Prodotto scalare

Prodotto vettoriale di due vettori

Definiamo come prodotto vettoriale tra due vettori, un vettore usualmente indicato con l'espressione C = A * B. Che si legge "A vettore B". Il suo modulo è dato da: θ = Sen(θ) dove θ è l'angolo compreso tra i vettori A e B. La sua direzione è ortogonale al piano individuato dai vettori A e B. Il suo verso è definito dalla regola della vite "destrorsa" e da, nello stesso verso in cui il vettore ruota di un angolo θ per sovrapporsi a B; il verso di C è quello in cui avanza la vite destrorsa.

Nel prodotto vettoriale è importante l'ordine dei due fattori. Si nota che un prodotto vettoriale può essere nullo, perché è nullo uno dei due vettori, o anche perché i vettori sono paralleli.

due vettori sono paralleli, quindi risulterà che θ=0 quindi: ∧A A=0

Sistemi di coordinate

Per definire univocamente la posizione di un punto nello spazio è possibile introdurre un sistema di coordinate cartesiane e assegnare tre coordinate indipendenti. In molte situazioni fisiche un determinato fenomeno può essere descritto più semplicemente usando altri sistemi di coordinate, tra i più frequentemente usati distinguiamo quello delle "coordinate polari" su una superficie piana e quello delle "coordinate sferiche" nello spazio tridimensionale.

Le coordinate del punto P sono (x, y, z), di frequente risulta necessario rappresentare un vettore in un sistema di coordinate. Per fare ciò si introduce una terna di riferimento cartesiana, che soddisfa la regola della vite destrorsa, individuata da tre versori i, j, k ed è utile calcolare i prodotti scalari e vettoriali.

^ˆ&^∧ˆ· ĵi k̂ĵi k̂ ˆ 0ˆ 1 0 0 ĵi k̂i ˆ ˆ00 1 0 ĵ -k iĵ ˆ ˆ 00 0 1 k̂ i -ik̂1)prodotti scalari 3)Terna «Sinistrorsa» 2)Prodotti verrorialiNella terna un vettore è individuato univocamente dai suoi tre componenti A ,A ,A rispetto agli assi x,y,zA x y zA=A +A +Ax y zRappresentazione cartesiana del vettore Aˆ ˆA=A i+A j+A k̂x y z ˆˆ ˆ ˆ ˆ= = + +i i( )A A j A i A j A k ix x y z• Operazioni sui vettori in componenti cartesianiDati i vettori e espressi nella forma cartesiana :A B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA=A i+A j+A ; B=B i+B j+Bk kx y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ• − = − = − = −(A=A i+A j+A ) (A i)-(A j)-(A ) A i-A j-AA k k kx y z x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ• = =(A=A i+A j+A ) A i+cA j+cAc k c k̂cA x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ^{ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ}• = + = ++ = +(A i+A j+A ) (B i+B j+B ) (A +B )i+(A +B )j+(A B ) iS +jSk k k kSA B x y z x y z x x y y z z x y z^{ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ}• − = − + − + − = + +( ) ( ) ( )A B A B i A B j A B k iDx jDy kDzx x y y z z• Prodotto scalare in componenti cartesianeDati i vettori e espressi nella forma cartesiana,si esprime il suo prodotto scalare:A B ^{ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ}• = = +i i(A i+A j+A ) (B i+B j+B ) A B A B +A BA B k kx y z x y z x x y y z z• =2 2 2 2ziA A A=A +A +Ax yA B +A B +A BiA Bθ x x y y z z= =• cos + + + + 22 2 2 2 2iAB A A A B B Bx y z x y z• Prodotto vettoriale in componenti cartesianePer determinare le componenti cartesiane del prodotto vettoriale di due vettori si procede:ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ• = ∧ = + + + + = − + − + −( )( ) ( ) ( ) ( )C A B A i A j A k B i B j B k A B A B i A

B A B j A B A B kx y z x y z y z z y z x x z x y y x∧Le componenti di sono dunque:

A B= −C A B A Bx y z z y= −C A B A Bzy z x x= −C A B A B xz x y y