Relazione Laboratorio 2, Laboratorio di Ingegneria chimica

∂T

∂V ∂ C

q

x =−k A

τ J

=−μ =−D

y ∂y

xy Ay AB

∂y ∂y

Dove:

• rappresenta la viscosità

μ

• rappresenta la conducibilità termica

k

D

• rappresenta il coefficiente di diffusione

AB

La velocità di trasporto, sia riferita al trasporto di calore, di materia o di quantità di moto, può

essere espressa dal rapporto tra una forza spingente e una resistenza al trasporto. Nei tre casi

elencati, la forza spingente è rispettivamente il gradiente di velocità, il gradiente di temperatura e il

gradiente di concentrazione.

Definire un fenomeno fisico risulta, spesso, molto complicato poiché lo stesso può essere descritto

n,

da un numero più o meno grande, di variabili. Si può quindi pensare di definire la dipendenza di

una delle variabili da tutte le altre; questo, però, è molto svantaggioso economicamente a causa del

dimensionale

numero elevato degli esperimenti. Viene, allora, in soccorso l’analisi le cui basi sono

Teorema di Buckingham

fornite dal (detto anche Teorema p) che permette di ricavare il numero

dei gruppi adimensionali indipendenti necessarie ad esprimere le relazioni che descrivono un

qualsiasi fenomeno fisico attraverso la seguente relazione:

G=V −U

Dove:

• G è il numero di gruppi adimensionali

• V rappresenta il numero di variabili coinvolte

• U è il numero di unità fondamentali [nel S.I. U = 3 (kg, m, s) per i problemi riguardanti la

meccanica dei fluidi]

Esempi di gruppi adimensionali sono il Numero di Eulero, il Numero di Reynolds, il Numero di

Nusselt, il Numero di Prandtl, ecc….

Il fluido per potersi spostare con una certa portata da una sezione all’altra di un condotto, vincendo

perdite di carico

l’attrito, deve possedere una certa energia, rappresentata dalle che non sono altro

che la differenza di energia posseduta dal fluido nei due punti del circuito idraulico.

di Bernoulli

Normalmente, per determinarle, si utilizza l’equazione che rappresenta una forma

di Navier­Stokes

semplificata dell’equazione con la differenza che quest’ultima è valida per fluidi

non viscosi o comunque con una viscosità trascurabile, mentre per la validità del teorema di

Bernoulli non è necessario che il fluido sia non viscoso ma che sia nulla la risultante delle forze

viscose e quindi basta che il fluido sia incomprimibile, irrotazionale (rotore, o rotazione

infinitesima, nullo) e stazionario.

Matematicamente, l’equazione di Bernoulli è la seguente:

Le perdite di carico possono essere di due diversi tipi:

• Concentrate,

• Localizzate,

Calcolo del fattore di attrito di un fluido intubato

A T : Studiando il moto di un fluido all’interno di un tubo si nota che esso dipende

SPETTI EORICI

dalla resistenza che il tubo appone al passaggio del fluido stesso.

Questa resistenza può essere determinata con un bilancio di forze applicate al fluido; di tali forze

fanno parte la pressione e la forza di attrito.

forza di attrito

Si definisce una forza dissipativa che si esercita tra due superfici a contatto tra loro

e che si oppone al loro moto.

Secondo una comune classificazione esistono tre diversi tipi di attrito:

Se le due superfici strisciano una sull’altra si parla di attrito radente.

1. Se una delle due superfici rotola sull’altra si ha un attrito volvente.

2. Se si ha un corpo che si muove all’interno di un fluido si parla di attrito viscoso.

3.

Quest’ultimo è dovuto alle iterazioni che il corpo ha con le molecole del fluido (liquido o gas) ed è

Numero di Reynolds

funzione di un numero adimensionale detto definito come il rapporto tra le

forze di inerzia e le forze viscose.

Matematicamente viene espresso dalla seguente formula:

⟨ ⟩

ρ v D

ℜ= μ

Dove:

• Re è il Numero di Reynolds

• è la densità del fluido presente nel tubo

ρ

• è la velocità media del fluido contenuto nel tubo

⟨ ⟩

v

• è il diametro del tubo

D

• è la viscosità del fluido

μ D A

Il forza di attrito è anche proporzionale alla superficie caratteristica di contatto tra il solido e il

K:

fluido e all’energia cinetica caratteristica per unità di volume

D=f∗A∗K

Dove: f fattore di attrito di Fanning,

• rappresenta il definito come il gruppo adimensionale dello

sforzo di taglio alla parete e rappresenta il rapporto tra il flusso conduttivo (forze di taglio) e

il flusso convettivo (forze di inerzia) di quantità di moto.

