguali a meno di un coefficiente in quanto il sistema globale

è alla stessa temperatura dei due corpi ed è in equilibrio. Appare chiaro che

la funzione cercata è un esponenziale.

Scegliamo E = 0 e E = E allora:

1 2

0

P (E) = P (0)P (E) = P (E )P (E )

1 2

usando E = E + E :

1 2

0

P (E + E ) = P (E )P (E ) = P (0)P (E + E )

1 2 1 2 1 2

vale per ogni E , E :

1 2 P (E + E )P (0) = P (E)P (E )

1 2 2

se E = E e E = dE:

1 2 1 P (E)P (dE)

P (E + dE) = P (0)

1 −

P (E)P (dE) P (E)

− −

P (E + dE) P (E) P (E) P (dE P (0)

P (0)

= =

dE dE P (0) dE

P (E) dP (E = 0)

dP (E) =

dE P (0) dE

dP (E) 1 dP (E = 0)

dE −β

= =

P (E) P (0) dE

con β indipendente da E P (E) E

Z Z

dP −β

= dE

P (E)

P (0) 0 −βE

P (E) = P (0)e (28.2)

396 CAPITOLO 28. MECCANICA STATISTICA

28.2 Distribuzione Maxwell–Boltzmann

Consideriamo un sistema con vari livelli energetici E , E , . . . cioè con ener-

1 2

gia quantizzata. Consideriamo N particelle identiche ma inizialmente distin-

guibili. Una partizione è una configurazione del sistema, cioè ogni partizione

avrà un certo numero di particelle n nel livello E , n nel livello n . . . in mo-

1 1 2 2

P

do che n = N . Consideriamo che i livelli energetici siano equalmente ac-

i

cessibili, cioè che tutti gli stati energetici hanno la stessa probabilità di essere

occupati. Prendiamo una particolare partizione, quindi fissiamo n , n , . . ..

1 2

Vogliamo sapere qual è la probabilità della partizione. Riempiamo il primo

livello. Posso scegliere tra N particelle. Ne scelgo una. Per la scelta della

successiva ho N 1 particelle e cosı̀ via. Quindi ho: N !

− − · · · − (28.3)

N (N 1)(N 2) (N n + 1) =

1 −

(N n )!

1

12

possibilità . In realtà ci sono n ! ordini possibili per riempire il livello, ma

1

l’ordine nel nostro caso non conta, quindi dobbiamo dividere per n ! per far

1

3

diminuire il numero di scelte : N ! (28.4)

n !(N n )!

1 1

conoscendo il calcolo combinatorio quello che si sta cercando è il numero di

N

combinazioni di N oggetti in n posti che sono , che è esattamente la

1 n

1

(28.4). Quando passo a riempire il secondo livello con energia E partiamo

2

con un numero di particelle ridotto, cioè N n . Il numero di combinazioni

1

per riempire E è:

2 −

(N n )!

1 (28.5)

− −

n !(N n n )!

2 1 2

Se moltiplichiamo il numero di modi per riempire il primo livello con il nu-

mero di modi per riempire il secondo livello troviamo il numero di modi per

riempire il primo e il secondo livello:

(N n )!

N ! N !

1 = (28.6)

− − − − −

n !(N n )! n !(N n n )! n !n !(N n n )!

1 1 2 1 2 1 2 1 2

1 − − · · · − · −

N ! = N (N 1)(N 2) (N n + 1) (N n )!

1 1

2 è una n -disposizione di N oggetti o disposizione di N oggetti in n posti.

1 1

3 è una k-combinazione di n oggetti o combinazione di n oggetti in k posti

28.2. DISTRIBUZIONE MAXWELL–BOLTZMANN 397

se continuassimo cosı̀ per tutti i livelli il numero di modi per riempire tutta

4

la partizione sarebbe : N !

P = (28.7)

· · ·

n !n !n !

1 2 3

probabilità intrinseca

Se ora non consideriamo più i livelli energetici equiprobabili, ma gli asseg-

namo una probabilità intrinseca g la probabilità sarà diversa dalla (28.7).

i

Se la probabilità di trovare una particella nel livello E è g la probabilità di

i i

n

trovare n particelle è g . Quindi la probabilità di una data partizione è:

i

i i n

n

n · · ·

g

g

N !g 3

2

1 3

2

1 (28.8)

P = · · ·

n !n !n !

1 2 3

indistinguibilità

Rimoviamo l’ipotesi che le particelle siano distinguibili (in contrasto con

l’ipotesi che le particelle siano identiche). Ci sono N ! permutazioni di parti-

5

celle che danno la stessa partizione . Allora la probabilità:

n

n n n · · · g

g g g i

1 2 3 Y

1 2 3 i

= (28.9)

P = · · ·

n !n !n ! n !

1 2 3 i

i=1

La (28.9) esprime la probabilità di una distribuzione Maxwell–Boltzmann.

28.2.1 Equilibrio

Troviamo lo stato di equilibrio che corrisponde alla partizione più probabile.

Dobbiamo gli n che massimizzano P . Si tratta di un problema di massimi

i

vincolati. I vincoli sono: X n = N (28.10)

i

i X

U = n E (28.11)

i i

i

4 è una (n , n , . . .)-multicombinazione di n oggetti distinti

1 2

5 Per esempio posso spostare la particella 1 con la particella 2, o con la tre, . . . , o con

la N –esima. Quindi ho N 1 possibilità. Poi posso scambiare la secondo particella in

N 2 modi, cosı̀ via. Il procedimento non necessariamente doveva iniziare scambiando la

particella 1, ma poteva iniziare con N modi diversi.

398 CAPITOLO 28. MECCANICA STATISTICA

con U l’energia totale. Esprimiamo il logaritmo di P e massimizziamo questa

funzione (il logaritmo è monotono crescente):

· · · − − − · · ·

log P = n log g + n log g + n log g + log n ! log n ! log n !

