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ARMA ARMA ARMAt invlaplace Y s , s, t = 4 invlaplace U s , s, tC17 ARMA ARMACon alcune sostituzioni otterrò:3 ''' 2 ''subs invlaplace Y s s , s, t = y t , invlaplace Y s s , s, t = y t ,ARMA ARMA ARMA ARMA'invlaplace Y s s, s, t = y t , invlaplace Y s , s, t = y t , invlaplace U s , s,ARMA ARMA ARMA ARMA ARMA(15)t = u t ,ARMA3 24 D y t D y t D y t y t = 4 u t (16)C8 C21 C17ARMA ARMA ARMA ARMA ARMA7. tenendo conto del modello determinato al punto precedentevalutare la risposta all’ingresso:u(t) = 1(-t) + t 1(t)Per la proprietà della linearità è possibile calcolare la risposta all'ingresso, facendo lasomma della risposta 1(-t) che chiamo u e della risposta t*1(t) che chiamo ug ru t Heaviside t :d Kgu t t$Heaviside t :drRicordiamo che in un sistema lineare e stazionario descritto dal modello i-u è possibilecalcolare la risposta ad un ingresso sommando l'uscita forzata all'uscita liberaY s = Y s sCYf
Questo risultato è un'applicazione del principio di sovvrapposizione degli effetti. Per calcolare l'uscita facciamo due esperimenti:
- Porre le condizioni iniziali diverse da zero, e tenere l'ingresso uguale a zero per avere la risposta libera.
- Per ottenere la risposta forzata teniamo a zero le condizioni iniziali, e considerare l'ingresso diverso da zero.
Supponiamo che il segnale in ingresso 1(-t) sia stato applicato nel passato remoto, questo fa sì che all'istante di tempo 0 la risposta forzata non dia più nessun contributo, quindi abbiamo solo il contributo della risposta libera.
laplace (16), t, s3 2 24 s laplace y t , t, s D y 0 s D y 0 s y 0 (17)K4 K4 K4ARMA ARMA ARMA ARMA2s laplace y t , t, s D y 0 s y 0 s laplace y t ,C8 K8 K8 C21ARMA ARMA ARMA ARMAt, s y 0 laplace y t , t, s = 4 laplace u t , t, sK21 C17ARMA ARMA ARMAsubs laplace y t , t, s = Y s , laplace u t , t, s = U s , (17)ARMA g ARMA g3 2 2 24 s Y s D y 0 s D y 0 s y 0 s Y s
(18)K4 K4 K4 C8g ARMA ARMA ARMA gD y 0 s y 0 s Y s y 0 Y s = 4 U sK8 K8 C21 K21 C17ARMA ARMA g ARMA g gGuadagno statico del sistema:4y eval G s , s = 0 =dGneg 17Per calcolare la risposta libera è necessario sostituire l'uscita con il guadagno staticoy appena trovato, azzerare l'ingresso e le derivate delle condizioni iniziali:Gneg 2eval (18), y 0 = y , D y 0 = 0, D y 0 = 0, U s = 0ARMA neg ARMA ARMA g284 16 s 32 s3 24 s Y s s Y s s Y s Y s = 0 (19)K K C8 K C21 C17g g g g17 17 17solve (19), Y sg 24 4 s sC8 C21 (20)3 217 4 s s sC8 C21 C17y invlaplace (20), s, tdl tK 2 tK2 sin 2 t e 4 ey (21)d Cl 17 17Uscita totale per quel che riguarda il segnale 1(-t) :y t 0%Gnegy :dt y t 0Olplot y t , t =K10 ..10t 0.200.150.100.05010 5 5 10K K tPer quel che riguarda la risposta di u t visto che si tratta di un ingresso noto comerrampa, che abbiamo già calcolato, possiamo andare a rappresentare graficamente larisposta all'ingresso dato :subs Heaviside t = 1 , y trampat tK
K2 + 2tK16 + ecos(2t) + 4sin(2t) + 844e4t (22)C K C C289 289 289 17 17y(t) = 0%C0Gnegy(t) / :dtot y(t) t t t 0OCyl rampaplot y(t), t = K10 ..10, legend = "Risposta all'ingresso"tot 2.01.81.61.41.21.00.80.60.410 5 0 5 10K K tRisposta all'ingressoProgetto maple punto bCostruire il Diagramma di Bode per la seguente funzione di trasferimento3$s C1G(s) / :d 12s$ s K $s C14Il diagramma di Bode è una rappresentazione grafica della risposta in frequenza di una funzione di trasferimento G(s). Tale rappresentazione grafica viene separata dal modulo di |G(jω)| e della sua fase :G(jω). Carico il tool che mette a disposizione gli strumenti per lavorare nel dominio della trasformata di Laplace: with inttrans : determiniamo zeri e poli della f.d.tzeriG solve numer G(s) = 0, sd 1zeriG (1)dK 3La funzione presenta uno zero a fase minima (semipiano sinistro)poliG solve denom G(s) = 0, sd 1 3 I 7 1 3 I 7poliG 0, , (2)d C K8 8 8 8Il sistema non è BIBO stabile, abbiamo un polonell'origine e due poli complessi e coniugati (dovuti alla presenza del termine trinomio), che si trovano nel semipiano destro, e sono detti poli instabili.
