Residui: esempi

Residui e calcolo integrale

I residui sono utilizzati nel calcolo di integrali complessi. L'integrale di linea di una funzione attorno a una curva chiusa γ è dato dalla formula:

∫_γ f(z) dz = 2πi Σ res_{(f, z0)}

Nel caso in cui γ sia una curva chiusa che contiene z0 e non altre singolarità di f, allora:

res_{(f, z0)} = ¹/_2πi ∫ f(z) dz

Calcolo del residuo di una funzione

Consideriamo la funzione f(z) = 1/(z+i)(z-i). Il residuo in z0 è calcolato come:

res_{(f, z0)} = ¹/_(m-1)! lim_z→z0 ^dm-1/_dz^m-1 ((z-z₀)^mf(z))

Esempi di calcolo del residuo

• res_{(sin z / z , 0)} = lim_z→0 z ¹/_{z^{2m z}} = -1
• res_{(f(z), z0)} = ¹/_2πi ∫ f(z)dz

Residuo in caso di singolarità eliminabile

Se z0 non è una singolarità:

• Se z0 è una singolarità eliminabile, allora res (f, z₀) = 0
• res (sin(z)/z, 0) = 0

Polo di ordine m

Il residuo in un polo di ordine m è calcolato come:

res_{(f, z0)} = ¹/_(m-1)! lim_z→z0 d^m-1/_dz^m-1 [(z - z₀)^m f(z)]

• m=1 ⇒ res (f, z₀) = lim_z→z0 (z - z₀) f(z)
• ∫ f(z)dz = 2πi res (f, z₀)
• m=2 res (f, z₀) = lim_z→z0 ^d/_dz [(z - z₀)² f(z)]

Esempi pratici

• f(z) = ¹/_sen(z)
• res ( ^sen(z)/_z, 0) = lim_z→0 ^z/_sen(z) = 1
• res ( ¹/_z, 0) = lim_z→0 ¹/_z = 1
• z_k = kπ res ( ¹/_sen(z), kπ) = (-1)^k