Regime sinusoidale permanente

REGIME

SINUSOIDALE

PERMANENTE

Regime Sinusoidale Permanente (RSP)

LKT:

E(t) = n_L(t) + n_C(t) + n_R(t) = n_C(t) + L ^di(t)/_dt + R i(t)

=>

E(t) = n_C(t) + L C ^d2n_C(t)/_dt + R C ^dn_C(t)/_dt

Riordino:

=>

^d2n_C(t)/_dt + ^R/_L ^dn_C(t)/_dt + ¹/_LC n_C(t) = ¹/_LC E(t)

Soluzione Omogenea:

n_CO(t) = k₁e^λ₁t + k₂e^λ₂t

Soluzione Particolare:

n_CP(t) = N_{C, max} sin(ωt + φ_C)

Perché era del tipo:

E(t) = E_max sin(ωt + φ)

Soluzione Effettiva:

n_C(t) = k₁e^λ₁t + k₂e^λ₂t + n_CP(t)

Per t -> ∞ il transitorio -> 0 e si passa in RSP.

Quindi in RSP:

n_C(t) = N_{C, max} sin(ωt + φ_C)

Riapplichiamo il circuito precedente:

Per t = 0

E = EM (cosφ + jsenφ)

Per t ≠ φ:

• E(t) = EM e^{jwt + jp} = EM e^jwt e^jp
• nC(t) = nCmax sin(wt + φc) = nCmax e^jwt e^jφc
• i(t) = C d(nE(t))/dt = C [nCmax e^jwt e^jφc (jω e^jwt)]

Applico la LKT con le espressioni complesse appena ottenute:

• E(t) = nR(t) + nE(t) + nC(t)
• ⇒ EM e^jwt e^jp = Rv [nCmax e^jφc jω e^jwt] + L d/dt [nCmax e^jφc e^jwt] + nCmax e^jwt e^jφc
• ⇒ EM e^jwt e^jp = Rv nCmax e^jwt e^jφc j + L [nCmax / ωC e^jφc (e^jwt jω)] +
• + (1 / ωC) [nCmax / Δ ωC e^jwt e^jφc e^jwt]
• ⇒ EM e^jwt e^jp = R [nCmax / ωCω] e^jwt (e^jφc + j[ Lω ]) (nCmax / ωCω) e^jφc e^jwt +
• + (1 / ωC) nCmax / Δ ωC e^jwt e^jφc

Poiché non scorre corrente, non c'è perdita di potenziale nel resistore, e quindi .

Nota: Come prima, in analogia, la somma delle correnti che attraversano i due componenti è nulla, ma non le correnti passanti per i singoli componenti. Se , non è vero che .

Anche qui possiamo vedere geometricamente cosa accade:

• ;
• .

Questo fenomeno è utile per far funzionare un induttore senza collegarlo alla rete e quindi dissipare potenza.

Sfasamento

Consideriamo un dipolo qualsiasi e supponiamo di conoscere tensione e corrente allo stato in cui è concluso il transitorio:

• ;
• .

Definiamo sfasamento tra corrente e tensione di un dipolo, l'angolo ottenuto dalla differenza tra la fase della tensione e quella della corrente.

Se .

• Per un condensatore: N = Φ - j ^V2/_Xc = Φ - jX_cI²P = ΦQ = -X_cI² = - ^V2/_Xc

La potenza reattiva assorbita da un condensatore è negativa, quindi la potenza reattiva erogata è positiva; il contrario vale per l'induttore. Per questo motivo un condensatore ed un induttore possono formare energia reciprocamente senza scambiarla con l'esterno (risonanza).

• Consideriamo ora una generica impedenza che ha parte reale positiva e parte immaginaria incognita:Z = R + jXI̅ = V̅/Z̅ => V̅ ≅ ZI̅

Calcoliamo la potenza complessa.

Definisco ammettenza ¹/_Z e più precisamente:y̅ = ¹/_Z = G + jBCon { G - conduttanza, B - suscettanza¹/_Z = ¹/_R+jX = ^R-jX/_R²+X² = ^R/_R²+X² - j ^X/_R²+X²y̅ = G + JB = ^R/_R²+X² - j ^X/_R²+X²

N̅ = V̅ I̅̇

= E̅₂ ( E̅_A − E̅₂ ) = E̅₂ E̅_A − E̅₂² = E̅₂ e^{j φ₂} E̅_A e^{−j φ₂} − E̅₂² e^{−j φ₂}

=                            E̅2 EZ₂ e^{j(φ₂ − φ_A)}

= jX_L − jX_L   − E̅₂ e^−jφ₂ = −jX_L

= E_A E₂ e^{j(φ₂−φ_A)} +   [ cos(φ₂ −φ_A) + j sin(φ₂ −φ_A) ] + E̅₂² +

= jX_L E₂ =                 −jX_L   − jX_L

=       [ cosδ − j sin δ ]  − j     =  E₁ E₂ sinδ + j     +  

    E̅₂² E₁ E₂ cosδ − E̅₂²

Nota: cos(−δ ) = cos(δ )

        sin(−δ ) = −sin(δ )

Immaginiamo E_A = E₁, al crescere di S il V(μ(S) cresce mentre

il cos(δ ) decresce in Manner poco significativa.

Questo vuol dire che la potenza (P) e molto sensibile a variazioni

di S; Q e poco sensibile, ma molto sensibile a variazioni di E₁.

Vogliamo ora vedere se sia possibile sostituire all'elemento disx

un bipolo equivalente che presenta la stessa caratteristica, ovvero

assorbe la stessa potenza apparente (A):

• Caratteristica impedenza eq.
• |V̅| = V_N - tensione
• A = A_N - Assorbe Pot.
• cos φ. cosφ(imp) lo stesso del precedente.