Progettazione degli esperimenti

CASO SECONDO

Nell’ultimo caso entrambi i livelli dei fattori di Row e Column sono replicati R volte, fissando i relativi indici

da 1 a R×L. Dalla decomposizione della varianza totale, si può osservare che il fattore Replicate è interno a

si prendono prima separati e si sottrae il Replicate:

entrambi i fattori appena citati. Per ottenere l’SS di questi,

• •• ••• • •• •••

∑

∑ ∑

•• • ••• •• • •••

CASO TERZO 3

1 La differenza è che in questo caso i due fattori (replica e uno dei due blocchi) sono ovvero se cambia il livello

annidati,

di uno, cambia anche quello dell’altro. Dunque non si presenta la solita griglia, ma ad ogni replica si ha, ad esempio, una

macchina differente. Gli altri fattori invece rimangono come prima e così i rispettivi g.d.l.

Pensiamo ora di voler controllare simultaneamente più di due variabili di blocco senza incrementare il numero

degli experimental runs. Assumiamo che il fattore principale abbia L livelli e che tutti i fattori dei tre blocchi

possano allocare L differenti “runs”. Nel caso di tre variabili di blocco, si possono creare due quadrati latini

con la modifica che ad ogni lettera latina ne corrisponda al fianco una e

soltanto una greca (per mantenere l’ortogonalità). Sovrapponendoli si

forma il cosiddetto quadrato Greco‐Latino: abbiamo un quadrato con le

lettere latine e un secondo in lettere greche per distinguerle dal primo; i

fattori di blocco sono indicati secondo le righe, le colonne e le lettere greche,

mentre il fattore principale è sempre individuato dalle lettere latine. Nell’assegnare le lettere greche si faccia

in modo che nella stessa riga e nella stesso colonna non ci siano le stesse lettere latine e le stesse lettere greche,

e che ogni coppia sia presente al più in una casella. Così facendo, anche guardando solo le lettere greche si ha

un quadrato latino. Lo scopo è sempre quello di effettuare solamente L prove costruendo un piano ortogonale

2

senza effettuare la progettazione completa, che in questo caso ne comporterebbe L . Ogni prova, in ultima

4

analisi, deve essere costituita da un quadrupla di valori di livelli (uno per ogni fattore) che rispetta le stesse

regole appena enunciate. Nel caso di assenza di interazione il modello è:

μ

Si tratta di un’ANOVA a quattro fattori senza repliche, come in tabella. Nell’eseguire le prove, è importante

ricordarsi sempre la precauzione della randomizzazione, ovvero vanno eseguite in ordine casuale perché

altrimenti, se nel frattempo non ci si accorge di un cambiamento, il modello è da considerare inficiato.

Con L=3 tutti i g.d.l. sono inclusi nella stima dei fattori, e di conseguenza non ne rimangono per stimare l’Error

(in questo caso è necessario fare le repliche). Naturalmente avremo quattro F‐test per controllare la

significatività dei fattori. GRECO-LATINO CON L=4

di due quadrati latini ortogonali, se

Quando si hanno più di tre variabili di blocco è necessario utilizzare più

esistono, ottenendo degli Hyper‐Greek Latin Squares. Si abbiano, i.e., tre diversi quadrati latini 4×4, indicizzati

rispettivamente con lettere latine, greche e arabe; le variabili di blocco verranno associate a righe, colonne,

lettere greche e arabe, mentre le lettere latine indicizzano il fattore principale. Per ognuno dei fattori vengono

usati L – 1 g.d.l. e i residui possono calcolarsi tramite differenza. È possibile identificare tutti i Mutually

Orthogonal Latin Squares (M.O.L.S.). Il massimo numero è deducibile dal fatto che un numero di g.d.l. pari a

L –1 è scindibile in un massimo di L+1 fattori ortogonali con L – 1 g.d.l.; due di questi sono composti dai fattori

2

usati per righe e colonne, quindi il massimo numero di M.O.L.S. è pari a L – 1.

1

Quando i blocchi non possono dividersi allocando ogni blocco a tutti i livelli del fattore, bisogna implementare

una balanced incomplete block design (b.i.b.). Vi è uno svantaggio nell’avere blocchi incompleti: se un dato blocco,

nel caso di blocchi completi, va male, tutte le medie subiranno una riduzione, mentre in blocchi incompleti

solo qualcuna. Se tutte le medie subiscono una riduzione, anche la media generale si abbasserà, e dunque

quando eseguo le varie differenze, queste non subiranno alterazioni, lasciando inalterata la variabilità tra le

medie. Se solo alcune medie invece risentono della riduzione, la media generale non si abbasserà della stessa

4

1 Metodi come i assicurano che, se è un numero primo o una sua potenza, tali M.O.L.S. esistono.

Galois Fields L

entità, e pertano anche la variabilità subirà una modifica. In ogni caso, la permutazione casuale delle prove

dovrebbe essere in grado di limitare questo effetto.