1 1 2 2 3 3 1 2 3

(28.12)

usando Stirling: ∼ −

log x! x log x x (28.13)

considerando che gli n sono grandi.

i · · ·

log P =n log g + n log g + n log g +

1 1 2 2 3 3

− − − − − − − · · ·

(n log n n1) (n log n n2) (n log n n3)

1 1 2 2 3 3

n

n 2

1 − − · · · · · ·

− n log + (n + n + )

= n log 2 1 2

1 g g

1 2

n

X i

=N n log

i g i

i (28.14)

differenziando:

n n

X X

i i

− −

d (log P ) = (dn ) log n d log

i i

g g

i i

i i

n (dn )

X X

i i

− − (28.15)

= (dn ) log n

i i

g n

i i

i i

n

X X

i

− −

= (dn ) log dn

i i

g i

i i

ma dal primo vincolo: X X

N = n 0= dn (28.16)

i i

i i

sostituendo e ponendo uguale a zero: n

X i dn = 0 (28.17)

d (log P ) = log i

g i

dal secondo vincolo: X X

U = n E 0= dn E (28.18)

i i i i

i i

Usando due moltiplicatore di Lagrange α e β per minimizzare la funzione

implicita:

n

X i α + βE dn = 0 (28.19)

log i i

g

i

i

28.2. DISTRIBUZIONE MAXWELL–BOLTZMANN 399

quindi: n

i + α + βE = 0

log i

g

i

invertendo: −α−βE

n = g e (28.20)

i

i i

funzione partizione

Il numero totale di particelle: !

X X X

−α−βE −α −βE −α

N = n = g e = e g e = e Z (28.21)

i i

i i i

i i i

con Z la funzione di partizione: X −βE

Z = g e (28.22)

i

i

i

quindi: N −βE (28.23)

g e

n = i

i

i Z

che è la legge delle distribuzione di Maxwell–Boltzmann.

energia media

L’energia media di un sistema in equilibrio sarà data:

−βE

N

P

P E

g e

n E 1

i

i i

i i X −βE

i

i Z

hEi = = = g E e (28.24)

i

i i

N N Z i

o sostituendo Z: −βE

P g E e i

i i

i

hEi = (28.25)

P −βE

g e i

i

i

possiamo anche esprimerla come: d

hEi −

= (log Z) (28.26)

400 CAPITOLO 28. MECCANICA STATISTICA

energia totale

L’energia totale: N X −βE

hEi

U = N = g E e (28.27)

i

i i

Z i

o sostituendo Z: −βE

P g E e i

i i

i

U = N (28.28)

P −βE

g e i

i

i

o anche come: d

−N (log Z) (28.29)

U = dβ

Esempio 28.1 (sistema a due stati equiprobabili) consideriamo un sis-

−,

tema con due stati con energia E = e E = equiprobabili, cioè tali che

1 2

g = g = 1. La funzione di partizione:

1 2 X −βE −βE −βE −β β

Z = g e = e + e = e + e = 2 cosh(β)

1 2

i

i

i

all’equilibrio i livelli avranno:

N N

−βE −β

n = g e = e

1

1 1

Z 2 cosh(β)

N N

−βE β

n = g e e

=

2

2 1

Z 2 cosh(β)

e l’energia media:

1 1

X −β

−βE β

hEi − −

= g E e = e e = tanh(β)

i

i i

Z 2 cosh(β)

i

28.3 Temperatura

Il parametro β ha le dimensioni dell’inverso di un energia. La distribuzione

dell’energia in un gas perfetto: √ E

− dE (28.30)

dn = A Ee kT

dalla (28.23) ricaviamo che: 1

β = (28.31)

kT

28.4. EQUILIBRIO TERMICO 401

La definizione di temperatura che ne deriva, cioè come funzione dell’energia

interna di un sistema, è valida solo nel caso di particelle in equilibrio termico.

Se il nostro sistema non è in equilibrio termico si può dividere il sistema

in tanti sottosistemi più piccoli in equilibrio termico. L’energia media la

possiamo scrivere come: d

2

hEi (log Z) (28.32)

= kT dT

e l’energia totale: d

2

U = N kT (log Z) (28.33)

dT

La distribuzione di Maxwell–Boltzmann diventa:

N Ei

g e (28.34)

n = kT

i

i Z

Se tralasciamo il fattore g e fissiamo la temperatura abbiamo un’esponen-

i

ziale decrescente, quindi avremo molte particelle in stati con energia piccola,

minore della media, e poche particelle in stati con energia grande. I livelli

energetici più popolati sono quelli con minore energia. All’aumentare della

temperatura gli stati con energia maggiore aumentano la loro popolazione e

quelli che bassa energia la diminuiscono.

Se consideriamo due livelli con energia E e E il rapporto delle loro

i j

popolazioni è: E j

N g e g

n kT

j ∆E

j

j −

Z

= = e (28.35)

kT

Ei

n g

N g e

i i

kT

i

Z

28.4 Equilibrio termico

Consideriamo due diversi sottosistemi di particelle che possono scambiare

calore tra di loro. Il numero di particelle per ogni sistema rimanga costante.

0

Il primo sistema abbia N particelle, il secondo N . I due sistemi sono isolati

dall’esterno, quindi la somma delle loro energie rimane costante:

X

N = n = const (28.36)

i

i

X

0 0 = const (28.37)

N = n j

j

X X 0 0

U = n E + n E = const (28.38)

i i j j

i j

402 CAPITOLO 28. MECCANICA STATISTICA

la probabilità di una particolare partizione di tutto il sistema comprendente

i due sottosistemi è: 0

0n

n j

g

g i

Y Y j

i ·

P = (28.39)

0

n ! n !

i j

i j

per trovare la configurazione all’equilibrio dobbiamo trovare la partizione più

probabile. Seguiamo lo stesso procedimento per un sistema singolo. Dalle

equazioni (28.36), (28.37), (28.38) differenziando:

X dn = 0 (28.40)

i

i

X 0

dn = 0 (28.41)

j

j

X X 0 0

E dn + E dn = 0 (28.42)

i i j j

i j

scriviamo il differenziale del logaritmo (ci permette di passare dai prodotti

alle somme) della probabilità e poniamo uguale a zero:

0

n

n X

X i j 0

−d(log dn + log dn = 0 (28.43)

P ) = log i j

0

g g

i j

j

i 0

usando i moltiplicatori di Lagrange α, α e β:

0

n

n

X X

i j 0 0 0

log + α + βE + α + βE

dn + log dn = 0 (28.44)

i i j j

0

g g

i j

i j

quindi: 0

n

n i j 0 0

log + α + βE = 0 log + α + βE = 0 (28.45)

i j

0

g g

i j

cioè: 0

−α−βE

0 0

α−βE

n = g e n = g e (28.46)

i j

i i j j

e usando le (28.36) e (28.37): 0

N

N 0

−βE

−βE 0 0

g e

g e n = (28.47)

n = i j

i i j

j 0

Z Z

i due sottosistemi hanno lo stesso β poiché la somma delle energie rimane

costaten. Sostituendo β: 0 0

N N E

Ei j

− 0 0 −

n = (28.48)

n = g e g e

kT kT

i i j j

0

Z Z

28.4. EQUILIBRIO TERMICO 403

Concludiamo che due differenti sistemi di particelle in equilibrio statistico

devono avere la stessa temperatura, che è il principio zero della termodinam-

ica All’equilibrio termico ogni sistema raggiunge la stessa configurazione che

avrebbe raggiunto all’equilibrio nel caso fosse isolato alla stessa temperatura.

