Psicometria I

Verifica delle ipotesi sulla media

D D3. Fissare livello di significatività α e calcolare gradi di libertà

○ Decidere la regione del rifiuto in base ad α, gdl=n-1, e H1(mono/bi-direzionale)

○ Trovando un t critico sulla tavola4. Associare una probabilità ad H , calcolando t0 455. Decisione su H : confronto tra t e t critico0

○ |t|<|t critico| = p>α → si accetta H → è vera l'ipotesi nulla

○ |t|>|t critico| = p<α → si rifiuta H → si accetta H → è vera l'ipotesi alternativa

0 1Verifica ipotesi Verifica delle ipotesi sulla media↓Verifica dell'ipotesi sulla varianza

● Estraggo da due popolazioni con varianze omogenee (σ =σ ), campioni indipendenti1 212 22di ampiezza n e n ,s e s1 2

● Distribuzione campionaria del rapporto tra varianze

● Distribuzione teorica di probabilità F

● Si calcola F 462VERIFICA DELLE IPOTESI: χ (chi)1. Verifica ipotesi χ2 con 1 campione2La statistica

χ confronta una distribuzione teorica (nella popolazione) e una distribuzione osservata (nel campione) 1 variabile con k categorie (1 campione)

Distribuzione di frequenza con k categorie → 2

Distribuzione teorica del χ

Attraverso il campione valuto la probabilità che il modello sia vero nella popolazione

Modello dell'equidistribuzione = gli n casi del campione si distribuiscono equamente nelle categorie k2 2

La tavola del χ, definisce un valore critico χ a partire da:

α = regione del rifiuto di H (colonne)0

Gradi di libertà (righe)1. Scelta del test statistico (di significatività)2

Si calcola χ facendo riferimento alla distribuzione di frequenze2. Definizione dell'ipotesi2

H → χ = 0 → equidistribuzione0 2

H → χ ≠ 0 → non c'è equidistribuzione1

Fissare livello di significatività α e calcolare gradi di libertà

Decidere la regione del rifiuto

di equidistribuzione falsa 4722. Verifica ipotesi χ con due campioni

La statistica χ confronta una distribuzione teorica (nella popolazione) e una distribuzione osservata (nel campione), considerando due o più variabili

Analisi delle contingenze:

Si analizza una tabella a doppia entrata o di contingenza

Distribuzione teorica del χ

Modello in esame = modello di indipendenza tra le due variabili = le variabili cambiano indipendentemente l'una dall'altra = tra le due non c'è relazione H0

Scelta del test statistico (di significatività)

○ Si calcola χ facendo riferimento alle distribuzioni di frequenze

Definizione dell'ipotesi

○ H → χ =0 → p(A |B )=p(A |B )0 1 1 1 2

○ H → χ ≠0 → p(A |B )≠p(A |B )1 1 1 1 2

Fissare livello di significatività α e calcolare gradi di libertà

Decidere la regione del rifiuto in base ad α e gdl, dove gdl dipende dalla tabella

di contingenza:

■ Il vincolo è il totale dei casi: v=r c-1x

■ I vincoli sono marginali di riga (r-1) e colonna (c-1): v=(r-1)(c-1)2

○ Trovando un χ critico sulla tavola 24. Associare una probabilità ad H , calcolando χ0

○ Confronto la distribuzione osservata (f = dati campionari) con la distribuzione0teorica (f ) ottenuta in base all'indipendenza tra le variabilit 2 25. Decisione su H : confronto tra χ e χ critico02 2

○ χ < χ critico = p>α → si accetta H → pongo vera l'indipendenza: la0probabilità di ottenere una distribuzione come quella osservata è elevata (>α )→ differenza tra distribuzioni imputabile al caso → ipotesi di indipen. vera2 2

○ χ > χ critico = p<α → si rifiuta H → si accetta H → pongo vera0 1l'indipendenza: la probabilità di ottenere una distribuzione come quellaosservata è bassa (<α ) →

differenza tra distribuzioni non imputabile al caso→ ipotesi di indipendenza falsa → tra le due variabili c'è dipendenza

