Prodotto vettoriale e misto - Algebra e geometria lineare

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è un prodotto che si ha tra due vettori, e che dà come risultato un altro vettore. Questo prodotto sarà pari a 0 se i due vettori iniziali sono paralleli. Inoltre, a differenza del prodotto scalare che dà come risultato un numero reale, questo tipo di prodotto dà come risultato un vettore e quindi occorre definirne non solo il modulo, ma anche direzione e verso:

Modulo

Il modulo del prodotto vettoriale è definito come |U| * |V| * sinα, dove α è l’angolo formato dai due vettori, con α compreso tra 0 e π (0 ≤ α ≤ π). Inoltre, il modulo di un prodotto vettoriale corrisponde all’area del parallelogramma che si viene a creare partendo dai due vettori.

Direzione

La direzione del vettore risultante sarà ortogonale al piano individuato dai due vettori.

Verso

Il verso viene ricavato attraverso la regola della mano destra. Si prende il pollice della mano destra e lo si dispone nella direzione e nel verso del primo vettore del prodotto, poi si prende l’indice e lo si pone nella stessa direzione e verso del secondo vettore. Il verso risultante dipenderà dal verso in cui è rivolto il medio e di conseguenza il palmo della mano.

Proprietà del prodotto vettoriale

• Antisimmetria/anticommutatività: Scambiando i due vettori nel prodotto cambia il verso: \( \mathbf{U} \times \mathbf{V} = - (\mathbf{V} \times \mathbf{U}) \).
• Omogeneità: \( (k \mathbf{U}) \times \mathbf{V} = k (\mathbf{U} \times \mathbf{V}) = \mathbf{U} \times (k \mathbf{V}) \).
• Distributività: \( \mathbf{U} \times (\mathbf{V} + \mathbf{W}) = \mathbf{U} \times \mathbf{V} + \mathbf{U} \times \mathbf{W} \) oppure \( (\mathbf{U} + \mathbf{V}) \times \mathbf{W} = \mathbf{U} \times \mathbf{W} + \mathbf{V} \times \mathbf{W} \).

Inoltre, come detto in precedenza, il prodotto vettoriale tra due versori uguali è pari a 0, mentre tra due versori differenti il prodotto vettoriale dà come risultato il terzo versore.

Rappresentazione analitica

Per quanto riguarda la rappresentazione analitica del prodotto vettoriale, si ha che: \( (a, b, c) \times (x, y, z) = (bz - cy, -az + cx, ay - bx) \). Tale risultato è sostanzialmente il determinante della matrice 3x3 contenente i versori e i componenti dei due vettori. È ottenibile attraverso due metodi:

Metodo di Laplace (valido per tutte le matrici)

Il metodo di Laplace consente di calcolare il prodotto vettoriale come il determinante della matrice:

\[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & b & c \\ x & y & z \\ \end{vmatrix} \]

Calcolando il determinante, si ottiene il risultato del prodotto vettoriale come combinazione dei minori della matrice:

• Termine \( \mathbf{i} \times \text{det}(b, c; y, z) = \mathbf{i} \times (bz - cy) \)
• Termine \( -\mathbf{j} \times \text{det}(a, c; x, z) = -\mathbf{j} \times (az - cx) \)
• Termine \( \mathbf{k} \times \text{det}(a, b; x, y) = \mathbf{k} \times (ay - bx) \)