29

Calore specifico dei gas

Indice

29.1 Calore specifico di gas biatomici . . . . . . . . . 405

29.1.1 Rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

29.1.2 Vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

3

Per un gas monoatomico l’energia interna è E = N kT , quindi il suo

2

∂ 32

1 E = R. Per i gas poliatomici bisogna

calore specifico molare è c =

v n ∂T

considerare anche l’energia dovuta alle rotazioni e alle vibrazioni. Il problema

è che questi gradi di libertà in più si attivano al variare della temperatura.

Ignoriamo l’enenergia legata agli elettroni. Questi per essere eccitati han-

no bisogno di energie dell’ordine di 1 eV, cioè di una temperatura di circa

4

×

1 10 K. A questa temperatura il gas ha subito dei cambiamenti tali che il

nostro modello non è più valido. Dopo il grado di libertà traslazionale, che

è sempre attivo, si attiva il grado rotazionale. L’energia rotazionale è del-

−4

×

l’ordine di 1 10 eV. L’energia vibrazionale invece è maggiore, dell’ordine

−3 −1

× ×

di 1 10 eVto1 10 eV e quindi necessitano una temperatura maggiore

per essere attivati. A temperature molto alte tutti i gradi di libertà sono atti-

vati, quindi per una molecola biatomica sono 7 (3 traslazionali, 2 rotazionali

1

e 2 vibrazionali, considerando l’energia potenziale come grado di libertà) .

1 problema a due corpi: 6 gradi di libertà più uno potenziale

404

29.1. CALORE SPECIFICO DI GAS BIATOMICI 405

Quindi l’energia totale in accordo con il principio di equipartizione:

7 N kT (29.1)

lim E = 2

→∞

T

e il calore specifico: 7

lim c = R (29.2)

v 2

→∞

T

29.1 Calore specifico di gas biatomici

L’energia totale di ogni molecola è la somma delle energie traslazionali,

rotazionali e vibrazionali: E = E + E + E (29.3)

tot tr rot vib

Stiamo ignorando l’energia legata al moto degli elettroni in quanto per ec-

cittare questo grado di libertà servono temperature talmente alte da alterare

la struttura del gas.

Traslazioni

Le traslazioni non sono quantizzate, quindi:

3

U = nRT (29.4)

tr 2

dal principio di equipartizione.

29.1.1 Rotazioni

Il momento angolare è quantizzato e può avere 2l + 1 possibili orientazioni.

L’energia legata alla rotazione è anch’essa quantizzata:

2 l(l + 1)

} ∈

E = l (29.5)

N

rot 2I

con I il momento di inerzia della molecola relativa all’asse di rotazione per

il centro di massa: m m

1 2

2 2

I = µr = r (29.6)

0 0

m + m

1 2

406 CAPITOLO 29. CALORE SPECIFICO DEI GAS

con µ la massa ridotta e m e m le masse degli atomi e r la loro distanza.

1 2 0

La probabilità intrinseca è uguale per tutti i livelli: g = 2l + 1. La funzione

i

di partizione: Ei Θ

X

X r

−l(l+1)

− = (29.7)

Z = (2l + 1)e

g e kT T

rot i

i l

con: 2

}

Θ = (29.8)

r 2Ik

la temperatura caratteristica rotazionale. Il numero di particelle in un par-

ticolare stato rotazionale caratterizzato dal numero l:

N Θ

r

−l(l+1)

(2l + 1)e (29.9)

n = T

rot Z

rot

più cresce la temperatura e più molecole si troveranno in stati con l elevato.

L’energia totale delle rotazioni: d

2

U = kN T (log Z ) (29.10)

rot rot

dT 3

si osserva graficamente che questa funzione passa dal valore di circa nRT al

2

5

valore nRT in corrispondenza della temperatura caratteristica di rotazione

2

Θ .

r

approssimazione T Θ

r

Consideriamo T Θ in modo che l’intervallo tra due livelli rotazionali sia

r

piccolo. Possiamo valutare Z sostituendo la sommatoria con un integrale.

rot 2

∼ ∼

Approssimiamo 2l + 1 2l e l(l + 1) l :

Z T

Θ 2

r

− l (29.11)

Z = 2le dl =

T Θ

r

0

e l’energia: d d

2 2 −

U = kN T (log Z ) = kN T (log T log Θ ) = kN T = nRT

rot rot r

dT dT (29.12)

con n numero di moli. Quindi, sempre nel caso T Θ :

r

5

U = U + U = nRT (29.13)

tr rot 2

e il calore specifico: ∂U 5

1 = R (29.14)

c =

v n ∂T 2

come vuole la teoria classica.

29.1. CALORE SPECIFICO DI GAS BIATOMICI 407

approssimazione T Θ

r

In questo caso l’esponenziale della funzione di partizione decresce molto

rapidamente, quindi nella sommatoria dominano solo i primi termini:

Θ

Θ

X r

r −2

−l(l+1) '

Z = 1 + 3e (29.15)

(2l + 1)e T T

rot l Θ

r

−2

Θ '

poiché 1 allora log(Z ) 3e e quindi l’energia:

r T

rot

T d Θ

Θ Θ

r

r r

−2 −2

2 2

U = kN T (log Z ) = kN T 3e 2 Θ (29.16)

= 6kN e

T T

rot rot r

2

dT T

in questo modo se I 0 ovvero se la distanza tra i due atomi diventa

nulla allora il contributo rotazionale sparisce. Questo non succede nel limite

classico, cioè quello ad alta energia.

29.1.2 Vibrazioni

L’energia delle vibrazioni è quantizzata come quella di un oscillatore armon-

ico: 1

E = (v + )}ω (29.17)

vib 2

e con g = 1. La funzione di partizione:

i !

