Riassunto esame di Filosofia della Scienza, prof. Lupacchini

Tipi di ideale e ruolo del misurare

Quali sono i due tipi di ideale? L'ideale può essere inteso come idea platonica, iperuranica, quindi come modello perfetto di ogni oggetto. Oppure ideale come lo è quello matematico costruito dall'uomo e legittimato dalla costruzione sebbene sia esterno ad essa, esempio il limite.

Il misurare e il problema dell'irrazionale

In cosa consiste il misurare? Preliminare all'azione del misurare vi è necessario il contare. Contare è far corrispondere ad entità mentali (i numeri naturali) ad oggetti concreti. Per misurare una grandezza è necessario individuare un'unità di misura e andare a contare quante volte l'unità di misura è contenuta nella lunghezza da misurare.

Come nasce il problema dell'irrazionale? Per la grecità classica nel mondo vi era inscritto un logos, pertanto la natura era ordine e armonia che si esprimeva attraverso la proporzione. I numeri (naturali e razionali) erano pertanto simulacro di una corrispondenza tra la ragione umana e la ragione della natura. Il problema nacque quando la scuola Pitagorica scoprì l'irrazionalità della misura del quadrato di lato unitario -> non è possibile esprimere con un numero razionale tale lunghezza. Ovviamente in una società che elevava la stessa proporzione a canone di bellezza, l'esistenza di tali lunghezze diede un forte scossone a una simile visione del mondo.

Superamento dell'irrazionale e geometria euclidea

Come tentarono i matematici greci di superare l'incubo dell'irrazionale? Con la costruzione di una geometria non-numerica basata sulle grandezze, esse contengono quantità ma non hanno le stesse proprietà dei numeri. Negli Elementi di Euclide infatti non emerge un contenuto algebrico, sebbene vi sia, è grazie a Cartesio e Fermat che emergerà.

Come entra in geometria il problema dell'irrazionale? Il primo a "problematizzare" geometricamente l'irrazionale fu Euclide trasformando l'irrazionale nell'incommensurabile. Il quale nel suo libro Elementi andò a costruire assiomaticamente una geometria del finito che si priva dell'algebra. Due lunghezze sono dette incommensurabili quando non esiste sottomultiplo comune ad entrambe, in altre parole la scelta di un'unità misura consona ad una delle due "impedisce" di esprimere l'altra in termini di numeri razionali.

Cosa permise la geometria euclidea riguardo l'irrazionale? Grazie alla Teoria delle Aree sviluppata da Euclide fu possibile dimostrare il Teorema di Talete che oltre a permettere un principio di similitudine tra triangoli, permise una "geometrizzazione" di operazioni algebriche quale la divisione e il prodotto tra lunghezze. Sebbene non si potessero definire i numeri irrazionali, grazie a tale "geometrizzazione" fu possibile utilizzarli e "costruirli" geometricamente partendo da proporzioni tra lunghezze tanto è vero che la sezione aurea (un numero irrazionale) e le figure geometriche che da essa possono costruirsi è manifesto di una bellezza la cui proporzione è radicata nell'irrazionale.

Geometria e algebra

Quale rapporto c'è tra algebra e geometria? Nel 1600 emerse il contenuto "algebrico" degli Elementi di Euclide. In questo si trovò una corrispondenza fra operazioni algebriche e geometriche come somma, prodotto ma anche intersezioni tra curve. Anche le stesse forme geometriche sono esprimibili con equazioni algebriche.

Qual è la pecca del calcolo dei volumi utilizzato dai Greci? La teoria delle aree è sufficiente a calcolare l'area di una figura piana riconducendola a quella di un quadrato. Ma ciò non è possibile per quanto riguarda i volumi infatti esistono figure come il tetraedro la cui scomposizione in solidi più piccoli è infinita e ciò è dovuto al problema dell'irrazionalità.

