Propagazione degli errori e teoremi centrali del limite

Teoremi Centrali del Limite

Sono una famiglia di teoremi matematici riguardanti la convergenza di diverse distribuzioni alla gaussiana.

2 Vantaggi:

• Molte distrib. con N elevato tendono alla gaussiana quindi è facile da studiare.
• Una combinazione (la somma o la media) di varie variabili tende alla gaussiana e quindi non ha senso conoscere le distrib. delle singole variabili.

Per N elevato sia la binomiale che la poissoniana tendono alla normale.

La distribuzione di Cauchy-Lorentz non converge alla normale perché la sua varianza e il suo valore di aspettazione sono infiniti.

2 condizioni per i teo centrali del limite:

1. "Debole" = convergono varianza e valore di asp.
2. "Forte" = convergono tutti i momenti

Quanto deve essere elevato N?

Dipende dalla distribuzione, per la binomiale N ≈ 10-20, per la poissoniana N ≈ 5,20.

Consideriamo una variabile casuale che sia la somma di molte variabili casuali e indipendenti:

x = ∑_i=1^N a_iy_i

Ogni variabile y_i seguirà una propria distribuzione con val. di asp. μ_i e varianza σ_i²

che distrib. avrà la variabile X ?

Per il teorema centrale del limite X saràdistribuita normalmente.

La stessa cosa vale per gli errori random chesono dovuti a molti fattori ed è quindi pernoi impossibile descrivere le singole distrib.ma la loro somma (che crea gli errori dimisura) è una distrib. normale.

Enunciato del teorema centrale del limite

La somma (o la media) detta X di un numerosufficientemente elevato di variabiliindipendenti Y è in prima approssimazioneuna gaussiana, indipendentemente dalledistrib. delle singole variabili.

Che significa elevato ?Più le distrib. delle singole variabili Yi sonoasimmetriche o più n deve essere elevatoper tendere alla gaussiana.

Quindi dato che X tende alla normale:

<X> = _i=1^N Σ a_i <Y_i>

σ_X² = _i=1^N Σ a_i² σ_i²

Devono esistere sia le valore di asp che lavarianza associate alle singole variabili.Le singole variabili Y possono avere anchedistrib. diverse fra di loro.

1/N ∑ (x_i - x̄) = 0 perché la sommatoria degli scarti è zero ⟷ si considerano gli scarti degli x_i rispetto al valore della media.

x̄ = f(x̄)

Ora che abbiamo calcolato il valore medio di f inseriamolo nella varianza:

σ_f² ≃ 1/N ∑_i=1^N [ f(x̄) + (df(x)/dx)(x_i - x̄) - f(x̄) ]² =

= 1/N ∑ [ (df(x)/dx)(x_i - x̄) ]² = [ df(x)/dx ]² 1/N ∑ (x_i - x̄)² =

= [ df(x̄)/dx ]² σ_x²

Quindi riassumiamo considerando l'approssimazione lineare:

x̄ ≃ f(x̄)

σ_f ≃ | df(x̄)/dx | σ_x

Esempi:

f(x) = Ax

σ_f = A σ_x

f(x) = xⁿ

σ_f = n | x̄^n-1 | σ_x

Se f(x) fosse una funzione lineare il risultato precedente non è una approssimazione:

σ_f² = f̄₂ - (x̄)² ⟹ σ_f² = (ax + b)² - (ax + b)² =

= a² x̄² + 2abx̄ + b² - a² x̄² - 2abx̄ - b² =

_df/_dy = -1

⇒ σ_f = √(σ_x² + σ_y²)

4) somma con i coefficienti f = ax + by

_df/_dx = a

_df/_dy = b

⇒ σ_f = √(a²σ_x² + b²σ_y²)

5) prodotto f = xy

_df/_dx = y

_df/_dy = x

⇒ σ_f = √(y²σ_x² + x²σ_y²)

oppure per una versione + comoda:

dividiamo σ_f per x²y² :

σ_f²/_x²y² = y²σ_x² / x²y² + x²σ_y² / x²y² = σ_x²/x² + σ_y²/y²

⇒ σ_f/f = √(σ_x²/x² + σ_y²/y²)

rapporto tra l’errore assoluto e la misura

che esprime proprio l’incertezza relativa

come somma quadratica delle incertezze relative su x e y