1 1

(−v+ (−v+

)}ω )Θ

E v Θ Θ

X X

X X

i 2 2 v v

− −v

− e e

Z = g e = = = e e

kT kT T 2T T

vib i v v v

i Θ

c

e 2T

= Θ

v

1 e T (29.18)

Θ v

|e |

avendo notato che: < 1 e avendo introdotto la temperatura caratter-

T }ω

istica per le vibrazioni: Θ = . La temperatura vibrazionale è più alta di

v k

quella rotazionale. Il numero di molecole in un certo stato vibrazionale:

N Θ

1 v

−(v+ )

n = e (29.19)

2 T

vib Z

vib

408 CAPITOLO 29. CALORE SPECIFICO DEI GAS

L’energia legata alle vibrazioni: !

Θ v

d d e 2T

2 2

U = kN T (log Z ) = kN T log

vib vib −Θ

dT dT 1 e T

v

Θ

d Θ

v v

2 − − −

log 1 e (29.20)

= kN T T

dT 2T !

Θ v

Θ 1 kN Θ

v v

2

2 T

= kN T = kN Θ +

+ v

Θ Θ

2 v v

2T 2

− −

1 1

e e

T T

12 kΘ è l’energia vibrazionale di punto zero del gas.

il primo addendo v

approssimazione T Θ

vib Θ Θ

Il termine al denominatore dell’energia è asintotico per piccolo a ,

v v

T T

quindi l’energia per alte temperature diventa:

Θ

1 v '

kN Θ + kN T = kN T 1 +

U = KN T = nRT (29.21)

v

vib 2 2T

e l’energia totale: 7

3 nRT + nRT + nRT = nRT (29.22)

U = U + U + U =

tr rot vib 2 2

e il calore specifico: ∂ 7

1 U = R (29.23)

c =

V n ∂T 2

calore specifico vibrazionale

d 1 d 1 kN Θ

1 v

vib

c U = kN Θ +

= vib v

V Θ

v

n dT n dT 2 −

e 1

T (29.24)

Θ

2 V

Θ e T

V

= R 2

T

Θ

V −

e 1

T

praticamente identico (a parte il fattore 3) al calore specifico dei solidi sec-

ondo Einstein. 30

Scattering

Indice

30.1 Particelle α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

30.2 Scattering di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . 410

30.3 Scattering di Ruttherford . . . . . . . . . . . . . 412

30.4 Analisi scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

30.4.1 Sezione d’urto differenziale . . . . . . . . . . . . . 415

30.4.2 Raggio nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

30.1 Particelle α

Osservando il decadimento di uranio osservò due tipi di radiazioni α e β.

Con un esperimento simile a quello di Thomson per il rapporto carica–massa

dell’elettrone misurò il rapporto carica–massa delle particelle α arrivando

ad un valore che erà metà di quello del protone. Analizzando lo spettro di

emissione delle particelle α concluse che le particelle α altro non erano che

409

410 CAPITOLO 30. SCATTERING

2+ 1

He . Infatti : q

2q

q 1 +

+

2+ p

p

He =

=

m 4m 2 m

+ +

2+ p p

He

Thomson usò queste particelle per i suoi esperimenti sfruttando la loro grande

massa ed energia.

30.2 Scattering di Thomson

modello di Thomson

Il modello di Thomson descrive il nucleo come una densità di carica positiva

che contiene gran parte della massa atomica in cui sono immersi gli elettroni,

in modo che all’esterno l’atomo risulti neutro. Questo modello viene escluso

dagli esperimenti di scattering di Ruttherford. Gli esperimenti di scattering

avvenivano su vari metalli: un fascio collimato di particelle α colpiva nel

vuoto una sottile lamina metallica. Le particelle che passavano colpivano uno

schermo che si illuminava quando veniva colpito. In questo modo era possibile

misurare gli angoli di scattering. Gran parte delle particelle erano deviate di

angoli molto piccoli, dell’ordine di 1 . Tuttavia in modo inastpettato alcune

particelle erano deviate di 90 o più. Se assumiamo il modello di Thomson per

avere una deflessione della traiettoria la particella α deve entrare nell’atomo,

cioè nella densità di carica positiva, perché all’esterno la particella α vede

l’atomo neutro.

Consideriamo la collisione di una particella α con un elettrone. Essendo

la massa della particella α circa 7294 volte la massa dell’elettrone possiamo

dire m m . Dalla teoria sugli urti, imponendo la conservazione della

α e

quantità di moto e dell’energia cinetica, considerando il caso monodimen-

2

sionale e considerando il caso limite m m con l’elettrone inizialmente

α e

fermo si ha che dopo l’urto la particella α prosegue con la velocità che ave-

va prima dell’urto, mentre l’elettrone acquista una velocità pari a due volte

quella della particella α. Se vogliamo una deviazione della traiettoria della

particella α dobbiamo far si che l’urto avvenga di striscio. Ipotizzando il

caso di deviazione massima, cioè quando ∆p è ortogonale a p abbiamo

α α

∆p ∼

α = tan θ θ. Facendo i conti a caso, dicendo che ∆p è uguale a

che α

p α ◦

−∆p ' ∼

= 2m v 2m v /7294 si ottiene che θ 0.01 .

e e α α α

1 Dai dati sperimentali nella sezione risulta −7

± ×

0.503448683 3.47 10

2 vedi 4.9.1 a pag.41

30.2. SCATTERING DI THOMSON 411

Consideriamo l’effetto della carica positiva. Una sfera di raggio R uni-

formente carica con carica totale Q produce una forza su una particella α a

distanza r dal centro: r

Qq

 α ≤

r R

 2

4πε R

0

F = (30.1)

Qq 1

α ≥

r R

 2

4πε r

0

il massimo della forza si ha per r = R. Assumiamo che la forza agisca solo

quando la particella α è all’interno della distribuzione di carica, cioè per un

2R

tempo ∆t . Supponiamo che la forza sia sempre quella massima. La

v

variazione di quantità di moto: 1 2R

q Q

α

∆p F ∆t = 2

4πε R v

0 ⊥

ipotizzando il caso di deviazione massima, cioè quando ∆p p si ha:

q Q q Q

∆p 1 2R 1

α α

∼ =

tan θ = 1

2 2 2

p 4πε R m v 4πε R m v

0 α 0 α

2

se assumiamo q = 2e con un’energia di 5 MeV, incidente su una lastra di

α

oro con Q = 79e e R = 1 Å abbiamo: ◦

θ tan θ = 0.026

Secondo questo calcolo pedestre la maggior parte delle particelle dovrebbe

essere scatterata con un angolo di 1 . Si può dimostrare che la frazione di

2

−(θ/hθi)

particelle scatterate con un angolo maggiore di θ è e . Se assumiamo

2

◦ ◦ −(90/1)

hθi '

= 1 allora la frazione scatteerata con angolo maggiore di 90 è e

−3500 1 , in disaccordo col

10 . La frazione osservata da Ruttherford era di 8000

modello di Thomson. L’atomo di Thomson non è in grado di deflettere

abbastanza le particelle α.

