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1

: n

1 2

I

I

+ 2

1 &

Z

V

E V 2

1 2’

1’

L’interposizione di un trasformatore tra un generatore ed una impedenza di

carico consente di modificare (adattare) il valore della impedenza vista dai

morsetti del generatore. Le equazioni che descrivono il circuito sono:

=

E V

1 &

= −

V ZI

2 2

=

V n V

2 1

1

= −

I I

2 1

n

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

e I nella seconda equazione si ottiene:

Sostituendo le espressioni di V

2 2 &

  V Z

1

& &

= − − → = =

  2

1

n V Z I a Z

1 1

  2

n I n

1 2

L’impedenza vista dal generatore è, pertanto, ridotta del fattore 1/n .

L’analisi del circuito può essere condotta utilizzando il circuito equivalente

in figura. Esso consente di ricavare la corrente I ; una volta nota tale

1

corrente è quindi possibile risalire, tramite la caratteristica del trasformatore

ideale alla corrente I .

2 1 I

+ 1 & 2

Z n

E V

1

1’

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Il trasformatore ideale rappresenta una idealizzazione del mutuo accoppiamento

magnetico tra due circuiti.

Il mutuo accoppiamento è costituito da due avvolgimenti (ad esempio, disposti

su un nucleo di materiale ferromagnetico ad elevatissima permeabilità

µ→∞)

magnetica, realizzati rispettivamente con N e N spire ed interessati dalle

1 2

e I .

correnti I

1 2 I I

1 2

B

N

1 N

2

µ

0

µ

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Le due correnti daranno origine ad un

campo di induzione che, in prima

approssimazione, si sviluppa interamente

nel nucleo. Ai due avvolgimenti saranno

I I 2

1 associati dei flussi di induzione che

B potranno essere espressi rispettivamente

N

1 N come:

2

µ 0 Φ ≅ Φ

N

µ 1 1 m

Φ ≅ Φ

N

2 2 m

Φ rappresenta il fasore associato al flusso medio concatenato con una spira

m

dell’avvolgimento.

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Per la legge di Faraday-Neumann alla variazione di tali flussi risulteranno

associate le tensioni ai morsetti dei due avvolgimenti:

Φ

d ω ω

≅ ⇒ = Φ = Φ

1

v V j j N

1 1 1 1 m

dt

Φ

d ω ω

≅ ⇒ = Φ = Φ

2

v V j j N

2 2 2 2 m

dt

Dividendo membro a membro si ottiene:

V N

= =

2 2 n

V N

1 1

n è quindi pari al rapporto tra le spire dell’avvolgimento secondario e quelle

del primario. Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Circuiti accoppiati magneticamente

Le equazioni che descrivono il trasformatore ideale rappresentano il

comportamento limite di un doppio bipolo "reale" costituito da due induttori in

cui il campo magnetico che interessa ognuno di essi influenza il

comportamento ai morsetti dell'altro

Per ricavare le caratteristiche dinamiche, interessanti ai fini delle relazioni con il

comportamento del trasformatore ideale, esaminiamo il funzionamento in

condizioni stazionarie.

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Consideriamo l’avvolgimento (bobina) costituito da N spire, alimentato da

1

una corrente stazionaria I ed avvolto su un toro di materiale ferromagnetico

1

di sezione S (supposta per semplicità costante).

La struttura magnetica

(detta anche nucleo o

ossatura) è composta da I 1

alcuni tratti ad altissima S

N

permeabilità (µ>>µ ) 1

0

separati da tratti di aria di

piccolissimo spessore µ

che in una analisi di 0

gioghi colonne

massima possono essere

ritenuti trascurabili. µ→∞

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Si suppone che la caratteristica B

del materiale ferromagnetico sia

di tipo lineare ed omogeneo,

ovvero che B=µH.

In condizioni stazionarie, la

caratteristica di un tipico

materiale ferromagnetico è non

lineare del tipo riportato in figura.

Nel primo tratto della

caratteristica, al disotto del

ginocchio, l'approssimazione H

lineare risulta accettabile.

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La corrente origina un campo di induzione magnetica le cui linee sono orientate

concordemente alla regola della mano destra.

