Prodotto scalare

Vettori

Per individuare completamente lo spostamento del punto P occorre indicare anche in quale direzione e verso tale spostamento si è compiuto. Lo spostamento di un punto materiale è dunque caratterizzato da una lunghezza e da una direzione orientata. Una grandezza che si comporta come lo spostamento, in fisica, è chiamata grandezza vettoriale. Per descrivere il comportamento di tali grandezze è necessario introdurre degli enti matematici opportuni: tali enti sono i «vettori».

Caratteristiche dei vettori

Il «vettore» è una grandezza caratterizzata da una direzione orientata ed una intensità (o modulo). La rappresentazione grafica di un «vettore» può essere fatta tracciando su un diagramma una freccia. Un vettore è indicato o con una lettera soprassegnata da una freccia, o con una lettera in grassetto (A).

Proprietà dei vettori

Due vettori A e B si diranno «uguali» se hanno uguale modulo, direzione e verso; risulta utile definire il vettore «nullo» come il vettore di intensità nulla e con direzione e verso non definiti. L’opposto di un vettore è un vettore indicato con -A tale che sommato ad A dà il vettore 0: A + (-A) = 0.

Somma e differenza tra vettori

La somma di due vettori A e B può essere scritta simbolicamente: A + B = C. Per il vettore somma si tiene fisso il vettore A e si trasla parallelamente e si unisce il piede di B con la testa di A. Ma la somma si può esprimere anche tramite un’altra regola che è quella del parallelogramma, cioè si trasportano i due vettori, parallelamente a se stessi, fino a far coincidere le loro origini in un punto qualsiasi O.

Ma la somma, oltre ad esprimersi come: A + B = C può anche esprimersi come: C² = A² + 2ABCosθ B.

Come la somma, anche la differenza di due vettori indica che il vettore con il segno “-” sia di verso opposto al primo vettore e si può esprimere anch’essa in due modi: C = A - B; oppure D = A² - 2ABCosθ.

Prodotto di uno scalare per un vettore

Prodotto di una scalare c (numero) per un vettore: Se C è un numero e sia dato il vettore A, vediamo che: se C > 0 il vettore CA ha la stessa direzione e verso di A, con modulo quanto è il valore di C. Mentre se C < 0 avrà la stessa direzione, ma con il verso opposto e analogamente la lunghezza quanto è C. Con ciò si definisce versore (derivato dall’avverbio latino che significa in direzione di) un vettore di lunghezza unitaria che ha la direzione ed il verso di A.

A = ÂA

Prodotto scalare di due vettori

Se θ (teta) è l’angolo compreso tra due vettori si scrive: A · B = ABcosθ. Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa quindi: A · B = B · A.

Se si esprimono i vettori per mezzo dei moduli e dei versori: A · B = ABcosθ = Â A · Â B ABAcosθ.