In che rapporto stanno il teorema di Talete e di Pappo? In geometria euclidea Pappo si dimostra a partire da Talete ma nulla impedisce di assiomatizzare Pappo come fa la geometria proiettiva e di derivare poi altri teoremi come quello di Talete. In geometria proiettiva sarebbe impossibile dimostrare Pappo senza usare concetti euclidei.

Continuità cartesiana e infinito

In cosa consiste la continuità nella visione cartesiana? Per Cartesio la realtà è suddividibile in res cogitans e res extensa. Alla prima appartengono enti gli enti matematici (intellettuali) alla seconda la matematica; ma i due mondi non sono separati vi è infatti una corrispondenza di tipo biunivoco tra i punti del suo famoso piano e i punti reali -> vi è dunque una continuità.

Quali sono i due tipi di infinito? L'infinito dei greci è un infinito potenziale basato sulla costruzione ne sono esempio le varie tecniche di approssimazione quali il metodo di esaustione (per il calcolo di aree attraverso approssimazioni successive) o la tecnica delle frazioni continue (dove attraverso una frazione ricorsiva si approssimano numeri irrazionali con numeri razionali), o ancora il confinare un numero irrazionale tra due numeri razionali sempre più vicini. -> Non si giunge mai ad una soluzione definitiva bensì sempre approssimata nonostante sia possibile diminuire a piacere l'incertezza; solamente ammettendo un numero infinito di passi si giungerebbe ad una certezza definitiva. -> emerge qui anche la relazione tra irrazionale ed infinito.

A tale visione dell'infinito si contrappone quella quattrocentesca di Nicola Cusano: l'infinito attuale (statico, non basato sulla costruzione) che coincide con l'infinito assiomatico di Hilbert. Ma come disse quest'ultimo per giungere ad un infinito di questo tipo la mente deve compiere un'impresa enorme infatti tutta la realtà che ci circonda è finita -> è una negazione totale della finitezza naturale che ci circonda.

L'ignoranza dotta di Cusano

Perché l'ignoranza per Cusano è dotta? Dio, l'Uno, è un infinito, un assoluto quindi inattingibile per la mente umana nella sua limitatezza. Per questo motivo Dio è conoscibile solo negativamente: è solo negandogli ogni qualità finita ed empirica che ci si può "avvicinare" a Dio. Per quanto la nostra sapienza può diventare elevata vi sarà sempre una distanza infinita e senza grado che ci separa da Dio -> la teologia negativa di Cusano è proprio questa, una conoscenza di Dio che in realtà è ignoranza, ignoranza nel senso di Socrate "io so di non sapere": una separazione incolmabile dalla Verità che è infinita e assoluta mentre la nostra mente può conoscere solo il finito; ma non va dimenticato che un'idea di Dio la abbiamo.

Infatti la mente umana sta a Dio come il poligono sta al cerchio -> vi si possono aggiungere quanti lati si vuole ma non vi sarà mai coincidenza: Dio è il cerchio di lati infiniti, il poligono non vi sarà mai lontanamente vicino in quanto sarà sempre possibile aggiungervi lati infinitamente.

L'infinito cusaneo e la coincidenza degli opposti

Che tipo di infinito è quello della visione cusanea? Il Dio di Cusano è un assoluto, un infinito non in potenza ma in atto che è ragion d'essere di ogni cosa: come l'unità è il principio di ogni numero e in ogni numero viene conservata. La genialità di Cusano sta proprio nel risolvere il problema teologico dell'infinito divino "trasformandolo" in un problema che si inserisce nel campo della matematica per poi risolversi nel simbolo, anticipando di centinaia di anni i problemi che Newton e Leibniz affrontarono nella formalizzazione del calcolo infinitesimale e le antinomie che questo generò che poi trovarono soluzione tra Otto e Novecento nella matematica di Dedekind, Cantor e Hilbert.

In che modo in Dio vi è coincidenza degli opposti? Dio è assoluto, in esso vengono a coincidere massimo e minimo, ombra e luce in quanto identità e contraddizione sono concetti applicabili solo al mondo della finitudine e non a quello di Dio. Non può esserci più e meno in Dio altrimenti non sarebbe il massimo/minimo assoluto.

