Psicometria

LE COMPONENTI DI UN GRAFICO

I grafici possono includere due categorie distinte di elementi:

- Elementi strutturali che consentono la comprensione dei dati

- Elementi decorativi che non sono legati ai dati

Elementi strutturali comprendono:

• Il titolo del grafico; deve essere breve e coinciso ma esemplificativo del

contenuto

• I titoli degli assi; identificano le variabili rappresentate dagli assi. Se si

possono evincere dal titolo del grafico non è necessario ripeterli.

• Le etichette degli assi; identificano le singole modalità o i singoli valori

rappresentati nel grafico.

• L’unità di misura dei dati (per esempio "in migliaia", "%" etc..)

• La griglia; può essere aggiunta per ageolare la lettura e il confronto dei

dati.

• La legenda; identifica simboli, tratteggi o colori usati per rappresentare i

dati.

• Le etichette dei dati; visualizzate sopra o vicino alle barre, alle aree o alle

linee facilitano la lettura del grafico.

• Le note; possono essere aggiunte per fornire definizioni o informazioni

sulla metodologia.

• La fonte dei dati; da dove provengono i dati

17. Descriva le tabelle di contingenza

Le tabelle di contingenza si usano quando vi sono più variabili di tipo

quantitativo discrete o qualitative, possiamo quindi analiticamente

rappresentare più valori nello stesso schema e misurare i rapporti tra le

variabili. Le tabelle di contingenza sono un particolare tipo di tabelle a

doppia entrata (cioè tabelle con etichette di riga e di colonna), utilizzate in

statistica per rappresentare e analizzare le relazioni

tra due o più variabili. In esse si riportano le frequenze congiunte delle

variabili.

18. Descriva moda e mediana.

Moda e mediana sono indici di tendenza centrale, statistiche che

permettono di sintetizzare un insieme di misura tramite un unico valore

"rappresentativo". La moda rappresenta il valore o la modalità che ha la

più alta frequenza all'interno della distribuzione, la mediana è la misura

che occupa la posizione centrale in un campione di dati disposti in ordine

crescente in base al loro valore.

19. Parli dei quantili.

Oltre alla mediana, che divide a metà un insieme di dati ordinati, vengono

usati anche altri indici di posizione che dividono le distribuzioni in

determinate percentuali detti quartili, quantili e percentili. Questi sono detti

indici di posizione non centrale e vengono usati soprattutto per ampi

insiemi di dati. Un quantile è quel valore xq, per il quale la somma delle

frequenze dei valori minori o uguali a xq è uguale al valore q (compreso

tra zero e uno). I quantili (mediana, quartili, decili e percentili) possono

essere usati con le variabili qualitative su scala ordinale. Per questo prima

del loro calcolo è sempre necessario mettere i dati in ordine crescente. I

quantili possono essere usati con le variabili qualitative su scala ordinale e

possono essere usati anche con le variabili quantitative, ma non possono

essere usati con le variabili nominali.

20. Descriva la media aritmetica e ponderata.

Si definisce media aritmetica di più numeri, quel valore che sostituito ai

dati, lascia invariata la loro somma. Indicati con X1, X2,...Xn i numeri dati,

per la definizione si ha:

(X1+X2+...+Xn)/n

Dall' espressione appena vista si ricava dunque M come media aritmetica

semplice.

Quando però si hanno dei valori di Xi ripetuti per K modalità , avremo i dati

con delle frequenze. Allora si calcolerà la seguente formula. Media

ponderata= X1*p1+X2*p2+ +Xn*pn

....

P1+p2+ ...+pn

Per calcolare la media ponderata (o media pesata) tra più numeri è

necessario conoscere il loro peso. A differenza della media aritmetica,

nella media pesata, come suggerisce il nome stesso, ciascun numero ha

una determinata importanza (peso) che influenza il calcolo.

Il valore della media ponderata è dato dalla somma dei prodotti di ciascun

numero per il rispettivo peso, fratto la somma dei pesi. In

sintesi quindi il significato della media ponderata consiste nell'individuare

un valore medio in cui però i valori numerici di partenza hanno ciascuno

una propria importanza, specificata dal proprio peso.

21. Trovi la media della seguente distribuzione esplicitando il

procedimento usato per ottenere il risultato: 7, 3, 5, 4, 7, 6, 9. (la serie

di numeri data potrebbe cambiare ad ogni prova d'esame

La media aritmetica si trova sommando tutti i risultati e dividendoli con il

numero delle risposte effettuate, in questo caso:

(7+3+5+4+7+6+9)/7=41/7=5.85

La media aritmetica ponderata invece si trova moltiplicando ogni possibile

risposta con la frequenza, dividendo per il totale risposte:

risposte Fi

3 1

4 1

5 1

6 1

7 2

9 1

n 7

Media ponderta=

(3*1+4*1+5*1+6*1+7*2+9*1)/7=(3+4+5+6+14+9)/7=41/7=5.85

22. Descriva di gli indici di dispersione.

Un indice di dispersione serve per descrivere sinteticamente una

distribuzione statistica quantitativa, e in modo particolare la misura con la

quale i suoi valori sono distanti da un valore centrale, identificato con un

indice di posizione, solitamente media o mediana.

