Progetto Maple

Progetto Maple: analisi di un sistema lineare stazionario

Risposta al gradino

Si consideri un sistema lineare e stazionario a tempo continuo descritto dalla seguente risposta al gradino:
\(2t + 4e^{-t} + K \sin(2t) + \text{Heaviside}(t)\). La funzione di trasferimento del sistema ed i suoi poli e zeri sono da determinare.

Calcolo della funzione di trasferimento

Carico il tool che mi mette a disposizione gli strumenti per lavorare nel dominio della trasformata di Laplace:

with inttrans:

La funzione di trasferimento è una funzione a variabile complessa che rappresenta il comportamento del sistema mettendo in relazione il suo ingresso con la sua uscita. La funzione 'u' rappresenta l'ingresso del sistema, mentre la funzione 'y' rappresenta l'uscita. Abbiamo come ingresso un gradino, quindi ribattezzo 'u' la funzione:

\(u(t) = \text{Heaviside}(t)\)

Siano U e Y le trasformate di Laplace di u ed y:

• U(s) = laplace(u(t), t, s) : \(U(s) = \frac{1}{s}\)
• Y(s) = laplace(y(t), t, s) : \(Y(s) = \frac{4}{s^2 + 2s + 1}\)

Per ricavare la funzione di trasferimento utilizziamo la relazione ingresso-uscita nella trasformata di Laplace: \(Y(s) = G(s) \cdot U(s)\).

G(s) è caratterizzata da due polinomi:

• Polinomio degli zeri (polinomio al numeratore)
• Polinomio dei poli (polinomio al denominatore, chiamato anche polinomio caratteristico)

G(s) = \(\frac{4}{s^2 + 2s + 1}\)

In questo caso non abbiamo zeri, quindi vado a calcolare i poli. I poli della funzione di trasferimento si ottengono ponendo uguale a zero il denominatore della funzione di trasferimento:

\(poli = solve(denom(G(s)), s) = -1, -1, \pm i\)

Il sistema quindi presenta un polo reale coincidente in -1, ed una coppia di poli complessi coniugati dovuti al termine trinomio, dunque il sistema considerato è BIBO stabile.

I modi di evoluzione libera del sistema

I modi di evoluzione libera di un sistema sono il contributo che il sistema fornisce alla risposta. Il numero dei modi corrisponde al grado del denominatore di G(s) (in questo caso sono 3), per ottenerli bisogna calcolare l'antitrasformata della funzione di trasferimento:

g(t) = invlaplace(G(s), s, t)

Espandendo, otteniamo:

\(tK Kt = 2 2K4 e^{-t} + 4 e^{-t} \cos(2t) + \sin(2t)e^{-t}\)

I modi sono:

• Per il polo reale con molteplicità 1: detto modo esponenziale
• Per i poli complessi e coniugati: detti modi pseudo-oscillatori

La risposta all’impulso del sistema

La risposta d’impulso al sistema viene calcolata attraverso l’antitrasformata della funzione di trasferimento, perché il segnale di ingresso è l'impulso di Dirac la cui trasformata di Laplace è pari ad 1, di conseguenza avremo che G(s) = Y(s).

y(t) = invlaplace(G(s), s, t)

\(timpulso = tK Kt = 2K4 e^{-t} + e^{-t} \cos(2t) + \sin(2t)\)

Il grafico della risposta al gradino

La risposta al gradino è quella particolare risposta forzata che ha come ingresso un segnale gradino, come da traccia senza passare nel dominio della trasformata di Laplace posso andarla a rappresentare, dato che il sistema è BIBO stabile posso andare a trovare il suo valore di regime:

\(y = \frac{4}{17}\)

Plot: y(t), y(s), t = 0 .. 9, gridlines = true, legend = "Risposta al gradino", "Gradino"

A transitorio esaurito vediamo che la risposta va a coincidere con il valore di regime.

La risposta alla rampa

La funzione di ingresso che andiamo a considerare è la rampa che nel dominio del tempo può essere definita come la quadratura della risposta al gradino:

\(t = ty(t) = y(t) dt\) rampa

\(subs(\text{Heaviside}(t) = 1, y(t))\)

\(tK Kt = 2 2 tK = 16 e^{-t} \cos(2t) + 4 \sin(2t)e^{-t} + 8\)

Un modo alternativo sarebbe...