Prove d'esame risolte elettrotecnica, circuiti magnetici e circuiti dinamici del primo ordine

Breve ripasso su come applicare il teorema di Millman

Consideriamo il seguente circuito:

Come vedi ci sono generatori di tensione e corrente, ma comunque sono tutti rami paralleli tra di loro. Nel caso non siano rami paralleli tra loro, si può sempre utilizzare Thevenin solo su pezzi di circuito per ricondurci a qualcosa di simile al circuito di cui sopra.

Supponiamo di voler calcolare la tensione ai capi di C. In tal caso conviene usare il teorema di Millman, che si applica come segue:

V_AB = ^{∑_i=1m I_i} / _{∑i=1^m 1/Ri}

Breve ripasso su come applicare il teorema di...

Consideriamo il seguente circuito:

come vedi ci sono generatori di tensione e corrente, ma comunque sono tutti rami paralleli tra di loro. Nel caso non siano rami paralleli tra loro, si può sempre utilizzare Thevenin solo su pezzi di circuito per ricondurci a qualcosa di simile al circuito di cui sopra.

Supponiamo di voler calcolare la tensione ai capi di C. In tal caso conviene usare il teorema di ...., che si applica come segue:

V_AB =

Σ _i=1 ^m I_i / Σ _i=1 ^m 1 / R_i

Quindi vuol dire che al numeratore ho tutte le correnti dei vari rami (ovvio che nel caso ci siano _subcorrenti, alcune di esse potrebbero non esserci, ma non è questo il caso), mentre al denominatore la somma dell'inverso delle resistenze di ciascun ramo (nel caso ce ne siano più di una per ciascun ramo, ci metto la Req di quel ramo).

Nel nostro caso:

V_AB = ^V₁/_R1 - δ + ^V₃/_R3 ----------------------------------- ¹/_R1 + ¹/_R + ¹/_R3

Il prof mette quasi tutti esercizi in cui conviene applicare Millmann, quindi assicurati di aver capito bene queste 2 pagine prima di procedere.

2014 02 12 - HEEC - 2014 - Appello I

R₂, R₃, R₄, E₂, i_R4, R₅, R₁

R₁ = 2Ω

R₂ = 3Ω

R₃ = 5Ω

R₄ = 8Ω

R₅ = 10Ω

L = 50mH

A₁ = 4A

E₂ = 12V

i_R4(t) = ?

i_R4(t) non è una variabile di stato C che invece è

il(t) ma per trovarla occorre comunque trovare

la soluzione di tutte le variabili, incluse quelle

di stato, per t = 0^-, t = 0⁺ e t = +∞.

Ricorda sempre che per t = 0^- e t = +∞ l'induttore

è assimilabile ad un corto circuito, mentre per

t = 0⁺ è assimilabile ad un generatore di corrente

di valore i_L|_t=0^- = i_L|_t=0⁺ che bisogna appunto

trovare. Per il condensatore vale il contrario: per t = 0^-

e t = +∞ è assimilabile ad un circuito aperto,

mentre per t₀⁺ è assimilabile ad un generatore di tensione, di valore V_C|_t=0^- = V_C|_t=0⁺ (cioè si deve determinare quando si esclude il circuito per t = 0^-).

Di conseguenza, la risoluzione di questo tipo di esercizi passa per 3 fasi:

1. trovare la soluzione per t = 0^-
2. trovare la soluzione per t = 0⁺
3. trovare la soluzione per t = +∞

Durante queste 3 fasi, posso applicare equivalenti di Thevenin, teorema di Millman etc. Devo anche stare attento a capire quali delle variabili cambia da 0^- a 0⁺ (l’unica che non può mai cambiare è la variabile di stato che deve essere continua, tutte le altre varieranno!).

In questi esercizi si trova quasi sempre il teorema di Millmann (vocale).

Fatto questo, la soluzione sarà del tipo:

I_R1(t) = I_R1 |_t=+∞ + (I_R1 |_t=0⁻ - I_R1 |_t=+∞) e^-t/Ƭ

trovato durante lo studio a t=+∞

trovato durante lo studio a 0⁻

trovato durante lo studio a +∞

manca solo Ƭ, che si trova con:

1. Ƭ = R_eq C

se abbiamo una capacità. R_eq è la resistenza equivalente vista da C.

2. Ƭ = (R_eq)^-1 L

se abbiamo una induttanza. Analogamente, R_eq è la resistenza equivalente vista da L.

Detto ciò, iniziamo con l’esercizio.

Conviene prima fare il equivalente di Thevenin della parte di rete a sinistra di L

R_Th = R₁ + R₂ + R₃ = 10Ω

E_Th = R₁⋅A = 8V

Trovo la soluzione per t = 0⁻

I_L|_t=0⁻ = E