Doppi bipoli - regime sinusoidale

Doppi bipoli in regime sinusoidale

La caratteristica del doppio bipolo in regime sinusoidale è descritta dalla

I ,I ,V ,V )=0 I ,I ,V ,V

dove sono i fasori delle grandezze

relazione F( 1 2 1 2 1 2 1 2

alle porte primaria e secondaria. I

I

1 2

2

1

V V

1 2 2’

1’

Per caratterizzare il doppio bipolo si possono imporre due grandezze

mediante due generatori esterni e valutare le rimanenti due.

Se il doppio bipolo è costituito da impedenze si può applicare il principio di

sovrapposizione degli effetti.

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

I

I 2

1 2

1 V

V 2

1 2’

1’

Se le variabili indipendenti sono le correnti si ha (caratterizzazione in corrente

del doppio bipolo):

= +

& &

V z I z I = ⋅

1 11 1 12 2 V Z I

ovvero in forma matriciale:

= +

& &

V z I z I

2 21 1 22 2

Z è la matrice delle impedenze del doppio bipolo. I parametri della matrice

si determinano (problema di analisi) con le stesse procedure esaminate

nel caso della matrice delle resistenze.

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

I

I 2

1 2

1

+ +

V

V 2

1 2’

1’

Se le variabili indipendenti sono le tensioni si ha (caratterizzazione in tensione

del doppio bipolo):

= +

& &

I y V y V = ⋅

1 11 1 12 2 I Y V

ovvero in forma matriciale:

= +

& &

I y V y V

2 21 1 22 2

Y è la matrice delle ammettenze del doppio bipolo.

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

I

I 2

1 2

1 V

V 2

1 2’

1’

Sono inoltre effettuabili le caratterizzazioni in termini di:

• parametri ibridi (di prima e seconda specie)

• parametri di trasmissione.

E’ inoltre possibile effettuare la connessione di doppi bipoli:

• serie,

• parallelo,

• cascata

• di tipo mista (serie alla porta primaria, parallelo a quella secondaria, ecc.)

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Trasformatore ideale

Un doppio bipolo di particolare interesse per le applicazioni è il trasformatore

ideale: esso rappresenta l’idealizzazione dei trasformatori reali.

Il trasformatore consente di modificare opportunamente i valori di tensione e

corrente ai morsetti 1-1’ detti “primari” in valori diversi ai morsetti 2-2’, detti

“secondari”.

I simboli circuitali di un trasformatore ideale sono quelli mostrati in figura.

1 : n 1 : n

1 2

2

1 i i

i

i 1 2

2

1 v

v 1 v

v

1 2

2 2’

2’

1’ 1’

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Adottando la convenzione dell’utilizzatore alle due coppie di morsetti, la

caratteristica del trasformatore ideale è espressa dalle seguenti relazioni:

 v =

2 n



 v

1

 +

Il fattore n (n∈ℜ ) si definisce “rapporto spire”.

1

i

 = −

2



 i n

1

In alternativa le relazioni caratteristiche possono essere poste nella forma:

 v =

1 a



 v 2

 +

Il fattore a (a∈ℜ ) si definisce “rapporto di trasformazione”.

i 1

 = −

1



 Il rapporto di trasformazione è il reciproco del rapporto spire.

i a

2 Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Il trasformatore assume particolare interesse negli impianti di distribuzione

dell’energia elettrica operanti in regime sinusoidale. Utilizzando la

rappresentazione fasoriale, le relazioni caratteristiche del trasformatore

ideale diventano:



V = 1 : n

2  =

 n V n V

2

1

 

V 2 1

I

I

1

 

2

1 1

= −

 I 1  I I

V

V

= − 

2 2 1

2

1 n



 I n 2’

1’

1

Quando:

→

• n >1 V >V il trasformatore viene detto elevatore (per la tensione);

2 1

→

• n < 1 V <V il trasformatore viene detto riduttore (per la tensione).

2 1

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Il segno nelle caratteristiche si modifica al variare dei versi di tensione e

corrente.

