Rendite

Formule e concetti matematici

H(x_t) = C x(x_t) = C e^{-∫_atδ(t)dt} -> δ e^-costante -> e = e = e = e = ex(t) = (1+i)^t e^-δt δ = log(1+i)

Tasso di interesse e rendite

Solo nell'int. composto il tasso istantaneo è costante. Solo se x(t) è derivabile si può trovare il tasso istantaneo.

∫_a^bδ(t)dt = r(a,b) e^soluto sommato r(x) = x(e) e^{∫_abδ(t)dt}

Nota bene

Tasso istantaneo

Legge scindibile

Tasso nominale

Tasso equivalente

Rendita

• Successioni di pagamenti o di capitali. A ogni scadenza c’è un pagamento (rata).
• Certa: Questo è determinato in tutti i suoi elementi (date e pagamenti).
• Aleatoria
• Aperiodica: Quando le rate si susseguono ad intervalli costanti.
• Aperiodica
• Costante: Quando tutte le rate sono uguali.
• Navale
• Temporanea: Durata limitata.
• Perpetua
• Anticipata: Se il pagamento avviene all'inizio del periodo.
• Posticipata

Scegliere un tempo di riferimento e un tasso di interesse e riportare le rate a quel riferimento (valutazione). Valore (non attinente) che diamo alle rendite. Due istanti sono i più importanti: il tempo 0 (valore attuale delle rendite venisse) e il tempo finale.

Rendite annuali e calcolo dei pagamenti

quindi : _H(_x) = C x(_x) = C e^_x -> δ e^costante x(t) = (1+i)^t = e^_δt δ = log(1+i)

Solo nell'int. composto il tasso istantaneo è costante. Solo se x(t) è derivabile si può trovare il tasso istantaneo.

∫_a^bδ(t)dt = κ (a,b) è definitivo Simmini r(x) C x(e) e^{∫_abδ(t) dt}

NB:

Tasso istantaneo

Legge scindibile

Tasso nominale

Tassi equivalenti

Rendita: Successioni di pagamenti. A ogni scadenza c'è un pagamento (rata).

• Certa: Quando è determinata in tutti i suoi elementi (date e pagamenti).
• Aleatoria
• Aperiodica: Quando le rate si susseguono ad intervalli costanti.
• Aperiodica
• Costante: Quando tutte le rate sono uguali.
• Navale
• Temporanea: Durata limitata.
• Perpetua
• Anticipata: Il pagamento avviene all'inizio del periodo.
• Posticipata

Scegliere un tempo di riferimento e un tasso d’interesse e riportare le rate a quello riferimento (valutazione). Valore (non attinente) che diamo alle rendite. Due istanti sono i più importanti: il tempo 0 (valore attuale delle rendite iniziali) e il tempo finale.

Rendite annue e altre formule

Con base rendite annue anticipate unite sottoequite durate n anni 1_i^m dalla fine di ogni periodo = v + v² + v³ + ... + v^m1-(1+i)-n/_i = a_m,ni

Quando il tasso sale, il valore attuale scende, lim_m->∞ a_m,ni = a_∞,i = ¹/_i

Per i debiti consolidati verranno trasformati in rendite perpetue. Rendita perpetua di affitto di 1500 €. Il valore attuale delle rendite perpetue derivanti dallo affitto è coincidente al presso d'acquisto. i = 0,04 N. e della perpetua k = ¹⁵⁰⁰/_0,0033 = 460000 €.

Rendite annuali anticipate unitarie di n anni:

"A”_m,ni = ¹ + N¹ + N² + ... + N^M e come una rate anticipate unita proiettata di n-1 anni

ā^(m)_m‖i = (1+i)^k c̄_m‖i uguale alla posticipata di rata 1 + i più grande del valore attuale delle posticipata

Rendita differita: La durata è di n anni. Cambia valutare la rendita in uno stato prodotto al tempo 0.

n/ c̄_m‖i di un valore attuale non più grande di 2 ricordato (si preclude, dette immediate) t/ āⁿ_m‖i = v^t c̄_m‖i

Rendita unitare annua frazionata: Uno euro viene pagato in più quote equidistanti e intervallate

n/ c̄^(m)_m‖i = ā^(m)_m‖i (m)_m‖i a_m‖i = j(m)/i (1-(1+i)^-n) a^(m)_m‖i e _pa_m‖i m‖i lim_m→∞ a^(m)_m‖i = i/j c̄_m‖i = a^-1_m‖i

Limiti delle frazioni rate = Rendita continua (flusso) fondamentalmente si avrebbe la scelta dell'istante finale delle rendite: in questo caso si parla di costante della rendita.

S_n|i = (1+i)ⁿ a_n|i = (1+i)ⁿ - 1 / i

Rendite a utilizzo costante, montante del caso base rendite anticipate. Le rendite qui non ha senso. E = iⁿ diverge. Il differimento non ha effetto.

A = R a_n|i

Meglio 12'000 euro in contanti o 14 rate da 1'000 €? Il valore attuale deve essere più piccolo della somma delle rate.

i_a = 4% i_m = 0,33% R = 1000 n = 14 A = 1000 ⋅ (1 - 1,0033^-14) / 0,0033 = 13'662,18

Quindi pago in contanti. Se invece bisogna dare 100 euro subito e le prime rate da 1000 ma la prima rate fra 2 mesi (è posticipato quindi fra 3 mesi parte la rotazione)?

13'662,18 / 0,0033^-13'572 + 100 = 13'6729% annuo; fra tre anni voglio 45'000. Quanto deposito?

M = R S_n|i = R ⋅ (1+i)ⁿ - 1 / i

45'000 = R ^(1,004)30-1/0,004

45'000 = R·36,68,93 -> tasso d'interesse di rate mensili R = 1163,31 -> quanto risparina mettere da parte ogni mese.

Vogliamo 2'750 € di rendita per 25 anni. Il montante della prima rendita deve essere uguale al valore attuale della seconda (Abbiamo 2 rendite).

25 |---------------------| 65 |-----------------------| 90

_{inizio fine lavoro lavoro}

x^(1+I)480-1/_I=2750 1-^(1+I)-300/_I i = 5%

_{montante N·S. seconda rendita}

x^(1,004)480-1 = 2750(1 - 1,004^-300)

x = 6,128 = 1,127,31

x = 3,16,26

Determinazione delle durate

Deposito 25'000 €; i = 0,05; ^{(R = 2500)} febbraio 2500 € al mese; quanto vado avanti.

25'0000 = 2'500^1-1,05m/0,05^{iA = R - R(1+i)-m} /_I

^{iA+R /_R} = ^(-I+I)-m

-m log(1+i) = log^R-iA /_R

m=-^{logR-iA /_R} /log(1+i)

quando R > iA si può calcolare (rendina unioni all'infinito secondo le rate che possono inserirsi o uguali agli interessi prodotti).

se R > iA allora abbiamo ple^R-iA /_R < 1, se log è negativo la duruta & alpha;

-log_2500−1250/²⁵⁰⁰1=log_1,0525.000 25.000 * 1,05¹⁴ 491.408,2925.0000 2500 1,05¹⁴ -1 Rτ0,05 48.896,58504,742500 / 0,05 = 24743,80 capitale

δ&Sum;₁2489,81

Determinazione del tasso

A = R a^&taum; = R 1 - (1+i)⁻ⁿ

N = 1/(1+i) A = R (n^t+n^t+n^u) polinomio

x² - 2x + 1 = 0

2 variazioni

2 soluzioni +1, -1

a*x⁴+b*x³+ex³+d*x²+ex+f=0 (c,b,d,e) (e,f) 2 variazioni di segno