Quantità di moto, momento angolare e dinamica rotazionale

QUANTITA’ DI MOTO, URTI

MOMENTO ANGOLARE

DINAMICA ROTAZIONALE

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Piccolo disclaimer: Perchè le galassie come sfondo? Perchè sono un ente suggestivo e pieno

di mistero. Ad esempio, vi siete mai chiesti perchè le galassie (ma anche il nostro sistema

solare) generalmente tendono ad appiattirsi? Nel corso di questi appunti cerceremo di

capirlo meglio, vi voglio lasciare così.. Almeno rendo interessante la lettura.

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QUANTITA’ DI MOTO

La quantità di moto è un semplicissimo tool fisico che ci verrà in aiuto parecchie volte.

Ha una definizione matematica molto semplice e assomiglia alla seconda legge di Newton:

⃗ ∶= ⃗

sono due grandezze vettoriali, quindi attenzione sempre a come vi approcciate ad

⃗ ⃗

esse. Ricordate che le grandezze vettoriali vanno analizzate asse per asse in un sistema

di riferimento da voi scelto. Inoltre, come potete già intuire, il vettore quantità di moto

e il vettore velocità devono avere lo stesso verso in quanto la definizione è un semplice

prodotto tra uno scalare e un vettore.

Alla quantità di moto non si è dedicata nessuna unità di misura, infatti la andremo a

misurare nel seguente modo: 1[ ]∙[ ]∙[ ]

[ ] [ ]

Dove è esclusivo della massa, mentre è l’unità di misura della velocità.

∙ [ ]

Essendo una grandezza vettoriale la quantità di moto gode della seguente proprietà:

⃗= ⃗

Ovvero che se abbiamo un insieme ben definito di quantità di moto, la quantità di moto

totale è data dalla somma vettoriale delle singole quantità di moto. Per fissare l’idea:

. T

ESEMPIO 1 “Abbiamo tre corpi di massa identitca utti e tre partono dall’ origine di un

sistema cartesiano e procedono nello spazio con dei vettori velocità di uguale

modulo ma inclinazione diversa rispetto all’ asse x. In paricolare , la velocità del primo

corpo, è parallelo all’ asse delle x; , è inclinato di 120° rispetto l’asse delle x e

è inclinato di 240° rispetto l’asse delle x. Calcolare la quantità di moto totale del

sistema.” Cerchiamo di visualizzare il problema:

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Non ho indicato le masse perchè il problema ci dice che che partono tutte dal centro del

piano

cartesiano. Calcoliamoci le quantità di moto singolarmente per ogni corpo.

⃗= ⃗

⃗= ⃗

⃗= ⃗

In particolare, poichè le masse sono identiche per i tre corpi, e i moduli delle velocità

sono identici, segue che i moduli delle tre quantità di moto sono uguali! Ricordiamoci ora

che la quantità di moto ha lo stesso verso della velocità del corpo, quindo possiamo

guardare diversamente questo disegno riassegnando i vettori.

Scomponiamo ora i vettori quantità di moto lungo gli assi:

⃗=( ; 0) − √3

⃗=( cos(120°) , sin(120°)) = ;

2 2

4 − √3

⃗=( cos(240°) , sin(240°)) = ; − 2

2

Una volta scomposti i vettori lungo x e lungo y, calcoliamo la quantità di moto totale

sapendo che ⃗= ⃗

Quindi dobbiamo sommare ogni componente vettoriale

√3 √3

⃗+ ⃗+ ⃗=( − − ;0 + − )

2 2 2 2

Poinchè i moduli della quantità di moto sono uguali concludiamo l’esercizio

= =

dicendo che !

⃗ =0

Questo esercizio, leggermente elaborato, ci mostra come la quantità di moto è una

grandezza pienamente vettoriale!

