Quaderno di Scienza delle Costruzioni

Cinematica di un corpo deformabile

lo scopo di considerare un corpo rigido anziché deformabile vale se si può studiare il problema

dell'equilibrio a meno decouplato dal problema deformativo.

Deformazione: variazione relativa e non assoluta della configurazione dei corpi.

• col metodo non ci preoccupiamo di come sia stata causata una certa deformazione materiale.
• La configurazione di un corpo è l'insieme di tutti i punti che costituiscono l'oggetto di studio.

La deformazione è il passaggio da una configurazione di punti P a uno di punti Q

Q = ƒ(P)

• contenuto: ℝ³
  • 1, ℝ: ℝ⁴ → ℝ³ (y₁, y₂, y₃)
  • ℎ₂ = ƒ₂ (y₁, y₂, y₃)
  • ℎ₃ = ƒ₃ (y₁, y₂, y₃)

L'insieme dei punti P definisce la configurazione naturale o di riferimento.

L'insieme dei punti Q definisce la configurazione attuale.

Bisogna individuare la funzione ƒ per descrivere la deformazione:

• Se voglio rappresentare il passaggio globale di tutti i punti dalla configurazione C₀ allora scrivo C₁ = ƒ(C₀).
• Se invece voglio rappresentare il passaggio localmente, cioè di un punto x e del suo intorno definito, allora scrivo Q = ƒ(p).

RESTRIZIONI: ASSIOMI DI CONTINUITÀ

1. Il riferimento ad ogni punto di C corrisponde solo uno a C'.

NO CREAZIONI O COMPENETRAZIONI DI MATERIA

2. F è il seno continuo, cioè deve consentire il passaggio da P_o a Q_o e da αP_o e σP_o e β continuità a volte.

NO BRUSCHI SALTI

Infatti se considero 2 punti prossimi sulla curva C, allora le loro trasformate saranno anch’esse prossime tra loro.

Possiamo associare un TENSORE GRADIENTE DI DEFORMAZIONE:

MATRICE ASSOCIATA

[F] = | ∂f₁/∂y₁ ∂f₁/∂y₂ ∂f₁/∂y₃ || ∂f₂/∂y₁ ∂f₂/∂y₂ ∂f₂/∂y₃ || ∂f₃/∂y₁ ∂f₃/∂y₂ ∂f₃/∂y₃ |

F = grad f

det(F) è lo jacobiano della trasformazione generata da f

Dimostreremo che det(F) ≠ 0, e che il det è una misura volumetrica della deformazione.

det(F) non può essere 0 perché altrimenti è permutabile da un corpo con un certo volume a uno a volume nullo.

| det(F) = 0 | V = 0 V ≠ 0

det(F) ^-1 non può essere -1 perché dovrei unire un corpo a volume nullo, mentre esso è trasformabile in corpo con un determinato volume

| det(F) ^-1 | V = 0 V ≠ 0

Ora voglio mettere in relazione i versori:

dQ = F dp

dQ = dq m in componenti:

un per rapido confronto superiore

La relazione F + I ci dice che se vi ho una semplice trasformazione (H = 0) F = I

Se F= ho una TRASLAZIONE

γ_ij = 2 E_ij = 2 ν

i ≠ j

• ϵ₁₂ = ^{E₁₂((1)) + E₂₁((1))}/₂ = 2E₁₂ = 2ϵ₁₂
• ϵ₁₃ = ^{E₃₁((1)) + E₁₃((1))}/₂ = 2E₁₃ = 2ϵ₁₃
• ϵ₂₃ = ^{E₃₂((1)) + E₂₃((1))}/₂ = 2E₂₃ = 2ϵ₂₃

i ≠ j &quad; ϵ_ij simmetrico

Aff ... latura

γ₁₂ = 2 ^E₁₂((1))_2^ei...^... ¹/_e⁽ⁱ⁾ ϵ₁₂

γ₃₄ = γ₁₃

γ₂₃ = γ₃₂

Deo dunque scrivere la matrice associata al tensore di deformazione infinitsima rispetto al punto P generico nel sist di rifl. vero y₁, y₂, y₃

• la tr(E) misura la VARIAZIONE DI VOLUME all'interno al punto P ed è l'unico della 3 grandezze a rimanere costante anche nel sist di rifl.
• tr(E) è un invariante rispetto a rotazioni rigide del sist di rifl.

Quindi avremo:

E_x⁽¹⁾ = λ₁, λ₁

E_x⁽²⁾ = λ₂, λ₂

E_x⁽³⁾ = λ₃, λ₃

E₁: INVARIANTE LINEARE

E₂: INVARIANTE QUADRATICO

E₃: INVARIANTE CUBICO

Siamo usciti dalla terna integrale Y₁, Y₂, Y₃

COMPONENTI DIAGONALE PRINCIPALE:

• E_ii⁽⁴⁾ = λ_i⁽⁴⁾ moltiplica scalare tra
• E_i⁽⁴⁾ = λ_i⁽⁴⁾ E_i

Componenti miste:

• E_i⁽⁴⁾ = 2E_i⁽⁴⁾ E_i⁽⁴⁾ = 0

Quindi le ridotte delle componenti miste sono nulle.

E ^{(Y₁, Y₂, Y₃)} =

E = [

1. • E₁₁
   • E₁₂
   • E₁₃
2. • E₂₁
   • E₂₂
   • E₂₃
3. • E₃₁
   • E₃₂
   • E₃₃

~~~

E = [

1. • λ₁
   • 0
2. • λ₂
3. • 0
   • λ₃

m⁽¹⁾, m⁽³⁾ si dicono DIREZIONI PRINCIPALI DELLA DEFORMAZIONE

λ₁, λ₂, λ₃ (che vengono indicate anche con E₁, E₂, E₃), quindi assumono un importante significato si dicono DILATAZIONI PRINCIPALI.

Nel generico punto P, considerata una deformazione, se possiamo individuare 3 direzioni mutuamente ortogonali tra loro particolari: le connessioni mutue tra queste direzioni sono nulle.

Si ottengono le dilatazioni principali della matrice associata a quella nuova terna quando si ha i TRE MINIME DILATAZIONI di estensione del punto P.

Equazioni di equilibrio

R_n = ∫_Ω Y(p) dΩ + ∫_Sn t^(m) (p) ds

Le azioni che il corpo interno esercita sul contorno sono rappresentate da R_n

M_n = ∫_Ω (p-ο) ∧ Y(p) dΩ + ∫_SΩ (p-ο) ∧ t^(m) (p) ds

Assioni di Eulero

R_n = 0

M_n = 0

Se Ω ≡ C, abbiamo le eq. di equilibrio per l'intero corpo:

R_c = 0 ⟹ ∫_C Y(p) dV + ∫_SL I(p) ds

M_c = 0 ⟹ ∫_C (p-ο) ∧ Y(p) dV + ∫_SL (p-ο) ∧ I(p) ds

Le equazioni globali sono equazioni necessarie per l'equilibrio della

Le uniche se un corpo localmente in equilibrio allora lo è anche globalmente e viceversa