Se ora proviamo a calcolare quale deve essere il raggio dell’atomo (prima

avevamo assunto 1 Å) per avere uno scattering di 1 :

q Q 1

α −4

×

R = = 4.6 10 Å

1 2

4πε m v

0 α

2

Ruttherford concluse che per avere angoli di scattering come quelli osservati

la carica positiva doveva avere un volume molto piccolo rispetto al volume

dell’atomo.

412 CAPITOLO 30. SCATTERING

30.3 Scattering di Ruttherford

Assumiamo che la carica del nucleo scatteratore sia concentrata nel nucleo,

molto piccolo, posto nell’origine delle coordinate. Definiamo il parametro

di impatto b la distanza tra l’asintoto della traiettoria della particella α per

→ −∞

t e il nucleo scatteratore. Vogliamo sapere l’angolo θ tra la direzione

→ −∞ → ∞.

dell’asintoto per t e la direzione dell’asintoto per t

Distanza di minimo avvicinamento

L’energia meccanica è una costante del moto:

E = K + V = const (30.2)

all’infinito l’energia potenziale è nulla e l’energia è tutta energia cinetica; al

contrario alla distanza di minimo avvicinamento ∆ l’energia è tutta poten-

ziale: 1 2

mv =

E = K(∞) + V (∞) = K(∞) = 0

2 2

Zze

= E = K(∆) + V (∆) = V (∆) = (30.3)

4πε ∆

0

con Z il numero di protoni nel nucleo, ognuno di carica e, z il numero di

protoni della particella α (2). Allora: 2

zZe

1 (30.4)

∆= 4πε E

0

Orbita

Calcoliamo l’orbita della particella α nel campo di forze centrale. Lavoriamo

in coordinate polari. Il moto è piano e il momento angolare L è costante del

moto: 2

kr × kmr ×

L = mvk = û ( ṙ û + rϕ̇û )k = mr ϕ̇

r r ϕ (30.5)

−∞)

=L(t = = mvb

quindi la variabile angolare: L (30.6)

ϕ̇ = 2

mr

essendo ϕ̇ 0 allora ϕ sarà una funzione monotona. L’accelerazione cen-

tripeta: 2

a = r̈ rϕ̇ (30.7)

r

30.3. SCATTERING DI RUTTHERFORD 413

e la forza centripeta è uguale alla forza coulombiana: 2

zZe

1

2

− = (30.8)

ma = m r̈ rϕ̇

r 2

4πε r

0

cambiamo variabile e ricalcoliamo le derivate per poi sostituirle nella (30.8)

considerando r = r(u), u = u(ϕ), ϕ = ϕ(t):

1

u = (30.9a)

r

L

dϕ L 2

= u (30.9b)

=

2

dt mr m

dr dr du dϕ 1 du L L du

2

− −

= = u = (30.9c)

2

dt du dϕ dt u dϕ m m dϕ

2 2

d r d L

dr dϕ d u L 2

= = u (30.9d)

2 2

dt dϕ dt dt m dϕ m (30.9e)

sostituendo nella (30.8): 2 2

2 2

L 1 L

d u zZe 2

2 4

− −

m u (30.10)

u u =

2 2 2

m dϕ u m 4πε

0

2

L 2

dividento per u :

m 2

zZe m

00 − (30.11)

u + u = 2

4πε L

0

Ricordando: 2 2

1 zZe 1 zZe

∆= = 12 2

4πε E 4πε mv

0 0 0

2 2 2 2

L = m v b

0

2 2 2

zZe m zZe m zZe m ∆

00 − − − −

u + u = = = = (30.12)

2 2

2 2 2 2 2 2

4πε L 4πε m v b 4πε m v b 2b

0 0 0

0 0

Per risolvere l’equazione differenziale. Omogenea associata:

2 − ±i

λ 1 = 0 λ = u(ϕ) = A sin ϕ + B cos ϕ

414 CAPITOLO 30. SCATTERING

quindi l’equazione differenziale ha soluzione generale:

u(ϕ) = A sin ϕ + B cos ϕ (30.13)

2

2b

imponendo le condizioni iniziali:

{r → −∞ ⇔ → ⇒ → ⇔

u 0 ϕ 0} u(0) = 0 (30.14)

∆ ⇒

− = 0 B = (30.15)

u(0) = B 2 2

2b 2b

e

( )

L du du

L 1

−∞) − ⇔

−v −

v(ϕ = 0) = ṙ(t = = = (−v û ) = = =

0 r r 0

m dϕ mb dϕ b

ϕ=0 ϕ=0

(30.16)

1

du = A = (30.17)

dϕ b

ϕ=0

In definitiva l’equazione del moto:

1 ∆

1 −

= sin ϕ + (cos ϕ 1) (30.18)

2

r b 2b

che è l’equazione di un iperbole.

angolo di scattering → ±∞

Calcoliamo gli asintoti dell’orbita per r in funzione dell’angolo di

scattering θ = π ϕ: 1 ∆ −

0 = sin θ + (− cos θ 1)

2

b 2b → −∞.

una soluzione è θ = π che corrisponde a t L’altra si trova ricordando

2

che sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) e che 1 + cos θ = 2 cos (θ/2):

1 θ θ ∆ θ

2

2 sin cos 2 cos

0= b 2 2 2b 2

θ ∆ θ

sin cos =0

2 2b 2

da cui si ricava la legge dello scattering coulombiano:

∆ θ

cot (30.19)

b = 2 2

che lega il parametro d’impatto (la condizione iniziale) all’angolo di scattering

(la condizione finale).

