Regressione e correlazione

Analisi bivariata: regressione e correlazione

Le tecniche di analisi bivariata

Paola Bordandini

Le tecniche di analisi bivariata coinvolgono una variabile X (variabile indipendente) che può essere cardinale o quasi categoriale, e una variabile Y (variabile dipendente). È possibile utilizzare diverse tecniche come le tavole di contingenza (ANOVA) e la regressione, nonché la correlazione.

Tavole di contingenza e regressione

Le tavole di contingenza sono applicabili quando la variabile è categoriale, mentre la regressione e l'analisi della correlazione sono usate con variabili cardinali o quasi cardinali. Un importante strumento di analisi bivariata è il diagramma a dispersione (scattergram), che illustra la relazione tra due variabili, come ad esempio il reddito e l'età.

Retta di regressione, residui e outliers

Nel contesto della regressione, si identifica una retta di regressione, e si considerano i residui e gli outliers per valutare la bontà dell'adattamento. Gli outliers possono influenzare negativamente l'analisi e devono essere considerati attentamente.

Alcune formule

La retta di regressione lineare è definita dall'equazione: Y = a + bX. Dove:

• Coefficiente di regressione (b): la pendenza della retta che si calcola come il rapporto tra la codevianza di X ed Y e la devianza di X.
• Intercetta (a): il valore di Y quando X è zero, calcolato come a = Ȳ - bX̄.

Altri concetti importanti includono i prodotti incrociati, i quadrati sugli scarti in ordinata e in ascissa.

Due diagrammi, una stessa retta

La retta Y = 5 + 1,5X rappresenta una situazione dove variazioni in X influenzano linearmente Y. Questo concetto è illustrato in due diversi diagrammi che condividono la stessa equazione di regressione.

Forza della relazione

Il coefficiente di correlazione (r) misura la forza e la direzione della relazione tra due variabili. Si calcola come il rapporto tra la codevianza di X e Y e il prodotto delle radici delle devianze di X e Y.

Il residuo è la differenza tra il valore osservato di Y e il valore previsto dalla retta di regressione.

Confronto tra i coefficienti

Sia il coefficiente di regressione (b) che il coefficiente di correlazione (r) condividono alcune parentele e differenze:

• Parentele:
  • Stesso numeratore
  • Stesso segno
  • Se b=0, r=0
• Differenze:
  • Il denominatore
  • b è unidirezionale mentre r è bidirezionale
  • L'unità di misura
  • Il campo di variazione

Coefficiente di determinazione

Il coefficiente di determinazione (r²) esprime la proporzione della varianza di Y che è spiegata dalla variabile X. Viene calcolato come il quadrato del coefficiente di correlazione.

Una panoramica di sintesi

• Diagramma a dispersione
• Retta di regressione
• Calcolo dell'intercetta e del coefficiente di regressione (b)