A

• è l’area del tubo data da πDL 1 2

K ⟨ ⟩

ρ v

• rappresenta l’energia cinetica definita come 2

La forza di attrito, quindi, risulta:

1

( )

2

⟨ ⟩

D=f πDL ρ v

( ) 2

Tenendo conto della pressione, invece, la forza di attrito è data dal prodotto tra la differenza di

ΔP

pressione e la superficie di attraversamento:

2

∣ ∣

P D

−P ∗π

1 0

D= 4

Nota: Considerando un sistema di riferimento col punto di origine posizionato nel punto più basso

del tubo, vale la seguente relazione:

{ '

0 se il fluido simuove dal l alto versoil basso

¿

∣ ∣

P −P =

1 0 '

0 se il fluido si muove dalbasso verso l alto

¿ D

Uguagliando le due formule scritte rispetto a si ottiene: 2

1 π D

2 ∣ ∣

⟨ ⟩

f π DL ρ v ∆ P

=

2 42

La forza di attrito è, quindi, funzione di più variabili, quali, la densità e la viscosità del fluido, la sua

velocità, la lunghezza e il diametro del tubo e la differenza di pressione in entrata e in uscita dal

condotto. ⟨ ⟩

f P , ρ , μ , v , L, D)

=f (∆

Per semplificare il numero di variabili applichiamo il Teorema p secondo il quale:

G=V −U=6−3=3

A questo punto bisogna esplicitare una delle variabili in funzione delle altre; scegliendo ΔP, data

dalla formula seguente:

L

2

⟨ ⟩

ΔP=2fρ v D

dalla quale si deduce che bisogna conoscere sia le caratteristiche del fluido sia quelle del tubo

infatti, oltre ad alcune grandezze già introdotte prima, compaiono:

• L che è la lunghezza del tubo

• F che è il fattore di attrito

• ΔP che è la differenza di pressione (P – P ); se il tubo è in posizione verticale si deve tener

1 0

conto dell’effetto combinato della pressione e della forza di gravità, che prende il nome di

pressione equivalente.

si ottiene: ⟨ ⟩

∆ P=f ρ, μ , v , L , D)

(

Per quanto complessa sia la dipendenza espressa da questa funzione, si può esprimere il ΔP come

una serie di potenze delle rimanenti variabili:

c1 c2 ci

( ) ( ) ( )

a1 b1 d1 e1 a2 b2 d2 e2 ai bi di ei

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

∆ P= k ρ μ v L D k ρ μ v L D k ρ μ v L D …+¿

+ +…+ +

1 2 i

∞ *

ci

( )

∑ ai bi di ei

⟨ ⟩

k ρ μ v L D

¿ i

i=1

Facendo riferimento alle dimensioni si ha:

a1 b1 c1

Kg Kg Kg m

( ) ( ) ( ) d1 e1

= ∗ ∗ ∗m ∗m

2 3 m∗s s

m∗s m

Esplicitando ciascuna si ottiene un sistema di tre equazioni in cinque incognite:

{ Kg)

(

1=ai+ bi

ci+ di+ ei (m)

−1=−3ai−bi+

2=bi+ ci s)

(

Dalla prima e dalla terza equazione si ottiene, rispettivamente:

ai=1−bi

ci=2−bi

che, sostituite nella seconda, quest’ultima diventa:

ei=−bi−di *

Sostituendo gli esponenti così ottenuti con quelli presenti nell’equazione , quest’ultima assume la

seguente forma: ∞ 2−bi

( )

∑ 1−bi bi di −bi−di

⟨ ⟩

∆ P= k ρ μ v L D

i

i=1

Dividendo per il prodotto tra la densità e la velocità elevata al quadrato si ottiene:

( )

−bi

bi di

−bi −bi−di

⟨ ⟩

k ρ μ v L D

i ¿ ∞

∆P ∑

= ¿

2

⟨ ⟩

ρ v i=1

Raggruppando, poi, le potenze di bi e bi l’equazione diventa:

bi di

μ L

( ) ( )

⟨ ⟩

ρ v D D

¿ ∞

∆P ∑

= ¿

2

⟨ ⟩

ρ v i=1

Si ottengono così tre gruppi adimensionali:

∆P

Il Numero di Eulero:

1. 2

⟨ ⟩

ρ v ⟨ ⟩

ρ v D

Il Numero di Reynolds:

2. μ L

Rapporto tra le geometrie del tubo:

3. D

Di conseguenza si può concludere dicendo che il Numero di Eulero è funzione del Numero di

Reynolds e del rapporto tra la lunghezza e il diametro del tubo.

L

g=(ℜ, )

D ΔP

Dalla relazione scritta precedentemente rispetto a si ottiene quella per ricavare il fattore di

attrito: ΔP D

f = 2

⟨ ⟩

2ρ v L

In realtà esiste un diagramma che ci permette di calcolare il coefficiente di attrito conoscendo

Abaco di Moody.

semplicemente il Numero di Reynolds; tale diagramma è detto

Questo è stato tracciato su una scala bilogaritmica in modo tale da ricoprire un vastissimo intervallo

di valori del Numero di Reynolds (che sta sull’asse delle ascisse) oltre che del coefficiente di attrito

(che sta sull’asse delle ordinate).

Nella parte più a sinistra il diagramma è composto da un’unica retta che rappresenta un valore di

16

f = ℜ laminare

In questo caso si parla di flusso in regime descritto da valori del Numero di Reynolds

bassi ; si ha quando il moto di un fluido avviene con scorrimento tra strati (lamine)

2100)

(ℜ≤

infinitesimi adiacenti senza alcun tipo di rimescolamento del fluido stesso, in quanto nel flusso

predominano le forze viscose che lo mantengono costante nel tempo.

Nella parte più a destra, invece, è presente un fascio di curve che rappresentano i diversi valori di

scabrezza relativa (rugosità) definita come il rapporto tra l’altezza media dei difetti di lavorazione

D.

e il diametro della condotta

ε turbolento,

Questa zona, in cui si parla di flusso in regime è a sua volta suddivisa in due parti:

• Quella più a sinistra, che rappresenta un moto non del tutto turbolento, in cui si p