Prove d'esame analisi 2 completamente svolte

Esame Edile 21/06/20

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: y'' - 5y' + 4y = 6x e^2x y(0) = 3 y'(0) = 3

   Δ = 25 - 16 = 9 → ν₁ = 2   ν₂ = 1

   y_c = c₁ e^2x + c₂ e^x y_p = Ax e^2x y_p = Ax e^2x + B e^2x y_p = (Ae^x + Cx) e^2x y_p = (Ax² + Bx + C) e^2x

   y_p'' =   &quad; 6Ae^2x + 4Ae^x + 6Ae^2x + 6Be^x + 6Ce^2x

   -10u_x - 10be^2x + 4Ae^x + 4b e^2x = 6x e^2x

   -2a = 6   →   a = 3

   -u - 2b = 0

   ^{b = 3/2}

   c₁ y_p(3x + &frac32) e^2x

2. Determinare i valori di massimo e di minimo assoluto della funzione f(x, y) = x² + xy + y²

   nel quadrato Q = [-2, 2] × [-2, 2]

δ₁

δ₂

δ₁:

δ₂:

δ₃:

3 → 2 - ⅓

δ₄:

7 + 2 + 1 = 7

√7 = mx → 0 ≤

7 = 2 + 1 = 3

Esame 8/01/21

Esercizio 1

Data la funzione

f(x,y) = e^-x2(2xy - y³)

si chiede di:

1. determinare gli eventuali punti critici, specificandone la natura, nel proprio dominio;
2. determinarne il massimo e il minimo assoluti nel triangolo T di vertici (0,0), (1/4,0), (1,1/4)

-2x e^-x2(2xy - y³) + e^-x2(2y) = 0

e^-x2(2xy - y³) = 0

P_x = e^-x2(-2x(2xy - y³) + 2y) = 0

P_y = e^-x2(2x - 3y²) = 0

P' _xx = 4x²e^-x2(2xy - y³) - 4xe^-x2(2y)

P' _yy = ...

a)

• x = 1/4
• y = t
• 0 < t < 1/2

γ₁:

• P₁(1/4, 0)
• P₂(1/4, 1/2)
• P₃(1, 1/4)

• x = t
• y = 2t

γ₂:

• x = t
• y = 0
• 0 < t < 1/2

γ₃:

(2) Si consideri la seguente forma differenziale

ω(x,y) = [ ^xy⁄_1-xy - log(1-xy)] dx + ^x2⁄_1-xy dy.

Dire se ω è esatta nel suo dominio e in caso affermativo determinare una primitiva f di ω. Calcolare poi l’integrale curvilineo ∫_γω dove γ il segmento che va da (0,0) a(¹⁄₂, ¹⁄₂).

^∂g⁄_∂y => x( -x + ¹⁄_1-xy) - x² , ^{2x(1-xy) - x2(-x)}⁄_(1-xy)²

^∂f⁄_∂y = [^x2⁄_1-xy

= ∫ [^g⁄_1-xy)

= ln|y^x-1| ⁄ _y

-x ln(1-yx) + l

= ln(1-xy)| ⁄ _y

= py

(3) Calcolare il seguente integrale doppio:

∬∬_D x √(x² + y²) dxdy

dove

D = { (x,y) ∈ R² : x² + y² ≤ 1, x² + y² ≤ 2y, x ≤ 0}.

∬∬_D [ 0 ≤ p ≤ 1

p≤bccos| => p ≥ sc| ^π⁄₆ ≤ θ ≤ ^π⁄₆

π]∬∬_0≤p≤1

∫∫ 4π

xs | ^π⁄₆ ≥ ≤ [π | ≤ 1

1 π | ^π⁄₂

= [1| ≤ 1

(1) Studiare il seguente problema di Cauchy

y'' - 4y' + 3y = 3x + 1y(0) = 2/3y'(0) = 1

D = 16 - 12 = 4 x₁ = 2, x₂ = 3/2y_g = e^2x(a + bx)

y_p = (ax + b)

y_p = ax + 5/3

(2) Determinare gli eventuali punti stazionari, specificandone la natura, della seguente funzione:

f(x,y) = x + 1/6 x⁶ + y⁴ - y².

1 + x⁵ = 04y³ - 2y = 0

x = -1y = +/- 1/√2

y = +/- 1/√2

• P₁ = (1, 0), P₂ = (1, 1/√2), P₃ = (1, -1/√2)

• H_P1 = [-2 -> Punto sella P₁]
• H_P2 = 4 -> min
• H_P3 = 4 -> min

(3) Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F(x, y) = (ye^x − e^y, e^x − xe^y)

lungo la curva di equazioni parametriche γ(t) = (2t, t⁵), con t ∈ [0,1], percorsa nel verso delle t crescenti.

P1 = ∫_γ ye^-x × e^t f_y

e^x × e^x = e^y/×x

e^xf_y

f_y e

x = 2

∫₀¹ ∫₀^y

x = 2

y_t =1

f = ∫_{[e^-x - xe^(0,1)]}^2,1

(4) Calcolare il seguente integrale doppio

∬_D e√^x2+y2 dxdy,

dove D = {(x, y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1}.

0,0.5,1,0.0=1

0 ≤ ^e d

∫₀⁰∫₀^e

e^e⊕ 0 ^⊕10 = [e^⊕ - e^e⊕]_!0!^!⊕!

Esercizio 1

Studiare massimi e minimi relativi della seguente funzione (7.5/30):

f(x, y) = e^-x(x + y - 1) - y.

{_{-e^(x+y+1)e + e^-x = 0} => _{-x -y + 2 = 0} => {_{x = 0} => {_{x = 0}

{_{-e^-x = 0} => {_{e^-x = 1} => {_{y = 2}

{_{x -y + 2 = 0} =_{x -y + 2 = 0} => _{x = 0} => _{y = 2}

p_g¹ = 0

Esercizio 2

Calcolare il seguente integrale (7.5/30):

∫∫_D √ ²x / x² + y² dxdy,

dove D = {(x, y) ∈ ℝ²: 1 ≤ x² + y² ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.

1 ≤ ρ ≤ 2

senθ ≥ 0 => 0 ≤ θ ≤ π/2

∫ 1 ≤ √ ≤ x

∫ √²xcosθ = ∫ cos³θ = cos³θ/3 |^π/2₀ = pi²/3

∫ ∫ e^xcos x dx

∫ ∫ 2cos²x = 1