Conoscenza di Dio secondo Cusano

In che modo la nostra mente può approcciarsi a Dio? Il Creatore può essere contemplato come in uno specchio e per enigma. La nostra conoscenza può essere quindi solo simbolica di Dio, ma quali simboli usare? I simboli della matematica che sebbene abbiano legami al mondo materiale, se no non potremmo immaginarli, per noi sono immagini certe e fermissime. Infatti la matematica è l'unica conoscenza certa che può gettare un ponte tra i due mondi, per analogia è ciò che in teologia fece la figura di Gesù Cristo, sintetizzando carne (natura umana) e spirito (natura divina).

Cusano esemplifica mostrando come il cerchio e il triangolo possano diventare linea e la linea, principio della geometria, diventare sfera -> ogni cosa ritorna al suo principio e il principio è in ogni cosa. Quindi prima applichiamo le proprietà delle figure finite a quelle infinite poi per astrazione all'infinito stesso e semplice privo di figure.

Che ruolo ha la congettura in Cusano? Dato che la verità di Dio è inattingibile, ogni nostra congettura (intuizione che si avvicina sempre di più alla verità) non può che essere parziale e limitata, ma non è qualcosa da scartare o da disprezzare: nonostante la verità non soggiaci nella congettura, la verità risiede nella tendenza che la stessa congettura tenda in modo infinito alla verità, motivo per cui nasce la congettura. Sembrerebbe quasi che l'alterità congetturale tenta un'approssimazione della verità (infinito in atto) come il poligono (in potenza) lo fa del cerchio.

Il grande problema di Cusano e la sua novità

Qual è il grande problema che vuole risolvere Cusano? Per spiegare la Trinità Cusano, deve affrontare il passaggio da un infinito di tipo attuale (divino) ad uno di tipo potenziale (umano, la congettura infatti si avvicina infinitesimamente alla verità) ed individua la natura ibrida di Cristo come passaggio tra i due infiniti.

Qual è la novità di Cusano? Cusano tenta una conciliazione tra la matematica e la teologia, la prima è la via della certezza, la seconda è la via di Dio, ma i simboli e gli enti matematici possono offrire il raccordo tra queste due strade.

La conoscenza del vuoto e le sezioni di Dedekind

In che modo la vacuità diviene conoscenza? La dotta ignoranza insegna "che la conoscenza di Dio è più vicina al nulla che a qualcosa" come se la vacuità diventasse una forma di conoscenza. Ciò avvenne anche quando Dedekind formalizzò e definì i numeri irrazionali dando "sostanza" a quei buchi che separano i razionali. Egli scrisse che non necessariamente lo spazio debba essere continuo ma che basterebbe un nostro movimento mentale per creare nuovi punti, ed è ciò che egli fece. Oppure quando Kant pose a fondamento della sua dottrina un giudizio analitico. -> una conoscenza del Vuoto.

Cosa sono e a cosa servono le sezioni di Dedekind? Le sezioni sono un costrutto matematico che permise nell'800 a Dedekind di definire algebricamente e formalmente i numeri irrazionali senza ricorrere all'intuizione geometrica. Una sezione è una partizione, in due classi, della retta razionale; se i due sottoinsiemi sono sprovvisti rispettivamente di massimo e minimo allora la sezione identifica un numero irrazionale. Grazie a questa nuova definizione la retta reale è completa e dotata di continuità, tanto è vero che l'assioma che poggia sull'idea di Dedekind è detto di continuità. L'introduzione di questi numeri andò ad ampliare il concetto stesso di numero irrazionale che non è più basato su un rapporto di razionali bensì con raffinamento arbitrario ed infinito, bensì acquista validità propria al pari di un infinito di tipo attuale.

Cosa sono i numeri per Dedekind e cosa significa contare? Creazioni dello spirito umano che permettono di cogliere quantitativamente la diversità delle cose. L'estensione dei reali agli irrazionali è lecita in quanto non snatura il numero, vi è ancora un ordinamento ma se ne guadagna in completezza: ora è infatti possibile una corrispondenza biunivoca fra i punti della retta e i numeri della linea numerica. L'aritmetica (il contare) per Dedekind è una costruzione sequenziale in cui ogni numero nasce in maniera induttiva dal precedente.