Esso dà luogo ad un flusso che si concatena con le N spire del circuito. Tale

1

flusso,, può essere espresso con buona approssimazione come N volte il

1

Φ

flusso medio concatenato con una spira.

m γ

I 1

Si suppone trascurabile il B

flusso associato alle linee 1

N 1

di campo che non si

sviluppano totalmente nel µ

ferro 0

µ

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Il flusso medio può essere espresso attraverso il prodotto del valore medio

del campo di induzione per l'area S della sezione retta del toro:

Φ ≅ Φ =

N N B S

11 1 m 1 1

γ

I 1 Il valor medio di B si può ricavare

1

dalla legge di Ampère-Maxwell

B 1 applicata ad una linea del campo, ad

N 1 γ:

esempio la curva

µ ∫ ⋅ ≅ =

l

H dl H N I

0 1 1

γ

µ γ

l

dove è la lunghezza della curva ; il prodotto N I si chiama forza magneto-

1 1

motrice. Trattandosi del prodotto del numero di spire per la corrente che le

interessa vengono anche indicate con il nome di ampere-spire del circuito.

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Poiché nel ferro B=µH si ha: µ

B

∫ 1

⋅ ≅ = ⇒ =

l

H dl N I B N I

µ

1 1 1 1 1 1

l

γ

Sostituendo nella espressione del flusso: µ

Φ ≅ Φ = = =

12

N N B S N S I L I

11 1 m 1 1 1 1 1

l

Nelle ipotesi di linearità, flusso concatenato con il circuito risulta

proporzionale alla corrente che interessa il circuito stesso.

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Il coefficiente di proporzionalità L è detto coefficiente di autoinduzione o

1

induttanza del circuito.

Esso dipende dalle caratteristiche geometriche (sezione e lunghezza del

circuito) e fisiche (permeabilità e numero spire) della struttura e può essere

espresso anche come: l

2 =

N R

= 1 µ

dove:

L S

1 R

è detta riluttanza della struttura magnetica, (il suo reciproco viene denominato

permeanza).

Le dimensioni della riluttanza sono omogenee con il reciproco di una

-1

induttanza, [H ].

Aver trascurato le linee del campo completamente incanalate nel materiale

ferromagnetico, consente di considerare un circuito per le linee vettoriali del

campo magnetico

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Consideriamo ora un secondo avvolgimento di N spire avvolto sullo stesso

2

toro di materiale ferromagnetico ed interessato da una corrente I .

2

Supponiamo che la corrente I 1

risulti nulla: i morsetti del primo

avvolgimento, o avvolgimento

I 2 primario, risultano cioè aperti.

B 2 Il flusso che si concatena con

N

1 N

2 l'avvolgimento primario è dovuto

µ al campo di induzione B

2

associato alla corrente I del

0 2

secondario.

µ

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Φ

Indichiamo con tale flusso: il primo pedice si riferisce al circuito sul quale si

12

valuta il flusso (effetto), mentre il secondo indica la corrente dal quale esso è

prodotto (causa).

Nelle ipotesi di linearità e trascurando le linee di campo non concatenate con

tutto il circuito, è possibile trovare una espressione approssimata per tale

flusso. Φ

Esso risulterà dato da N volte il flusso medio concatenato con una spira.

1 m

Questo, a sua volta, può essere espresso attraverso il prodotto del valore medio

per l'area della sezione retta S del toro:

del campo di induzione B 2

Φ ≅ Φ =

N N B S

12 1 m 1 2

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L'espressione di B può essere ottenuta utilizzando ancora l'espressione della

2 γ

legge di Ampère-Maxwell su una curva dello stesso tipo prima considerata:

B

∫ H ⋅ ≅ =

2 l N I

dl µ 2 2

γ µ

I 2 ⇒ =

B N I

B 2 2 2

l

2

N

1 N

2 ovvero:

µ Φ ≅ Φ =

N N B S

0 12 1 1 2

m

µ µ

= =

S N N I M I

1 2 2 12 2

l

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Il flusso dovuto alla induzione mutua tra i due circuiti risulta proporzionale alla

corrente: il coefficiente di proporzionalità M è detto mutua induttanza o

12

coefficiente di mutua induzione tra i circuiti 1 e 2.

µ

Φ = =

S N N I M I

12 1 2 2 12 2

l

Esso dipende dalle caratteristiche geometriche (sezione e lunghezza del

circuito) e fisiche (permeabilità e numero spire) della struttura e può

essere espresso anche come: N N

= 1 2

M 12 R

dove R è ancora la riluttanza della struttura magnetica.

