Psicometria: Probabilità, funzioni cumulativa, massa, densità, distribuzioni probabilistiche discrete e continue

PUNTI Z (z):

indicati con il simbolo zi sono la funzione che associa ad ogni elemento dell'insieme X la sua differenza dalla media e dividendo tale differenza per la deviazione standard:

zi=Xi-X/σ

NB. Un insieme di dati trasformato in punti Z ha media =0 e deviazione standard =1

PUNTI T->

T=MEDIA+z*DEVIAZIONE STANDARD

TAB STATISTICHE SIGNIFICANTI

• SCALA NOMINALE
  • Moda (Md)
  • Numero classi equivalenza (NdE)
• SCALA ORDINALE
  • Moda (Md)
  • Numero classi equivalenza (NdE)
  • Mediana (Mdn)
  • Quartili (Q)
  • Percentili (P)
  • Ranghi Percentili (Rp)
  • Nel le tabelle di frequenza si possono introdurre le frequenze cumulative (fc) e frequenze cumulative percentuali (fc*fc divise per n e moltiplicate per 100)
• SCALA A INTERVALLI e a RAPPORTI
  • Moda (Md)
  • Numero classi equivalenza (NdE)
  • Mediana (Mdn)
  • Quartili (Q)
  • Percentili (P)
  • Ranghi Percentili (Rp)
  • Media (X)
  • Gamma (G)
  • Differenza Interquartile (DI)
  • Deviazione standard (δ)
  • Punti Z (z) o punti standard

8. PROBABILITÀ

ESITO O PUNTO CAMPIONE: ogni possibile risultato di un dato esperimento o di una data osservazione che si possa registrare

SPAZIO CAMPIONARIO indicato con Ω: insieme che racchiude tutti gli esiti o punti campione di un dato esperimento casuale

EVENTO: si definisce evento di un dato esperimento un qualsiasi insieme di uno o più esiti, NON necessariamente definito da una precisa proprietà

Eventi possono ESCLUDERSI RECIPROCAMENTE, IMPLICARSI o essere INDIPENDENTI

EVENTI SEMPLICI: un qualsiasi sottoinsieme di Ω CON UN SOLO ELEMENTO vs EVENTI COMPOSTI

FAMIGLIA DI EVENTI indicato con ε: qualsiasi insieme di eventi chiuso a tutte le operazioni insiemistiche (insieme di sottoinsiemi di Ω)

ε=P(Ω)

La coppia ordinata (Ω, ε) si chiama SPAZIO DI EVENTI

∅ → EVENTO IMPOSSIBILE

Ω → EVENTO CERTO

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ:

si definisce Distribuzione di probabilità o Misura di Probabilità una qualsiasi funzione Pr con dominio la famiglia di eventi ε e codominio i numeri reali R che soddisfi le tre seguenti proprietà:

1. ∀ a ∈ ε: Pr(a) ≥ 0 (non-negatività)
2. Pr(Ω)=1 (normatività)
3. ∀ a, b ∈ ε: (a ∩ b=∅) ⇒ Pr(a ∪ b)=Pr(a)+Pr(b) (additività)

Assunto fondamentale: ogni esito in un dato esperimento ha la stessa probabilità di verificarsi degli altri

In questo caso si dirà che gli esiti dello spazio campionario sono EQUIPROBABILI

Dato uno spazio campionario composto da n elementi, il valore di probabilità da associare a ciascun evento semplice è

1/n

Dato il terzo assunto delle distribuzioni di probabilità, per gli eventi composti, la probabilità sarà calcolata semplicemente sommando le probabilità degli eventi semplici che li compongono

La probabilità di accadere di un certo evento è uguale alla CARDINALITÀ dell'insieme che esprime tale evento diviso la CARDINALITÀ dello spazio campione

In altre parole: per ogni ε ∈ ε

Pr(ε)=casi favorevoli/casi possibili

SPAZIO DI PROBABILITÀ:

una qualsiasi terna (Ω, ε, Pr) costituita da

1. uno spazio campionario Ω
2. una famiglia di eventi ε
3. una distribuzione di probabilità Pr

