Progetto fondazione ponte

›U ›U ›U

g g gd J J ;

gd gd

$ $ $g •

T T

q

@=8 ⇒ = 0 → ˆ′′ = 0 ; S = →− C ˆ = → ˆ =−

=== === œT

dg dg dg dJ J J dJ ;

dg dg g •

T T

Si calcolano le derivate prima, seconda, terza dell’equazione della deformata e poi si valutano in x=0

in x=L, andando così a determinare un sistema di 4 equazioni in 4 incognite.

• Derivata prima:

X•Y Xž X‡ž

‘ = −‡• Ÿ ¡ ‡• + ž £¤Ÿ ‡•Y + • £¤Ÿ ‡• − ‡ž Ÿ ¡ ‡•Y +

= V‡• V‡•

z ¢ z ¢

Xž X‡ž

‡• Ÿ ¡ ‡• + ž £¤Ÿ ‡•Y + • £¤Ÿ ‡• − ‡ž Ÿ ¡ ‡•Y

‡• ‡•

¥ ¦ ¥ ¦

• Derivata seconda:

X@Y X‹ X−

ˆ = • s sin •@ + ‹ cos •@Y − •s •‹ cos •@ − •‹ sin •@Y −

== $ VŠZ VŠZ

$ $

X•‹ X−

cos •@ − •‹ sin •@Y + s ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y +

− •s •

VŠZ VŠZ $ $

$ $

X‹ X•‹

+ • s sin •@ + ‹ cos •@Y + •s cos •@ − •‹ sin •@Y +

$ ŠZ ŠZ

! !

X•‹ X−

cos •@ − •‹ sin •@Y + s • ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y

+ •s ŠZ ŠZ $ $

! !

da cui:

X•Y Xž Xž

‘ • £¤Ÿ ‡• − ž Ÿ ¡ ‡•Y + ¢‡ • £¤Ÿ ‡• − ž Ÿ ¡ ‡•Y

= −¢‡

== ¢ V‡• ¢ ‡•

z ¢ ¥ ¦

• Derivata terza: X‹ X•‹

ˆ X@Y = −• s sin •@ + ‹ cos •@Y + • s cos •@ − •‹ sin •@Y

=== ! VŠZ $ VŠZ

$ $

X•‹ X−

s cos •@ − •‹ sin •@Y − •s • ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y

+ +• $ VŠZ VŠZ $ $

$ $

X•‹ X−

+ • s cos •@ − •‹ sin •@Y − •s ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y

•

$ VŠZ VŠZ $ $

$ $

X−• X−

− •s ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y + s • ‹ cos •@ + • ‹ sin •@Y

VŠZ $ $ VŠZ ! !

$ $

X‹ X•‹

+ • s sin •@ + ‹ cos •@Y + • s cos •@ − •‹ sin •@Y

! ŠZ $ ŠZ

! !

X•‹ X−

+ • s cos •@ − •‹ sin •@Y + •s • ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y

$ ŠZ ŠZ $ $

! !

X•‹ X−

+ • s cos •@ − •‹ sin •@Y + •s • ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y

$ ŠZ ŠZ $ $

! !

X−• X−

+ •s ‹ sin •@ − • ‹ cos •@Y + s • ‹ cos •@ + • ‹ sin •@Y

ŠZ $ $ ŠZ ! !

! !

Da cui: Xž Xž

‘ X•Y = ¢‡ • £¤Ÿ ‡• − ž Ÿ ¡ ‡•Y + ¢‡ • Ÿ ¡ ‡• + ž £¤Ÿ ‡•Y

=== ¥ V‡• ¥ V‡•

z ¢ z ¢

Xž Xž

+ ¢‡ • £¤Ÿ ‡• − ž Ÿ ¡ ‡•Y − ¢‡ • Ÿ ¡ ‡• + ž £¤Ÿ ‡•Y

¥ ‡• ¥ ‡•

¥ ¦ ¥ ¦

19

6) DETERMINAZIONE DELLE COSTANTI DI INTEGRAZIONE

Applicando le condizioni al contorno scritte sopra scrivo il sistema risolutivo di 4 equazioni in 4

incognite:

X0Y

ˆ = −•‹ + •‹ + •‹ + •‹ = 0

= $ ! q

X0Y = 2•

ˆ ‹ + 2• ‹ + 2• ‹ − 2• ‹ =

=== ! ! ! ! ›U

$ ! $g •

T T

X8Y X‹ X‹

ˆ s cos •8 − ‹ sin •8Y + 2• s cos •8 − ‹ sin •8Y = 0

= −2•

== $ VŠO $ ŠO

$ !

X8Y X‹ X‹

ˆ = 2• s cos •8 − ‹ sin •8Y + 2• s sin •8 + ‹ cos •8Y +

=== ! VŠO ! VŠO

$ $ q

X‹ X‹

2• s cos •8 − ‹ sin •8Y − 2• s sin •8 + ‹ cos •8Y = −

! ŠO ! ŠO œT

! ! g •

T T

Non resta che sostituire con i seguenti valori noti:

,!

= 11000 = 32066,89 22 $

C = <9 = 11.100 22 ∗ X500 22Y = 1,15625 ∗ 10 22

! !

J $ $

€

•=` = 3,7204 ∗ 10

‚ V

g •

) T

8 = 13 1 + = 15 2

$

• ∗ 8 = 5,580715078

! +

= 8+ ? = 385,394 kN

dJ Azione di taglio DC

R

+

= 2∗4 8+ ?5 = 0

1364,648

gI Azione di taglio EB

R

q −10

= 1,84027 ∗ 10

›U

$g •

T T

q

− −10

= −1,03943 ∗ 10

œT

g •

T T

Si risolve il sistema tramite foglio elettronico (sistema da 4 equazioni in 4 incognite):

‹ − ‹ + ‹ + ‹ = 0

$ !

1,03 ‹ + 1,03 ‹ + 1,03 ‹ − 1,03 ‹ = −

V V V V −10

1,84027 ∗ 10

$ !

−7,97 ‹ − 6,74 ‹ + 5,60 ‹ + 4,74 ‹ =0

V V V+ V+

$ !

4,55 ‹ + 5,47 ‹ + 3,85 ‹ − 3,20 ‹ = 1,04

V V ! V V§ V

$ !

Chiamo A la matrice dei coefficienti delle quattro costanti incognite, X il vettore delle incognite stesse

e b il vettore termine noto: è valida la relazione che le lega :

A X = b, da cui ricavo l’inversa -1 b

X = A 20

MATRICE A (coefficienti delle incognite C1,C2,C3,C4)

1,00E+00 -1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00

1,03E-10 1,03E-10 1,03E-10 -1,03E-10

-7,97E-10 -6,74E-10 5,60E-05 4,74E-05

4,55E-14 5,47E-13 3,85E-08 -3,20E-09

0,50 4854553633,55 -1594,98 -23648827,26

-0,50 4854714401,98 19192,46 -27937321,66

0,00 -56657,22 1594,98 23648827,26

0,00 217425,65 19192,46 -27937321,66

VETTORE DEI TERMINI NOTI b

0

-1,84 E-10

0

1,04 E-10

Da cui ottengo il valore delle 4 costanti di integrazione che risolvono l’integrale generale:

COSTANTI DI INTEGRAZIONE X [mm]

C1 -0,8958281

C2 -0,8963035

C3 0,0024686

C4 -0,0029439

Si riportano in seguito i valori relativi alla deformata assunta dalla trave di fondazione (luce di

sinistra), al taglio e al momento flettente nel rispetto delle condizioni al contorno:

Luce [m[ DEFORMATA[mm] TAGLIO [N] MOMENTO[N mm]

