Quantità di moto, momento angolare e dinamica rotazionale

2) IL PROBLEMA CHE STAVAMO ANALIZZANDO PRESENTA UN URTO ANELASTICO Se

questo è vero, allora non possiamo impostare la conservazione dell’ energia

cinetica ≠

0≠ −

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∆ ≠0

Questo è il risultato più utile da tener a mente: la variazione di energia cinetica

non è nulla. Si sarà persa una piccola parte nell’ ambiente esterno sotto forma di

calore. Naturalmente, l’esercizio potrebbe dirvi quanta energia viene persa; in

questo caso varrebbe la conservazione dell’ energia (in realtà questo è un

primissimo sbocco nella termodinamica)

= −

Dove Q è la lettera comunqmente usata per indicare il calore (che, vi anticipo, è

una forma di energia misurata anch’essa in joule), ovvero l’energia persa. Ne

deduciamo che >

Allora il sistema risolutore di tale tipologia di urti sarà un sistema che tiene conto

della conservazione della quantità di moto, ma che segnala la non conservazione

dell’ energia cinetica: =

∆ ≠0

3) CASO URTO COMPLETAMENTE ANELASTICO Non può essere il caso del nostro

problema in quanto negli urti completamente anelastici si perde molta energia

cinetica e non si conserva la quantità di moto. Quindi dovreste immaginarvi un urto

completamente anelastico come due corpi che urtano, ma che poi rimangono

incastrati fra loro per poi viaggiare alla medesima velocità. Il sistema in questione

diverrebbe: =

∆ ≠0

Abbiamo concluso con gli urti? Neanche per sogno! HAHAHAHAAHHA

URTI OBLIQUI

Gli urti obliqui sono un caso particolare di urti in 2 dimensioni, molto ricorrente. Avete

sicuramente assistito ad un urto obliquo quando avete fatto scontrare tra di loro due

monetine identiche... Ma vediamo di cosa si tratta.

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Prima di tutto riconduciamoci al caso di due corpi con massa uguale e al caso dell’ urto

elastico (questo ci semplificherà molto i calcoli). Supponiamo un urto che abbia la

collisione come in figura:

Attenti perchè ora non siamo vincolati a nessun piano, ci troviamo infatti in uno spazio

bidimensionale, quindi non può essere trattato come uno scalre, bensì come un vettore!

Tuttavia il sistema degli urti elastici non cambia ⃗

⃗=

⎧

⎪ 1

1

⎨ = ′

⎪ 2

2

⎩

Come vedete, l’unica cosa che è cambiata è vettore. Uniformiamoci ora al nostro caso,

⃗

ottenendo il seguente sistema ⃗ ⃗

′ ′

= +

⃗

1 1 1 2

1 2

1 1 1

2 2

2 = ′ + ′

1 1 1 1 2 2

2 2 2

Abbiamo utilizzato la convenzione di distinguere con

⃗ ⃗′.

Per ipotesi del nostro problema le masse sono uguali, quindi possiamo sterminare ogni

massa dal nostro sistema, sia nella prima equazione che nella seconda!

⃗ ⃗

′ ′

= +

⃗

1 1 2

2 2

2 = ′ + ′

1 1 2

Questo è il sistema finale. La prima equazione ci dice che i due vettori velocità, che si

ottengono dopo l’urto, se sommati vettorialmente devono ridare il vettore . Pensate

⃗

con calma a questa proprietà.

La seconda equazione è un teorema di pitagora evidentissimo! Le due velocità che si

ottengono a seguito dell’ urto sono perpendicolari infatti l’intero urto risulta essere cosi’

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fatto:

Se sommate vettorialmente i vettori V e U ottenete il vettore v di partenza! Provate a far

scontrare due monetine uguali, loro tenderanno ad allontanarsi dalla zona d’urto in modo

perpendicolare!

URTI NELLO SPAZIO

Gli urti nello spazio sono semplicemente una compilicazione, a livello di calcolo, di ciò

che abbiamo visto fino ad ora! In base alla tipologia di urto, valgono i medesimi sistemi,

corretti con il simbolo del vettore per le velocità!

⃗

⃗=

⎧ ⃗

⎪ ⃗=

1 1

⎨ = ′ ∆ ≠0

⎪ 2 2

⎩

Nel caso di 3 dimensioni, avrete a che fare con un sistema di 4 equazioni: 3 per la

conservazione della quantità di moto e una per la conservazione dell’ energia.

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IL MOMENTO ANGOLARE

Il momento angolare è una delle grandezze fisiche più strane e interessanti. Vederemo

alcuni esempi molto controintuitivi e risolveremo alcuni esercizi associati ad esso. La

prima premessa che andrebbe fatta è che il momento angolare è l’analogo del momento

torcente per la quantità di moto. Sicuramente avrete sentito parlare già di MOMENTO

associato al concetto di forza, in verità prende anche il nome di momento torcente. Ciò

che faremo ora è associare il concetto di MOMENTO alla quantità di moto. Il perchè di

questo vi risuterà chiaro in seguito.

La definizione di momento torcente è: ⃗

⃗

⃗ ∶= ×

⃗

⃗

Dove è la classica forza, è il raggio vettore (o braccio per motivi ingegneristici) che

collega un “centro di rotazione” con la coda del vettore forza e denota un prodotto

×

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vettore. Ciò implica che il momento di una forza sia un vettore che giace sul piano di

rotazione. Il verso del nostro momento è stabilito con la regola della mano destra

Il momento angolare ha una definizione identica. L’unica cosa che varia è che anzicchè

avere una forza, avremo un vettore quantità di moto

⃗ ∶= ⃗ × ⃗

⃗

Notate che ho sostituito con , ma entrambi indicano il raggio vettore che collega il

⃗

“centro di rotazione” con la coda del vettore quantità di moto.

