Psicometria: schemi e formule

• DISTRIBUZIONE NORMALE dipende da 2 parametri: media: MEDIA e VARIANZA.

N(μ;σ²)

Nella CURVA NORMALE STANDARDIZZATA la MEDIA VALE 0 e LA DEV. STANDARD VALE 1.

• LEGGE DEI GRANDI NUMERI (EMPIR. DEL CASO):

p(ε) = f_n(ε) = ¹/_n m → ∞ (Convergenza prob. empirica e prob. teorica)

• REGOLA EMPIRICA DEL CASO: si dice che porzione di essi ricade all'interno degli intervalli specifici della curva normale.

• TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: La distr. camp. delle medie è centrata nella μ della popol., con una dev. standard (ERRORE STANDARD) pari a ^δ/_√m.

• DISTRIBUZIONE NORMALE dipende da 2 parametri: MEDIA e VARIANZA.

N(μ;σ²)

Nella CURVA NORMALE STANDARDIZZATA la MEDIA VALE 0 e LA DEV. STANDARD VALE 1.

LEGGE DEI GRANDI NUMERI (EMPIR. DEL CASO)

p (ε) = f_n (x) = _k/^m→∞

(convergenza prob. empirica e prob. teorica)

• REGOLA EMPIRICA DEL CASO: si dice che porzione di essi ricade all’interno degli intervalli specifici della curva normale.
• TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: La distr. camp. delle medie è centrata nella μ della pop., con una dev. standard (ERRORE STANDARD) pari a σ/_√m.

PUNTI z

z = _{(x̄ - μ)}/_σ

z_i = _{(xi - x̄)}/s

(x_i = x̄ + s × z_i)

INTERVALLO DI FIDUCIA PER LA MEDIA (σ noto)

Lin. Inf.           Lim. Sup.

x̄ - z × σ_x̄ ≤ μ ≤ x̄ + z × σ_x̄

• 1,96 (e.i. 95%)
• 1,65 (e.i. 95% monodir.)
• 2,58 (e.i. 99%)
• 2,33 (e.i. 99% monodir.)

INTERVALLO DI FIDUCIA PER LA MEDIA (σ ignoto) (m < 30)

stima di σ_x̄ = s_x̄ = _s/_√m

punti t (t di Student)

x̄ - t ∙ s_x̄ ≤ μ ≤ x̄ + t ∙ s_x̄

dipende da G.D.L. = m-1 e da liv. di fid.

Intervallo di fiducia per la media (σ ignoto) (n ≥ 30)

Si usano i punti t:

\(\bar{x} - z \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z \frac{s}{\sqrt{n}}\)

Intervallo di fiducia per una proporzione π (n ≥ 30)

Proporzione nella popolazione

\(p \pm z \cdot \sigma_{\hat{p}}\)

• Proporzione del campione
• Errore standard della proporzione: \(\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)

Lim. inf. = \(p - z \cdot \sigma_{\hat{p}}\)Lim. sup. = \(p + z \cdot \sigma_{\hat{p}}\)Lim. inf. ≤ π ≤ Lim. sup.

Errori di I e II tipo:

Errore che siamo disposti a compiere = Liv. di signif. → Fidatività del test → Reg. di accettazione = interv. di prob.: se statistica vi rientra H₀ accettata.

(5% o 1%)

• FATTORIALE m! = m x (m-1) x (...)
• IPOTESI UNIDIREZIONALI: REG. DI RIFIUTO O CRITICA È A UN ESTREMO DELLA DISTR. DELLA STATISTICA DEL TEST.
• IPOTESI BIDIREZIONALI: REG. RIPARTITA IN PARTI UGUALI AI DUE ESTREMI DELLA DISTR.
• VALIDITÀ INTERNA: SE CONFERM. DAI DATI
• VALIDITÀ ESTERNA: SE GENERALIZZABILE.
• TEST NON PARAMETRICI → CALCOLO DI PROBA. ESATTA ASSOC. A UNA CONFIG. → EVENTUALE SISTEMATICITÀ SULLA BASE DI UN M.E. (MARGINE DI ERRORE) PRESTAB. → MODELLI PER PRENDERE DECIS. TRA H0 E ALTERNATIVE.
• PROB. = _{nº CONFIG. DI CUI TROVARE P} / ^{mº CONFIG. TOT.}
• - PROB. CONGIUNTA DI EV. ESCLUDENTI = SOMMA SINGOLE PROB.
• - PROB. DI EVENTI NON ESCLUDENTISI: TEOR. DELLE PROB. CONDIZIONATE = P(A|B) = P(A∩B) / P(B) PON.G. A E B
• - PROB. CONGIUNTA DI EVENTI INDIPENDENTI = PRODOTTO SINGOLE PROB.

