Progetto di una poltrona - Meccanica delle Vibrazioni

Vibrazioni di una poltrona reclinabile

Progetto n.12

Bocchinfuso Francesco

Bresciani Federico

15 luglio 2016

Anno accademico 2015-2016

Indice

1 Descrizione del sistema 1

2 Un grado di libertà 4

2.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche . . . . . . . 4

2.2 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Chiusura OAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Chiusura inerente al gruppo molla-smorzatore . . . . . 9

2.3 Forme di energia rispetto alla variabile indipendente . . . . . . 11

2.3.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.3 Equilibrio statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.4 Funzione dissipativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.5 Componenti lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Equazione del moto linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Analisi della risposta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Due gradi di libertà 19

3.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche . . . . . . . 20

3.2 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Forme di energia rispetto al vettore delle variabili indipendenti 33

3.4 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Moto libero e non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 Moto libero e smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.3 Moto forzato e smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1 Descrizione del sistema ,J ,L

m D

3 3 3

G

3

N r

G 1

m ,J A

1 1 1 B

V

U k

s T

r

k 2 y α

m ,J ,R

2 2 O x

C

Figura 1: Schematizzazione del meccanismo

Si trascura per semplicità la massa della pediera e si considera quindi il

sistema costituito da tre corpi dotati di massa:

• la seduta di massa m , vincolata a traslare verticalmente a causa dei

1

manicotti;

• il disco di parametri m , J e R incernierato a terra in cui è

2 2

concentrata la massa delle due aste congiunte e collegato allo

schienale tramite un corsoio;

• lo schienale di parametri m , J e L , collegato alla seduta tramite

3 3 3

una cerniera. 1

Vi sono poi due smorzatori di parametro r e r , una molla di rigidezza k e

1 2

una molla torsionale di rigidezza k .

T

Infine ci sono due forzanti: N applicata nel baricentro G e C coppia

1

motrice applicata sul disco.

Un’interpretazione fisica di queste due forzanti è per N la forza causata da

un bambino che salta, mentre per C un malfunzionamento del sistema

motore o di trasmissione. ·

I gradi di libertà del sistema sono 3 n = 9 , mentre i vincoli sono:

corpi

• ⇒

2 manicotti, di cui uno però ridondante 2 gdv

• ⇒

1 cerniera assoluta in O e una relativa in A 4 gdv

• ⇒

1 corsoio in D 1 gdv

Quindi i gradi di libertà che restano al sistema sono due e si sceglie di

assegnare la rotazione α del disco e la corsa s dell’attuatore, che

effettivamente sono le coordinate imposte dal motore collegato al disco e

dall’attuatore. 2

Valori dei parametri

I seguenti sono i valori assegnati ai parametri che rientreranno nelle

equazioni successive:

• a =2 m

• h = 0.75 m

• d = 0.8 m

• m = 0.7 m

• z = 0.1 m

◦

• γ = 110

• q = 0.3 m

• p = 0.1 m

• u = 0.4 m è la distanza tra corsoio e baricentro dell’asta 2;

• R = 0.1 m

• L = 1.3 m è la lunghezza dello schienale;

3

• R = 0.08 m

T

• m = 4 kg è la massa della seduta;

1

• m = 5 kg è la massa del disco;

2 2

R 2

• J = m kg m

2 2 2

• m = 3 kg è la massa dello schienale;

3 23

L 2

• J = m kg m

3 3 12

N

• k = 150

T m

N

• k = 180 m

Ns

• r = 50

1 m

Ns

• r = 30

2 m 3

2 Un grado di libertà

In questa sezione si considera bloccato lo spostamento dell’attuatore in

modo da ridurre il sistema a un grado. Pertanto la seduta è fissa a terra e

rimane come unico grado di libertà la rotazione α del disco. Il sistema si

può semplificare come nella rappresentazione seguente. m ,J ,L D

3 3 3

G

3 r

1

B

A k

T α

,J ,R

m

2 2 O C

2.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche

1 1 1 1

2 2 2 2

E = m V + J w + m V + J w

c 2 2 3 3

G 2 G 3

2 2 2 2

2 3

1 2

˙

D = r ∆l

1 1

2

1 2

V = k ∆θ + m g h + m g h

T T 2 G 3 G

2 3

2 ~

~ ·

δL = C δθ C

4

2.2 Analisi cinematica

2.2.1 Chiusura OAD D

G

3

b β

z A a

h α

O

Si procede con una chiusura vettoriale nel campo dei numeri complessi:

π

iα i i0 iβ

ae = he + ze + be

2

I moduli a, h, z sono fissati e noti dalla geometria mentre b è un valore

variabile. Per quanto riguarda gli angoli invece α è il grado di libertà

5

assegnato, β è incognito mentre gli angoli relativi ai vettori di modulo h e z

sono costanti in quanto la posizione delle cerniere A ed O è fissata.