Dati t trattamenti e una dimensione k dei blocchi, sarà necessario creare b blocchi. Il numero totale di prove è

N = t r = b k, con r numero di volte in cui il singolo trattamento viene osservato. Questo piano deve essere

formato in modo tale che tutte le possibili combinazioni 2 a 2 sono presenti lo stesso numero di volte. Per

determinare r e k si consideri che, per ottenere tutte le combinazioni, il numero di blocchi deve essere b = C ,

k t

il quale può comportare un numero elevato di blocchi e/o prove. Quando k è molto piccolo o molto grande, b

è basso; quando invece ci si avvicina al centro, cioè quando la dimensione del blocco è tendenzialmente pari

alla metà del numero di trattamenti, questo valore comincia a crescere. In questi casi ci sono piani sperimentali

per cui si riesce ad ottenere il bilanciamento di primo e secondo ordine con b inferiore. Se è possibile dividere

i blocchi di un b.i.b. design in gruppi che formano un design completo, tali gruppi sono riportati

separatamente e in ognuno di questi è possibile individuare come progettare l’esperimento con differenti

repliche. Dove indicato, il design permette di individuare una seconda variabile di blocco. Di seguito sono

mostrati due esempi per k=3 e k=6.

= 3 = 4

k k

C . Ad

Il numero di b, come può vedersi, è molto più basso rispetto a quanto previsto dalla relazione b = k t

esempio, con k=3 ma con t=9, utilizzando la formula troviamo b=84, invece in figura si legge b=12 che comporta

un numero di repliche pari a 4. Qui si possono eseguire questi 12 blocchi in blocchi di blocchi, ovvero se vi

sono 12 provini e per un motivo non è possibile eseguire le prove nella stessa giornata, si possono eseguire,

come ad esempio nella prima replica, dei blocchi in cui i livelli si presentano una sola volta; nella seconda

replica i livelli sono sempre presenti una sola volta ma in un ordine diverso; unendoli si ottiene un b.i.b., però

eseguito in un modo intelligente. Situazione interessante si ha quando il numero di livelli e il numero di blocchi

è uguale, ovvero con k=4 e t=7; in questo caso si parla di quadrato di Yourden. Scrivendo i blocchi nell’ordine

specificato in figura, si vede subito che si tratta di un rettangolo.

A B C D

G A B E

F E A C

D F G A

C G F B

B D E F

E C D G

Si può osservare che non c’è un ordine alfabetico, ma un ordine specifico che bisogna mantenere; se si guarda

per colonna si hanno dei blocchi completi (ogni lettera si presenta una sola volta), mentre per riga sono

incompleti per mancanza di spazio all’interno della riga stessa; si ottiene un rettangolo da un quadrato latino

monco. Si può usare esattamente come un quadrato latino; con tale disposizione si può tenere conto non solo

del fattore blocco ma anche del fattore posizione (i.e. A viene provato in posizione 1, 2, 3 e 4 così come gli altri).

Prima non era possibile controllare la posizione, ovvero si doveva randomizzare (ciò che non è possibile

controllare va sempre randomizzato).

Per analizzare questi dati bisogna tenere presente che la progettazione è bilanciata nel suo complesso, ma non

dentro ogni blocco (come nei quadrati latini). Dunque, è necessario eliminare gli effetti di blocco quando si

esaminano gli effetti del fattore principale, solitamente attraverso l’uso del general linear model (g.l.m.):

5

μ

dove α rappresenta l’effetto dell’i‐esimo trattamento e β l’effetto del j‐esimo blocco. Si tratta allora di un

i j

modello additivo a due fattori senza repliche e senza interazioni. Tale modello fornisce la parte di varianza

spiegata da tutti i fattori e bisognerà semplicemente valutare da questi dati se si è o meno in regione di rifiuto.

Il residuo S si può ottenere dal g.l.m. La tabella ANOVA è presentata a seguire. Possiamo poi calcolare S

R B

come medie dell’usuale one‐way ANOVA. Si ricordi che in tale somma dei quadrati rientra una componente

legata al trattamento, perché blocchi e trattamenti non sono ortogonali. Infine Δ può ottenersi tramite

⁄ 1 / /

differenza, così come ν. Il test per saggiare l’ipotesi H : α = 0 è: , che è una F‐ Fisher con

0 i

t – 1 e ν g.d.l.

Inoltre si tenga presente che nel valore atteso dell’MS dei blocchi c’è la presenza del trattamento. Dunque se

si vuole saggiare l’ipotesi H : β = 0 bisogna scambiare il ruolo dei fattori Blocks e Treatments, determinando la

0 i

somma dei quadrati dei Block adjusted . Come sappiamo, le due differenze così ottenute, blocks adjusted e

1

treatments adjusted, non sono additive perché i rispettivi regressori non sono ortogonali.

I Quadrati di Yourden (anche detti incomplete Latin squares) sono dei b.i.b. con due variabili di blocco. Il modello

è quindi lo stesso dei b.i.b. con un termine in più:

μ

dove β rappresenta l’effetto del j‐esimo blocco per riga (j=1,…,b) e γ l’effetto dell’l‐esimo blocco per colonna

j l

(l=1,2,…,k). Per costruire la tabella ANOVA bisogna determinare l’SS del residuo atraverso il g.l.m. Le quantità

da allocare in Rows e Columns, essendo due fattori bilanciati, può ottenersi come un usuale two‐way ANOVA

senza repliche. La parte relativa a Treatments adjusted è ottenuta per differenza. : α = 0, ricorriamo

In tabella, g denota una opportuna costante positiva. Come sempre, per saggiare l’ipotesi H 0 i

al test F‐Fisher con regione di rifiuto unilaterale a destra:

⁄ 1

/

6

1 Questa analisi, chiamata è valida sia se i blocchi sono ad effetti fissi che variabili. Nel secondo caso è

intra-blocks, ∑ 0.

possibile ottenere informazioni aggiuntive sugli effetti dei trattamenti, imponendo il vincolo

Capitolo 2.

Fino ad ora c