0 13,1925 -682324 -922052328

0,2 13,1973 -631309 -790693557

0,4 13,2106 -580812 -669494113

0,6 13,2311 -531280 -558304376

0,8 13,2576 -483091 -456892426

1 13,2891 -436555 -364957684

1,2 13,3245 -391924 -282143349

1,4 13,3630 -349397 -208047682

1,6 13,4037 -309124 -142234169

1,8 13,4459 -271212 -84240613

21

2 13,4891 -235731 -33587218

2,2 13,5327 -202717 10216292

2,4 13,5761 -172176 47664452

2,6 13,6190 -144092 79250675

2,8 13,6611 -118426 105462647

3 13,7021 -95120 126778448

3,2 13,7417 -74104 143663325

3,4 13,7797 -55294 156567070

3,6 13,8161 -38599 165921937

3,8 13,8506 -23920 172141058

4 13,8833 -11152 175617280

4,2 13,9142 -191 176722399

4,4 13,9431 9074 175806725

4,6 13,9701 16748 173198936

4,8 13,9953 22941 169206190

5 14,0186 27756 164114434

5,2 14,0401 31295 158188887

5,4 14,0600 33659 151674664

5,6 14,0782 34940 144797491

5,8 14,0949 35232 137764504

6 14,1100 34619 130765087

6,2 14,1238 33184 123971730

6,4 14,1362 31006 117540883

6,6 14,1474 28159 111613788

6,8 14,1573 24712 106317261

7 14,1661 20733 101764422

7,2 14,1738 16285 98055337

7,4 14,1805 11430 95277575

7,6 14,1861 6226 93506663

7,8 14,1907 733 92806426

8 14,1943 -4994 93229198

8,2 14,1969 -10897 94815911

8,4 14,1984 -16919 97596042

8,6 14,1990 -23000 101587416

8,8 14,1984 -29079 106795865

9 14,1967 -35093 113214740

9,2 14,1937 -40974 120824272

9,4 14,1894 -46651 129590784

9,6 14,1838 -52046 139465760

9,8 14,1766 -57077 150384769

10 14,1678 -61655 162266259

10,2 14,1573 -65685 175010217

10,4 14,1449 -69063 188496714

10,6 14,1304 -71677 202584344

10,8 14,1137 -73408 217108579

11 14,0948 -74127 231880036

11,2 14,0733 -73696 246682706

11,4 14,0491 -71969 261272146

11,6 14,0221 -68790 275373667

22

11,8 13,9922 -63995 288680553

12 13,9591 -57410 300852336

12,2 13,9228 -48855 311513173

12,4 13,8832 -38142 320250358

12,6 13,8401 -25077 326613029

12,8 13,7934 -9462 330111099

13 13,7432 8904 330214491

13,2 13,6895 30223 326352717

13,4 13,6322 54698 317914878

13,6 13,5715 82525 304250151

13,8 13,5076 113895 284668835

14 13,4405 148988 258444041

14,2 13,3707 187972 224814109

14,4 13,2985 230995 182985841

14,6 13,2243 278180 132138636

14,8 13,1487 329626 71429641

15 13,0723 385394 0

Si è evidenziato in rosso i valori da usare per la verifica a cedimento differenziale massimo; si è

evidenziato in grigio i valori massimi di taglio e momento utili alle verifiche successive.

N N N

AF EB DC

F F

P lama d'acqua + P platea D

E

F x

FONDAZIONE k=cost

Vinkler

y(x)

23

7) STESURA DEI DIAGRAMMI Y(X), M(X), V(X), N(X)

Per la stesura dei grafici si rappresenterà la parte destra della trave di fondazione come da sistema di

riferimento della pagina precedente. I risultati saranno analoghi solo che specchiati rispetto all’asse

delle y nella parte sinistra della fondazione. Si considera come profondità di studio delle azioni interne

un pezzo di trave profondo b = 1,00m.

Per tracciare ora i grafici relativi a deformata, a taglio e a momento flettente della trave di fondazione

mi avvalgo delle relazioni note: le due sollecitazioni in particolare dipendono dai valori assunti dalla