Pertanto rimangono incogniti b e β che si esplicitano proiettando

l’equazione complessa sugli assi reale e immaginario:

(

a cos α = z + b cos β

a sin α = h + b sin β

Dalla prima equazione ricavo b, sostituendolo poi nella seconda:

−

a cos α z

b = cos β −

a sin α = h + (a cos α z) tan β

−

a sin α h

tan β = −

a cos α z



a sin α−h

β = arctan



 a cos α−z



⇒ (1)

a cos α−z

b =





 cos β

Poi derivando si ottiene:

(

−a −

α̇ sin α = ḃ cos β b β̇ sin β

a α̇ cos α = ḃ sin β + b β̇ cos β

−b −a

cos β sin β ḃ α̇ sin α

cioè =

sin β b cos β a α̇ cos α

β̇

Si sceglie di risolvere questo e i successivi sistemi lineari tramite il metodo

di Cramer. Infatti la semplicità dei sistemi che si presentano non rende

necessaria l’implementazione di algoritmi.

Da qui in avanti, quindi, per ogni sistema si indicherà con A la matrice dei

coefficienti, mentre con A e A le matrici che si ottengono sostituendo

1 2

rispettivamente alla prima e alla seconda colonna il vettore dei termini noti.

6

L’unica condizione che va verificata per poter usare Cramer è det(A) = 0.

6

−b

cos β sin β

A = sin β b cos β

2 2 6

det(A) = b (cos β + sin β) = b = 0

−a −b

α̇ sin α sin β

A =

1 a α̇ cos α b cos β

−a −

det(A ) = b α̇ cos β sin α + a b α̇ sin β cos α = a b α̇ sin (β α)

1

−a

cos β α̇ sin α

A =

2 sin β a α̇ cos α −

det(A ) = a α̇(cos β cos α + sin β sin α) = a α̇ cos (β α)

2  det(A )

1 −

= a α̇ sin (β α)

ḃ =

 det(A)



⇒ det(A ) a

2 −

β̇ = = α̇ cos (β α)



 det(A) b

∂b ∂b

⇒ −

ḃ = α̇ = a sin (β α) (2)

∂α ∂α

∂β ∂β cos β

⇒ −

β̇ = α̇ = a cos (β α) (3)

−

∂α ∂α a cos α z

avendo esplicitato b nell’ultimo termine. Queste derivate torneranno utili in

seguito. 7

Si passa ora alle accelerazioni e derivando si giunge al seguente sistema:

( 2 2

−a − − − −

α̈ sin α a α̇ cos α = b̈ cos β 2

ḃ β̇ sin β b β̈ sin β b β̇ cos β

2 2

− −

a α̈ cos α a α̇ sin α = b̈ sin β + 2 ḃ β̇ cos β + b β̈ cos β b β̇ sin β

2 2

−b −a −

cos β sin β b̈ α̈ sin α a α̇ cos α + 2 ḃ β̇ sin β + b β̇ cos β

cioè = 2 2

sin β b cos β − −

β̈ a α̈ cos α a α̇ sin α 2

ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β

La matrice dei coefficienti è la stessa per velocità e accelerazioni, quindi

vale ancora det(A) = b.

2 2

−a − −b

α̈ sin α a α̇ cos α + 2 ḃ β̇ sin β + b β̇ cos β sin β

A =

1 2 2

− −

a α̈ cos α a α̇ sin α 2

ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β b cos β 2 2

2 2

−a − β̇ cos β+

det(A ) = b α̈ sin α cos β a b α̇ cos α cos β + 2b ḃ β̇ sin β cos β + b

1 2 2 2 2

− −

+ a b α̈ sin β cos α a α̇ b sin α sin β 2b ḃ β̇ sin β cos β + b β̇ sin β =

2 2 2

− − −

= a b α̈ sin (β α) a b α̇ cos (β α) + b β̇ .

