Identità fondamentali
Identità:
- X + 0 = X
- X · 1 = X
Elemento nullo:
- X + 1 = 1
- X · 0 = 0
Idempotenza:
- X + X = X
- X · X = X
Complementazione:
- X + X' = 1
- X · X' = 0
Doppia negazione:
- (X')' = X
Proprietà commutativa:
- X + Y = Y + X
- X · Y = Y · X
Proprietà associativa:
- (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
- (X · Y) · Z = X · (Y · Z)
Proprietà distributiva:
- X · (Y + Z) = XY + XZ
- X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)
Teorema di De Morgan:
- (X + Y)' = X' · Y'
- (X · Y)' = X' + Y'
Reti logiche
Algebra booleana
Trasformazioni
Solitamente, si prendono in considerazione 5 tipi di trasformazioni:
- Fattorizzazione: Si determina una forma fattorizzata a partire da forme SOP o POS.
- Decomposizione: Si esprime la funzione utilizzando un insieme di nuove funzioni.
- Sostituzione di G in F: Si esprime F in termini della funzione G e di alcune delle variabili originali.
- Eliminazione: Inverso della sostituzione.
- Estrazione: Decomposizione applicata a più funzioni simultaneamente.
Mappe di Karnaugh
Trasformazioni
Fattorizzazione algebrica:
F = C + DA + B + ABC + AC
G = 16
Fattorizziamo:
F = C(DA + B) + A(BC + C)
G = 18
Fattorizziamo nuovamente:
F = A(CD + B) + AC(B + D)
G = 12
Fattorizziamo di nuovo:
F = A(C + D) + AC(B + D)
G = 10
Decomposizione
I termini B + A e C + AC possono essere definiti come due funzioni, rispettivamente E e H, in cui F può essere decomposta:
F = E · H,
E = B + A,
H = C + AC (G = 10)
Queste trasformazioni riducono a 10 il numero totale delle porte impiegate, contro le 16 di partenza. Il circuito ha però tre livelli più il livello degli inverter.
Sostituzione di E in F
Ritornando alla F prima del passo finale di fattorizzazione:
F = A(C + D) + AC(B + D)
G = 12
Definendo, e sostituendo in F:
F = E + AC
E = B + C
G = 10
Questa sostituzione fornisce lo stesso numero di porte della decomposizione.
Eliminazione
Siano:
- X = B + C
- Y = A + B
- Z = X + C
- G = 10
Eliminando X e Y da Z:
Z = A(B + C) + C
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