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A differenza di quanto avviene per il coefficiente di autoinduzione L che risulta

1

sempre positivo, il coefficiente di mutua induzione può risultare sia positivo che

negativo in dipendenza della orientazione dei due circuiti.

risulta positivo se le linee del campo B

Il coefficiente di mutua induzione M

12 2

hanno verso concorde con quelle del campo di auto induzione B .

1

I 1 I

2

B 1 >

B M 0

2 12

N

1 N 2

µ

0

µ

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Se al contrario, ferma restando l'orientazione del circuito 1, il circuito 2 fosse

orientato come in figura, i due campi di auto e mutua induzione risulterebbero

Φ

avere verso discorde; in tal caso il flusso risulterebbe negativo e tale

12 .

sarebbe anche il coefficiente di mutua induzione M

12

I I

1 2

B 1 <

B M 0

2

N

1 12

N 2

µ

0

µ

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Se ora consideriamo agenti entrambe le correnti I e I , nell'ipotesi di linearità

1 2 Φ

dei mezzi ed indeformabilità dei circuiti, il flusso totale che si concatena

1T

con il circuito 1 sarà dato dalla somma dei due flussi ricavati

precedentemente:

Φ = Φ + Φ = +

L I M I

1 T 1 1 1 2 1 1 12 2

Un ragionamento del tutto analogo relativo al circuito 2 conduce alla

espressione del flusso totale concatenato con esso:

Φ = Φ + Φ = +

M I L I

2 T 21 22 21 1 2 2

dove: 2 N N N N

N ⇒ = = =

= 2 1

= 2 1 2

M M M

M

L 21 12 21

2 R R

R Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Osserviamo, inoltre, che:

2

 

N N ⇒ = ±

= =

 

2 1 2 M L L

M L L 1 2

1 2

 

R

Tale condizione si dice di accoppiamento perfetto ed esprime il fatto che tutto il

flusso autoconcatenato con un avvolgimento si concatena anche con l'altro

avvolgimento.

La caratteristica del doppio bipolo circuiti accoppiati in condizioni statiche

risulta: Φ = ±

L I M I

1

T 1 1 2

Φ = ± +

M I L I

2 T 1 2 2

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Se le correnti sono variabili nel tempo, i (t) ed i (t), i due flussi risulteranno

1 2

anch'essi variabili. Supponendo di poter ancora considerare lineare la

caratteristica magnetica del materiale ferromagnetico ed indeformabili i circuiti

si ha: Φ = ±

( t ) L i ( t ) M i ( t )

1

T 1 1 2

Φ = ± +

( t ) M i ( t ) L i ( t )

2 T 1 2 2

Ai flussi variabili nel tempo sono associate le tensioni espresse dalla legge di

Faraday-Neumann.

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Adottando la convenzione dell'utilizzatore ai morsetti primari e secondari,

risulta: Φ

d ( t ) d d

= = ±

1

T

v ( t ) L i ( t ) M i ( t )

1 1 1 2

dt dt dt

Φ

d ( t ) d d

= = ± +

2 T

v ( t ) M ( ) ( )

i t L i t

2 1 2 2

dt dt dt

Tali equazioni rappresentano la caratteristica del doppio bipolo accoppiamento

magnetico. M

1 2

i i

Il simbolo circuitale associato 1 2

a tale doppio bipolo è quello v L L v

mostrato in figura. 1 1 2 2

2’

1’

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In tale simbolo si utilizza la marcatura dei morsetti primari e secondari

attraverso i due "pallini" posti accanto ai simboli dei due induttori (che

identifica il verso dei due avvolgimenti) per individuare il segno dei

termini di mutua induzione.

In particolare, fatta la convenzione dell’utilizzatore alle due porte, se i versi

delle correnti alle due porte risultano entrambi entranti o entrambi

uscenti dal morsetto contrassegnato con il pallino, i due termini vanno

presi con il segno positivo.

M d d

1 2 = +

v t L i t M i t

( ) ( ) ( )

i i 1 1 1 2

dt dt

1 2

v L L v d d

1 1 = + +

2 2 v t M i t L

( ) ( ) i (

t )

2 1 2 2

2’ dt dt

1’ Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Se, fatta la convenzione dell’utilizzatore, una delle correnti risulta orientata

con il verso entrante e l'altra con il verso uscente dal morsetto

contrassegnato con il pallino, i contributi andranno considerati negativi.