2 2

−a −

cos β α̈ sin α a α̇ cos α + 2 ḃ β̇ sin β + b β̇ cos β

A =

2 2 2

− −

sin β a α̈ cos α a α̇ sin α 2

ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β

2 2 2

− −

det(A ) = a α̈ cos α cos β a α̇ sin α cos β 2

ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β cos β+

2 2 2 2

− −

+ a α̈ sin α sin β + a α̇ cos α sin β 2

ḃ β̇ sin β b β̇ sin β cos β =

2

− − −

= a α̈ cos (β α) + a α̇ sin (β α) 2

ḃ β̇.

 det(A ) 2 2

− − −

1

b̈ = = a α̈ sin (β α) a α̇ cos (β α) + b β̇

 det(A)

⇒ det(A ) ḃ β̇

a a 2

− − −

2 = α̈ cos (β α) + α̇ sin (β α) 2

β̈ =

 det(A) b b b

2 ∂β

∂ β 2

β̈ = α̇ + α̈

2

∂α ∂α

2 2

∂ β a a

⇒ − − −

= sin (β α) sin (2β 2α) (4)

2 2

∂α b b

8

2.2.2 Chiusura inerente al gruppo molla-smorzatore

γ

n c

β p

q

A

La schematizzazione prevede che il gruppo molla-smorzatore sia vincolato

al resto del sistema tramite un carrello, che sia tale da mantenere lo

smorzatore agente sulla stessa direzione. Ne consegue che anche i punti

della molla torsionale ruotino attorno all’incastro senza però che la forma

circolare della molla venga alterata.

La chiusura che ne risulta è: π

iβ i i0 iγ

+ qe + ce

ne = pe 2

I moduli p e q dipendono dalla geometria e sono pertanto noti. Tramite

l’ipotesi del carrello è stato anche fissato l’angolo γ che è quindi noto ed

infine l’angolo β è stato precedentemente calcolato.

Quindi le due incongnite rimanenti sono n e c.

(

n cos β = q + c cos γ

n sin β = p + c sin γ

9

−

cos β cos γ n q

cioè =

−

sin β sin γ c p

−

cos β cos γ

A = −

sin β sin γ

− − 6

det(A) = cos β sin γ + sin β cos γ = sin (β γ) = 0

−

q cos γ

A =

1 −

p sin γ

−q

det(A ) = sin γ + p cos γ

1

cos β q

A =

2 sin β p

−

det(A ) = p cos β q sin β

2

 det(A ) p cos γ−q sin γ

1 =

n =

 det(A) sin (β−γ)



⇒ det(A ) p cos β−q sin β

2

c = =



 det(A) sin (β−γ)

Si deriva ora il legame cinematico di c, ignorando il vettore n che non

rientrerà nelle forme di energia.

− − − − −

∂c ∂c ∂β

∂β (−p sin β q cos β) sin (β γ) (p cos β q sin β) cos (β γ)

= = =

2 −

∂α ∂β ∂α ∂α sin (β γ)

−

∂β q sin γ p cos γ

= (5)

2 −

∂α sin (β γ)

I valori di q, p e γ sono costanti e la derivata seconda è:

2 2 − − −

∂ c ∂ β q sin γ p cos γ ∂β (q sin γ p cos γ) cos (β γ)

2

−

= 2 (6)

2 3

2 2 − −

∂α ∂α ∂α

sin (β γ) sin (β γ)

∂c

ċ = α̇

∂α 2

∂c ∂ c 2

c̈ = α̈ + α̇

2

∂α ∂α

10

2.3 Forme di energia rispetto alla variabile

indipendente

2.3.1 Energia cinetica

• V = 0 in quanto la massa è concentrata nel disco incernierato a

G 2

terra;

• w = + α̇ poichè la rotazione imposta dal gdl è concorde alle

2

convenzioni di segno;

~ L

• V = + β̇(− sin β î + cos β ĵ) infatti:

3

G 2

3 L

π 3

i iβ

i0

−

(G O) = he e

+ ze +

2

3 2

e derivando i primi due vettori scompaiono essendo costanti;

a

• −

w = +

β̇ = α̇ cos (β α).

3 b 1

1 1

1 2 2 2 2

⇒ m V J w + m V J w =

+ +

E = 2 2 3 3

c G 2 G 3

2 2 2 2

2 3

2

2 a

1 L 1

h i

3 2 2 2

−

= J + m + J cos (β α) α̇ = J (α) α̇

2 3 3 eq

2

2 4 b 2

d ∂E ∂E 1 ∂J (α)

c c eq 2

− = J (α) α̈ + α̇ (7)

eq

dt