I numeri secondo Cassirer e l'infinito di Cantor

Come vede i numeri Cassirer? Analizzando la definizione di Dedekind, i numeri per Cassirer smettono di essere entità mentali diventando funzioni. Il numero irrazionale di Dedekind nato dalla sezione è una relazione tra due classi, perciò una sorta di "collante" tra tutti i punti precedenti e successivi -> ciò che colma il vuoto.

Da dove nacque l'esigenza di una definizione algebrica? La scoperta di geometrie non euclidee pose in crisi la visione euclidea pertanto nacque una certa sfiducia nei confronti dell'intuizione geometrica. La definizione di Dedekind è legittimata dalla logica mentre in precedenza l'intuizione geometrica non poteva avere una vera legittimazione se non quella dell'esperienza troppo legata alla contingenza e alla soggettività.

Esiste un solo tipo di infinito? No, come dimostrò Cantor con l'argomento diagonale esistono differenti ordini di infinito. I naturali, i pari, i dispari, i relativi ed i razionali sono dell'ordine aleph-0 -> la parte sta al tutto come il tutto sta alla parte aleph-0. I reali invece hanno un grado di infinito superiore ovvero 2 (come la cardinalità dell'insieme delle parti di N). Come mostra l'esperimento mentale dell'Hotel Hilbert: aleph-0 + aleph-0 = aleph-0 (infiniti ospiti), aleph-0 x aleph-0 = aleph-0 (infiniti gruppi di ospiti infiniti). L'argomento diagonale di Cantor ricorda la dimostrazione utilizzata da Euclide per mostrare l'infinitezza dei numeri primi.

Conoscenza secondo Platone

Quale conoscenza ricerca il filosofo per Platone? Il filosofo prova una tensione erotica nei confronti di una conoscenza di quella natura stabile delle cose -> una conoscenza dell'essenza ideale. Ma essendo un amore disinteressato non sarebbero così efficienti nel governare, d'altro canto i governanti essendo troppo interessanti ai propri interessi finiscono all'estremo opposto: è necessaria una mediazione tra le due figure tanto che i filosofi dovrebbero essere politici e i politici filosofi. L'idea è una, pura e assoluta, come la verità cusanea: il Bene è Bene, ma nel mondo sensibile le idee assumono tante sfumature diverse, l'uomo saggio sa riconoscere il fattore accidentale e giungere comunque al concetto puro. Per esempio la bellezza è un concetto a cui vi partecipano le cose belle, ma sono due cose diverse e chi le confonde non è filosofo: il passaggio corretto è comprendere che esistono cose belle che istanziano l'idea di bello.

Come concepisce la conoscenza Platone, nella Repubblica? Per spiegare il cammino della conoscenza Platone, nel VI libro, utilizza la metafora della linea. Separando in due segmenti sproporzionati il mondo noetico da quello sensibile. Il primo illuminato dall'idea del bene il secondo dalla luce del sole; ed è evidente che vi è una sproporzione, infatti il mondo sensibile è meno chiaro di quello intelligibile offrendo una conoscenza appannata e confusa. Il mondo visibile è a sua volta suddiviso in immagini come ombre e riflessi e in oggetti da cui nascono ombre e immagini. Il mondo noetico invece è suddiviso enti mentali ipotetici che sono gli oggetti pensabili ma ancora condizionati come quelli matematici e in principi assoluti, le idee. La conoscenza si fonda su un movimento dialettico: è dalla contrapposizione che emerge l'idea pura; per esempio contrapponendo bianco e nero si giunge all'idea di colore. La conoscenza è quindi così suddivisa: immaginazione, credenza, pensiero discorsivo, scienza (episteme). Quindi il numero matematico per Platone è una sorta di collegamento tra l'idea e il fenomeno -> Analogia con Cusano.