Calcolo di resistenze equivalenti spiegato passo passo

I seguenti esercizi presentano casi particolari di calcolo della resistenza equivalente vista da 2 terminali. C serve in generale e per i teoremi di Thevenin e Norton).

Ricorda che

Re_q = R₁ + R₂

I è lo stessoV = V₁ + V₂

Re_q = ^{R₁ R₂} / _{R1 + R2}

I = I₁ + I₂V₁ = V₂ = V

¹/_Req = ¹/_R1 + ¹/_R2 + … + ¹/_Rn

I seguenti esercizi presentano casi particolari di calcolo della resistenza equivalente vista da 2 terminali.

Ricorda che

Req = R1 + R2I è la stessaV = V1 + V2

Req = (R1 R2) / (R1 + R2)I = I1 + I2V1 = V2 = V

1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2 + ... + 1 / RN

Esercizio n°3.9

Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b.

Il cortocircuito si può assimilare ad un resistore di resistenza nulla (e conduttanza infinita). Il parallelo tra un resistore (in generale di un qualsiasi componente) ed un cortocircuito è ancora un cortocircuito. Per questo motivo la resistenza alla porta a-b è nulla.

Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b.

Il circuito aperto si può assimilare ad un resistore di resistenza infinita (e conduttanza nulla). La serie tra un resistore (in generale di un qualsiasi componente) ed un circuito aperto è ancora un circuito aperto. Per questo motivo la resistenza alla porta a-b è pari a R.

Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b.

La resistenza alla porta a-b è pari a R per le stesse ragioni esposte nell'esercizio precedente.

Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b.

La resistenza alla porta a-b è nulla perché il parallelo tra un cortocircuito e un resistore (la serie delle due R ) è ancora un cortocircuito.

65

Esercizio n°3.10

Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza equivalente tra a e b.

Il circuito può essere modificato nel seguente modo:

R_eq = R + R = 2R

e infine, effettuando il parallelo tra i resistori di resistenza 2R:

1/R_eq = 1/2R + 1/2R = 2/2R = 1/R

R_eq = R

Esercizio n°11

Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza equivalente tra a e b.

Riduciamo il circuito partendo dalla serie R₂ R₃ R₇:

• R₁ = 0.25Ω
• R₂ = 2Ω
• R₃ = 4Ω
• R₄ = 3Ω
• R₅ = 2.5Ω
• R₆ = 2.5Ω
• R₇ = 3Ω

R₂₃₇ = R₂ + R₃ + R₇ = 2 + 4 + 3 = 9Ω

Realizziamo il parallelo R₄ R₂₃₇:

R₁ = 0.25ΩR₅ = 2.5ΩR₆ = 2.5ΩR₂₃₄₇ = 4/9Ω

1/R₂₃₄₇ = 1/R₂₃₇ + 1/R₄ = 1/9 + 1/3 = 1+3/9 = 4/9R₂₃₄₇ = 2.25

A questo punto possiamo determinare la resistenza equivalente effettuando la serie dei resistori R₁ R₅ R₆ R₂₃₄₇:

R_eq = R₁ + R₅ + R₆ + R₂₃₄₇ = 0.25 + 2.5 + 2.5 + 2.25 = 7.5Ω

68

Esercizio n°3.1

Risolvere il circuito in figura:

1. R₁₂ = 10Ω
2. R₂₃ = 15Ω
3. R₁₃ = 25Ω
4. R₄ = 5Ω
5. R₅ = 1Ω

Risolvere un circuito significa in generale determinare tensioni e correnti in tutti i lati del circuito.

Trasformiamo in stella il triangolo 1-2-3:

dove è:

R₁ = ^{R₁₂ ⋅ R₁₃} ⁄ _{R12 + R13 + R23} = ^{10 ⋅ 25} ⁄ _10+25+15 = ²⁵⁰ ⁄ ₅₀ = 5Ω

R₂ = ^{R₁₂ ⋅ R₂₃} ⁄ _{R12 + R13 + R23} = ^{10 ⋅ 15} ⁄ _10+25+15 = ¹⁵⁰ ⁄ ₅₀ = 3Ω

R₃ = ^{R₁₃ ⋅ R₂₃} ⁄ _{R12 + R13 + R23} = ^{25 ⋅ 15} ⁄ _10+25+15 = ³⁷⁵ ⁄ ₅₀ = 7.5Ω

Riduciamo opportunamente il circuito considerando le serie R₂, R₂₅ ed R₃, R_Ei

R₂₅ = R₂ + R₅ = 3 + 1 = 4Ω

R₃₄ = R₃ + R₄ = 7.5 + 5 = 12.5Ω

Infine giungiamo ad una configurazione di questo tipo:

in cui è:

R_eq = R₁ + ^{R₂₅ ⋅ R₃₄} ⁄ _{R25 + R34} = 5 + ^{4 ⋅ 12.5} ⁄ _{4 + 12.5} = 5 + ⁵⁰ ⁄ _16.5 = 8.03Ω

Calcoliamo la corrente I:

I = _E/_Req = 120V/8.03Ω = 14.94

A questo punto, procedendo a ritroso nelle diverse configurazioni ottenute, determiniamo correnti e tensioni nei diversi lati del circuito. Determiniamo I_S ed I₄ applicando il partitore di tensione e la LKC al nodo O della configurazione circuitale e (3):

I_S = I₁ - _R34/_{R25 + R34} = 14.94 - _12.5/^{12.5 + 4} = 11.32A

I = I_S + I₄ => I₄ = I - I_S = 14.94 - 11.32 = 3.62A

Determiniamo ora le correnti all’interno del triangolo della configurazione di partenza. A tale scopo impostiamo le L.K.C. ai nodi 1,2,3:

• I_S = I₁ + I₂ ⇒ I₁ + I₂ = 14.94
• I₃ = I₁ + I_S ⇒ I₁ + I₃ = 11.32
• I₂ = I₃ + I₄ ⇒ I₂ - I₃ = 3.62

queste relazioni non sono indipendenti tra loro perchè la terza si ottiene sottraendo membro a membro la prima e la seconda.

E’ necessario quindi cercare una terza relazione; questa ci è fornita dalla L.K.T. applicata al triangolo della configurazione di partenza:

Il sistema risolutivo diviene quindi:

• I₁ + I₂ = 14.94
• I₁ + I₃ = 11.32
• R₂₃I₂ + R₃₄I₃ - R₂₁ = 0

46