Progetto di una poltrona - Meccanica delle Vibrazioni

Vibrazioni di una poltrona reclinabile

Progetto n.12
Bocchinfuso Francesco
Bresciani Federico
15 luglio 2016
Anno accademico 2015-2016

Indice

1 Descrizione del sistema 1
2 Un grado di libertà 4
2.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche . . . . . . . 4
2.2 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Chiusura OAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Chiusura inerente al gruppo molla-smorzatore . . . . . 9
2.3 Forme di energia rispetto alla variabile indipendente . . . . . . 11
2.3.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Equilibrio statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.4 Funzione dissipativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.5 Componenti lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Equazione del moto linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Analisi della risposta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Due gradi di libertà 19
3.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche . . . . . . . 20
3.2 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Forme di energia rispetto al vettore delle variabili indipendenti 33
3.4 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Moto libero e non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2 Moto libero e smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.3 Moto forzato e smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1 Descrizione del sistema

,J ,Lm D3 3 3G3N rG 1m ,J A1 1 1 BVU ks Trk 2 y αm ,J ,R2 2 O xCFigura 1: Schematizzazione del meccanismo

Si trascura per semplicità la massa della pediera e si considera quindi il sistema costituito da tre corpi dotati di massa:

• La seduta di massa m₁, vincolata a traslare verticalmente a causa dei manicotti;
• Il disco di parametri m₂, J₂ e R₂ incernierato a terra in cui è concentrata la massa delle due aste congiunte e collegato allo schienale tramite un corsoio;
• Lo schienale di parametri m₃, J₃ e L₃, collegato alla seduta tramite una cerniera.

Vi sono poi due smorzatori di parametro r₁ e r₂, una molla di rigidezza k e una molla torsionale di rigidezza k_T.

Infine ci sono due forzanti: N applicata nel baricentro G₃ e C coppia motrice applicata sul disco.

Un’interpretazione fisica di queste due forzanti è per N la forza causata da un bambino che salta, mentre per C un malfunzionamento del sistema motore o di trasmissione.

I gradi di libertà del sistema sono 3 n = 9, mentre i vincoli sono:

• Corpi ⇒ 2 manicotti, di cui uno però ridondante 2 gdv
• 1 cerniera assoluta in O e una relativa in A 4 gdv
• 1 corsoio in D 1 gdv

Quindi i gradi di libertà che restano al sistema sono due e si sceglie di assegnare la rotazione α del disco e la corsa s dell’attuatore, che effettivamente sono le coordinate imposte dal motore collegato al disco ed all’attuatore.

Valori dei parametri

I seguenti sono i valori assegnati ai parametri che rientreranno nelle equazioni successive:

• A =2 m
• H = 0.75 m
• D = 0.8 m
• M = 0.7 m
• Z = 0.1 m
• Γ = 110°
• Q = 0.3 m
• P = 0.1 m
• U = 0.4 m è la distanza tra corsoio e baricentro dell’asta 2;
• R₂ = 0.1 m
• L₃ = 1.3 m è la lunghezza dello schienale;
• R_T = 0.08 m
• M₁ = 4 kg è la massa della seduta;
• M₂ = 5 kg è la massa del disco;
• J₂ = m₂ R₂² kg m²
• M₃ = 3 kg è la massa dello schienale;
• J₃ = m₃ L₃² kg m²
• K_T = 150 N m
• K = 180 N m
• R₁ = 50 N s
• R₂ = 30 N s

2 Un grado di libertà

In questa sezione si considera bloccato lo spostamento dell’attuatore in modo da ridurre il sistema a un grado. Pertanto la seduta è fissa a terra e rimane come unico grado di libertà la rotazione α del disco. Il sistema si può semplificare come nella rappresentazione seguente.

m ,J ,L D3 3 3G3 r1BA kT α,J ,Rm2 2 O C

2.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche

1 1 1 12 2 2 2E = m V + J w + m V + J wc 2 2 3 3G 2 G 32 2 2 22 31 2

D˙ = r ∆l1 121 2

V = k ∆θ + m g h + m g hT T 2 G 3 G2 32

~ ~ ·δL = C δθ C4

2.2 Analisi cinematica

2.2.1 Chiusura OAD

DG3b βz A ah αO

Si procede con una chiusura vettoriale nel campo dei numeri complessi:

πiα i i0 iβae = he + ze + be2

I moduli a, h, z sono fissati e noti dalla geometria mentre b è un valore variabile. Per quanto riguarda gli angoli invece α è il grado di libertà assegnato, β è incognito mentre gli angoli relativi ai vettori di modulo h e z sono costanti in quanto la posizione delle cerniere A ed O è fissata.