Stima M "vera"

• ES : _σ/^√N
• z = ±1,96 (95%) z = ±2,58 (99%)
• M - ES · z _< μx _< M + ES · z

Coeff. di correlazione r di Pearson (ρ)

r = _∑xᵢyᵢ/^{√∑xᵢ²∑yᵢ²}

• se vic. a 1 → forte relaz. lineare
• se vic. a 0 → scarsa relazione
• se vic. a -1 → relaz. negativa
• ρ ≠ 0 → correlaz. significativa

P-Value

P-Value = più piccolo liv. di signif. α che porta a rifiut. H₀

Potenza di un test (W)

W = 1 - β

• CRITERI DEF. VARIABILI: ESAUSTIVITA'
• CLASSIF. VARIABILI:
  • CATEGORIALE (QUALITATIVA)
  • QUANTITATIVA
    • CONTINUA
    • DISCRETA
• SCALE:
  • NOMINALE
    • FREQUENZA - TEST NON PARATI - MODA
  • ORDINALE (O A RANGHI)
    • FREQUENZA - RANGO - TEST NON PARAM.
  • A INTERVALLI (EQUIV.)
    • ADDIZ., SOTTRAZ. - TEST PARAM. BASATI
  • A RAPPORTI
    • TUTTE LE OPERE - TEST PARAM.

CRITERI DEF. VARIABILI:

ESAUSTIVITA’, ESCLUSIVITA’

CLASSIF. VARIABILI:

• CATEGORIALE (QUALITATIVA)
• QUANTITATIVA
  • CONTINUA (valori intermedi tra un valore intero e il successivo)
  • DISCRETA (num. interi)

SCALE:

• NOMINALE (no ordinam., solo etichette)
  • FREQUENZA – TEST NON PARAM. - MODA
• ORDINALE (O A RANGHI) (variab. qualit. ORD.; NOBILI – MODALITA' – titolo di studio o livelli di valutaz.)
  • FREQUENZA – RANGO – TEST NON PARAM. – MED. POSIZIONALI
• A INTERVALLI (EQUIV.) (quantit. con valori numerici – no magnit. assolute – valori reali)
  • ADDI., SOTTRAZ. – TEST PARAM. basati sulla costanza del rapp. tra intervalli (zero arnel)
• A RAPPORTI (zero arnel – unità di misura)
  • TUTTE LE OPERAZ. – TEST PARAM. – DEFIN. CONO.

Campione:

• Statisticam. Rappresentativo → gener. e tutta la pop.
• Rappres. per le se. sociali (normativo)

→ Errore Campionario = scario tra caractt. riev. del camp. e quella della pop. → dimin. all’aum. di n e scompare per m=n.

• Piani di Campionamento:
• Casuale Sempl. (tavole num. casuali)
• Sistematico (range di campion. k=n/n)
• Stratificato (suddivi. in elami → sotto camp.)
• A grappoli (sottogruppi chi uniti da simili in base a req. specifi.: es. sociale)
• Di convenienza (quasi esempl.)

Campo di variab. (range-gamma) =

Lim sup - lim inf

Valore centr. classe (punto medio) =

_{Lim inf + Lim sup}/₂

• MEDIANA:

Pos Mdm = ⁿ⁺¹/₂ (n dispari)

→ per distrib. in esami: Me = lim inf + ^{m/2 - feinf}/_f x i

→ per valore esatto (es., servizio cade tra 4:: 112 e 5°: 113 → (113-112) 0.75 + 112

• MEDIA

Somma valori / m

^{Somma (valori x freq)}/_m o ^{Somma (f i c i)}/_{m (classi)}

• SCARTO DALLA MEDIA: D_i = X_i - X̄

• INDICE DI CURTOSI: pesantezza code

• ASIMMETRIA POS.:

NE_n

NEG.:

n_NE

• Rapporto di variaz. (Rv) = 1 - _fm/ⁿ
• Indice di diversita' (Id) = 1 - ∑ p_i²
• Indice di variaz. qualita' (Ivq) = ^Id/_{1 - ¹/k}
• Range = X_max - X_min (Campo di variaz.)
• Pos Q_j = ^{(m + 1) · j}/₄ → Q₃
  • Per classi: X_le + ^{Pos - frequ}/_fi x i
• Rango quantile = ^{Pos punt. x num. parti distr.}/_m+1
• Rango percentile = ^{100 x M - R}/_(m-1)

• Scostam. Sempl. Medio (SSM) = _i=1^m ∑ |X_i − M| / m
• Varianza (s²) = _i=1^m ∑ (X_i − M)² / m
• Deviance (SS) = _i=1^m ∑ (X_i − M)²
• Deviazione Standard (s) = √_i=1^m ∑ (X_i − M)² / m
  • Per le classi: s = √∑ f_i (X_i − M)² / m
• Punte T
  • X = media + dev. st. · z
    • 50
    • 10
  • (5,5 e 2 x sten)
  • (5 e 2 x stanine)
  • (10 e 3 scaled score)