Fondamento centrale di tutta la teoria della probabilità

NB. ε è chiusa a tutte le operazioni insiemistiche: garantisce la possibilità di esprimere tutti i molteplici significativi eventi del fenomeno studiato

Dalla distribuzione di probabilità nascono molti teoremi, fondamentali nella teoria della probabilità:

1. Pr(ε')=1-Pr(ε)
2. Pr (∅) =0
3. ε ⊂ δ ⇒ Pr(ε)≤Pr(δ)
4. Pr(a ∪ b)=Pr(c)+Pr (e ∩ a)
5. Pr (e ∪ a) =Pr(e)+Pr(a)-Pr(e ∩ a)

ESPERIMENTI COMPOSTI: Nel caso in cui l’esperimento sia composto da PIÙ OPERAZIONI dall’esito casuale, lo SPAZIO CAMPIONARIO Ω sarà composto dal PRODOTTO CARTESIANO delle singole operazioni

Concetti di DIPENDENZA vs INDIPENDENZA

NB. Si dice che due dimensioni A e B di una data relazione R sono tra loro INDIPENDENTI se la relazione coincide al PRODOTTO CARTESIANO delle due → muovendosi sui valori della prima dimensione NON si hanno info sui valori potenzialmente assumibili dalla seconda dimensione

2. FUNZIONE DI MASSA (fm) indicata con f:

• chiamata anche:
• Funzione Discreta di Probabilità
• Funzione di Distribuzione Discreta
• Funzione di Densità discreta

Qualsiasi funzione a valori reali definita su R per la quale esista un insieme M_r ⊆ R di cardinalità inferiore o uguale a N tale per cui:

• f(x) > 0   x ∈ M_r
• f(x) = 0   ∀ x ∈ R

∑_x∈Mr f(x) = 1

Gli elementi di M_r sono detti PUNTI MASSA

Famiglia indicata con M

3. FUNZIONE DI DENSITÀ (fd) indicata con f:

• SOLO CASO CONTINUO

una qualsiasi funzione a valori reali definita su R per la quale siano soddisfatte le seguenti condizioni:

• f(x)≥0  ∀ x ∈ R  (non negativa)
• f è quasi ovunque continua
• f è integrabile su qualsiasi intervallo limitato o illimitato
• L'integrale della funzione è = 1 (unitario)

Famiglia indicata con D

In questo tipo di grafico le probabilità sono indicate da AREE e non da singoli valori, chiamate anche:

• Funzione di probabilità continua
• Funzione di densità continua

9. CLASSI PARAMETRICHE DI DISTRIBUZIONI PROBABILISTICHE

In relazione a uno SPAZIO EUCLIDEO è possibile considerare una data CLASSE PARAMETRICA DI DISTRIBUZIONI PROBABILISTICHE: collezione di distribuzioni che manifestano le seguenti proprietà

• tutte le distribuzioni probabilistiche che vi partecipano sono esprimibili tramite funzioni analitiche di MASSA o DENSITÁ
• le funzioni di massa o di densità che vi partecipano hanno funzioni analitiche SIMILI, ovvero sono espresse da formule analiticamente omogenee
• ciascun elemento della famiglia si distingue dagli altri per il valore di uno o più parametri presenti nella formula, l'insieme di tali valori prende il nome di SPAZIO PARAMETRICO

È quindi possibile ricondurre scenari con spazi di probabilità diversi ad un'UNICA distribuzione probabilistica per mezzo di un'apposita V.C.

Le funzioni di massa ottenibili da vari scenari che rispettano le proprietà di cui sopra hanno formula:

• f(x) = ⁿC_r p^x (1-p)^n-x   con n ∈ N   0≤p≤1

i valori n e p sono detti PARAMETRI mentre i valori che possono assumere sono detti SPAZI PARAMETRICI

p è una probabilità → valore compreso tra 0 e 1