Quaderno di Scienza delle Costruzioni

Cinematica di un corpo deformabile

Il fatto di considerare un corpo rigido anziché deformabile vale se si restringono il problema dell’equilibrio in maniera disaccoppiata dal problema deformativo.

(statico) (cinematico)

Deformazione: variazione relativa e non assoluta della configurazione dei corpi ( − )

Per il momento non ci preoccupiamo di come sia stato causata una certa deformazione.

La configurazione di un corpo è l’insieme di tutti i punti che costituiscono l’oggetto di studio.

La deformazione è il passaggio da una configurazione dei punti P a uno dei punti Q.

1. L’insieme dei punti P definisce la configurazione naturale o di riferimento.

La posizione dei punti Q definisce la configurazione attuale.

Bisogna analizzare la funzione per descrivere la deformazione.

Se voglio rappresentare il passaggio globale di tutti i punti dalla conformazione C alla conformazione C allora scrivo:

C’= f(C)

Se invece voglio rappresentare il passaggio localmente, cioè di un punto P e del suo intorno definito, scrivo:

Q = f(P)

Cinematica di un corpo deformabile

Il fatto di considerare un corpo rigido analiticamente vale solo se si può ridurre il problema dell’equilibrio a un unico disaccoppiato dal problema deformativo.

• Statico
• Cinematico

Deformazione: variazione relativa e non assoluta della configurazione dei corpi.

Per il momento non ci preoccupiamo di come sia stata causata una certa deformazione.

La configurazione di un corpo è l’insieme di tutti i punti che costituiscono l’oggetto di studio.

La deformazione è il passaggio da una configurazione di punti P a uno di punti Q.

• Q = (P)

Condizioni che deve rispettare una funzione di corpi.

1. ℎ₁ = {₁, ₂, ₃}

2. ℎ₂ = {₁, ₂, ₃}

3. ℎ₃ = {₁, ₂, ₃}

L’insieme dei punti P definisce la configurazione naturale o di riferimento.

L’insieme dei punti Q definisce la configurazione attuale.

Bisogna conoscere la funzione F per descrivere la deformazione.

Se voglio rappresentare il passaggio globale di tutti i punti dalla conf. C alla conf. C allora scrivo C = (₀),

se invece voglio rappresentare il passaggio localmente, cioè di un punto e del suo intorno finito, scrivo Q = (P).

RESTRIZIONI: ASSIOMI DI CONTINUITÀ

1) f è biunivoca: ad ogni punto di C₀ ne corrisponde solo uno in C₁

No creazioni o compenetrazioni di materia

2) f deve essere continua: cioè da continuità al passaggio da P₀ a Q₀ e da Q₀ e P₀ è fattibile a piccoli stabiliti

No bruschi salti

così se considero 2 punti prossimi sulla cont C adiacenti

Possiamo associare un tensore gradiente di deformazione:

F = grad f

^F = ^{∂x₁/∂y₁ ∂x₁/∂y₂ ∂x₁/∂y₃∂x₂/∂y₁ ∂x₂/∂y₂ ∂x₂/∂y₃∂x₃/∂y₁ ∂x₃/∂y₂ ∂x₃/∂y₃}

det (F) è lo scalino della trasformazione governata da f

Dimostriamo che det (F) ≠ 0 e che il det F è una misura volumetrica della deformazione

det (F) non può essere 0 perché altrimenti si passerebbe da un corpo con un certo volume a uno a volume nullo

det (F)⁻¹ non può essere perché se parti un corpo a volume nullo, esso si trasformerebbe in corpi con un determinato volume

Inoltre se Q ≡ P allora det(F) ≡ 1

per la continuità della funzione F se ammettiamo che det(F) < 0 allora è consigliabile supporre che in un momento det(F) ≠ 0 ciò non è ammissibile ⟹ det(F) > 0

STUDIO LOCALE DELLA DEFORMAZIONE

CAMPO SPOSTAMENTO: γ(P) = Q - P ⟹ U(P) = ⩬(P) - P

grad\[U(P)\] = grad\[f\] + grad\[P\]

il grad della deformazione è pari al grad delle spostamento per il trucco sostituito

In generale F e H variano da punto a punto ma se si formano i settori di DEFORMAZIONI OMOGENEE

se Fe ≡ I allora He ≡ 0 cioè si ha una semplice traslazione dei punti e U la traslazione è nulla (P ≡ Q) la funzione coincide con se stessa

Ricordiamo che con il termine LOCALE non intendiamo dire che V(P)