Pertanto rimangono incogniti b e β che si esplicitano proiettando l’equazione complessa sugli assi reale e immaginario:

(a cos α = z + b cos β
a sin α = h + b sin β

Dalla prima equazione ricavo b, sostituendolo poi nella seconda:

−a cos α zb = cos β
−a sin α = h + (a cos α z) tan β
−a sin α htan β = −a cos α z a sin α
−hβ = arctan a cos α−z⇒ (1)
a cos α−zb = cos β

Poi derivando si ottiene:

(−a −α̇ sin α = ḃ cos β b β̇ sin β
a α̇ cos α = ḃ sin β + b β̇ cos β
−b −acos β sin β ḃ α̇ sin α
cioè =sin β b cos β a α̇ cos αβ̇

Si sceglie di risolvere questo e i successivi sistemi lineari tramite il metodo di Cramer. Infatti la semplicità dei sistemi che si presentano non rende necessaria l’implementazione di algoritmi.

Da qui in avanti, quindi, per ogni sistema si indicherà con A la matrice dei coefficienti, mentre con A₁ e A₂ le matrici che si ottengono sostituendo rispettivamente alla prima e alla seconda colonna il vettore dei termini noti.

L’unica condizione che va verificata per poter usare Cramer è det(A) = 0.

6 −bcos β sin βA = sin β b cos β2 2 6

det(A) = b (cos β + sin β) = b = 0

−a −bα̇ sin α sin βA =1 a α̇ cos α b cos β

−a −det(A₁) = b α̇ cos β sin α + a b α̇ sin β cos α = a b α̇ sin (β α)₁

−acos β α̇ sin αA =2 sin β a α̇ cos α

−det(A₂) = a α̇(cos β cos α + sin β sin α) = a α̇ cos (β α)₂

 det(A )1 −= a α̇ sin (β α)ḃ = det(A)⇒ det(A ) a2 −β̇ = = α̇ cos (β α) det(A) b

∂b ∂b⇒ −ḃ = α̇ = a sin (β α) (2)∂α ∂α

∂β ∂β cos β⇒ −β̇ = α̇ = a cos (β α) (3)−∂α ∂α a cos α z

Avendo esplicitato b nell’ultimo termine. Queste derivate torneranno utili in seguito.

Si passa ora alle accelerazioni e derivando si giunge al seguente sistema:

( 2 2−a − − − −α̈ sin α a α̇ cos α = b̈ cos β 2ḃ β̇ sin β b β̈ sin β b β̇ cos β
2 2− −a α̈ cos α a α̇ sin α = b̈ sin β + 2 ḃ β̇ cos β + b β̈ cos β b β̇ sin β
2 2−b −a −cos β sin β b̈ α̈ sin α a α̇ cos α + 2 ḃ β̇ sin β + b β̇ cos β
cioè =
2 2sin β b cos β − −β̈ a α̈ cos α a α̇ sin α 2ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β

La matrice dei coefficienti è la stessa per velocità e accelerazioni, quindi vale ancora det(A) = b.

2 2−a − −bα̈ sin α a α̇ cos α + 2 ḃ β̇ sin β + b β̇ cos β sin βA =1
2 2− −a α̈ cos α a α̇ sin α 2ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β b cos β

2 22 2−a − β̇ cos β+det(A ) = b α̈ sin α cos β a b α̇ cos α cos β + 2b ḃ β̇ sin β cos β + b1

2 2 2 2− −+ a b α̈ sin β cos α a α̇ b sin α sin β 2b ḃ β̇ sin β cos β + b β̇ sin β =

2 2 2− − −= a b α̈ sin (β α) a b α̇ cos (β α) + b β̇ .

