Prove d'esame risolte elettrotecnica, circuiti magnetici e circuiti dinamici del primo ordine

Breve ripasso su come applicare il teorema di Millman

Consideriamo il seguente circuito:

come vedi i sono generatori di tensione e corrente, ma comunque sono tutti rami paralleli tra di loro. Nel caso non siano rami paralleli tra loro, si può sempre utilizzare Thevenin solo su pezzi di circuito per ricondurci a qualcosa di simile al circuito di cui sopra.

Supponiamo di voler calcolare la tensione ai capi di C. In tal caso conviene usare il teorema di Millman, che si applica come segue:

_VAB = ^{∑_i=1m I_i}/_{∑i=1^m 1/Ri}

Quindi vuol dire che al numeratore ho tutte le correnti dei vari rami (ovvio che nel caso ci siano subcircuiti, alcune di esse potrebbero non esserci, ma non è questo il caso), mentre al denominatore la somma dell'inverso delle resistenze di ciascun ramo (nel caso ce ne siano più di una per ciascun ramo, ci metto la Req di quel ramo).

Nel nostro caso:

V_AB =

V₁ / R₁ – β + V₃ / R₃

──────────────

1 / R₁ + 1 / R + 1 / R₃

Il prof mette quasi tutti esercizi in cui conviene applicare Millmann, quindi assicurati di aver capito bene queste 2 pagine prima di procedere.

Conviene prima farsi l'equivalente di Thevenin della parte di _cab a sinistra di L

R_th = R₁ + R₂ + R₃ = 10Ω

E_th = R_L A = 8V

Trovo le soluzioni per t = 0^-

I_L|_t=0^- = E_th / R_th = 0,8A

I_R4|_t=0^- = - E_Z / R₄ = - 1,5A

Trovo le soluzioni per t=0⁺

I_L|_t=0^- = I_L|_t=0⁺ = 0,8A per la continuità

Applico il teorema di Millman:

V_AB|_t=0⁺ =

(I_L|_t=0^- + E_Z / R₄) / (1/R₄ + 1/R₅)

= 10,222V

I_a|t=0+ = (E₂ - V_AB|0+) / R₄ = 3,57 A

Analizzo ora a + s C Il condensatore è un aperto)

I_c|t=∞ = E₂ / (R₃ + R₄) = 3,57 A

V_c|t=∞ = (E₂ · R₃) / (R₃ + R₄) - E_Ba = -132,19 V

Calcolo le costanti di tempo

τ = Req · C ↳ ove Req è la resistenza equivalente vista da C

Req = R₁ + R₂ + (R₃ · R₄) / (R₃ + R₄) = 31,4 Ω

τ = Req · C = 15,71 ms

V_AB |_t=∞ = ^{(E_t=0 - A + E)} / _{RA2 R1 + R23} = 16,70 V

IE₁ |_t=0 = ^{(E_A - V_AB |_t=0)} / (R₁ + R₂₃) = 2,45 A

A questo punto calcolo la soluzione a t = +∞ da è sempre:

IE₁ |_t=+∞ = ^{E_A - E₂} / _{R1 + R23} = 1,84 A

I_L |_t=+∞ = I_E1 |_t=+∞ in A = -0,15 A

T = (R_eq )^-1 • L

Req è la resistenza vista da L.

Esercizio 3

III appello AA 2010/11 - 05 luglio 2011 Tema A

R₁ = 1Ω R₂ = 4Ω V₁ = 10V V₂ = 20V L = 3mH

Inizio per t=0⁺.

Dal teorema di Millman:

V_AB|_t=0⁺ = \(\frac{\left(\frac{V_2}{R_1} + \frac{V_1}{R_2}\right)}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_2}}\) = 15V

I|_t=0⁺ = \(\frac{V_1 - V_{AB}|_{t=0^+}}{R_2}\) = -1,25A

I_t=0^- = ^{V - V_AB|_t=0-}⁄_R2 = -3,333 A

Soluzione al t = 0⁺

I_L|t=0⁺ = I_L|t=0^- = 1,666 A

V_AB|_t=0⁺ = ^{(V/R₂ + I - I_L|t=0+)} = 8.333 V

quel be Δ cambiato ove ie de t per 00 e assimilabile ad un generatore di corrente pari a 1,666 A.

I_L|t=0⁺ = ^{(V - V_AB|_t=0+)}⁄_R2 = 0,8333 A

Esercizio 2

Come in moltissimi casi in queste prove di esame, questa tipologia di esercizio include una parte magnetica di cui si vogliono calcolare i parametri elettrici equivalenti come sempre fatto, una parte elettrica che serve a calcolare le correnti di alimentazione, e una parte finale in cui si chiede di calcolare energie, flussi, forze con i dati prima calcolati.

1. circuito magnetico

R = ¹/_μ0 . ^δ/_Age = 2,38 · 10⁶ H^-1

L₁₁ = ^N₁2/_R = 41,188 mH

L₂₂ = ^N₂2/_{2 R} = 11,788 mH