Progetto di una poltrona - Meccanica delle Vibrazioni

∂E ∂E ∂D ∂V

d

c c

− + + = Q α

dt ∂ α̇ ∂α ∂ α̇ ∂α

1 ∂J (α) ∂c 1 ∂c L ∂β

2

eq 3

2

J (α) α̈ + α̇ + r α̇ + k ∆θ + m g cos β = C(t)

eq 1 T T 3

2 ∂α ∂α R ∂α 2 ∂α

T

2.5 Equazione del moto linearizzata

L’equazione del moto si rende lineare facendo in modo che le forme di

energia, che poi andranno derivate, siano quadratiche.

Per l’energia cinetica e la funzione dissipativa questa operazione è semplice,

infatti: 1 2

≈ J (α ) α̇

E E = eq 0

c c 0 2

1 2

≈

D D = R (α ) α̇

eq 0

0 2

poichè se si considerassero anche i termini di primo grado dello sviluppo

in serie le forme di energia cesserebbero di essere quadratiche.

d ∂E ∂E

c c

⇒ − = J (α ) α̈

eq 0

dt ∂ α̇ ∂α

∂D = R (α ) α̇

eq 0

∂ α̇

Per l’energia potenziale invece lo sviluppo arriva fino al secondo ordine

quindi va calcolata la derivata seconda del potenziale:

∂V ∂∆θ ∂h

T G3

= k ∆θ + m g

T T 3

∂α ∂α ∂α

2 2 2

∂ h

∂ V ∂ ∆θ ∂∆θ 2

T T G3

⇒ = k ∆θ + k +m g =

T T T 3

2 2 2

∂α ∂α ∂α ∂α

2 2

1 ∂ c ∂c L ∂β

1 ∂ β

2 2

h i

−

= k ∆θ + k +m g cos β sin β

T T T 3

2 2

R ∂α R ∂α 2 ∂α ∂α

T T

14

2 2 2

∂ V ∂ ∆θ ∂∆θ ∂ h

2

T T G3

= k ∆θ + k +m g

T T 0 T 3

2 2 2

∂α ∂α ∂α ∂α

0 0 0 0

2

1 ∂ V

∂V 2

−

≈ −

(α α ) +

V V + (α α )

0 0

0 2

∂α 2 ∂α

0 0

dove nella linearizzazione il primo termine è una costante e quindi non

rientra nell’equazione di moto, il secondo lo si calcola proprio in α = α e

0

quindi è nullo per definizione di equilibrio statico, infine la derivata seconda

del potenziale è stata appena calcolata. −

Per comodità si definisce la perturbazione ᾱ = α α :

0

2

∂ V

∂V

⇒ = ᾱ

2

∂α ∂α ᾱ=0

Infine, siccome tutte le forze costanti sono state riportate nel potenziale,

vale: ≈

Q Q (α ) = C(t)

α α 0

che già era lineare.

˙ ¨

≡ ≡

Sapendo che ᾱ α̇ e ᾱ α̈ l’equazione di moto linearizzata riferita alla

perturbazione diventa: 2

∂ V

¨ ˙ ᾱ = Q (α ) (11)

J (α ) ᾱ + R (α ) ᾱ + α 0

eq 0 eq 0 2

∂α 0

15

2.6 Analisi della risposta del sistema

La frequenza propria e il fattore di smorzamento del sistema linearizzato

sono: '

f 4.81 Hz

'

h 3.212 %

Invece la forzante ha la seguente forma:

C(t) = C cos (Ωt + ψ)

0

Nelle simulazioni seguenti vengono fatti variare C , Ω, ψ e il vettore delle

0

◦

condizioni iniziali Si ricorda che α = 30 .

x0. 0

80 200

non lineare

70 linearizzato 150

α(0) = α0 + pi/4 α(0) = α0 + 3*pi/4

60

50

[deg] [deg] 100

40

disco disco

30 50

del del

20

rotazione rotazione 0

10

0 -50 non lineare

-10 linearizzato

-20 -100

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

tempo [s] tempo [s]

Figura 2: Moto libero, α̇(0) = 0

Per quanto riguarda l’omogenea, il primo grafico mostra che la risposta del

sistema linearizzato approssima molto bene quella non lineare, nonostante

la distanza dall’equilibrio sia rilevante. Tra le due l’unica differenza è che la

non lineare non mantiene costante la frequenza di oscillazione.

34

Nel secondo grafico invece la perturbazione è di π e il sistema non lineare

trova un altro equilibrio, seguendo inoltre un andamento non sinusoidale. È

evidente che la linearizzata non è più accettabile, ma effettivamente ci si è

allontanati molto dall’intorno dell’equilibrio.

16

80 80

non lineare non lineare

70 70

linearizzato linearizzato

60 60

50 50

[deg] [deg]

40 40

disco disco

30 30

del del

20 20

rotazione rotazione

10 10

f=1 f=3

0 0

-10 -10

ψ=0 ψ=0

-20 -20

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

tempo [s] tempo [s]

80

80 non lineare

non lineare 70

70 linearizzato linearizzato

60

60 50

50 [deg]

[deg] 40

40 disco

disco 30

30

del del 20

20

rotazione rotazione 10

10 f=4.81 f=4.81

0 0

ψ=0

-10 -10 ψ=90°

-20 -20

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

tempo [s] tempo [s]

Figura 3: Moto forzato, Ω = 2πf

I valori tenuti fissi in ogni grafico sono i seguenti:

• C = 70 N m

0 π

• α(0) = α +

0 4

• α̇(0) = 0 17

La forzante introduce varie irregolarità nella risposta e l’andamento è frutto

della somma tra soluzione particolare e omogenea, ma perlomeno nei primi

due grafici la linearizzata segue bene la non lineare.

