Lavoro, impulso, quantità di moto, momento angolare

Lavoro

Data una forza F esercitata su un corpo che effettua uno spostamento rettilineo, si:

1. Se F = costante L = F ⋅ Δs = F Δs cos θ

Prodotto scalare, per cui il lavoro è una grandezza scalare.

J ≡ [N ⋅ m]

Se Δs = 0 => L = 0

Se F ⊥ Δs => L = 0

Il lavoro della forza di attrito dinamico è sempre.

Il lavoro della forza di attrito statico è sempre = 0.

Δs = 0

L = As ⋅ Δs = 0

Il lavoro della tensione del filo, nel pendolo semplice è = 0.

Δs ⊥ T

2. F ≠ costante

Supponiamo che un punto materiale P si porti, percorrendo la traiettoria s, dal punto A al punto B.

Immaginando di suddividere la traiettoria in tratti elementari di F cost, il lavoro compiuto sull'intero percorso può essere calcolato come somma dei lavori relativi a ciascun tratto.

Δsi, Fi = cost

L = Σ ni=1 Fi ⋅ Δsi

Lavoro

Data una forza F esercitata su un corpo che effettua uno spostamento rettilineo, si:

1. Se F = costante   →   L = F · Δs = F Δs cos Θ

J ≡ [N·m]

Se Δs = 0   →   L = 0

Se F &smash; Δs   →   L = 0

Il lavoro della forza di attrito dinamico è sempre < 0.

L = A_d · Δs · cos 180° < 0

Il lavoro della forza di attrito statico è sempre = 0.

Δs = 0

L = A_s · Δs = 0

Il lavoro della tensione del filo, nel pendolo semplice è = 0.

Δs ⊥ T

2. F ≠ costante

Supponiamo che un punto materiale P si porti, percorrendo la traiettoria S, dal punto A al punto B. Immaginando di suddividere la traiettoria in tratti elementari di F cost, il lavoro compiuto sull'intero percorso può essere calcolato come somma dei lavori relativi a ciascun tratto.

Δs_i, F_i = cost

L = ∑_i=1ⁿ F_i · Δs_i

Considerando il limite:

L_AB = lim_{Δs → 0} Σ_i=1^h F_i · Δs_i possiamo scrivere:

L_AB = ∫_A^B F →· d s →

Integrale di linea della forma differenziale F → · d s → tra i punti A e B.

Teorema dell'energia cinetica

L_AB = ∫_A^B F →· d s →

F → = m a → (per il 2^° principio)

= ∫_A^B m a → · d s → = m ∫_A^B a → · d s →

a → = d v → / dt

= m ∫_A^B (d v → / dt) · d s →

V → = d s → / dt

= m ∫_A^B d v → · V →

= m ∫_A^B (d v ² / 2) = m / 2 ∫_A^B d v ²

= (m v ² / 2 )_A^B

= m [ (V_B ² / 2) - (V_A ² / 2)]

= 1/2 m V_B ² - 1/2 m V_A ² = K_B - K_A

K = 1/2 m v ²

J

Forze conservative

Il lavoro di una forza conservativa non dipende dalla traiettoria ma solo dalla posizione iniziale e finale.

Il lavoro di una forza conservativa lungo un percorso chiuso è nullo.

L_AB = 0

La forza di attrito non è conservativa.

Lavoro di forze conservative

1. Forza peso p = mg

L_g = ∫_A^B mg·ds = ∫_A^B mg·ds·cos θ

L_g = -mg ∫_A^B dz

L_g = -mg z∫_A^B = -mg (z_B - z_A)

L_g = - (mg z_B - mg z_A)

L_g = -Δu→ energia potenziale gravitazionale

2. Forza elastico F_e = -k x

Energia potenziale elastico.

L_e = -ΔU_e

U_e = 1/2 k x²

Teorema di conservazione dell'energia

Consideriamo un sistema isolato, in cui agiscono solo forze conservative → l'energia meccanica si conserva.

_EM = _EP + _EC = K + U

L'energia meccanica è uguale alla somma tra energia potenziale ed energia cinetica.

Dim.

In un campo di forze conservative il lavoro può essere espresso tramite la differenza tra i valori che la funzione potenziale V assume in B e A.

_LAB = V(B) - V(A)

Dal teorema dell'energia cinetica:

_LAB = _KB - _KA

Equagliando:

_KB - _KA = V - V

_KA - V = _KB - V

Introduciamo la funzione U definita come l'opposto del potenziale.

U = -V

_KA + _UA = _KB + _UB

Energia Mecc. Iniziale = Energia Mecc. Finale

Ki + Vi = Kf + Uf = cost.

← energia potenziale

Impulso e quantità di moto

L'impulso è una grandezza vettoriale ed è definito come l'integrale di una forza nel tempo. Inoltre con il termine impulso si indica il cambiamento della quantità di moto di un corpo in un intervallo di tempo.

Teorema dell'impulso

L'impulso della forza agente su un punto materiale tra gli istanti _t1 e _t2 è pari alla variazione che la quantità di moto del punto subisce nello stesso intervallo di tempo.

Dim:

Dal secondo principio della dinamica sappiamo che su un punto materiale agisce:

F = m · a

Sappiamo che a = dv/dt per cui F = m · dv/dt.

Moltiplicando per dt ⇒ F dt = m · dv

Integrando:

∫_t1^t2 F dt = ∫_t1^t2 m · dv

I = m v₂ - m v₁

La velocità nell'istante _t2.

La velocità nell'istante _t1.

La grandezza cinematica m v è la quantità di moto.

I = Δq

Principio di conservazione della quantità di moto:

Quando la forza esterna netta che agisce su un sistema è nulla la quantità di moto totale del sistema è costante.

q_i = q_f

Se dq/dt = 0

q è cost. per cui la quantità di moto si conserva.

q_i = q_f

Momento angolare

Il momento angolare L è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore che congiunge il polo al punto materiale in movimento (r) e la quantità di moto (q).

Teorema della derivata del momento della quantità di moto

In un sistema di riferimento inerziale, se si sceglie un punto fisso come polo, il momento della forza risultante agente su un punto materiale è pari alla derivata rispetto al tempo del momento del punto materiale.

So che:

q = m . v̄

L = r̅ × q̄ ⇒ L = r̅ × m v̄

Deriviamo rispetto a t:

dL/dt = d(r̅ × q̄)/dt = dr̅/dt × q̄ + r̅ × dq̄/dt =