Progetto fondazione ponte

Tecnica delle costruzioni

Dimensionamento e verifica della platea di fondazione in C.A. sorreggente le spalle ed un setto-pilastro di un sovrappasso stradale a due luci

(Trave elastica su suolo elastico incoerente)

Student: Ferrari Daniele → 18

Valore parametri – terza lettera del cognome: → 14

Valore parametri – terza lettera del nome: 2

Indice

Descrizione compito

Dati

• Stesura dei diagrammi M, V, N dell’impalcato del sovrappasso.
• Valutazione delle azioni trasmesse dall’impalcato a ciascuna delle spalle ed al setto pilastro, e per loro tramite alla platea di fondazione.
• Nell’ipotesi che la trave di fondazione sia rigida, valutare la larghezza b (≥b’) assumendo come spessore della stessa pari a t.
• Valutare la lunghezza d’onda della platea di fondazione considerata come trave su suolo elastico incoerente, e spiegazione del concetto di trave lunga e di trave corta.
• Determinazione dell’integrale generale dell’equazione della linea elastica della platea di fondazione, spiegazione del significato fisico dell’integrale generale e scrittura delle relative condizioni al contorno.
• Determinazione delle costanti di integrazione.
• Stesura dei diagrammi y(x), M(x), V(x), N(x) e della pressione di contatto trave fondazione-suolo (x).
• Controllo che la pressione di contatto non superi la pressione ammissibile assegnata p_all.
• Valutazione del cedimento differenziale massimo e controllo che esso non superi 1/500 Δy_max della lunghezza L.
• Calcolo delle tensioni σ e τ nelle sezioni più sollecitate della platea di fondazione, e controllo che le tensioni principali σ₁ (trazione) e σ₂ (compressione) non superino i valori ammissibili σ_c* e σ_t*, nell’ipotesi che la platea sia in calcestruzzo non armato, al fine di riconoscere se sia necessaria o meno l’armatura in zona tesa.
• Considerazioni conclusive.

Descrizione compito

È assegnato un sovrappasso stradale a due luci di lunghezza totale 2L, larghezza b’, il cui impalcato è da ritenere precompresso ed equivalente – in termini volumetrici – ad una lastra di spessore t’, larghezza b’, lunghezza 2L.

L’impalcato è appoggiato lungo i lati corti a due spalle ed in mezzeria è continuo su un setto-pilastro. Spalle e setto-pilastro hanno altezza h. Sotto il sovrappasso scorre una lama d’acqua di spessore h’.

I carichi gravanti sulla struttura in esame sono di tre tipologie differenti:

• Peso proprio dell’impalcato p_p, dovuto appunto al peso della parte strutturale;
• Due carichi F da ritenere concentrati nelle mezzerie delle due luci, rappresentanti ciascuno 3 assi di mezzo stradale;
• Peso della lama d’acqua, p_w, agente sia sulla fondazione verticalmente che sulle spalle e sul setto-pilastro con spinta orizzontale.

Si vogliono analizzare le azioni dei carichi esterni trasmesse tramite impalcato-spalle-setto-pilastro sulla platea di fondazione, in modo da potere valutare lo spostamento, la pressione sul suolo, il momento flettente e l’azione tagliante nella platea di fondazione e di tracciarne i relativi diagrammi; inoltre si devono tracciare i diagrammi delle azioni interne nella lastra stradale del ponte.

In figura è rappresentata la struttura e la situazione di carico da considerare.

F F Pp’ A B C Pw + Pp h DEF kL L Pp’ F F Pw + Pp

Dati

N = 14; C = 18;

Calcestruzzo: specifiche tecniche

= 25 1 + = 33 Resistenza caratteristica cls

= 0,83 = 27,39 Resistenza caratteristica a compressione cls

= +8 = 35,39 Resistenza media a compressione cls

, != 11000 = 32066,89 Modulo elastico cls

$/ != 0,30 = 2,73# Resistenza a trazione diretta cls

= 0,7 = 1,90# # Resistenza caratteristica a trazione cls

(& = = 10,96∗ )* Tensione ammissibile di compressione cls

$, +(& = = 1,27#∗ ),* Tensione ammissibile di trazione cls

, += 0,5-.. Pressione ammissibile del terreno

/ = 2500 01/2 ! Densità cls

/ = 1000 01/2 !3 Densità acqua

67-0 = 0,020 41 + 5 4 5 = 0,0256 /22 Costante di Vinkler

+ da arrotondare ai 5 cm più prossimo in difetto o in eccesso

Dati geometrici

8 = 13 1 + = 15,00 2 Lunghezza singola luce

$28 = 30,00 2 Lunghezza impalcato

9 = 50 :2

9′ = 50 :2

9′′ = 40 :2

9′′′ = 30 :2; ; ; ; Spessori

< = 4,5 2; = Base impalcato

ℎ =5 2 ; Altezza impalcato su fondazione

ℎ = 22= ; Spessore lama d’acqua

? = 80@3 = 240 0 ; Carico concentrato in mezzeria

1) Stesura dei diagrammi M, V, N dell’impalcato del sovrappasso

L’impalcato è costituito da un impalcato continuo AC che poggia su due spalle in A e in C e su un setto-pilastro in B.