30.4. ANALISI SCATTERING 415

30.4 Analisi scattering

Consideriamo lastre molto sottili, quindi escludiamo la possibilità che le par-

ticelle α subiscano più scattering. Il numero n di nuclei scatteratori si può

ricavare dalla densità ρ del bersaglio, lo spessore δ e la sua area A, infatti:

M nM

ρ = =

V N δA

A

M

con la massa molare. Invertendo:

ρN

A δA (30.20)

n = M

L’intensità del fascio I è il numero N di particelle α per unità di tempo e

0 α

unità di area, quindi nell’unità di tempo

N = I A (30.21)

α 0

Se voglio conoscere le particelle con angolo di scattering θ > θ allora

0

essendo la cotangente una funzione decrescente saranno quelle particelle con

θ

∆2

cot . Il numero di queste particelle per unità

un parametro b < b = 0

0 2

di tempo è il numero di particelle contenute nella circonferenza di raggio b 0

20 20

moltiplicato per l’intensità: πb I . La quantità πb è la sezione d’urto per

0

angoli maggiori di θ . La sezione d’urto è definita come il numero di particelle

0

scatterate con una certa proprietà diviso l’intensità del fascio. Considerando

che ci sono n scatteratori allora il numero di particelle scatterate con angolo

ρN

20 δA. Se vogliamo la frazione di particelle dobbi-

I

maggiore di θ è πb A

0

0 M

amo dividere per il numero di particelle α totali I A e quindi la frazione di

0

particelle scatterate con angolo maggiore di θ risulta:

0

ρN

A

20

χ = πb δ (30.22)

M

30.4.1 Sezione d’urto differenziale

Vogliamo calcolare quante particelle vengono scatterate con angolo compreso

tra θ e θ + dθ. Esse sono quelle particelle scatterate sull’angolo solido dΩ:

dS

dS = 2πR sin θ(Rdθ) dΩ = = 2π sin θdθ (30.23)

2

R

Il numero di particelle nell’unità di tempo dN con parametro compreso tra

b e b + db sono quelle che verranno scatterate con angolo tra θ e θ + dθ. Esse

sono: dN = I n2πbdb (30.24)

0

416 CAPITOLO 30. SCATTERING

con n il numero di scatteratori. Definiamo la sezione d’urto differenziale per

un singolo nucleo scatteratore: dN = 2πbdb (30.25)

dσ = nI

0

che è proprio l’area da dove provengono le particelle che ci interessano, cioè

∆2

quelle scatterate sull’angolo solido dΩ. Calcoliamo db essendo b = cot θ/2:

2 θ

θ

2

− cos

sin 1

∆ ∆ 1

2 2 − dθ (30.26)

db = dθ =

2 2

θ θ

2 2 4

sin sin

2 2

sostituendo: θ

2

cos

dN ∆ θ ∆ 1 π∆ 2

dσ = = 2πbdb = 2 cot dθ =

2 3

θ θ

nI 2 2 4 4

sin sin

0 2 2 (30.27)

θ θ

2 2 2

cos sin

π∆ π∆ sin θ ∆ 1

2 2

= = dθ = dΩ

4 4 4

θ θ θ

4 8 16

sin sin sin

2 2 2

a volte la sezione d’urto differenziale viene scritta come:

-π -π/2 0 π/2 π

ϑ Δ=10

Δ=1

Δ=0.1

-1 -0.5 0 0.5 1

ϑ

cos

Figura 30.1: Sezione d’urto differenziale per lo scattering di Coulomb. Gli

assi verticali sono logaritmici, il secondo grafico piccolo è un grafico polare.

Le curve con ∆ piccolo corripondono a fasci con particelle più energetiche.

2

dσ 1 1

}c

2 2 2

= z Z α (30.28)

2

dΩ 4 E (1 cos θ)

30.4. ANALISI SCATTERING 417

per confrontarlo con altri scatterig. Si noti che non è un processo quantistico

infatti gli si semplificano.

}

30.4.2 Raggio nucleare −15

' ×

Per stimare il raggio nucleare: sia A il numero di nucleoni r 1.4 10 m

nucleone

il raggio di un nucleone, allora il volume di tutto il nucleo:

4

4 3 3

πr = πr

A nucleone nucleo

3 3

invertendo: 1

'

r r A (30.29)

3

nucleo nucleone 31

Atomo

Indice

31.1 Formula di Rydeberg–Ritz . . . . . . . . . . . . . 418

31.2 Modello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

31.2.1 Correzione massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

31.2.2 Correzione relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . 422

31.3 Regola di quantizzazione Wilson–Sommerfeld . 423

31.4 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

31.5 Numeri quantici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

31.5.1 Regole di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

31.6 Momento magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

31.6.1 Orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

31.6.2 Esperimento Stern–Gerlach . . . . . . . . . . . . . 428

31.6.3 Momento angolare intrinseco . . . . . . . . . . . . 429

31.7 Momento angolare totale . . . . . . . . . . . . . . 430

31.7.1 Somma di momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

31.8 Interazione spin–orbita . . . . . . . . . . . . . . . 432

31.8.1 Approssimazione quantitativa . . . . . . . . . . . . 433

31.1 Formula di Rydeberg–Ritz

Un gas eccitato da una scarica elettrica emette una radiazione discreta, a

bande, ognuna caratterizzata da una lunghezza d’onda. Per lo spettro di

418

31.2. MODELLO DI BOHR 419

emissione dell’idrogeno Balmer scoprı̀ che seguivano un’andamento:

1

1 1 ∈

= R n, m n>m (31.1)

N

2 2

λ m n

R è la costante di Rydberg che varia in modo regolare da elemento a elemento

e tende a R per elementi pesanti.

31.2 Modello di Bohr

Come Ruttherford Bohr assunse che gli elettroni di un atomo si muovessero

su orbite intorno al nucleo positivo. Il modello non è stabile, perché gli

elettroni in moto accelerato irradiano e quindi perdono energia. In questo

modo l’orbita dell’elettrone dovrebbe diventare sempre più piccola. Poiché

la frequenza emessa da un elettrone in orbita circolare intorno al nucleo è la

frequenza del moto si avrebbe uno spettro continuo.

Bohr postulò che un elettrone si può muovere su certe orbite senza ir-

radiare. Chiamò queste orbite stati stazionari. In questo modo le orbite

sono quantizzate. Ogni modello quantizzato deve rispettare il principio di

corrisponenza cioè quando consideriamo il limite di grandi orbite o grandi

energie, molto più grandi del quanto, la teoria quantistica deve contemplare

il risultato classico.