Imponendo la frequenza della forzante pari alla frequenza propria del

sistema si rilevano ampiezze di oscillazione notevoli anche superato il

transitorio iniziale, che tenderebbero all’infinito se non ci fosse un elemento

dissipativo. In ogni caso è verificato che entrambe le sinusoidi assumono la

frequenza della forzante. ◦

Le oscillazioni a regime hanno un’ampiezza minore di 20 per la non lineare

◦

mentre la linearizzata è attorno ai 30 . Questa discrepanza può essere

causata da alcuni contributi, che nascono quando il sistema non è a

◦

α = 30 , presenti nel sistema non lineare e invece non inclusi nella

linearizzata che ha tutte le componenti calcolate all’equilibrio.

◦

Sfasando di 90 la forzante si vede che le armoniche della particolare si

sommano in modo diverso con quelle dell’omogenea e quindi non si osserva

più un punto di inversione, ovvero un punto in cui è netto il passaggio dal

transitorio a regime. 18

3 Due gradi di libertà ,J ,L

m D

3 3 3

G

3

N r

G 1

m ,J A

1 1 1 B

V

U k

s T

r

k 2 y α

m ,J ,R

2 2 O x

C

L’attuatore impone il moto dell’asta di massa m , della molla di rigidezza k

1

e dello smorzatore di parametro r , pertanto la rotazione α del disco non ha

2

influenza su questi elementi. Allo stesso modo l’attuatore non ha effetto sul

moto del disco di massa m .

2

Invece l’asta AD e il gruppo molla-smorzatore connesso risentono

dell’azione combinata dei due gradi di libertà ed in seguito sarà quindi

necessario procedere con una chiusura vettoriale che comprenda sia α sia s.

19

3.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche

1 T

ẏ [m] ẏ

E = m

c m

2  

· · · · · · · · ·

m 0 0

1

 

V ..

G 1  

0 J .

1

w  

1

  . ..

 

.

 

V . m .

 

G 2

 

2

con ẏ = e [m] =  

. ..

m  

w ..

 

2

  J .

 

2

 

V  

..

G

 

3  

. m 0

w 3

 

3 · · · · · · · · ·

0 0 J

3

1 T

ẏ [r] ẏ

D = s

s

2

˙

∆l r 0

1 1

con ẏ = e [r] =

s ˙ 0 r

∆l 2

2 1 T T

−

V = y [k] y P y

k k P

2

∆θ k 0

T T

con y = , [k] = ,

k ∆l 0 k

   

y m g

P 1

1

y m g

y = e P =

P 2

P    

2

y m g

P 3

3

Come si vede dal vettore P le uniche forze costanti che rientrano nel

potenziale sono i pesi. Pertanto il vettore y , che rappresenta gli

P

spostamenti dei punti di applicazione delle forze costanti nella direzione

della forza, non sarà altro che l’abbassamento dei baricentri.

20

Infine: T

~

~ ·

δL = F(t) δS F

" #

~ ~

δθ C(t)

~ ~

C

con δS = e F(t) =

F ~ ~

N (t)

δS N

Si definiscono i seguenti vettori contenenti le coordinate libere per

procedere con l’approccio matriciale:

α α δα α̇ α̈

0

x = , x = , δx = , ẋ = , ẍ =

0

s s δs ṡ s̈

0

Nella prossima sezione si valutano i legami cinematici con i due gradi di

libertà α e s, linearizzandoli però direttamente nell’intorno della posizione

di equilibrio: ◦

30

x = x =

0 0.8

dove s = 0.8 m è la lunghezza dell’attuatore all’equilibrio.

0

Per E , D e Q si è già visto nella sezione ad un grado di libertà che la

c

linearizzazione è semplice: ≈

E E

c c 0

≈

D D 0

≈

Q Q 0

Per quanto riguarda il potenziale, invece, per trovare una forma quadratica

lo sviluppo in serie deve arrivare al secondo ordine.

Nei casi in cui i legami cinematici fossero lineari si potrebbe direttamente

linearizzare anche il potenziale infatti rimmarrebbe solo [K ], ma purtroppo

I

non è questo il caso. 1 ∂ ∂V

∂V T

h i

T

− − −

≈ | (x x ) + (x x ) (x x ) (12)

V V + 0 0 0

0 ∂x 2 ∂x ∂x

0 0

∂V ∂y ∂y P

k

T T

−

= y [k] P

k

∂x ∂x ∂x

∂ ∂V ∂y ∂y ∂ ∂y ∂ ∂y

T T T T

k k k P

T T

−

= [k] + y [k] P

k

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

21

Tutti i termini si calcolano poi nella posizione di equilibrio andando a

definire la matrice di rigidezza:

∂ ∂V T

h i

[K] = = [K ] + [K ] + [K ]

I II III

∂x ∂x 0 (13)