Regime sinusoidale

Modifiche causate da induttori, capacitori e resistori

Anticipo anche il fatto che gli induttori e i capacitori causano delle modifiche sull'angolo dell'asinusoide (praticamente traslano al sinusoide sull'asse x) mentre i resistori causano una variazione sull'ampiezza della sinusoide (quindi la dilatano o la restringono sull'asse Y).

Numeri complessi

Andiamo a ricordare come può essere rappresentato un numero complesso in matematica e a dare un utilizzo; ricordiamo comunque che la scelta "preferita" di rappresentazione è soggettiva e tutte le rappresentazioni sono equivalenti nonostante vantaggi e svantaggi di ognuna di esse.

Rappresentazione cartesiana

Questa è una delle forme più intuitive con cui è possibile rappresentare un numero complesso e lo si rappresenta tramite le componenti x e y.

Il vantaggio di questa forma è la facilità nelle operazioni di somma e differenza utili per calcolare le impedenze equivalenti nei circuiti. Lo svantaggio è che è

dell'onda sinusoidale) che si muove lungo un asse t (del tempo) e all'interno del quale un vettore gira con velocità angolare di omega (frequenza).

In questo modo è possibile rappresentare tutta una serie di vettori appartenenti alla circonferenza di raggio A.

Capiamo ora perché è necessario fissare la frequenza (velocità angolare del fasore) e perché la descrizione di Eulero è utile ai nostri scopi.

Vediamo che una funzione sinusoidale può essere descritta come l'insieme delle proiezioni di un vettore rotante su una circonferenza.

Allora è possibile intuire che la velocità angolare relativa alla rotazione del vettore indica la lunghezza del periodo della sinusoide. Una volta fissata questa, è possibile descrivere una funzione sinusoidale tramite solo 2 variabili:

• ampiezza
• angolo di partenza

Inserendo quindi questo insieme di dati nella

La formula di Eulero è possibile trovare dove si trova un vettore a un certo momento t lungo la circonferenza, e dato che la proiezione del vettore costituisce la sinusoide è possibile individuare "a che punto siamo" della sinusoide.

Esempio: Ritardo o anticipo di una fase rispetto ad un'altra. Impareremo che in regime sinusoidale le componenti induttive e capacitive, comportandosi come serbatoi, causeranno un ritardo o un anticipo della funzione sinusoidale che li attraversa. Questo ritardo lo descriveremo come "angolo di ritardo".

Questo termine viene chiamato così perché andremo ad analizzare l'angolo di differenza tra 2 fasori:

• quello del generatore
• quello dell'impedenza

Vediamo ora che la moltiplicazione di una sinusoide per una costante allunga il vettore del fasore e se i fasori sono isofrequenziali allora sono sommabili come somma di vettori. Tra le altre proprietà c'è la derivata e l'integrale del...

Notiamo che è molto facile fare derivate e integrali oltre ad essere particolarmente semplice anche le operazioni tra fasori. Questo ci permetterà di modellare facilmente tutti i componenti in regime sinusoidale.

Andiamo ora a rivedere il caso del circuito R-C nel caso di tensione sinusoidale. Vediamo che la parte della formula che prima era associata al transitorio ora è associata a un fasore e la parte associata al contributo fisso ora è rappresentato da una sinusoide. Ma allora possiamo notare che la sinusoide è di fatto un fasore e di conseguenza il risultato di questa somma è un terzo fasore equivalente alla somma vettoriale dei primi 2.

E vediamo ora la risposta Trasformata di Steinmetz. Propone lo studio dei circuiti in regime sinusoidale tramite l'utilizzo dei fasori. Andremo quindi a vedere come introdurre i fasori:

• Resistori: Per i resistori vediamo che possiamo utilizzare la proprietà di moltiplicazione dei fasori,

infatti applicando un derivato della legge di ohm possiamo moltiplicare i fasori per una costante ottenendo un nuovo fasore che rappresenterà o la corrente o la DDP ai capi del resistore. Vediamo che da una parte (destra) abbiamo la legge di ohm "standard"; notando che la tensione e la corrente hanno la stessa frequenza e sono in fase tra loro; quindi possiamo pensare di passare a una legge di ohm SIMBOLICA, cioè che rappresenta le varie sinusoidi come singoli vettori. Quindi da adesso in poi capiamo che useremo solo dei simboli (i fasori) per indicare tensioni e correnti.