Il “centro di rotazione” prende anche il nome di POLO o CARDINE, o semplicemente

CENTRO; sempre per motivi ingegneristici.

Per calcolare il momento angolare, useremo la definizione di prodotto vettore, infatti

⃗= ⃗× ⃗= ∙ ∙ sin ( )

Dove alpha è l’angolo compreso tra i due vettori. Il momento angolare può essere scritto

anche diveramente (in un modo che tipicamente non è ammesso con le forze), ovvero

estendendo la definizione di quantità di moto:

⃗= ⃗× ⃗= ⃗× ⃗

Poichè m è uno scalare e è un vettore, risulta comodo scrivere in questo modo il

⃗

momento angolare.

Il momento angolare, che è molto simile al momento torcente, ha verso stabilito dalla

regola della mano desta ed è sempre perpendicolare al piano di rotazione ed è una

grandezza relativa, nel senso che varia in base alla scelta del nostro cardine.

Il momento angolare non possiede, come la quantità di moto, una dimensione dedicata.

Lo misureremo infatti in questo modo:

1[ ]∙[ ]∙[ ]

Che si può desumere da una rapida analisi dimensionale.

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Anche il vettore momento angolare, essendo una grandezza vettoriale, può essere

sommato con altri vettori momento angolare . In particolare, se abbiamo vettori

momento angolare, la somma di tutti questi vettori ci ridà un momento angolare totale.

Un po’ come accadeva con la quantità di moto insomma.

⃗= ⃗

In questo caso però ha un significato leggermente diverso e più complesso. Il momento

angolare infatti è una grandezza che serve a descrivere oggetti che ruotano rispetto ad un

punto da noi scelto. Se però abbiamo molti oggetti che si muovono rispetto ad un centro

comune (non perforza di moto circolare), ogni oggetto avrà il suo personalissimo momento

angolare. Per trovare il momento angolare totale si sommano vettorialmente tutti i singoli

momenti angolari. Ma attenti la somma di tanti vettori momento angolare ci restituisce

un altro vettore momento angolare, giusto? Ricordate però che il momento angolare è

SEMPRE perpendicolare al piano di rotazione! Ciò significa che possiamo avere sistemi

caotici di corpi che ruotano in ogni modo, il risultato finale vede questi corpi disporsi

lungo un unico piano di rotazione (quello perpendicolare al momento angolare totale). E’

per questo che esistono le galassie, ed è per questo che sono piatte. Le stelle ruotano per

via della gravità e il piano su cui ruotano è il piano perpendicolare al momento angolare

totale. La cosa interessante è che ciò avviene spontaneamente! Nessuno spinge nulla e

nessuno influenza nulla! Questo sì che è anti intuitivo!

Richiamiamo brevemente il calcolo per il prodotto vettore mediante le matrici.

In 3 d vale che ⃗= ⃗× ⃗

se e sono vettori del tipo

⃗ ⃗ ⃗=( )

⃗=( )

Allora il momento angolare si calcola con la definizione di prodotto vettore

̂ ̂

⃗= ∙ =( − ) ̂+( − ) ̂+( − )

Dove i,j e k sono i versori dello spazio e il risultato di tale operazione vi restituisce un

vettore nello spazio (il vettore momento angolare) che è perpendicolare al piano di

rotazione.

Calcoliamo la derivata rispetto al tempo del momento angolare

16 ⃗ ⃗

⃗= ⃗=

( ⃗)

⃗ × = ( × ⃗+ ⃗× )

La derivata di una velocità nel tempo ci dà un’accelerazione mentre la derivata del raggio

vettore nel tempo ci dà la velocità

⃗= ( ⃗ × ⃗ + ⃗ × ⃗)

0 perchè stiamo facendo il prodotto vettore tra due vettori identici, rimane quindi

⃗ × ⃗= ⃗= ⃗× ⃗

⃗= ⃗× ⃗

⃗ ⃗

=

Questo risultato che abbiamo appena ottenuto (semplicemente derivando nel tempo la

definizione) è di una bestialità unica. Momento angolare e momento torcente sono

collegate, un po’ come lo sono forza e quantità di moto. Infatti non è un caso che le due

siano collegate dalle medesime operazioni matematiche

⃗ ⃗

⃗ ⃗

= =

Mentre andremo avanti noteremo una somiglianza imbarazzante nei calcoli che sussistono

tra forza e quantità di moto, e quelli che sussistono tra momento angolare e momento

torcente.

Ma state attenti ora! Prima con la quantità di moto abbiamo scoperto che in assenza di

forze esterne si conserva. Sarà così anche per il momento angolare? Vediamo:

⃗ ⃗= ⃗×

= ⃗

Ma le forze esterne valgono 0, perciò il momento delle forze vale 0 anche lui. Otteniamo

che anche il momento angolare si conserva in assenze di forze esterne

⃗ =0

MOMENTO ANGOLARE DI UN CORPO CHE SI MUOVE DI MOTO CIRCOLARE UNIFORME

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Questo è il caso più semplice dell’ analisi del momento angolare. Un corpo che si muove

di moto circolare uniforme possiede un certo momento angolare

⃗= ⃗× ⃗

Come ben sapete, in questo caso e sono perpendicolari, quindi avemo una

⃗ ⃗

semplificazione della definizione =

E non ha senso parlare di vettori perchè in questo caso il momento angolare è vincolato