Il trinomio non scomponibile s può essere riscritto come s2 + K1s + K2 (perché abbiamo la parte reale dei poli complessi e coniugati nel semipiano destro) di cui determiniamo la pulsazione naturale e smorzamento.
La pulsazione naturale è data da:
wn = sqrt(K2)
Lo smorzamento è dato da:
d = K1 / (2 * sqrt(K2))
Notiamo che il valore dello smorzamento è inferiore al valore critico rispetto al quale si verifica il fenomeno di risonanza.
Per cui determiniamo anche la pulsazione di risonanza:
wr = sqrt(1 - d2)
Calcoliamo anche il valore del picco di risonanza del termine trinomio:
M = 2 * d * sqrt(K2)
Valutiamolo ora il picco di risonanza in decibel:
20 * log10(M)
<p>= 12.17908267</p>
<p>Abbiamo bisogno di altre informazioni per ricavarci i due diagrammi:</p>
<p>Il numero di poli nell'origine: <em>m numboccur poliG , 0d m 1 (6)d</em></p>
<p>La pulsazione di rottura dello zero: <em>W zeriGd 1W (7)d 3</em></p>
<p>Il Guadagno di Bode: <em>mK lim s sd $Gb s/0 K 1 (8)db</em></p>
<p>Carico il tool che mi permette di rappresentare graficamente il modulo e la fase: <em>with plots</em></p>
<p>Ora definisco le due funzioni modulo per tracciare il diagramma approssimato, è quello che consente di considerare il contributo del termine trinomio: <em>w w0 ! tw wF , :d / wmodulo t 20$log10 otherwisewt 22 2w 2$d$ww, w dF , 1 :d /20$log10 K Cmodulotri n w wn n</em></p>
<p>Utilizziamo le due funzioni in base alle informazioni poco prima ricavate: <em>w w, W w w, wmoduloApp K 20$m$log10 :d /20$log10 CF K K2 $Fb modulo modulo nw w, W w w, w dmoduloApptri K 20$m$log10 , :d /20$log10 CF K KFb modulo modulotri n</em></p>
<p>Tracciamo il diagramma dei moduli effettivo, quello approssimato considerando una coppia di poli reali coincidenti, e quello con il contributo del termine</p>trinomio:w w wsemilogplot 20$log10 G I$w , moduloApp , moduloApptri , = 0.01 ..100, gridlines,legend= "Diagramma dei moduli reale"iagramma dei moduli approssimato con i poli reali concidenti","Diagramma dei moduli approssimato con il termine trinomio"Diagramma dei moduli realeDiagramma dei moduli approssimato con i poli reali concidentiDiagramma dei moduli approssimato con il termine trinomio40200 0.1 1 10 100w20K40K60K
Per il diagramma dei modulo dividiamo le pulsazioni in due regioni: una di bassafrequenza ed una di alta frequenza,la prima la determino considerando la pulsazione dirottura più bassa considerando zeri e poli, quella di alta frequenza prendiamo lapulsazione di rottura più alta.Non sono presenti slittamenti per quel che riguarda il diagramma, perchè il guadagno dibode è pari a 1.vediamo le pendenze asintotiche:in bassa frequenza abbiamo -20dB/dec a causa del polo nell'originein alta frequenza si ottiene attraverso
La somma algebrica dei diversi elementi dinamici (gli zeri che tendono ad amplificare, poli che tendono di attenuare), 20*(1 zero - 1 polo nell'origine - 2 poli) = -40dB/dec. Ora definisco le due funzioni fase per tracciare il diagramma approssimato, è quello che ci consente di considerare il contributo del termine trinomio: w0 1!wt10wp ww wF, :d t/ w wlog10 10% !$fase t t4 10wt10p otherwise2 2w 2$I$d$ww, w dF, 1 :d /arg K Cfasetri n w wn n. Come fatto per i moduli costruiamo in base alle informazioni ricavate prima: m$pw w, W w, wfaseapp arg K zeriG :d / Csignum K $F K C2$Fb fase fase n2 m$pw w, W w, w dfaseapptri arg K zeriG , :d / Csignum K $F K CFb fase fasetri n2 m$pI$ww w, w dfasereale arg K zeriG 1 F , :d / Csignum K $arg C K Cb fasetri n2W. Tracciamo il diagramma delle fasi effettivo, quello approssimato considerando una coppia di poli reali coincidenti, e quello con il contributo del termine trinomio: p p3 5w w w wsemilogplot fasereale , faseapp , faseapptri , = 0.01 ..100,K .. ,
gridlines,4 454 pp34p2p40 0.1 1 10 100p wK 4pK 2p3K 4
Per il diagramma delle fasi consideriamo tre regioni bassa, media e alta frequanza, per determinare la partenza delle fasi in bassa frequenza consideriamo solo il polo nell'origine che da contributo pari a -90 gradi, (il guadagno di bode dato che è positivo non da nessun contributo).
In alta frequenza, abbiamo uno zero a fase minima, un polo nell'origine ed una coppia di poli complessi e coniugati instabili. Tutte queste componenti portano in anticipo il diagramma delle fasi fino a farlo arrivare a 180 gradi.
Utilizzo questo tool per verificare la corretta rappresentazione dei diagramma di
bode: with DynamicSystems : 3 s 1$ CBodePlot TransferFunction 12s s s 1$ K $ C4403020100[dB] 0.02 0.04 0.1 0.2 0.6 1 2 4 6 10 20 40 60 100Freq
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