Doppi bipoli - regime sinusoidale

Trasformatore ideale e potenza complessa

I II I2  = -21 1 V n VV 2 1VV V2 2 1 1 12' =1' 2'1'  I I 2 1n22 11 II II (caratteristica b):22 11 VV VV 22 11 2'2' 1'1' Alcune possibili combinazioni per la caratteristica bCorso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di SalernoSi definisce potenza complessa assorbita dal trasformatore ideale la( (quantità: & = +S V I V I1 1 2 2Sostituendo alle grandezze secondarie la loro espressione in funzione di quelleprimarie si ottiene: ( (1& = + - =S V I n V ( I ) 01 1 1 1nSi dice pertanto che il trasformatore ideale è "trasparente" alla potenzacomplessa in quanto assorbe sia potenza attiva che potenza reattiva nulla.Si definisce, inoltre, potenza (apparente) nominale (o di targa) deltrasformatore la quantità: ( (= =P V I V Ia 1 1 2 2Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno1: n1 2II+ 21 &ZVE V 21

2’1’L’interposizione di un trasformatore tra un generatore ed una impedenza di carico consente di modificare (adattare) il valore della impedenza vista dai morsetti del generatore. Le equazioni che descrivono il circuito sono:

E V1 &= −V ZI2 2=V n V2 11= −I I2 1n

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e I nella seconda equazione si ottiene:

Sostituendo le espressioni di V2 2 &  V Z1& &= − − → = =  21n V Z I a Z1 1  2n I n1 2

L’impedenza vista dal generatore è, pertanto, ridotta del fattore 1/n.

L’analisi del circuito può essere condotta utilizzando il circuito equivalente in figura. Esso consente di ricavare la corrente I; una volta nota tale corrente è quindi possibile risalire, tramite la caratteristica del trasformatore ideale, alla corrente I.

2 1 I+ 1 & 2Z nE V11’

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Il trasformatore ideale rappresenta una idealizzazione del mutuo accoppiamento magnetico tra due circuiti.

Il mutuo accoppiamento è costituito da due avvolgimenti (ad esempio, disposti su un nucleo di materiale ferromagnetico ad elevatissima permeabilità μ→∞) magnetica, realizzati rispettivamente con N1 e N2 spire ed interessati dalle correnti I1 e I2.

Le due correnti daranno origine ad un campo di induzione che, in prima approssimazione, si sviluppa interamente nel nucleo. Ai due avvolgimenti saranno associati dei flussi di induzione che potranno essere espressi rispettivamente come:

Φ1 ≅ ΦN1 = µ0 N1 I1

Φ2 ≅ ΦN2 = µ0 N2 I2

dove Φ rappresenta il fasore associato al flusso medio concatenato con una spiram dell'avvolgimento.

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Per la legge di Faraday-Neumann alla variazione di tali flussi risulteranno associate le tensioni ai morsetti dei due avvolgimenti:

Φd ω ω≅ ⇒ = Φ = Φ1v V j j N1 1 1 1 mdt

Φd ω ω≅ ⇒ = Φ = Φ2v V j j N2 2 2 2 mdt

Dividendo membro a membro si ottiene:

V N= =2 2 nV N1 1n è quindi pari al rapporto tra le spire dell’avvolgimento secondario e quelle del primario.

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Circuiti accoppiati magneticamente

Le equazioni che descrivono il trasformatore ideale rappresentano il comportamento limite di un doppio bipolo "reale" costituito da due induttori in cui il campo magnetico che interessa ognuno di essi influenza il comportamento ai morsetti dell'altro.

Per ricavare le caratteristiche dinamiche, interessanti ai fini delle relazioni con il comportamento del trasformatore ideale, esaminiamo il funzionamento

in condizioni stazionarie.

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Consideriamo l'avvolgimento (bobina) costituito da N spire, alimentato da una corrente stazionaria I ed avvolto su un toro di materiale ferromagnetico di sezione S (supposta per semplicità costante).