Correzione continua di Yates2χ è usato con variabili discrete (non metriche), però la sua distribuzione è continua

Tolgo .5 alla differenza in valore assoluto fatta tra le due frequenze

La correzione è necessaria se:

• gdl>1 e 20% di f ≤5t
• gdl=1 e 50% di f ≤5t

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PEARSON

Cos'è la correlazione

Correlazione = mettere in evidenza la relazione tra le due variabili

Stabilire il tipo di relazione

Stabilire il grado (intensità) della relazione

Stabilire la direzione della relazione

Diagramma di dispersione

Variabile x = intenzione

Variabile y = controllo

La nube di punti si sviluppa secondo una retta → relazione lineare

Punto = coppia di valori

y = f(x)

Sintetizzare

1. Calcolare il punto che ha come coordinate le medie
2. Covarianza

= misura del grado di associazione di due variabili

Può avere valori positivi e negativi

Quando è 0, x e y sono indipendenti

Aumenta il crescere del grado di dipendenza tra x e y

Limite = misura relativa, dipende dall'unità di misura delle variabili

2. Misurare la dispersione della nube di punti → deviazione standard di x e y

Media dei prodotti dei punteggi x e y standardizzati

i i

Coefficiente di correlazione r di Pearson

r = indice dell'abilità di adattamento della retta, ottenuta con il metodo dei minimiquadrati e i dati campionari

Coefficiente r misura:

La forza della relazione = il valore

La direzione della relazione = il segno

-1 ≤ r ≤ 1

Variabili devono essere almeno su scala a intervalli

50r=covarianza standardizzata=rapporto tra covarianza (Cov o S ) e deviaz. stand. (S e S )xy xy x y

È un coefficiente indipendente dall'unità di misura di x e y

51Interpretazione r di Pearson

Se r =

libertàà

Decidere regione del rifiuto in base ad α, gdl=n-2, e H (mono/bi-direzionale)1

Trovando un t critico4. Associare una probabilità ad H , trasformando r in t05. Decisione su H : confronto tra t e t critico0

|t|<|t critico| = p>α → si accetta H → c'è assenza di relazione (ρ=0)0→ la relazione tra le variabili non è significativa

|t|>|t critico| = p<α → si rifiuta H → si accetta H → non c'è assenza di0 1relazioni (ρ=0) → la relazione tra le variabili è significativa 52

COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE NON PARAMETRICI

I coefficienti non parametrici si usano quando anche una sola delle due variabili nonraggiunge il livello metrico di misurazione1. Coefficiente di correlazione r di Spearmansr si calcola quando i dati sono costituiti da ranghi (o graduatorie), o quando una variabile èsordinale e l'altra metricad = differenza tra ranghi di ogni

coppia di valori

iN = numero dei soggetti o coppie di punteggi

26Σd = 0 → r = 1-0 = 1s

Con i ranghi delle graduatorie che coincidono, d = 0

Quando le posizioni in graduatoria sono esattamente opposte r = -1s

Verifica dell'ipotesi di ρs

Serve per valutare se la relazione è significativa, cioè diversa da zero

ρ = parametro nella popolazione corrispondente alla statistica rs s

Se n≤30 i valori di r critici sono tabulati per due livelli di α (.05 e .01), es l'ipotesi monodirezionale è in funzione del numero dei soggetti (non gdl)

Se n>30 esiste una relazione tra r e t di Student (come in Pearson)s1 popolazione1 campione2 variabili ordinali↓1. Scelta del test statistico (di significatività): si calcola rs

Definizione dell'ipotesi: confronto con la popolazione di riferimento

H → ρ = 00 s

H → ρ ≠ 0 (bidirezionale se n>30)1 s

ρ>0 e ρ<0 (monodirezionale se n<30)

Fissare livello di significatività α

Decidere regione del rifiuto in base ad α, n (se n<30) o gdl=n-2 (se n>30),H (monodirezionale se n<30) e H (mono/bi-direzionale se n>30)

Trovando un r critico (per n<30) o un t critico (per n>30)