2 2−a −cos β α̈ sin α a α̇ cos α + 2 ḃ β̇ sin β + b β̇ cos βA =2

2 2 2− −sin β a α̈ cos α a α̇ sin α 2ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β

2 2 2− −det(A ) = a α̈ cos α cos β a α̇ sin α cos β 2ḃ β̇ cos β + b β̇ sin β cos β

+2 2 2 2− −+ a α̈ sin α sin β + a α̇ cos α sin β 2ḃ β̇ sin β b β̇ sin β cos β =

2− − −= a α̈ cos (β α) + a α̇ sin (β α) 2ḃ β̇.

 det(A ) 2 2− − −1b̈ = = a α̈ sin (β α) a α̇ cos (β α) + b β̇ det(A)⇒ det(A ) ḃ β̇a a 2− − −2 = α̈ cos (β α) + α̇ sin (β α) 2β̈ = det(A) b b b2

∂β∂ β 2β̈ = α̇ + α̈2∂α ∂α

2 2∂ β a a⇒ − − −= sin (β α) sin (2β 2α) (4)2 2∂α b b8

2.2.2 Chiusura inerente al gruppo molla-smorzatore

γn cβ pqALa schematizzazione prevede che il gruppo molla-smorzatore sia vincolato al resto del sistema tramite un carrello, che sia tale da mantenere lo smorzatore agente sulla stessa direzione. Ne consegue che anche i punti della molla torsionale ruotino attorno all’incastro senza però che la forma circolare della molla venga alterata.

La chiusura che ne risulta è:

πiβ i i0 iγ+ qe + cene = pe 2

I moduli p e q dipendono dalla geometria e sono pertanto noti. Tramite l’ipotesi del carrello è stato anche fissato l’angolo γ che è quindi noto ed infine l’angolo β è stato precedentemente calcolato.

Quindi le due incognite rimanenti sono n e c.

(n cos β = q + c cos γ
n sin β = p + c sin γ

−cos β cos γ n q
cioè =−sin β sin γ c p

−cos β cos γA = −sin β sin γ

− − 6det(A) = cos β sin γ + sin β cos γ = sin (β γ) = 0

−q cos γA =1 −p sin γ

−qdet(A ) = sin γ + p cos γ1

cos β qA =2 sin β p

−det(A ) = p cos β q sin β2

 det(A ) p cos γ−q sin γ1 =n = det(A) sin (β−γ)⇒ det(A ) p cos β−q sin β2c = = det(A) sin (β−γ)

Si deriva ora il legame cinematico di c, ignorando il vettore n che non rientrerà nelle forme di energia.

− − − − −∂c ∂c ∂β∂β (−p sin β q cos β) sin (β γ) (p cos β q sin β) cos (β γ)= = =2 −∂α ∂β ∂α ∂α sin (β γ)

−∂β q sin γ p cos γ= (5)2 −∂α sin (β γ)

I valori di q, p e γ sono costanti e la derivata seconda è:

2 2 − − −∂ c ∂ β q sin γ p cos γ ∂β (q sin γ p cos γ) cos (β γ)2 −= 2 (6)2 32 2 − −∂α ∂α ∂αsin (β γ) sin (β γ)

∂cċ = α̇∂α

2∂c ∂ c 2c̈ = α̈ + α̇2∂α ∂α10

2.3 Forme di energia rispetto alla variabile indipendente

2.3.1 Energia cinetica

• V = 0 in quanto la massa è concentrata nel disco incernierato a G₂ terra;
• W = + α̇ poiché la rotazione imposta dal gdl è concorde alle 2 convenzioni di segno;
• V = + β̇(− sin β î + cos β ĵ) infatti: 3G 23 Lπ 3i iβi0−(G O) = he e+ ze +23 2e derivando i primi due vettori scompaiono essendo costanti;
• −w = +β̇ = α̇ cos (β α).3 b 11

11 2 2 2 2⇒ m V J w + m V J w =+ +E = 2 2 3 3c G 2 G 32 2 2 22 322

a1 L 1h i3 2 2 2−= J + m + J cos (β α) α̇ = J (α) α̇2 3 3 eq22 4 b 2d

∂E ∂E 1 ∂J (α) c c eq 2− = J (α) α̈ + α̇ (7)eqdt