Prove d'esame analisi 2 completamente svolte

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Esame edile 21/06/20

Problema 1

(1) Risolvere il seguente problema di Cauchy: { y'' - 5y' + 4y = 6xe^2x { y(0) = 3 { y'(0) = 3. Δ = 25 - 16 = 9 λ_1,2 = 1. y_c = c₁e^2x + c₂ e^x y = c₁e^2x + c₂e^2x + c₂ e^x (3x + 3/2)e^2x c₁ + c₂ + 9 = 3 y_p = (4c₁ + 4c₂x + 4ce^2x)e^x { -2a - 6 a = 3 (b - 3/2) (b - 3/2)

Problema 2

(2) Determinare i valori di massimo e di minimo assoluto della funzione f(x, y) = -x² + xy + y² nel quadrato Q = [-2, 2] x [-2, 2]. x² + yy² - x + -2 { x = -2 { y = -2 δ₁ : { y = t δ₂ : { x = 2 δ₃ : { y = 2 δ₄ : { x = 2 { - 2 + t tU = Pi₂ (2,-1) P₃(2, 2) β_max 0 min {x = 0 y₀ = (0,0) {P₆(2, 0) P₅(-2, 2) β = 3 {7 + 2 + 1 = 7 4 - 2 + 1 = 3 9 + 2 + 1 - 7 { 4 - 2 + 3 = 7 + 2 + 1 = 7

Problema 3

(3) Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F(x,y) = (e^xcosx, e^xsinx+y) lungo la curva di equazioni parametriche γ(t) = (cost, sint) con t ∈ [0, π/2].

• Dy/dx = e^xcosx = e^xcosx F è conservativo ∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y = y - 0 F_x = ∫ e^xcosx + F_y => e^xsenx + F_y

e^xsenx + y = e^xsenx + y F_y = ∫ y,dy ∫F<γ> = 0 e^x0 a = 0, b = π/2 ∫F<γ> = V_B - V_A => ∫ e^xsenx+ y/2

Problema 4

(4) Calcolare il seguente integrale doppio ∬_D(x + y³) dxdy, dove D = {(x,y) ∈ ℛ² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x, y ≥ 0 }.

∫₀ ^π/2 ∫₁ ² ρcosθ + ρ³senθ => ∫₀ ^π/2 cos θ dθρ + ∫₀ ^π/2 senθdθdθ = ∫₀ ^π/2 e^cosθ dθ ∫₁ ² ρ dρ + ∫₀ ^π/2 sen²dθ ∫₀ ^π/2 ρ³ dρsenθ ∫_π/2 ^1/3 |₁ ^1/2 ∫_sin ⁴ + ∫₃ ^ρ/4 |₁ ²

Esercizio 1

Sia f(x, y) = ^{x3(x2 + y4)}⁄_{x⁴ + y²}, se (x, y) ≠ (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). Verificare che: f è continua in (0, 0); f è derivabile in (0, 0); f non è differenziabile in (0, 0).

• Lim_{(x,y)→(x0,y0)} … lim_h→∞ … 2 lim sono limiti ∀ lim_{(x,y)→(x0,y0)} …

Esercizio 2

Si consideri la seguente forma differenziale lineare ω(x,y) = \(-2\sin(2x + 3y) - \frac{2x}{1 + x^2 + y^2}\) dx+ \(-3\sin(2x + 3y) - \frac{4y}{1 + x^2 + 2y^2 + 5}\) dy. Dire se ω è esatta nel suo dominio e in caso affermativo determinare una primitiva f di ω.

x²+2y² ≠ -11) \(\frac{d}{dy}\frac{P}{dx}\) = -6 \(\cos(2x+3y)\) - \(\frac{2x(1)}{(1+x^2+y^2)^2}\) = -6\(\cos(2x+3y)\) - \(\frac{4y(2x)}{(1+x^2+y^2)^2}\)

2) f_x(x,y) = -2\sin(2x+3y) - \(\frac{2x}{1+x^2+y^2}\) -> ∫\(\cos(2x+3y)\) - \(\ln\|1+x^2+y^2\|\) + f(y) -3\sin(2x+3y) - \(\frac{y}{1 + x^2 + y^2}\) +3 ∫-3\sin(2x+3y)\)     \(\frac{x y}{1+x^2+y^2}\) + f^' f_y = > Primitiva: \(\cos(2x+3y)\) - \(\ln\|1+x^2+y^2\| + g\)

Esercizio 3

Calcolare il seguente integrale doppio I = ∫∫_D x \(\arctan(\sqrt{x^2+y^2})\) dxdy dove D = {(x,y) &in; &Ropf;² : 1 &leq; x² + y² &leq; 4, x &geq; 0, y &geq; 0}.

0 &leq; θ &leq; \(\frac{\pi}{2}\) ∫₀^cosθ θ \(\cos(\theta \ln (\rho)) \ d\rho\) senθ |₀^{\(\frac{\pi}{2}\)} Π| = [|ρ ³/³ \(\theta)\) - \(\frac{\pi}{2}\)/^\(6\)