M

1 2

i i

1 2

v L L v d d

1 1 2

2 = −

v (

t ) L i (

t ) M i (

t )

1 1 1 2

2’ dt dt

1’ d d

M = − +

1 2 v (

t ) M i (

t ) L i (

t )

i i 2 1 2 2

dt dt

1 2

v v

L L 2

1 1 2 2’

1’ Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Si consideri il caso notevole in cui si abbiano due induttori in serie con

accoppiamento mutuo. Si può avere un collegamento concorde (a) o un

collegamento contrapposto (b). (b)

(a) L L

i

L L

i 1 2

M

1 2

M v

v

v

v 2

1

2

1 d

d

d

d = −

= + ( ) ( ) ( )

i t

i t M

v t L

( ) ( ) ( )

i t

i t M

v t L 1 1

1 1 dt

dt

dt

dt d

d

d

d = − +

= + + ( ) ( ) i (

t )

i t L

v t M

( ) ( ) i (

t )

i t L

v t M 2 2

2 2 dt

dt

dt

dt ⇓

⇓ ( )

( ) d

d = + = − +

= + = + + ( ) ( ) ( ) 2 i

(

t )

v t v t v t L M L

( ) ( ) ( ) 2 i

(

t )

v t v t v t L M L 1 2 1 2

1 2 1 2 dt

dt

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Energetica dei mutui accoppiamenti

In un induttore l’energia assorbita (immagazzinata) è data da:

1 i 1

= 2

v w

(

t ) Li

L 2

1’

Nel mutuo accoppiamento l’energia magnetica, supposta nulla per t=0, può

essere espressa come:

M

1 2

i i t t [ ]

( )

1 2 ∫ ∫

τ τ τ

= = +

w

(

t ) p d v i v i d

v L L v 1 1 2 2

1 1 2 2 0 0

2’

1’ Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Partiamo dalla condizione per cui:

= = → =

i i 0 w 0

= = =

1 2

t 0 t 0 t 0

I I

Indichiamo con e i valori delle correnti nell’istante t.

1 2 ∪ i , i ).

Per ottenere tali valori si segue il percorso (a b) mostrato sul piano ( 1 2

i I i

Facciamo prima crescere fino ad , mantenendo =0.

1 1 2

i

2 I ,I

1 2

I 2 t I  

1 1

( ) 1

di

∫ ∫

τ τ τ

= = = 2

1

( )

w t p d L i d L I

 

τ

1 1 1 1

a   2

d

b 0 0

a

0 I i

1 1

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i I i I .

Facciamo quindi crescere fino ad un valore assegnato , mantenendo =

2 2 1 1

v

Osserviamo che il termine di autoinduzione nella espressione di è nullo,

1

v

così come risulta nullo il termine di mutua induzione in quella di .

2

d

= ±

t

( ) ( )

v t M i t

1 12 2

t dt

1 d

=

t

( ) ( )

v t L i t

2 2 2

t dt

1

Il segno di M è positivo se le correnti risultano entrambe entranti (uscenti) nel

12

morsetto contrassegnato con il pallino, negativo altrimenti.

Nel tratto b del percorso l’espressione della potenza istantanea assorbita

risulta pertanto: di di

= ± +

2 2

( )

p t M I i L

b 12 1 2 2

dt dt

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Pertanto l’energia assorbita in tale percorso vale:

I I

t 2 2 1

∫ ∫ ∫

τ τ = ± + = ± + 2

p d M I di L i di M I I L I

( )

b 12 1 2 2 2 2 12 1 2 2 2

2

t 0 0

1

L’energia totale assorbita (immagazzinata) nel mutuo accoppiamento risulta

data dalla somma dei due contributi:

1 1

= + ± ≥

2 2

w

(

t ) L I L I M I I 0

1 1 2 2 12 1 2

2 2

Essa risulta certamente non negativa per la passività dei componenti.

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∪ i , i )

Ripetendo il calcolo, ma considerando il percorso (c d) sul piano ( si

1 2

ottiene: 1 1

i = + ± ≥

2 2 2

w

(

t ) L I L I M I I 0

d 1 1 2 2 21 1 2

2 2

I ,I

1 2

I 2 Poiché l’energia finale non può dipendere dal

modo con cui essa viene ottenuta, ne consegue

c che: = =

M M M

12 21

0 I i

1 1

L’energia può essere espressa quindi come:

1 1

= + ± ≥

2 2

w

(

t ) L I L I MI I 0

1 1 2 2 1 2

2 2

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Introduzione ai circuiti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof De Magistris Massimiliano.

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