Regime sinusoidale permanente

REGIME

SINUSOIDALE

PERMANENTE

REGIME

SINOSIDALE

PERMANENTE

Regime Sinusoidale Permanente (RSP)

LKT:  E(t) = n_C(t) + n_L(t) + n_R(t) = n_C(t) + L  ^{d i(t)}/_dt  + R i(t)

=> E(t) = n_C(t) + LC  ^{d2 n_C(t)}/_dt  + RC  ^dn_C(t)/_dt

Riordino =>

^{d2 n_C(t)}/_dt  +  ^R/_L  ^dn_C(t)/_dt  +  ¹/_LC n_C(t) =  ¹/_LC E(t)              EDO

Soluzione omogenea

n_C,O(t) = k₁ e^λ₁t + k₂ e^λ₂t

Soluzione particolare

n_C,P(t) = N_C,P,_max sin (ωt + φ_C)

Perché era del tipo

E(t) = E_max sin (ωt + φ)

Soluzione effettiva

n_C(t) = k₁ e^λ₁t + k₂ e^λ₂t + A_Cn_C,P(t)

Per t → ∞ il transitorio → ∅ e si passa in RSP.

Quindi in RSP :

n_C(t) = N_C,_max sin (ωt + φ_C)

    COEFF.

TROVIAMO ORA LA CORRENTE IN RSP:

i(t) = C dnc(t)/dt => i(t) = C · ω nc_max cos (ωt + φc)

VOGLIO PASSARE AL SENO, AGGIUNGO ^π/₂ ALL'ARGOMENTO

=> i(t) = C · ω nc_max sin (ωt + ^π/₂ + φc) = C ω nc_max sin (ωt + φc)

LA RISCRIVO COME: i(t) = nc_max sin (ωt + φc)

1/ωc

DEFINISCO 1/ωc = Xc

REATTANZA DEL CONDENSATORE [Ω]

ih = nc_max/Xc

=> i(t) = (nc_max/Xc) sin (ωt + φc)

AMPLIEZA

φc

PULSAZIONE

FASE

GRAFICAMENTE:

Nota:

[La corrente assume il suo valore max inanticipo di ^π/₂ rispetto alla tensione]

LA CORRENTE CHE ATTRAVERSA UN CONDENSATORE ÈIN ANTICIPO DI ^π/₂ RISPETTO ALLA TENSIONEAI SUOI CAPI

Consideriamo ora l'induttore:

n_L(t) = L ⋅ di(i(t))/dt = ωL I_M sin (ωt + φ_I + π/2)

Sono presenti sfasamento di sin, uso file derivato (LKT).

Definisco ωL I_M = V_hL, ωL = x_L

È detta reattanza dell'induttore [Ω]

⇒ N_L(t) = V_hL sin (ωt + φ_L)

La tensione ai capi di un induttore sarà in anticipo di π/2 rispetto alla corrente che circola.

Per il resistore abbiamo semplicemente la legge di Ohm:

N_R(t) = R i(t) = RI_M sin (ωt + φ_I) = N_R(t)

La tensione ai capi di un resistore in RSP è in fase con la corrente che lo attraversa.

Collezionando le formule ottenute e applicando la LKT, dato che per ipotesi siamo in regime quasi-statico, otteniamo:

R I_M sin (ωt + φ_I) + x_L I_M sin (ωt + φ_L) + x_max i_M sin (ωt + φ_E)

= E_M sin(ωt + φ)

E(t)

Inserendo le reattanze

R (N_I sin (ωt + φ_I) + x_L (N_Lmax/x_L) sin (ωt + φ_L) + N_Lmax sin (ωt + φ_E)) = E_I sin (ωt + φ)

Incognita N_Lmax

Determinare la V_max è molto difficile, quindi utilizzeremo i numeri complessi per riscriverli le rispettive grandezze e trovare una soluzione.

Da algebra lineare ricordiamo:

z = (a, b) = R[cos(θ) + j sin(θ)] = r e^jθ

Nel nostro caso, data y(t) = y_m sin(ωt + φ), x(t) = y_m cos(ωt + φ):

x(t) + j y(t) = y_m[cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)]

Per t = φ

x_o + j y_o = y_m[cos(φ) + j sin(φ)]

Se vogliamo sommare 2 funzioni sinusoidali e ricavare la sinusoida associata:

Per t generico

A(t) = A_m sin(ωt + φ_a), B(t) = B_m sin(ωt + φ_b) ⇒ C(t) = A(t) + B(t)

Per t = φ

ā = A_m[cos φ_a + j sin φ_a] = A_x + j A_y

b̲ = B_m[cos φ_b + j sin φ_b] = B_x + j B_y

⇒ ĉ = A_n + B_x + j (A_y + B_y)

Riprendiamo il circuito precedente:

Per t = <Phi> E = E_M(cosφ + jsinφ)

Per t ≠ <Phi>

• E(t) = E_Me^{j(ωt + φ)} = E_M e^jωt e^jφ
• n_C(t) = n_emaxsin(ωt + 𝜑_C)