Psicometria

LA PROBABILITà CONDIZIONATA

La probabilità di un evento può variare subordinatamente al verificarsi di un altro evento

esempio -> nel lancio di un dado, la probabilità che esca il 4 è 1/6; se si ha l’informazione che è uscito un numero

—>

pari, la probabilità che sia 4 risulta 1/3, mentre se l’informazione fosse che è uscito un numero superiore a 2,

la probabilità sarebbe 1/4

Si definisce probabilità di un evento A condizionata all’evento B - e si indica -> P(A|B) - la probabilità del

• verificarsi di A nell’ipotesi che B si sia verificato; se B non si verifica, l’evento A|B non è definito

Per valutare P(A) si è preso in considerazione l’universo U degli eventi

elementari -> si valuta la probabilità di A subordinata all’ipotesi B, mentre

prima si valutava la probabilità di A subordinata all’ipotesi U;

l’informazione restringe l’universo U ad un suo sottoinsieme B

Secondo l’impostazione classica -> se 19 sono i casi favorevoli al

• verificarsi dell’evento B e K sono quelli favorevoli al verificarsi di A∩B, la

probabilità di A condizionata a B -> P(A|B) = k/b

si può trasformar dividendo per N il numeratore e il denominatore -> P(A|B) = (k/N)/(b/N) = P (A∩B)/P(B)

L’impostazione assiomatica definisce come probabilità di A condizionata a B la relazione -> P(A|B) = P (A∩B)/

• P(B), se P(B) > 0

La probabilità composta

Deriva dal concetto di probabilità condizionata -> P(A∩B) = P (B) P(A|B) = P(A) P (B|A)

per cui la probabilità che 2 eventi si verifichino contemporaneamente è pari alla probabilità di uno dei 2

—>

eventi moltiplicato con la probabilità dell’altro evento condizionato al verificarsi del primo

Nel caso di indipendenza stocastica si ottiene che la probabilità congiunta è pari al prodotto delle

• probabilità -> P(A∩B) = P(A) P(B) -> P(A,B)

Esempio -> la probabilità che il Milan vinca il campionato di serie A è 1 su 8 e la probabilità che il Verona vinca il

campionato di serie B è 1 su 3

la probabilità composta mi permette di rispondere alla domanda -> qual è la probabilità che sia il Milan sia il

—>

Verona vincano i rispettivi campionati a fine stagione?

Calcolo della probabilità composta Calcolo della probabilità composta su eventi

3

P (Milan vinca il campionato di serie A) = 1/8 P (prendere 30 a Psicometria) = 1/10

P (Verona vinca il campionato di serie B) = 1/3 P (prendere 30 a Metodologia) = 1/15

(1/8)*(1/3) = 1/24 P (prendere 30 a Analisi dei dati) = 1/7

—> e

La probabilità che sia il Milan che il Verona vincano i (1/10)*(1/15)*(1/7) = 1/1050

—>

rispettivi campionati a fine stagione è 1 su 24 C’è 1 probabilità su 1050 di prendere 30 in tutte le materie

26

Distribuzioni di probabilità

È un modello matematico che collega i valori di una variabile alle probabilità che tali valori possano essere

osservati

vengono utilizzati per modellizzare il comportamento di un fenomeno di interesse in relazione alla

—>

popolazione di riferimento

In base alla scala di misura della variabile di interesse X, possiamo distinguere:

Distribuzioni continue -> la variabile viene espressa su una scala continua -> diametro del pistone

• Distribuzioni discrete -> la variabile viene misurata con valori numerici interi -> numero di elementi

• difettosi in un circuito

Vengono espresse da una legge matematica detta funzione di densità di probabilità, indicata con f(x),

funzione di probabilità, indicata con p(x) Distribuzione uniforme

È una distribuzione di probabilità discreto

che attribuisce la stessa probabilità ad

ogni elemento dell’insieme discreto S su cui

è definito

Esempio -> lancio di una moneta non truccata

in cui ognuno dei 2 valori “testa” o “croce”

Distribuzione iper-geometrica

Distribuzione binomiale Esempio -> urna contenente N palline di cui K rosse e (N - k)

È il modello adatto per il campionamento da una non rosse

popolazione infinita, dove la probabilità p Dall’urna si estraggono N palline, o successivamente, o in

rappresenta la frazione di elementi difettosi o blocco

non conformi presenti nella popolazione la distribuzione iper-geometrica è la distribuzione di

—>

la v.a. X rappresenta il numero di successi in N

—> probabilità discreta che descrive tale estrazione

prove indipendenti Se l’estrazione è successiva si ha una successione di

•

Esempio -> esce il numero 4 nel lancio di un dado; ha prove non indipendenti in quanto varia la probabilità di

probabilità 1/6 per ogni lancio del dado estrazione di una pallina rossa al variare della prova

Distribuzione di Poisson

Se eseguiamo N prove indipendenti, il numero Definita per valori interi non negativi, che a differenza

delle volte in cui l’evento si verifica è una delle distribuzioni precedenti, può assumere i valori 0, 1,

variabile casuale X che può assumere i valori 0, 1, 2, 3, ..

