Psicometria: Anova a un fattore, a due fattori, entro i soggetti, limiti ed errori nelle procedure sperimentali

POTENZA di un test statistico:

possibilità di rigettare CORRETTAMENTE H₀ quando questa è F

Il suo valore è 1-β ed è determinato da vari fattori:

• Valore di α: la potenza aumenta all'aumentare di α
• Numerosità campionaria: più grande è e meglio è
• Varianza del campione: più grande è la varianza, MINORE è la potenza
• Effect Size

NB.

• Aumentare α può aumentare la probabilità di commettere ERRORI del I tipo
• Aumentare la numerosità aumenta la potenza di un test, ma può portare ad un aumento di ERRORI del I tipo, inoltre diminuisce la varianza delle varianze campionarie
• La potenza di un test aumenta all'aumentare della DISTANZA tra distribuzioni campionarie delle medie confrontate

MISURE PER VALUTARE LA BONTÀ DI UN MODELLO

1. R-Squared:

coefficiente di DETERMINAZIONE r²

porzione di devianza spiegata da relazione lineare

indice di ES

r² = ^SSres/_{gradi di libertà}

ALTI VALORI -----> BASSA PREDITTIVITÀ DEL MODELLO

2. ANOVA:

tecnica statistica per confronto tra medie

estensione del t-test: il t-test è un caso particolare di ANOVA

ANOVA è un caso particolare di regressione ----> i predittori non sono V. numeriche, ma QUALITATIVE

----> oppure quantitative raggruppate in CLASSI

POTENZA di un test statistico:

possibilità di rigettare CORRETTAMENTE H₀ quando questa è F

Il suo valore è ¹/_β ed è determinato da vari fattori:

• Valore di α: la potenza aumenta all'aumentare di α
• Numerosità campionaria: più grande è e meglio è
• Varianza del campione: più grande è la varianza, MINORE è la potenza
• Effect Size

NB.

• Aumentare α può aumentare la probabilità di commettere ERRORI del I tipo
• Aumentare la numerosità aumenta la potenza di un test, ma può portare ad un aumento di ERRORI del I tipo
• La potenza di un test aumenta all'aumentare della DISTANZA tra distribuzioni campionarie delle medie confrontate

MISURE PER VALUTARE LA BONTÀ DI UN MODELLO

1. R-Squared:

   coefficiente di DETERMINAZIONE r²

   porzione di devianza spiegata da relazione lineare

   indice di ES

   r² = ^SS_res/_{g^a di libertà}

   ALTI VALORI --> BASSA PREDITTIVITÀ' DEL MODELLO

2. ANOVA:

   tecnica statistica per confronto tra medie

   estensione del t-test: il t-test è un caso particolare di ANOVA

   ANOVA è un caso particolare di regressione --> i predittori non sono V. numeriche, ma QUALITATIVE

   --> oppure quantitative raggruppate in CLASSI

Obiettivo:

• confronto tra tre o più medie campionarie per valutare se provengono dalla stessa pop.
• Valuta anche se vi sia una relazione tra VI e VD
• Vi sono molte tipologie di modelli ANOVA a seconda del n° di VI (fattori) e di VD

ANOVA A UN FATTORE

• Una sola VI (fattore)
• Una sola VD numerica
• Fattore diviso in K classi dette LIVELLI o gruppi del fattore, ciascuno con una certa numerosità
• Se la numerosità dei gruppi è uguale per tutti il disegno è BILANCIATO

Assunti:

• Indipendenza dei punteggi VD
• Distribuzione normale della pop
• OMOSCHEDASTICITA’

NB. Nei test per la VERIFICA DEGLI ASSUNTI, la NON SIGNIFICATIVITA’ indica la VERIFICA dell’ASSUNTO

PROCEDURA:

ogni valore osservato del campione viene scomposto in

y = µ + α + ε₁

Con

y_i,j = µ + α_j + ε_i,j

• µ media della pop. da cui è stato estratto il campione
• α effetto del gruppo del fattore di appartenenza (del gruppo j a cui il soggetto appartiene)
• ε errore relativo alla specifica unità statistica (relativo alla singola persona i appartenente al livello j)

H₀: α_j=0, ȳ ∈ Hr

H₁: α_j≠0, ȳ ∉ Hr

⇒ è almeno una media ̸= dalle altre

In generale SSA è scomposta in:

devianza TRA gruppi       SSA = ∑^k_j=1 n_j (ȳ_j - ȳ)²

devianza ENTRO i gruppi       SSS/A = ∑kj=1 ∑nji=1 (yi,j - ȳj)2

SS_T = SSA + SS_S/A

Ciascun valore viene diviso per i rispettivi gradi di libertà:

M_ST = SS_T / (N-1) varianda tot

M_SA = SS_A / (K-1) varianza tra gruppi

M_SS/A = SS_S/A / (N-K) varianza entro i gruppi

- Vale: N-1 = (K-1) + (N-K)

Con

• K: n gruppi
• N: n osservazioni

N.B.