In particolare, fatta la convenzione dell’utilizzatore ad ogni porta, se le correnti

sono entrambe entranti o entrambe uscenti dal morsetto contrassegnato con il

“pallino”, le equazioni caratteristiche risultano (caratteristica a):

2

2 1

1 I

I

I

I 2

1

2

1  =

V n

V

V

V V

V  2 1

2

2 1

1 

2’

1’ 1

2’

1’ = −

 I I

 2 1

2

1 n

2

1 I

I

I

I 2

1

2

1 (caratteristica a):

V

V

V

V 2

1

2

1 2’

1’

2’

1’ Alcune possibili combinazioni per la caratteristica a

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Fatta la convenzione dell’utilizzatore ad ogni porta, se le correnti sono una

entrante ed una uscente dal morsetto contrassegnato con il “pallino”, le

equazioni caratteristiche risultano (caratteristica b):

2 2

1 1

I I

I I

2  = −

2

1 1 V n V



V 2 1

V

V V

2 2 

1 1 1

2’ =

1’ 2’

1’  I I

 2 1

n

2

2 1

1 I

I I

I (caratteristica b):

2

2 1

1 V

V V

V 2

2 1

1 2’

2’ 1’

1’ Alcune possibili combinazioni per la caratteristica b

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Si definisce potenza complessa assorbita dal trasformatore ideale la

( (

quantità: & = +

S V I V I

1 1 2 2

Sostituendo alle grandezze secondarie la loro espressione in funzione di quelle

primarie si ottiene: ( (

1

& = + − =

S V I n V ( I ) 0

1 1 1 1

n

Si dice pertanto che il trasformatore ideale è “trasparente” alla potenza

complessa in quanto assorbe sia potenza attiva che potenza reattiva nulla.

Si definisce, inoltre, potenza (apparente) nominale (o di targa) del

trasformatore la quantità: ( (

= =

P V I V I

a 1 1 2 2

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

1

: n

1 2

I

I

+ 2

1 &

Z

V

E V 2

1 2’

1’

L’interposizione di un trasformatore tra un generatore ed una impedenza di

carico consente di modificare (adattare) il valore della impedenza vista dai

morsetti del generatore. Le equazioni che descrivono il circuito sono:

=

E V

1 &

= −

V ZI

2 2

=

V n V

2 1

1

= −

I I

2 1

n

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

e I nella seconda equazione si ottiene:

Sostituendo le espressioni di V

2 2 &

  V Z

1

& &

= − − → = =

  2

1

n V Z I a Z

1 1

  2

n I n

1 2

L’impedenza vista dal generatore è, pertanto, ridotta del fattore 1/n .

L’analisi del circuito può essere condotta utilizzando il circuito equivalente

in figura. Esso consente di ricavare la corrente I ; una volta nota tale

1

corrente è quindi possibile risalire, tramite la caratteristica del trasformatore

ideale alla corrente I .

2 1 I

+ 1 & 2

Z n

E V

1

1’

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Il trasformatore ideale rappresenta una idealizzazione del mutuo accoppiamento

magnetico tra due circuiti.

Il mutuo accoppiamento è costituito da due avvolgimenti (ad esempio, disposti

su un nucleo di materiale ferromagnetico ad elevatissima permeabilità

µ→∞)

magnetica, realizzati rispettivamente con N e N spire ed interessati dalle

1 2

e I .

correnti I

1 2 I I

1 2

B

N

1 N

2

µ

0

µ

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Le due correnti daranno origine ad un

campo di induzione che, in prima

approssimazione, si sviluppa interamente

nel nucleo. Ai due avvolgimenti saranno

I I 2

1 associati dei flussi di induzione che

B potranno essere espressi rispettivamente

N

1 N come:

2

µ 0 Φ ≅ Φ

N

µ 1 1 m

Φ ≅ Φ

N

2 2 m

Φ rappresenta il fasore associato al flusso medio concatenato con una spira

m

dell’avvolgimento.

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Per la legge di Faraday-Neumann alla variazione di tali flussi risulteranno

associate le tensioni ai morsetti dei due avvolgimenti:

Φ

d ω ω

≅ ⇒ = Φ = Φ

1

v V j j N

1 1 1 1 m

dt

Φ

d ω ω

≅ ⇒ = Φ = Φ

2

v V j j N

2 2 2 2 m

dt

Dividendo membro a membro si ottiene:

V N

= =

2 2 n

V N

1 1

n è quindi pari al rapporto tra le spire dell’avvolgimento secondario e quelle

del primario. Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Circuiti accoppiati magneticamente

Le equazioni che descrivono il trasformatore ideale rappresentano il

comportamento limite di un doppio bipolo "reale" costituito da due induttori in

cui il campo magnetico che interessa ognuno di essi influenza il

comportamento ai morsetti dell'altro

Per ricavare le caratteristiche dinamiche, interessanti ai fini delle relazioni con il

comportamento del trasformatore ideale, esaminiamo il funzionamento in

condizioni stazionarie.

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Co