Al fine del calcolo delle azioni scambiate tra impalcato e elementi strutturali su cui poggia, posso adottare una semplificazione dello schema statico: data la simmetria geometrica e la simmetria di carico, considero solo una luce di lunghezza L = 15,00 m (non la luce totale dell’impalcato di lunghezza 2L, dato che per simmetria otterrei risultati analoghi); posso fare ciò sapendo che in B la trave non subisce né spostamenti verticali, né orizzontali, né rotazioni, per cui essendo in comune il punto in questione avrò rispettata la congruenza.

Ho ottenuto così due SX e DX simmetrici.

Schemi statici

Schema statico SX – Schema statico DX

F F Pp’ P p’ B B A C

Scelgo di risolvere lo schema statico DX. Si tratta di una struttura iperstatica, avendo posto un appoggio in A e un incastro in B (dal momento che in B ho una maggiore rigidezza flessionale).

Individuo l’incognita iperstatica declassando l’incastro a cerniera in modo da ottenere una struttura isostatica. Applico il metodo delle forze per risolvere il problema iperstatico (chiamo p’ = p, peso proprio impalcato, per una notazione più leggera).

F F Pp’ P p’ B B C C X L X = Incognita iperstatica

88 8 ?8 8 3?8! ! $A+ =0 B D∗A+E F+E F=0 A=− −3 C 24 C 16 C 8 16

Ora calcolo le reazioni vincolari in B in C:

?8 8$H =0 A+ − 8 + =0 I J2 2 F3 5K :L M = 8+ ? pJ 8 16

?8 8$H =0 −A− + 8 − =0 J I2 2 B CX5 11K :L M = 8+ ? R R I 8 16 B C

Calcolo le azioni interne con il metodo delle forze. Negli estremi B,C valgono per cui:

PNO !QO = =0 =A =− −I J JI IJ R=0 JI 6 V6 NO Q + ! +S = + + = 8+ ? S = S − 8 − ? = − 8− ? T U U T IJ JI IJO $ $ R R Fpp M M V V B B N N X X R R B B xx

Essendoci un carico concentrato F in mezzeria, e dovendo poi calcolare i valori notevoli nel diagramma delle azioni interne, scrivo l’equazione del momento flettente nei due domini di integrazione presenti:

O O 0<@< <@<8 e .$ $ 9O 0 < @ <

Sezione 1

$ PNZX@Y X@Y= + S @ − @=0 =IJ IJ IJ

se$ O +X@Y@= = 8 + ?8$$ R !$SX@Y = S − @ 0 SX@Y = SIJ IJ

se x= O@= SX@Y = 8+ ?$ RO <@<8

Sezione 2

$ PNZ O O +X@Y X@Y= + S @ − − ? 4@ − 5 @= = 8 + ?8$IJ IJ

se$ $ $ R !$X@Y@=8 = JIO +SX@Y = S − @ − ? @= SX@Y = 8− ?IJ

se $ R@ = 8 SX@Y = SJI

Non potendo correlare con rapporti letterali p e F si rende necessario, per la stesura dei grafici di taglio e momento (azione assiale nulla su tutta la luce), sostituire i valori letterali delle formule precedenti direttamente con valori numerici presenti nei dati:

/ = 2500 01/2 !

1 = 9,81 2/[

$< = 4,5 2

=9 = 50 :2

? = 80@3 = 240 0

= = / ∗ 1 ∗ 9 ∗ < = 55,185 0 /2

= =N8 = 13 1 + = 15,00 2$

Da cui sostituendo nelle formule:

= −2.226,97 0 2IJ

= 0 0 2JI

= 682,32 0SIJ

S = −385,39 0JI

Sotto si riporta il grafico del taglio relativo alla luce L = 15,00 m, schema statico DX:

Taglio [kN]

800,00 600,00 400,00 200,00 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10 11 12 13 14 15 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 (200,00) (400,00) (600,00)

Ho ottenuto un grafico conforme a quanto mi aspettavo: è presente una discontinuità nel grafico dovuto al carico concentrato F in mezzeria della luce.

La stessa cosa si effettua per il momento flettente:

Di sotto si riporta il grafico del momento flettente relativo alla luce L = 15 m, schema statico DX, riportando convenzionalmente le fibre tese al di sotto dell’asse x.

Momento [kNm]

-2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -500 10 0,5 11,5 12,5 13,5 14,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 500 1.000 1.500 2.000

Ho ottenuto un grafico conforme a quanto mi aspettavo: momento flettente nullo all’appoggio e momento non nullo all’incastro.

Ora si calcolano le ascisse delle sezioni caratterizzate da momento flettente massimo e nullo:

• Momento nullo (nel primo tratto di trave e all’appoggio x = L = 15,00 m):

@ @$ $X@Y = + S @ − = 0; − S @ − = 0; IJ IJ IJ IJ2 2

aPV^ ±`^ V 6UT UTUT@ = = 3,87 2Pb

Vedi grafico;

• Momento massimo (si trova nel secondo tratto di trave):

S − ?IJSX@Y = S − @ − ? = 0; @ = = 8,02 2IJ

Vedi grafico.

Si noti che data la mancanza di carichi orizzontali, l’impalcato non risulta assialmente sollecitato.

Per simmetria ho per cui risolto anche la parte SX dell’impalcato, che ha appunto incastro in B e appoggio in A.

Devo semplicemente sostituire negli indici delle formule precedenti l’indice A con l’indice C.

2) Valutazione delle azioni trasmesse dall’impalcato a ciascuna