• forte effetto del FATTORE: aumento SSa (o MSa)
• basso o nullo effetto del FATTORE: variabilità è da assegnare tutta alla SS_s/a (o MS_s/a)
• a parità di devianza o varianza tot:
• aumento SSa o MSa diminuzione SS_s/a o MS_s/a
• aumento SS_s/a o MS_s/a diminuzione SSa o MSa

RAPPORTO tra queste due quantità determina il PESO del fattore e della variabilità individuale nella misura

Per valutare tale aspetto:

Rapporto tra le varianze tramite F di Snedecor o F di Fisher

F = ^{SS_A / (K-1)} / _{SSS/A / (N-K)}

F dipende da:

• K-1 (n° gruppi meno 1)
• N-K (n° osservazioni meno n° gruppi)

Si procede usando la verifica delle hp per valutare se ESISTE una differenza significativa tra le medie dei campioni raccolti

F cal vs distribuzione di probabilità di Fisher

CASO AFFERMATIVO: Fcal> Fcr VI ha un’influenza regolare e lineare su VD

ANOVA A 2 FATTORI:

• 2 VI (fattori)
• Una VD numerica

Fattori A e B hanno rispettivamente k_a e k_b livelli o gruppi

N: numerosità complessiva del campione

Se la numerosità di tutti i gruppi nell'interazione è uguale il disegno è BILANCIATO

n° gruppi totali = k_a * k_b

ogni dato viene scomposto in 5 fattori

y = μ + α + β + αβ + ε

Con

• μ media della pop
• α effetto del livello di appartenenza del fattore A
• β effetto del livello di appartenenza del fattore B
• αβ effetto di interazione livello fattore A con livello fattore B
• ε errore relativo all'unità specifica

SS_T = SS_A + SS_B + SS_(AB) + SS_S/AB

Con

• SS_A: devianza legata ai livelli del fattore A
• SS_B: devianza legata ai livelli del fattore B
• SS_(AB): devianza all'interazione livelli fattore A con livelli fattore B
• SS_S(AB): devianza di errore specifica interna ai gruppi

(n - 1) = (k_a - 1) + (k_b - 1) + (k_a - 1)(k_b - 1) + (n - k_a * k_b)

Nella verifica dell'ipotesi vi saranno 3 H₀ da verificare:

1. H₀: α = 0 effetto del fattore A è nullo
2. H₀: β = 0 effetto del fattore B è nullo
3. H₀: αβ̅ = 0 effetto di interazione è nullo

ANOVA a due vie tiene conto dell'interazione tra fattori

Effetti dei singoli fattori si chiamano EFFETTI PRINCIPALI

Effetti legati all'interazione si chiamano EFFETTI D'INTERAZIONE

MODELLO SATURO: prevede entrambi gli effetti VS INSATURO (valuta solo effetti principali)

MODELLO ANOVA ENTRO I SOGGETTI

• ANOVA a un fattore within
• Una VI entro i casi (entro i soggetti)
• Una VD numerica
• il disegno è BILANCIATO

Procedimento:

• trattare il ripetersi degli stessi soggetti al pari di una VI
• una parte della variabilità dei dati è dovuta al fattore SOGGETTI con n° livelli ed un suo EFFETTO PRINCIPALE
• ci sarà interazione tra fattore A e fattore SOGGETTI

EFFETTO TRATTAMENTO

F = ^SSA/_{K – 1} = ^MSA/_MSSXA

(nk – 1) = (k – 1) + (n – 1) + (k – 1)(n – 1)

F (k – 1, (k – 1)(n – 1))

LIMITI ed ERRORI delle PROCEDURE SPERIMENTALI

1. IPOTESI SPERIMENTALI
   • Relazioni apparenti (non colto un mediatore) o spurie
   • Direzionalità delle hp
   • Errori epistemologici
2. SELEZIONE del CAMPIONE
   • Campioni NON casuali
   • Campioni NON bilanciati per le variabili rilevanti
   • Campioni troppo piccoli
3. STRUMENTI di MISURA
   • Bassa rilevanza e/o accuratezza dello strumento
   • Strumenti NON validati per pop di riferimento
   • Errori sistematici