Durante il passaggio da uno stato stazionario ad energia E ad un altro

i

con energia E l’elettrone emette onde elettromagnetiche con frequenza tale

2

che: −∆E −

= E E = hν (31.2)

i f

questo tiene conto della conservazione dell’energia. Infatti se inizialmente

l’elettrone aveva energia E alla fine ha energia E ma ha emesso un fotone

i f

con energia hν: E = E + hν (31.3)

i f

Dalla teoria di Bohr e dal principio di corrispondenza segue che il mo-

mento angolare l deve essere quantizzato: ∈

l = n} n (31.4)

N

Consideriamo un atomo con numero atomico Z e un elettrone. La velocità

in funzione del raggio: 2 2

2 1 Ze 1 Ze

m v

e 2

= v = (31.5)

2

r 4πε r 4πε m r

0 0 e

420 CAPITOLO 31. ATOMO

L’energia dell’orbita dell’elettrone è:

2 2 2 2

Ze 1 1 1 Ze Ze 1 1 1 Ze

1 2 − − −

m v = m = (31.6)

E = e e

2 4πε r 2 4πε m r 4πε r 2 4πε r

0 0 e 0 0

Il momento angolare è quantizzato: n}

l = m vr = n} v = (31.7)

e m r

e

confrontandola con la (31.5): 2 2 2

n Ze

1

}

2

v = (31.8)

=

2e 2

m r 4πε m r

0 e

trovando r: 2 4πε a

} 0 0

2 2

r = n (31.9)

= n

2

m Ze Z

e

2 4πε ' ∈

}

con a = 0.529 Å il primo raggio di Bohr. Al variare di n la

0 N

0 2

m e

e

(31.9) rappresenta il raggio di tutte le orbite stabili.

Per la velocità sostituiamo nell’espressione (31.7) ricavata dalla quantiz-

zazione del momento angolare il valore del raggio per le orbite stabili (31.9):

2

2

n}Z Ze Z

n} e 1

}Z }Zm

e

= = = αc (31.10)

v = = =

2 2

m r m n a nm a nm 4πε 4πε n n

} }

e e 0 e 0 e 0 0

La velocità dell’elettrone nella prima orbita dell’atomo di idrogeno (Z = 1):

2

e

v = v(n = 1) = (31.11)

1 4πε }

0

definiamo la costante di struttura fine:

2 2

v e e 1

1 '

α = = = (31.12)

c 4πε 2ε hc 137

}c

0 0

Sostituendo la (31.9) nell’espressione dell’energia (31.6) troviamo l’energia

quantizzata: 2 2 2

1

1 1 Ze 1 1 Ze 1 e 1

2

− − −

E = = = Z

a

2 2

2 4πε r 2 4πε n 2 4πε a n

0

0 0 0 0

Z

4 2

1 1 m e Z

e

= 2 2 2

2 (4πε ) n

}

0 (31.13)

2 4

Z e m 1

e

= 2 2 2

8ε h n

0

2

Z R hc E

∞ 0

2

− −Z

= =

2 2

n n

31.2. MODELLO DI BOHR 421

con 2

4 α m c

m e e

e −1

7

' ×

= 1.0974 10 m (31.14)

R =

∞ 20 3

h c

8ε 2h

4 2

1 m e α

e 2 '

E = m c = R hc 13.6 eV (31.15)

= ∞

0 e

2 2

(4πε ) 2} 2

0

l’energia della prima orbita che corrisponde quindi all’energia che devo fornire

ad un atomo per strappare l’elettrone sul livello più basso, che è l’energia di

ionizzazione. Il salto energetico di un elettrone che passa da n = n a n = n :

1 2

1

1

2 −

− −Z (31.16)

∆E = E E = R hc

2 1 n n

2 1

La frequenza del fotone emesso quando un elettrone passa da E a E :

1 2

−∆E 1 1

2 −

ν = = Z R c (31.17)

∞ 2 2

h n n

2 1

Possiamo vedere se è coerente con la formula di Ryedberg–Ritz (31.1) cal-

colando:

ν 1

1

1 2 −

= = Z R (31.18)

∞ 22 21

λ c n n

naturalmente la forumula di Ryedberg–Ritz prende in considerazione solo

l’idrogeno, quindi Z = 1.

31.2.1 Correzione massa

Abbiamo assunto che il nucleo sia fermo, oppure che abbia massa infinita:

abbiamo considerato il problema ad un corpo. Poiché le forze in gioco sono

classiche per considerare il problema a due corpi basta sostituire alla massa

dell’elettrone la massa ridotta µ del sistema elettrone–nucleo:

m Zm

e p (31.19)

µ = m + Zm

e p

con m la massa del protone. Definiamo:

p 2

µe µ Z→∞

−−−→

R = = R R (31.20)

∞ ∞

2 3

8ε h c m

e

0

422 CAPITOLO 31. ATOMO

Esempio 31.1 (Riga H ) La riga H è quella corrispondente alla tran-

α α

sizione n = 3 2 nell’idrogeno. Calcoliamo il numero d’onda

1 1 µ 1 5 Zm

1 1 p

− −

= R = R = R

∞ ∞

2 2

λ n n m 2 3 36 Zm + m

2 1 e p e

5 1 −1

6

' ×

= 1.523 10 m

R

∞ m

36 1+ e

m

p

avendo usato n = 3, n = 2 e Z = 1. La lunghezza d’onda:

1 2 −7

' ×

λ 6.565 10 m = 656.5 nm −7

' ×

Se avessimo usato R al posto di R sarebbe risultato: λ 6.561 10 m.

Infatti la correzione per l’idrogeno della massa ridotta:

m m 1

e p ' ×

µ = m 1.0005 m

=

H e e

m

m m 1+ e

e p m p

31.2.2 Correzione relativistica

Un’estensione del modello di Bohr potrebbe essere quella di usare orbite ellit-

tiche al posto che circolari. In questo caso l’energia dell’orbita dipenderebbe

solamente dall’asse maggiore dell’ellisse e non dall’ecentricità.

