Rapporto segnale rumore

RAPPORTO SEGNALE-RUMORE IN ASTRONOMIA

La luce parte dalla stella e arriva diretta come una sorgente puntiforme (funzione delta di Dirac) poi passa l'atmosfera e viene diffratta creando un'immagine diffusa.

Telescopio a riflessione è basato su specchi. Caratteristica fondamentale è il diametro dello specchio primario che raccoglie i fotoni.

Charge-coupled-device (CCD) è dispositivo che strappa gli elettroni dal metallo che vengono convertiti in conteggi (grazie all'effetto fotoelettrico).

L'effetto di diffrazione e la turbolenza atmosferica (seeing) determinano il profilo di brulicanza "spalmagliata" su diversi pixels (PSF = Point Spread Function). La forma della PSF è in prima approssimazione una gaussiana.

Il detector è una griglia di pixels che registra n° di conteggi. Quindi quando abbiamo misure elettriche definiamo il rapporto segnale rumore (SNR o S/N).

SNR = ^{Intensita del segnale (S)}/_{Rumore o noise (N)}

Rapporto segnale-rumore in astronomia

La luce parte dalla stella e arriva diretta come una sorgente puntiforme (funzione delta di Dirac) poi passa l'atmosfera e viene diffratta creando un'immagine diffusa.

Telescopio a riflessione è basato su specchi. Caratteristica fondamentale è il diametro dello specchio primario che raccoglie i fotoni.

Charge-coupled-device (CCD) è dispositivo che strappa gli elettroni dal metallo che vengono convertiti in conteggi (grazie all'effetto fotoelettrico).

L'effetto di diffrazione e la turbolenza atmosferica (seeing) determinano il profilo di brillanza "sparpagliate" su diversi pixels (PSF = point spread function). La forma della PSF è in prima approssimazione una gaussiana.

Il detector è una griglia di pixels che registra un n° di conteggi.

Quindi quando abbiamo misure elettriche definiamo il rapporto segnale rumore (SNR = S/N).

SNR = ^{intensità del segnale (S)}/_{rumore o noise (N)}

S = conteggi registrati (fotoni incidenti)

N = contributi "aggiuntivi" ai conteggi della sorgente

Più grande è SNR e più la misura è di qualità

Il rilevamento dei fotoni è un processo casuale e discreto governato dalla statistica di Poisson.

SNR = _S/^√N = _S/^√S = √S

L'incertezza è la σ della poissoniana

Ciò significa che la qualità della misura dipende dal numero di fotoni che siamo in grado di raccogliere

A parità di specchio SNR aumenta con il tempo di esposizione e a parità di tempo SNR aumenta con il diametro dello specchio

Cosa possiamo dire dei pixel grigi che pensiamo essere vuoti?

In realtà hanno registrato dei conteggi ma con molte fluttuazioni.

Qual'è l'origine delle fluttuazioni?

• Sorgent non risolte = sono sorgenti troppo deboli per essere distinte ad occhio nudo.
• Sky = il cielo emette fotoni
• Noise strumentale = dipende dalla strumentazione.

Sorgenti Principali di Rumore:

Photon Noise (o Poissonian Noise) è dovuto alla sorgente ed è √N_source

Back Ground Noise: è dovuto al fondo cielo e segue la poissoniana quindi √N_back

Readout Noise: è dovuto all'elettronica durante la "lettura" dei dati, N° di conteggi per pixel.

Dark Current: è dovuto alla "corrente oscura" cioè elettroni che si generano in assenza di fotoni incidenti. N° di conteggi per pixel.

Quando le misure sono indipendenti e soggette a errori casuali l'incertezza su una somma si ottiene come somma quadratica degli errori Y = X₁ + X₂ +...+ X_m σ_y = √(σ_x1² +...+ σ_xm²)

Le sorgenti di rumore sono indipendenti quindi le sommiamo in quadratura.

SNR = ^S/_N = ^S/_{√σsource² + σback² + dcrK² + RON²} =

= ^S/_{√S + B + dcrK² + RON²}

Formula Generale, in genere dcr o RON sono trascurabili.

Casi particolari:

1. La sorgente è molto + intensa del background SNR ≈ ^S/_√S = √S x^1/2 S ≫ B e degli altri termini Se il tempo di esposizione raddoppia ➔ i conteggi raddoppiano ma SNR aumenta solo di √2 Il SNR è proporzionale alla radice del tasso di aumento del tempo di esposizione (×2, ×4....) Per aumentare il SNR di un fattore 2 dobbiamo aumentare il tempo di un fattore 4
2. La sorgente è molto + debole del background B ≫ S SNR ≈ ^S/_√B √B = la radice del background in conteggi/pixel per l'area dello specchio in (pixel)² Anche in questo caso valgono le medesime considerazioni per quanto riguarda il tempo di esposizione.
3. Sorgente debole e strumentazione rumorosa. Ron non trascurabile ➔ dobbiamo moltiplicare i conteggi/pixel di rumore strumentale per l'area dello specchio

Se aumentiamo il tempo di esposizione di un fattore 2 anche il SNR aumenta di un fattore 2 SNR ∝ t. Xké RON non dipende dal tempo ma da una caratteristica fissa dello strumento.

Misuriamo la magnitudine con la fotometria di apertura.

La sorgente è distribuita su molti pixel e i conteggi seguono una distribuzione gaussiana (PSF)

Sommiamo i conteggi all'interno di un dato raggio che contenga la sorgente.

Mag = -2.5 log₁₀(∑ conteggi) → è detto fotometria di apertura

Ma i conteggi misurati sulla sorgente comprendono anche i conteggi di background.

Quindi : Mag = -2.5 log₁₀(∑ conteggi - Area * Background)

Background sono i conteggi medi per unità di pixel calcolati in un'area senza sorgenti risolte.

Alcuni pixel mostrano un eccesso di conteggi rispetto al fondo cielo. Come identificare (detection) di una sorgente debole?

Primo caso:

Per una sorgente misuriamo 5500 conteggi e nella stessa area il cielo fornisce 5000 conteggi N_tot = N_sorg + N_cielo → N_sorg = 500 conteggi

SNR = ^S/_N = ^{N_tot - N_cielo}/_σsup = ^{N_tot - N_c}/_{√(Ntot)² + (Nc)²}

= ^{N_tot - N_c}/_{√(Ntot + Nc)} che nel nostro esempio è 4.9

σ_tot = √N_tot e σ_c = √N_c xké sono errori poissoniani

Significa che la sorgente ha un segnale di circa 5 volte la dispersione nel fondo cielo.

Dato che il background segue la statistica di Poisson se M di conteggi è elevato Poisson tende alla gaussiana con μ = N e σ² = N

Quindi possiamo interpretare il valore di ^S/_N in termine di gaussiana e utilizzane l’integrale degli errori

Nel nostro esempio: μ = 5000 e σ = √5000 = 71

Abbiamo misurato 5500 conteggi in quell’area è una sorgente vera o solo una fluttuazione del fondo cielo?

Qual è la prob. di una false detection, ovvero che non esiste nessuna sorgente?

Integrale degli errori:

erf(m) = 1/^√2/_π∫^+∞_m e^-x2/2dz il valore m è

ottenuto come rapporto tra segnale rumore nel nostro esempio m = 4.9