Prodotto vettoriale e misto - Algebra e geometria lineare

PRODOTTO VETTORIALE

Il prodotto vettoriale è un prodotto che si ha tra due vettori, e che dà come risultato un altro vettore. Questo prodotto sarà pari a 0 se i due vettori iniziali sono paralleli. Inoltre a differenza del prodotto scalare che dà come risultato un numero reale, questo tipo di prodotto dà come risultato un vettore e quindi occorre definirne non solo il modulo, ma anche direzione e verso: Modulo: |U| * |V| * sin(α) - U e V sono i due vettori - α è l'angolo formato dai due vettori, con α compreso tra 0 e π (0 ≤ α ≤ π) Inoltre il modulo di un prodotto vettoriale corrisponde all'area del parallelogramma che si viene a creare partendo dai due vettori. Direzione: La direzione del vettore risultante sarà ortogonale al piano individuato dai due vettori. Verso: Viene ricavato attraverso la "regola della mano destra". Si prende il pollice della mano destra e lo si orienta lungo il primo vettore, poi si piegano le dita verso il secondo vettore e il verso del vettore risultante sarà quello della direzione in cui punta l'indice.

si dispone nella direzione e nel verso del primo vettore del prodotto, si prende poi l'indice e lo si pone nella stessa direzione e verso del secondo vettore. Il verso risultante dipenderà dal verso in cui è rivolto il medio e di conseguenza il palmo della mano

Il prodotto vettoriale possiede anch'esso delle proprietà:

• Antisimmetria/Anticommutatività: Scambiando i due vettori nel prodotto cambia il verso ∧ = -∧
• Omogeneità: (k)∧ = k(∧)
• Distributività: ∧(U + V) = ∧ + ∧(U)

Inoltre come detto in precedenza il prodotto vettoriale tra due versori uguali è pari a 0, mentre tra due versori differenti il prodotto vettoriale dà come risultato il terzo versore.

Per quanto riguarda invece la rappresentazione analitica...

del prodotto vettoriale si ha che:
(a, b, c) × (x, y, z) = (bz - cy, -az + cx, ay - bx)
Tale risultato è sostanzialmente il determinante della matrice 3x3 contenente i versori e i componenti dei due vettori.
È ottenibile attraverso due metodi:
Metodo di Laplace (Valido per tutte le matrici):
Λ = (a, b, c) × (x, y, z) = det
V U i j k
Λ = (a, b, c)
(x, y, z)

= i * det = i * (bz - cy)
j * det = - j * (az - cx)
k * det = k * (ay - bx)

Vettore risultante: (bz - cy, cx - az, ay - bx)

Metodo di Sarruss (Valido solo per le matrici 3x3):
Λ = (a, b, c) × (x, y, z) = det
V U i j k
Λ = (a, b, c)
(x, y, z)

① ② ③
④ ⑤ ⑥

i j k
i j (bzi + cxj + ayk) - (bxk + cyi + azi) = (bz - cy)*i + (cx - az)*j + (ay - bx)*k

Vettore risultante: (bz - cy, cx - az, ay - bx)

FASCIO DI PIANI
Un fascio di piani nonè altro che un insieme di piani che contengono una stessa retta r (fascio di piani di sostegno r). I piani del fascio di sostegno r sono tutti e soli i piani la cui equazione è del tipo: k(ax + by + cz + d) + h(ax + by + cz + d) = 0, dove k e h sono numeri arbitrari (non entrambi nulli). ^{PRODOTTO MISTO} Il prodotto misto dei vettori geometrici V, U e W è un numero reale. V ⋅ U × W = (a, b, c) ⋅ (x, y, z) × (α, β, γ) V ⋅ U × W = (Λ *) = (a, b, c) × (x, y, z) × (α, β, γ) V ⋅ U × W = &det; (α, β, γ) = (bz - cy, -(az - bcx), ay - bx) × (α, a, b, cx, y, z, β, γ) V ⋅ U × W = (bz - cy) × α - (az - cx) × β + (ay - bx) × γ La stessa cosa si può fare direttamente con un'unica matrice: Λ * = &det; = (bz - cy) × α - (az - cx) × β + (ay - bx) × γ Il prodotto

misto è nullo se e solo se i vettori interessati da quest'ultimo sono complanari. Inoltre il modulo del prodotto misto non è altro che il volume del parallelepipedo che possiede come spigoli i 3 vettori.