Quantità di moto, momento angolare e dinamica rotazionale

Quantità di moto, urti e momento angolare

Piccolo disclaimer: Perché le galassie come sfondo? Perché sono un ente suggestivo e pieno di mistero. Ad esempio, vi siete mai chiesti perché le galassie (ma anche il nostro sistema solare) generalmente tendono ad appiattirsi? Nel corso di questi appunti cercheremo di capirlo meglio. Vi voglio lasciare così... Almeno rendo interessante la lettura.

Quantità di moto

La quantità di moto è un semplicissimo tool fisico che ci verrà in aiuto parecchie volte. Ha una definizione matematica molto semplice e assomiglia alla seconda legge di Newton: ⃗ ∶= ⃗. Sono due grandezze vettoriali, quindi attenzione sempre a come vi approcciate ad ⃗ ⃗ esse.

Ricordate che le grandezze vettoriali vanno analizzate asse per asse in un sistema di riferimento da voi scelto. Inoltre, come potete già intuire, il vettore quantità di moto e il vettore velocità devono avere lo stesso verso in quanto la definizione è un semplice prodotto tra uno scalare e un vettore.

Alla quantità di moto non si è dedicata nessuna unità di misura, infatti la andremo a misurare nel seguente modo: 1[ ]∙[ ]∙[ ][ ] Dove è esclusivo della massa, mentre è l’unità di misura della velocità. ∙ [ ]

Essendo una grandezza vettoriale la quantità di moto gode della seguente proprietà: ⃗= ⃗. Ovvero che se abbiamo un insieme ben definito di quantità di moto, la quantità di moto totale è data dalla somma vettoriale delle singole quantità di moto. Per fissare l’idea:

Esempio 1

“Abbiamo tre corpi di massa identica tutti e tre partono dall’origine di un sistema cartesiano e procedono nello spazio con dei vettori velocità di uguale modulo ma inclinazione diversa rispetto all’asse x. In particolare, la velocità del primo corpo è parallelo all’asse delle x; , è inclinato di 120° rispetto l’asse delle x e è inclinato di 240° rispetto l’asse delle x. Calcolare la quantità di moto totale del sistema.”

Cerchiamo di visualizzare il problema:

Non ho indicato le masse perché il problema ci dice che partono tutte dal centro del piano cartesiano. Calcoliamoci le quantità di moto singolarmente per ogni corpo.

⃗= ⃗ ⃗= ⃗ ⃗= ⃗

In particolare, poiché le masse sono identiche per i tre corpi, e i moduli delle velocità sono identici, segue che i moduli delle tre quantità di moto sono uguali! Ricordiamoci ora che la quantità di moto ha lo stesso verso della velocità del corpo, quindi possiamo guardare diversamente questo disegno riassegnando i vettori.

Scomponiamo ora i vettori quantità di moto lungo gli assi:

• ⃗=( ; 0) − √3
• ⃗=( cos(120°) , sin(120°)) = ;2 24 − √3
• ⃗=( cos(240°) , sin(240°)) = ; − 22

Una volta scomposti i vettori lungo x e lungo y, calcoliamo la quantità di moto totale sapendo che ⃗= ⃗. Quindi dobbiamo sommare ogni componente vettoriale:

√3 √3⃗+ ⃗+ ⃗=( − − ;0 + −)2 2 2 2

Poiché i moduli della quantità di moto sono uguali, concludiamo l’esercizio dicendo che !⃗ =0. Questo esercizio, leggermente elaborato, ci mostra come la quantità di moto è una grandezza pienamente vettoriale!

Ma cosa ha di speciale la quantità di moto? Beh, la quantità di moto è collegata direttamente sia alla forza che all’energia cinetica in questi due modi:

• Quantità di moto e Forze: Prendiamo la definizione di quantità di moto e deriviamo entrambi i membri rispetto al tempo (⃗) = (⃗). Poiché la massa è una semplice costante moltiplicativa della velocità avremo: ⃗(⃗) = Dove la derivata della velocità nel tempo altro non è che un’accelerazione. Abbiamo perciò una massa per un’accelerazione, ovvero una forza! Quindi abbiamo ottenuto che ⃗ = ⃗ ⃗ =. Quindi la forza è la derivata nel tempo della quantità di moto e questo è molto importante. Basti pensare che i fotoni (particelle elementari di luce) non hanno massa, ma hanno quantità di moto (si è vero sembra strano, ma solo perché non abbiamo ancora visto il legame tra energia e quantità di moto) e ciò significa che sono in grado di applicare una forza pur non avendo massa o accelerazione. In realtà la vera 2^ legge della dinamica sarebbe proprio questa. Spesso viene fatto questo passaggio per introdurre una nuova grandezza fisica: l’impulso ⃗ ⃗ ⃗= → ⃗= Integrando entrambi i membri otteniamo la definizione di impulso ⃗∆⃗ → ∆ ⃗ == ⃗. E generalmente questo qui prende il nome di teorema dell’impulso che non sempre è trattato nei corsi di fisica, quindi attenti. L’impulso, come è facile notare, è un vettore. ⃗ ⃗∆= ∆ ⃗ = Ovviamente l’impulso si misura in 1[ ] [ ]∙ E ha le stesse dimensioni della quantità di moto.
• Quantità di moto e energia cinetica: Consideriamo la definizione di lavoro infinitesimo in fisica: ⃗∶= ∙ ⃗. Questa è la definizione base. Adesso scriviamo la forza in modo esteso e in termini di derivata prima nel tempo: ⃗= ∙ ⃗. L’unica magia da fare adesso è scambiare il termine da derivare. Anziché derivare il vettore velocità, deriviamo il vettore spostamento e sfruttiamo la proprietà commutativa del prodotto scalare ⃗= ∙ ⃗. Come tutti sapete, la derivata dello spostamento nel tempo è semplicemente il vettore velocità, quindi alla fine avremo = ⃗∙ ⃗. Altro non è che in quanto utilizzando la definizione di prodotto scalare, ⃗ ∙ ⃗ abbiamo ⃗∙ ⃗= cos ()

Ma l’angolo tra un vettore e il suo elemento infinitesimo è ovviamente 0, poiché devono avere lo stesso verso. Quindi quel coseno diventa uguale a 1 e abbiamo dimostrato che ⃗∙ ⃗= Ora possiamo comodamente integrare per entrambi i membri = E otteniamo il famoso teorema delle forze vive 1= 2 Ma non avete notato proprio nulla? Caspita, spero proprio che non sia così!

Per ottenere questo magnifico teorema, abbiamo integrato nel secondo membro la quantità di moto rispetto alla velocità. Questo legame tra quantità di moto ed energia cinetica ci deve dar da pensare. L’energia cinetica è una quantità che si conserva in assenza di forze esterne e l’abbiamo ottenuta a partire dalla quantità di moto. Eseguiamo una prova del nove tramite la seconda legge della dinamica: ⃗ ⃗=

Se le forze esterne sono assenti allora il vettore forza deve essere nullo. Dunque otteniamo un ulteriore risultato importante per quanto riguarda la quantità di moto: ⃗ =0. Troviamo che in assenza di forze esterne, il vettore quantità di moto non varia rispetto al tempo e quindi si conserva. Questo risultato è di importanza fondamentale in fisica. Abbiamo appena definito una grandezza direttamente collegata a forza ed energia e che si conserva!

Urti

Ora possiamo divertirci con la conservazione della quantità di moto. Per iniziare analizzeremo gli urti. Consideriamo l’immagine in figura

Abbiamo tre istantanee