2, .., N esprime le probabilità per il numero di eventi che si

—>

in base al teorema delle prove ripetute ad

—> verificano successivamente e indipendentemente in un

ogni valore x si associa una probabilità Px con dato intervallo di tempo Lambda (λ)

distribuzione di una variabile casuale discreta Esempio -> misurare il numero di chiamate ricevute in un

detta distribuzione binomiale callcenter, in un determinato arco temporale; è nota

anche come legge degli eventi rari

27

La legge dei grandi numeri

Nella letteratura sono stati dati vari teoremi della legge dei grandi numeri che costituiscono una

formulazione matematica della legge empirica del caso

una formulazione semplice è data dal

—>

Teorema di Bernoulli

Se un evento ha probabilità costante p in ogni prova, la probabilità che la frequenza relativa di n prove

differisca dalla probabilità p per meno di un numero > 0 arbitrario, tende all’unità al crescere del numero n

ε

ci permette di affermare che la media che calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni sia

—>

sufficientemente vicina alla media reale

Il concetto di “sufficiente” fa riferimento alla probabilità e all’ampiezza campionaria

•

Un caso particolare di applicazione della legge dei grandi numeri è la previsione probabilistica della

proporzione di successi in una sequenza di n realizzazioni indipendenti di un evento E -> per n che tende a

infinito, la proporzione di successi converge alla probabilità di E

Distribuzione normale

È molto usata in statistica perché molti fenomeni hanno una distribuzione che si può

rappresentare con una distribuzione normale

la distribuzione binomiale si può approssimare, per n grande, alla distribuzione

—> e

normale

Considerando un istogramma delle frequenze relative che rappresenti un fenomeno con distribuzione

• simmetrica, formato da 7 classi, in modo che la somma delle aree dei rettangoli valga 1..

L’adattamento della spezzata alla curva è migliore

continuando a diminuire l’ampiezza delle classi si ottiene una spezzata sempre più e

—>

prossima alla curva

L’espressione analitica della funzione di densità della distribuzione normale ->

•

È definita per qualsiasi valore reale, nell’intervallo illimitato -> (-∞, +∞)

dipende da 2 parametri:

—> -> valore medio E

• μ -> varianza

• σ^2

La normale viene indicata con N (μ;σ^2)

Una delle sue proprietà è che valore medio, valore modale e mediana coincidono e corrispondono al punto di

massimo della distribuzione normale

28

Distribuzione normale standardizzata

Se = 0 e = 1 -> si ha la distribuzione normale standardizzata N (0;1) e la sua funzione di

μ σ^2

densità diventa ->

la probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore compreso fra 2 ascisse x1 e x2 è dato

—>

dall’area sottesa -> P (x1 < X < x2) : arco del trapezoidale (P1P2Q1Q2)

La variabile causale, l’area compresa fra tutta la curva e l’asse

delle x, vale 1

il calcolo è riportato su tavole, come le Tavole di Sheppard

—>

La curva di simmetria rispetto all’asse delle ordinate è -> f (z) = f (-z) -> P (-a < Z < 0) = P (0 < Z < a)

•

Calcoliamo l’area fra i punti 0 e 1, l’area fra le ascisse del massimo e del flesso

dalle tavole P (0 < Z < 1) = 0,3413 -> fra -1 e 1 -> l’area è: P (-1 < Z < 1) = 0,6826

—>

Significa che: nella distribuzione normale c’è probabilità del 68.26% che la variabile

• normale standardizzata abbia uno scarto dal valore medio inferiore a 1, che il 68.26% dei valori della

distribuzione sono compresi fra -1 e 1

Fissate le aree di probabilità, si possono determinare le rispettive ascisse

l’area di probabilità di 0.25, a partire da z = 0, corrisponde all’area fra l’ascissa 0 e

—>

l’ascissa 0.6745

Esiste una probabilità del 50% che a variabile sia compresa fra -0.6745 e 0.6745

• 29

Standardizzazione

Ha lo scopo di rendere i dati direttamente confrontabili

Punti z

Indicano la posizione dei dati in termini di distanza dalla media, che viene espressa in

deviazione standard

Rapporta tutte le distribuzioni a un’unica distribuzione “standard” a

• media pari a 0 -> tolgo la media da ciascun valore

S -> rapporta tutte le distribuzioni a un’unica distribuzione “standard” a deviazione standard pari a 1

•

Tramite i punti z è possibile standardizzare delle distribuzioni

è di importanza fondamentale in psicometria ed è parte integrante del bagaglio professionale di

—>

qualsiasi psicologo

Hanno per costruzione, sempre somma algebrica pari a 0 ->

e media sempre pari a 0 ->

—>

La somma dei quadrati dei punteggi z è uguale a N ->

lo scarto quadratico medio e la varianza dei punteggi z è uguale a 1 ->

—>

Distribuzione normale standardizzata; esempio

Ipotizziamo di fare una misurazione del livello di intelligenza su un gruppo di studenti di una scuola media

superiore, e utilizziamo un test che offre una serie di punteggi espressi in 30esimi