- induttori

Dall'equazione caratteristica dell'induttore capiamo che sarà necessario fare la derivata di un fasore; infatti vediamo subito che la DDP ai capi dell'induttore sarà e iniziamo a vedere già i primi sfasamenti di angolo tra tensioni e correnti: infatti vediamo che un induttore sfasa la tensione rispetto alla corrente di un angolo di 90°. Ricordiamo che

quindi sono in quadratura in caso dell'induttore. Quindi la tensione è in anticipo rispetto alla corrente. - condensatori Similmente agli induttori essi danno un effetto opposto, cioè anticipano la corrente, oritardano la tensione. anche qui portando alla quadratura di corrente e tensione, ma in senso opposto. https://www.sandroronca.it/CorrenteAlternata2/ImpedenzaRLCserie.html https://www.sandroronca.it/CorrenteAlternata3/AmmettenzaRLCparallelo.html Impedenze Abbiamo visto che esistono delle quantità che legano tensione e corrente e generalizziamo quindi questo legame per ogni componente in modo che tutte le componenti possano essere raccolte in un'unica scatola nera: "l'impedenza" Oltre all'impedenza vediamo che esiste l'ammitanza, che è semplicemente il reciproco. Nella legge di ohm simbolica quindi possiamo andare a sostituire la resistenza con l'impedenza. Ricordiamo che è simbolica perché non sono

tensioni e correnti, ma loro rappresentazioni

ATTENZIONE: Z non è un fasore, ma comunque un numero complesso e quindi va segnalato comunque con il trattino, in questo caso quindi Z rappresenta un vettore che viene moltiplicato per un fasore I.

Notiamo come preannunciato che i contributi agli angoli vengono dati dalle componenti induttive e capacitive, mentre il contributo ai moduli viene dato solo dalla parte resistiva del circuito.

Le impedenze come le resistenze si misurano in ohm.

Circuito simbolico

Il circuito simbolico è quel circuito in cui le variabili di DDP e corrente sono rappresentate dai loro fasori e tutti i rapporti tra le variabili sono determinate dalla legge di ohm simbolica.

Il vantaggio di questa visione è che viene eliminata la variabile del tempo t da tutte le equazioni.

Rimangono sempre valide comunque le leggi di kirchhoff.

Vediamo un esempio dalla lezione.

Ricordiamo inoltre che per i collegamenti a stella e a triangolo le impedenze funzionano con le

stesse formule

Metodo simbolico

esempio 9.3-9.4-9.5 perfetti

Resistenze e reattanze

Ricordiamo che l'impedenza è quel qualcosa che lega la tensione e la corrente di un circuito.

Andiamo a fare una distinzione ora; l'impedenza è composta da 2 parti:

• la resistenza, cioè la parte resistiva e passiva del circuito il cui contributo è fisso all'interno dello stesso ed è legato al solo modulo dei versori della tensione e della corrente;
• la reattanza, cioè la parte che effettivamente "reagisce" ai cambiamenti del circuito, ovvero il cui contributo varia al variare del tempo (o meglio, cambia in modo periodico all'interno della fase) e il suo contributo è direttamente legato all'angolo oltre che al modulo dei versori di tensione e corrente: infatti come abbiamo visto prima per esempio lascia invariato il versore della corrente e ritarda quello della tensione, mentre l'induttore lascia invariato il versore

della tensione e anticipa quella della corrente

Suggerimento logico

Ricordando come funzionano le varie componenti io trovo più facile ricordare che il condensatore, avendo bisogno di tempo per ricaricarsi e arrivare in condizione stabile ha bisogno di ritardare la tensione ai suoi capi rispetto all'onda generata, mentre l'induttore che non vuole cambiare, per rispondere all'arrivo della corrente genera della tensione ai suoi capi per farla "scorrere" più velocemente, quindi anticipa la tensione.

In poche parole per me è più facile ricordare che data la corrente il condensatore ritarda la tensione e il condensatore la anticipa.

Fare attenzione al segno del condensatore e ricordare che la reattanza è la parte immaginaria dell'impedenza.

Tipologie di bipoli

Notiamo quindi che, dato che l'impedenza è un numero complesso, anche questa può avere una rappresentazione polare che possiamo ricavare dai valori complessi

di corrente.