Sommerfeld anallizzò gli effetti della relatività ristretta sul modello di

Bohr. Un orbita molto eccentrica avrà una correzione relativistica più grande

essedo il fattore β grande. Per orbite circolari:

Z αc (31.21)

v = n

quindi: v Z

β = = α (31.22)

c n

Se si analizzano molto in dettaglio delle linee spettrali dell’idrogeno si nota

che esse consistono in diverse righe molto vicine. Nella teoria di Sommerfeld è

spiegato dicendo che per ogni orbita circolare di raggio r e energia E esiste

n n

un insieme di n orbite ellittiche con stessi assi maggiori, ma diverse ecentricità

e quindi energie lievemente diverse. Quindi, l’energia radiata quando un

elettrone cambia orbita dipende leggermente dalle ecentricità delle orbite

iniziali e finali come pure dagli assi maggiori.


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DESCRIZIONE APPUNTO

Fisica 1
1 Grandezze e misure 5
1.1 Grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Pre ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Vettori 7
2.1 Versori e coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Individuazione vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Passaggio da individuazione geometrica a individuazione
analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Operazioni tra i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Cinematica 14
3.1 Vettore posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Vettore spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Vettore velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Vettore accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Moto uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5.1 Velocita in funzione dello spazio . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Moto circolare uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.8 Moto qualsiasi in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.9 Moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.9.1 Moto armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
v
3.10 Trasformazioni di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.10.1 Invarianza e covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Dinamica 24
4.1 Forze fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Altre forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 Resistenza del mezzo . . . . . . . .
4.2.3 Attrito statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.4 Attrito dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Forze variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1 Forze variabili nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.2 Forze variabili nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.3 Forze variabili nella velocita . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Forze apparenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5.1 Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5.2 Trattazione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.3 Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6 Quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6.1 Sistema di N punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Centro di Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7.1 Corpo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.2 Teorema di Pappo{Guldino . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8 Impulso di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.9 Urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.9.1 Urti elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.9.2 Urti completamente anelastici . . . . . . . . . . . . . . 42
4.10 Momento d'inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.10.1 Calcolo Momenti di Inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.10.2 Teorema di Steiner o degli assi paralleli . . . . . . . . . 45
4.11 Momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.12 Momento angolare o della quantita di moto . . . . . . . . . . . 47
4.12.1 Sistema di N punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.12.2 Conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . 48
4.12.3 Rotazione intorno a O0 mobile . . . . . . . . . . . . . . 48
4.12.4 Rotazione intorno ad un asse . . . . . . . . . . . . . . 48
4.12.5 Corpo simmetrico rispetto all'asse di rotazione . . . . . 48
4.13 Analogia tra grandezze lineari e rotazionali

ECC, ECC

Fisica 2

11 Campi 153
11.1 Richiami di algebra vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.2 Operatori di erenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.2.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.2.2 Derivata direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.2.3 Integrale di linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.2.4 Flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.2.5 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.2.6 Teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.3 Circuitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.3.1 Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.4 Coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.4.1 Coordinate curvilinee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.4.2 Coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.4.3 Coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.4.4 Coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12 Elettrostatica 166
12.1 Carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.2 Forza di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.2.1 Unita di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
12.3 Densita di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.3.1 Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.4 Campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.4.1 De nizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.5 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.6 Potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.6.1 Potenziale di qualsiasi distribuzione . . . . . . . . . . . 182
12.7 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.7.1 Unita di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.7.2 Energia di un sistema di cariche . . . . . . . . . . . . . 183
12.8 Maxwell per l'elettrostatica . . . .
Dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.9.1 Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.9.2 Campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.9.3 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.9.4 Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.9.5 Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.9.6 Interazione dipolo-dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.10Sviluppo in multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.10.1 Distribuzione di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13 Elettrostatica nei conduttori 195
13.1 Conduttori ed isolanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.2 Carica nei conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
13.3 Induzione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
13.4 Teorema di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.4.1 Pressione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13.4.2 Induzione tra conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13.4.3 Induzione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
13.5 Potere dispersivo delle punte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13.6 Capacita elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.6.1 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.6.2 Energia di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . 204
13.6.3 Condensatori in serie e in parallelo . . . . . . . . . . . 206
14 Problema generale dell'elettrostatica 208
14.1 Funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
14.1.1 Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
14.2 Soluzione dell'equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.2.1 Soluzione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.3 Caso monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.4 Metodo delle cariche immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
15 Corrente stazionaria 219
15.1 Modello del gas di elettroni liberi . . . . . . . . . . . . . . . . 220
15.2 Densita di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.2.1 Conservazione della carica . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.3 Conducibilita elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
15.3.1 Resistivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15.3.2 Unita di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.4 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.4.1 Temperatura . . . . . . . . .

ECC ECC

Fisica 3

24.1 Legge dei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
24.1.1 Gas reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
24.2 Distribuzione delle velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
24.2.1 Distribuzioni delle componenti . . . . . . . . . . . . . . 347
24.2.2 Determinazione costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
24.2.3 Distribuzione dei moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
24.2.4 Distribuzione dell'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
24.3 E etto Doppler termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
24.3.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
24.4 Libero cammino medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
24.4.1 Calcolo della velocita relativa media . . . . . . . . . . . 356
24.5 Moto Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
24.5.1 Cammino casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
24.5.2 Numero di Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
24.6 Esperimento di Perrin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
24.7 Viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
24.8 Suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
24.8.1 Velocita del suono nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . 364
24.8.2 Onde di pressione e di densita . . . . . . . . . . . . . . 366
24.8.3 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
25 Elettrone 369
25.1 Scariche nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
25.2 Esperimento di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
25.3 Esperimento di Millikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
25.4 Isotopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
26 Radiazione di corpo nero 378
26.1 Radiazione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
26.2 Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
26.2.1 Legge Stefan{Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
26.2.2 Legge di Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
26.2.3 Cavita . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2.4 Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
26.3 Radiazione della cavita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
26.4 Rayleigh{Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
26.4.1 Modi di oscillare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
26.4.2 Legge di Rayleigh{Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
26.5 Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
27 Calore speci co dei solidi 387
27.1 Doulong{Petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
27.2 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
27.3 Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
27.3.1 Modi di vibrare in un cristallo . . . . . . . . . . . . . . 391
27.3.2 Approssimazione di Debye . . . . . . . . . . . . . . . . 391
28 Meccanica statistica 394
28.1 Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
28.2 Distribuzione Maxwell{Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . 396
28.2.1 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
28.3 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
28.4 Equilibrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
29 Calore speci co dei gas 404
29.1 Calore speci co di gas biatomici . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
29.1.1 Rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
29.1.2 Vibrazioni . . . . . .


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Francesko92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Basilicata - Unibas o del prof Ragosta Marinella.

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