Sono indicatori di dispersione:

- campo o intervallo di variazione o range → è l'ampiezza dei valori

compresa tra il valore massimo e il valore minimo

Variazione=Xmax-Xmin. Indica il divario tra i dati guardando il minimo e il

massimo valore della distribuzione funziona molto bene se i dati sono

abbastanza uniformemente distribuiti, ma se il minimo o il massimo sono

molto diversi, rischia di diventare un indice poco informativo. Il campo di

variazione è il più semplice indice di variabilità ed è dato dalla differenza

tra il valore massimo di una distribuzione e il valore minimo.

- scarto medio assoluto → è un indice di dispersione che misura la

distanza dalla media aritmetica. Si calcola per caratteri quantitativi ed è la

somma del valore assoluto della differenza tra la modalità Xi e la media

aritmeticaX' dei valori, diviso il numero N dei valori considerati. Lo scarto

dalla media è dato dallo scarto tra ciascuna osservazione di una

distribuzione e la media: di=(Xi-M) Si potrebbe pensare che l’indice più

semplice per descrivere la variabilità dei dati sia la media degli scarti dalla

media. Ma, come abbiamo visto, un’importante proprietà della media

aritmetica è che la media aritmetica degli scarti (xi – M) è uguale a zero.

Una possibile soluzione per usare questo interessante indice sarebbe

dunque quella di elevare gli scarti al quadrato.

- varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione e deviazione

media assoluta → La varianza è data dalla somma degli scarti dalla media

elevati al quadrato divisi per N. Lo scarto quadratico medio o deviazione

standard è un indice di dispersione statistico, vale a dire una stima della

variabilità di una popolazione di dati o di una variabile casuale.

- scarto interquartile → è la differenza tra il terzo e il primo quartile, ovvero

l'ampiezza della fascia dei valori che contiene la metà centrale dei valori

osservati. E' un indice di dispersione , cioè una misura di quanto i valori si

allontanino da un valore centrale.

- indice di dispersione di Poisson → è data dalla differenza tra il terzo e il

primo quartile DI=Q3-Q1 E' un indice che non tiene conto di cosa accade

all'interno e agli estremi della distribuzione.

23. Descriva le caratteristiche della deviazione standard.

Lo scarto quadratico medio o deviazione standard è un indice di

dispersione statistico, vale a dire una stima della variabilità di una

popolazione di dati o di una variabile casuale.

Indice di dispersione con unità di misura uguale alla media.

• indica la variabilità assoluta

• Indica di quanto, mediamente, i dati osservati si discostano dalla loro

media.

Si definisce scarto quadratico medio, o deviazione standard, la media

quadratica, semplice o ponderata, degli scarti dei valori dalla media

aritmetica. Lo scarto quadratico medio è tanto più piccolo quanto più i dati

sono prossimi al valore medio ed è uguale a zero se i dati sono tutti uguali

tra loro.

24. Descriva le caratteristiche principali dello scostamento semplice

medio

Un altro indice di variabilità è lo scostamento semplice medio, che è la

media aritmetica dei valori assoluti degli scarti delle Xi da un valore

medio. Si utilizzano due scostamenti semplici medi:

1° lo scostamento semplice medio dalla media aritmetica

2° lo scostamento semplice medio dalla mediana

25. Descriva la distribuzione uniforme di probabilità

La distribuzione discreta uniforme è una distribuzione di probabilità

discreta che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa

probabilità ad ogni elemento dell'insieme discreto S su cui è definita (in

particolare l'insieme dev'essere finito). Gli eventi possibili devono essere

equiprobabili.

26. Cos'è una distribuzione di probabilità

Una distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega i

valori di una variabile alle probabilità che tali valori possano essere

osservati. Le distribuzioni di probabilità vengono utilizzate per

modellizzare il comportamento di un fenomeno di interesse in relazione

alla popolazione di riferimento, ovvero alla totalità dei casi di cui lo

sperimentatore osserva un dato campione

In base alla scala di misura della variabile di interesse X, possiamo

distinguere due tipi di distribuzioni di probabilità:

1. distribuzioni continue → la variabile viene espressa su un scala

continua (es: il diametro del pistone)

2. distribuzioni discrete → la variabile viene misurata con valori numerici

interi (es: numero di elementi non conformi o difettosi in un circuito

stampato)

27. Descriva la distribuzione binomiale di probabilità

La distribuzione binomiale di probabilità è una distribuzione di probabilità

discreta che descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli,

ovvero la variabile aleatoria Sn=X1+X2+...Xn che somma n variabili

aleatorie indipendenti di uguale distribuzione di Bernoulli.Esempi di casi di

distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa

moneta o di una serie di estrazione da un'urna (con reintroduzione ),

ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il successo con probabilità

p e il fallimento con probabilità q=1-p

p : probabilità favorevole all'evento

q=1-p : probabilità sfavorevole all'ev