Ma cosa ha di speciale la quantità di moto? Beh, la quantità di moto è collegata

direttamente sia alla forza che all’ energia cinetica in questi due modi:

 Quantità di moto e Forze:

prendiamo la definizione di quantità di moto e deriviamo entrambi i membri

rispetto al tempo ( ⃗) = ( ⃗)

Poichè la massa è una semplice costante moltiplicativa della velocità avremo:

⃗

( ⃗) =

Dove la derivata della velocità nel tempo altro non è che un’accelerazione.

Abbiamo perciò una massa per un’accelerazione, ovvero una forza! Quindi abbiamo

ottenuto che ⃗ = ⃗

⃗ ⃗

=

Quindi la forza è la derivata nel tempo della quantità di moto e questo è molto

importante. Basti pensare che i fotoni (particelle elementari di luce) non hanno

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massa, ma hanno quantità di moto (si è vero sembra strano, ma solo perchè non

abbiamo ancora visto il legame tra energia e quantità di moto) e ciò significa che

sono in grado di applicare una forza pur non avendo massa o accelerazione. In realtà

la vera 2^ legge della dinamica sarebbe proprio questa.

Spesso viene fatto questo passaggio per introdurre una nuova grandezza fisica:

l’impulso ⃗ ⃗ ⃗

= → ⃗=

Integrando entrambi i membri otteniamo la definizione di impulso

⃗∆

⃗ → ∆ ⃗ =

=

⃗

E generalmente questo quì prende il nome di teorema dell’ impulso che non sempre

è trattato nei corsi di fisica, quindi attenti. L’impulso, come è facile notare, è un

vettore. ⃗ ⃗∆

= ∆ ⃗ =

Ovviamente l’impulso si misura in

1[ ] [ ]

∙

E ha le stesse dimensioni della quantità di moto

 Quantità di moto e energia cinetica:

Consideriamo la definizione di lavoro infinitesimo in fisica:

⃗

∶= ∙ ⃗

Questa è la definizione base. Adesso scriviamo la forza in modo esteso e in termini

di derivata prima nel tempo: ⃗

= ∙ ⃗

L’unica magia da fare adesso è scambiare il termine da derivare. Anzicchè derivare

il vettore velocità, deriviamo il vettore spostamento e sfruttiamo la proprietà

commutativa del prodotto scalare ⃗

= ∙ ⃗

Come tutti sapete, la derivata dello spostamento nel tempo è semplicemente il

vettore velocità, quindi alla fine avremo

= ⃗∙ ⃗

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altro non è che in quanto utilizzando la definizione di prodotto scalare,

⃗ ∙ ⃗

abbiamo ⃗∙ ⃗= cos ( )

Ma l’angolo tra un vettore e il suo elemento infinitesimo è ovviamente 0, poichè

devono avere lo stesso verso. Quindi quel coseno diventa uguale a 1 e abbiamo

dimostrato che ⃗∙ ⃗=

Ora possiamo comodamente integrare per entrambi i membri

=

E otteniamo il famoso TEOREMA DELLE FORZE VIVE

1

= 2

MA NON AVETE NOTATO PROPRIO NULLA? Caspita, spero proprio che non sia così!

Per ottenere questo magnifico teorema, abbiamo integrato nel secondo membro la

quantità di moto rispetto alla velocità.

Questo legame tra quantità di moto ed energia cinetica ci deve dar da pensare.

L’energia cinetica è una quantità che si conserva in assenza di forze esterne e

l’abbiamo ottenuta a partire dalla quantità di moto. Eseguiamo una prova del nove

tramite la seconda legge della dinamica:

⃗ ⃗

=

Se le forze esterne sono assenti allora il vettore forza deve essere nullo. Dunque

otteniamo un ulteriore risultato importante per quanto riguarda la quantità di moto:

⃗ =0

Troviamo che in assenza di forze esterne, il vettore quantità di moto non varia

rispetto al tempo e quindi si conserva.

Questo risultato è di imporanza fondamentale in fisica. Abbiamo appena definito

una grandezza direttamente collegata a forza ed energia e che si conserva!

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URTI

Ora possiamo divertirci con la conservazione della quantità di moto. Per iniziare

analizzeremo gli urti. Consideriamo l’immagine in figura

Abbiamo tre istantanee