La struttura magnetica (detta anche nucleo o ossatura) è composta da alcuni tratti ad altissima permeabilità (µ>>µ) separati da tratti di aria di piccolissimo spessore µ che in una analisi di gioghi colonne massima possono essere ritenuti trascurabili. µ→∞

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Si suppone che la caratteristica B del materiale ferromagnetico sia di tipo lineare ed omogeneo, ovvero che B=µH.

In condizioni stazionarie, la caratteristica di un tipico materiale ferromagnetico è nonlineare del tipo riportato in figura.

Nel primo tratto della caratteristica,

Al di sotto del ginocchio, l'approssimazione lineare risulta accettabile.

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La corrente origina un campo di induzione magnetica le cui linee sono orientate concordemente alla regola della mano destra.

Esso dà luogo ad un flusso che si concatena con le N spire del circuito. Tale flusso può essere espresso con buona approssimazione come N volte il flusso medio concatenato con una spira.

m γI 1

Si suppone trascurabile il flusso associato alle linee di campo che non si sviluppano totalmente nel µferro 0µ

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Il flusso medio può essere espresso attraverso il prodotto del valore medio del campo di induzione per l'area S della sezione retta del toro:

Φ ≈ Φ =N N B S11 1 m 1 1γI 1 Il valor medio di B si può ricavare dalla legge di Ampère-Maxwell B 1

applicata ad una linea del campo, adN 1 γ:esempio la curvaµ ∫ ⋅ ≅ =lH dl H N I0 1 1γµ γldove è la lunghezza della curva ; il prodotto N I si chiama forza magneto-1 1motrice. Trattandosi del prodotto del numero di spire per la corrente che leinteressa vengono anche indicate con il nome di ampere-spire del circuito.

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Poiché nel ferro B=µH si ha: µB∫ 1⋅ ≅ = ⇒ =lH dl N I B N Iµ1 1 1 1 1 1lγ

Sostituendo nella espressione del flusso: µΦ ≅ Φ = = =12N N B S N S I L I11 1 m 1 1 1 1 1l

Nelle ipotesi di linearità, flusso concatenato con il circuito risultaproporzionale alla corrente che interessa il circuito stesso.

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Il coefficiente di proporzionalità L è detto coefficiente di autoinduzione

Induttanza del circuito. Esso dipende dalle caratteristiche geometriche (sezione e lunghezza del circuito) e fisiche (permeabilità e numero spire) della struttura e può essere espresso anche come: L₂ = N²R = 1/µ, dove: L è detta riluttanza della struttura magnetica, (il suo reciproco viene denominato permeanza). Le dimensioni della riluttanza sono omogenee con il reciproco di una induttanza, [H]. Aver trascurato le linee del campo completamente incanalate nel materiale ferromagnetico, consente di considerare un circuito per le linee vettoriali del campo magnetico.

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Consideriamo ora un secondo avvolgimento di N spire avvolto sullo stesso toro di materiale ferromagnetico ed interessato da una corrente I₂. Supponiamo che la corrente I₁ risulti nulla: i morsetti del primo avvolgimento, o avvolgimento primario, risultano cioè aperti.

B₂ Il flusso che si concatena con N₁ N₂

l'avvolgimento primario è dovuto al campo di induzione B2 associato alla corrente I del secondo.

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Indichiamo con tale flusso: il primo pedice si riferisce al circuito sul quale si valuta il flusso (effetto), mentre il secondo indica la corrente dal quale esso è prodotto (causa).

Nelle ipotesi di linearità e trascurando le linee di campo non concatenate con tutto il circuito, è possibile trovare una espressione approssimata per tale flusso. Φ Esso risulterà dato da N volte il flusso medio concatenato con una spira.

Questo, a sua volta, può essere espresso attraverso il prodotto del valore medio del campo di induzione B2 Φ ≈ Φ = N N B S12 1 m 1 2

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L'espressione di B può essere ottenuta